1.3正方形的判定与性质 综合、以正方形性质为背景的多结论问题专项训练-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦正方形判定与性质综合应用及多结论问题，通过典例变式覆盖核心考法，强化几何直观与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正方形的判定与性质综合|3例+3变式|判定证明与性质应用综合题（含动态点、矩形转化）|从判定（矩形+菱形特征）到性质应用（对角线、全等、角度计算）的递进| |以正方形性质为背景的多结论问题|3例+3变式|多结论正误判断题（含折叠、等边三角形背景）|综合性质（对称性、全等、勾股定理）判断结论，体现概念到复杂情境的迁移|

正方形的判定与性质综合、以正方形性质为背景的多结论问题专项训练 正方形的判定与性质综合、以正方形性质为背景的多结论问题专项训练 考点目录 正方形的判定与性质综合 以正方形性质为背景的多结论问题 考点一 正方形的判定与性质综合 例1．（25-26九年级下·四川达州·期中）综合与实践 问题情境：如图，四边形为正方形，点E为对角线上的一动点，连接，过点E作，交直线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)猜想证明：证明四边形是正方形． (2)解决问题：求的度数． (3)解决问题：已知，，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：过作于点，于点， ∵正方形， ∴， ∴，，则， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， (2) (3)或 【分析】（1）过作于点，于点，由，得到，即可求解； （2）证明，得到， （3）由正方形，正方形，得到，由，得到，依次求出的长，最后由，得到，即可求解，注意分情况讨论． 【详解】（1）略 （2）解：∵矩形为正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， （3）解：过作于点，于点，由（1）得正方形，， ①当在线段上时， ∵正方形，正方形， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； ②当在延长线上时，如图： ∵正方形，正方形， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； 综上所述，或． 例2．（25-26八年级下·陕西延安·期末）如图，在中，点是边上的点，连接，交于点，，于点，交于点，． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，若平分，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中 ， ∵有一个内角为直角的菱形是正方形 ∴四边形是正方形； (2) 【分析】（1）先利用平行四边形对边平行结合证出四边形是平行四边形，再由一组邻边相等判定其为菱形，接着借助直角三角形两锐角互余和等角代换推出，最后依据有一个直角的菱形是正方形完成证明． （2）先通过角平分线、垂直得到相等角，用证明与全等，推出，再结合正方形性质得到等腰直角，利用勾股定理求出正方形边长即，最后根据平行四边形对边相等得到长度，作差算出． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分 ∴ ∵ ∴ 在与中 ∴ ∴， ∵， ∴， 由（1）得四边形是正方形 ∴，，， 在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴， 将代入得 ， ， ， ∵边长为正数， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 例3．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，点，在正方形的边，上，且，交于点：连接，过点作，垂足为，连接，，交于点． (1)判断与的关系，并给出证明； (2)若，，求的长． 【答案】(1)，； 证明：如图，过点作于，过点作分别交，于，， 四边形是正方形， ，． ． 四边形为矩形，四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为正方形， ，，． ，，即． ，， ． ． ． ． ， ， ， ． ，． 又， ． ． ． (2) 【分析】（1）过点作于，过点作分别交，于，，证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，证明，得出，，再利用，得出，即可证明； （2）证明，得出，，再证明，在 中，利用勾股定理求出的长，由等面积法求出的长，在中，利用勾股定理求出的长，再证明为等腰直角三角形，得出，利用线段和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在正方形中，，， 又∵， ． ，． ， ． ． 在中，，， ∴． ∵， ． 在中，， 由（1）可知，， ． 为等腰直角三角形． ． ． 变式1．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以、为邻边作矩形，连接． (1)如图1，求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】(1)证明：如图1，过点作于点，作于点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴（角平分线的性质定理）， 又∵，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． (2) (3)或 【分析】（1）过点作于点，作于点，证出，则，再根据正方形的判定即可得证； （2）先求出，再得出点与点重合，则，然后得出即可； （3）分两种情况：①当线段与正方形的边的夹角是时，即，②当线段与正方形的边的夹角是时，即，利用正方形和矩形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵四边形为正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由（1）已证：， ∴， 又∵过点作，交射线于点， ∴如图2，此时点与点重合，则， 由（1）已证：四边形是正方形， ∴， ∴． （3）解：①如图3，当线段与正方形的边的夹角是时，即， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在四边形中，； ②如图4，当线段与正方形的边的夹角是时，即， 设与交于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 即； 综上，的度数为或． 变式2．（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，以为邻边作． (1)求证：为正方形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）因为等腰直角三角形中，是斜边上的中线，所以先利用等腰直角三角形三线合一的性质，得出与的位置关系和数量关系。因为四边形是平行四边形，且已得出，所以根据正方形的判定定理，一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，可完成证明． （2）先根据的长度和等腰直角三角形的性质，求出的长度，进而得到正方形的边长。然后通过分析图形中线段的位置和数量关系，利用勾股定理来计算的长度． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，是边上的中线， ∴， ∴为矩形． ∵， ∴矩形为正方形． （2）解：∵为等腰直角三角形，，， ∴． ∴． ∵四边形为正方形， ∴，． ∴． 变式3．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连． (1)求证：矩形为正方形； (2) ． 【答案】(1) 证明：如图，过点作于M，于N，则． 四边形是正方形， 平分，， 又，， ，， ∴四边形 是矩形， ∴， ， ，， ． 在和中， ， ． ， ∵四边形是矩形， 矩形是正方形． (2) 【分析】（1）过点作于M，于N，证，得，即可证矩形为正方形； （2）证明，可得，由此可推得，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形与四边形为正方形， ∴，，， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，角平分线的性质定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，化为最简二次根式，解决本题的关键是熟练运用相关性质定理． 考点二 以正方形性质为背景的多结论问题 例1．（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）如图，在正方形中，E为对角线AC上一点，连接，过点E作，交BC延长线于点F，以为邻边作矩形，连接．在下列结论中： ①； ②； ③； ④． 其中正确结论的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①过E作于M点，过E作于N点，如图所示：根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，故①正确； ②利用已知条件可以推出矩形为正方形；根据正方形的性质得到，，推出，故②正确； ③根据②的结论可得，所以，故③正确； ④当时，点C与点F重合，得到不一定等于，，故④错误． 【详解】解：①过E作于M点，过E作于N点，如图所示：    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又， 在和中，    ， ∴， ∴，故①正确； ②∵矩形为正方形； ∴，， ∵四边形是正方形， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ③根据②得，， ∴， ∴，故③正确； ④当时，点C与点F重合， ∴不一定等于，，故④错误， 综上所述：①②③正确，共3个． 故选：C． 【点睛】本题属于中考选择题的压轴题，主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 例2．（25-26九年级上·北京丰台·阶段检测）如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为；⑤；⑥．其中正确结论有几个（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】如图，过点作于点，连接，可说明四边形为矩形，，，是等腰直角三角形，；①中，可得为等腰直角三角形，进而求，由于四边形是平行四边形，，故可知；②，四边形为矩形，进而可求矩形的周长；③证明，由全等可知，进而可说明；④，当最小时，最小，即时，最小，计算即可；⑤在和中，勾股定理求得，将线段等量替换求解即可；⑥如图1，延长与交于点，证明，得，，，进而可说明． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， 由题意知 ∴四边形为平行四边形 ∵ ∴四边形为矩形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ①∵， ∴为等腰直角三角形 ∴ ， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ 故①正确； ②∵ ∴四边形为矩形 ∴四边形的周长 故②正确； ③四边形为矩形 ∵在和中 ∵ ∴ ∴ ∴ 故③正确； ④∵ 当最小时，最小 ∴当时，即时，的最小值等于 故④正确； ⑤在和中，， ∴ 故⑤正确； ⑥如图1，延长与交于点 ∵在和中 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故⑥正确； 综上，①②③④⑤⑥正确， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形全等．解题的关键在于对知识的灵活综合运用． 例3．（25-26八年级下·山东日照·期末）如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连接．给出下面五个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点；⑤．上述结论中，正确结论的序号有（   ）． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③⑤ 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质即可判断①；根据平行线的性质以及等腰三角形即可判断②；过点作于点，根据角平分线的性质可得，证，得，，证，得，，即可判断③⑤；假设是的中点，此时，可得，不满足三角形的三边关系，故假设不成立，即可判断④． 【详解】解：垂直平分， ，故结论①正确； ， 四边形是正方形， ，，，， ， ， 平分，故结论②正确； 如图，过点作于点， 平分，， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ，，故结论③⑤正确； 点是的中点， ， 假设点是的中点，则， ， ， ， 与在中，相矛盾，故假设不成立，即此时点不是的中点，故结论④错误， 综上，正确的结论为①②③⑤． 变式1．（25-26九年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，在边长为9的正方形中，动点E，F分别在边，上，将正方形沿直线折叠，使点B落在边上的点G处（点G不与点C，D重合），点A落在点H处，与交于点P，连接．给出下列四个结论：①；②的周长为定值18；③；④如果，那么四边形的面积为32．上述结论中，正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据折叠的性质，得，，得到，，可以判定①正确；过点B作于Q，利用三角形全等的判定和性质，等量代换，可以判定②；设，的交点为M，过点E作于点K，利用三角形全等的判定和性质，等量代换，可以判定③正确；设，则，根据勾股定理，得，根据③的结论，得到；四边形的面积为 ，计算可以判定④． 【详解】解：边长为9的正方形， ， ， 根据折叠的性质，得，， ，， ， 故①正确； 如图，过点B作于Q，则， 由①可知：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴． ∴， ∴ 故的周长为定值18； 故②正确； 设，的交点为M，过点E作于点K， 根据题意，得， 故四边形是矩形， ∴， 根据折叠的性质，得，， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴； 故③正确； ， ，， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； ∴； ∴四边形的面积为 ； 故④错误． 变式2．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，正方形中，点E、F分别在、上，是等边三角形，连接交于G，下列结论：①，②，③，④．其中正确结论有（     ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】证明，得到，即可判断①，角的和差关系得到，进而得到，即可判断②，假设，推出，与实际不相符，即可判断③，根据勾股定理求出，，即可判断④. 【详解】解：∵正方形，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴，， 若，则， ∵， ∴， ∴，与实际不相符， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．故④正确. 综上，正确的有3个. 变式3．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，将两个等腰直角三角形（和）拼接在正方形内部，其中，下列结论：①四边形是平行四边形：②是直角三角形；③若，则．其中正确结论的编号是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定方法可判定结论①；如图所示，将绕点逆时针旋转得，连接，，可证，可得是等腰直角三角形，再证是等腰直角三角形，由此可得，由此可判定结论②；根据结论②正确，可得都是等腰直角三角形，设，则，在等腰直角中，，在中，根据勾股定理可解出的值，由此即可判定结论③；由此即可求解． 【详解】解：结论①：四边形是平行四边形， ∵，都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形，故结论①正确； 结论②：是直角三角形， 如图所示，将绕点逆时针旋转得，连接，，      ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴点与点重合， ∴， ∴，即， 在中， ， ， ∴， ∵，且， ∴是等腰直角三角形，即点在的斜边上，即点三点共线， ∵，都是等腰直角三角形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由结论①正确可知，四边形是平行四边形， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故结论②正确； 结论③：若，则，    由结论②正确，可知是等腰直角三角形， ∵，， ∴都是等腰直角三角形，即， 设，则， ∴， 在等腰直角中，， ∴在中，，即，解得，， ∴，故结论③正确； 综上所述，正确的有①②③， 故选：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，直角三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识的综合，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $正方形的判定与性质综合、以正方形性质为背景的多结论问题专项训练 正方形的判定与性质综合、以正方形性质为背景的多结论问题专项训练 考点目录 正方形的判定与性质综合 以正方形性质为背景的多结论问题 考点一 正方形的判定与性质综合 例1．（25-26九年级下·四川达州·期中）综合与实践 问题情境：如图，四边形为正方形，点E为对角线上的一动点，连接，过点E作，交直线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)猜想证明：证明四边形是正方形． (2)解决问题：求的度数． (3)解决问题：已知，，请直接写出的长． 例2．（25-26八年级下·陕西延安·期末）如图，在中，点是边上的点，连接，交于点，，于点，交于点，． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，若平分，，求的长． 例3．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，点，在正方形的边，上，且，交于点：连接，过点作，垂足为，连接，，交于点． (1)判断与的关系，并给出证明； (2)若，，求的长． 变式1．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以、为邻边作矩形，连接． (1)如图1，求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 变式2．（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，以为邻边作． (1)求证：为正方形； (2)连接，若，求的长． 变式3．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连． (1)求证：矩形为正方形； (2) ． 考点二 以正方形性质为背景的多结论问题 例1．（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）如图，在正方形中，E为对角线AC上一点，连接，过点E作，交BC延长线于点F，以为邻边作矩形，连接．在下列结论中： ①； ②； ③； ④． 其中正确结论的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．（25-26九年级上·北京丰台·阶段检测）如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为；⑤；⑥．其中正确结论有几个（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 例3．（25-26八年级下·山东日照·期末）如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连接．给出下面五个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点；⑤．上述结论中，正确结论的序号有（   ）． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③⑤ 变式1．（25-26九年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，在边长为9的正方形中，动点E，F分别在边，上，将正方形沿直线折叠，使点B落在边上的点G处（点G不与点C，D重合），点A落在点H处，与交于点P，连接．给出下列四个结论：①；②的周长为定值18；③；④如果，那么四边形的面积为32．上述结论中，正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 变式2．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，正方形中，点E、F分别在、上，是等边三角形，连接交于G，下列结论：①，②，③，④．其中正确结论有（     ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 变式3．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，将两个等腰直角三角形（和）拼接在正方形内部，其中，下列结论：①四边形是平行四边形：②是直角三角形；③若，则．其中正确结论的编号是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2 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