第1章特殊平行四边形—证明四边形是正方形、利用正方形的性质证明专项训练-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦正方形判定与性质的专项训练，通过基础图形转化与性质应用，构建判定-性质双向逻辑体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |证明四边形是正方形|3例+3变式|结合平行四边形、菱形、矩形判定，通过中点、角平分线、对角线条件转化|遵循“平行四边形→矩形/菱形→正方形”层级判定，强化特殊四边形间转化关系| |利用正方形的性质证明|3例+3变式|涉及线段相等、垂直、角度计算，结合辅助线与全等证明|运用正方形边、角、对角线性质，构建“性质→全等/等腰直角三角形→结论”推理链条|

证明四边形是正方形、利用正方形的性质证明专项训练 证明四边形是正方形、利用正方形的性质证明专项训练 考点目录 证明四边形是正方形 利用正方形的性质证明 考点一 证明四边形是正方形 例1．（2026·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形是平行四边形，平分，平分，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：∵点F为线段中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴． (2) 四边形为正方形， 证明：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形为矩形， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形． 【分析】（1）根据题干中的几何关系找到能证明两三角形全等的条件即可． （2）当时结合四边形为平行四边形，可得到四边形为矩形，通过矩形的性质结合角平分线得到，最后再利用（1）得到的全等三角形即可进一步完成证明． 【详解】（1）略 （2）略 例2．（25-26九年级上·河南安阳·期中）如图，边长为4的菱形中，、、、依次为，，，各边的中点． (1)求证：四边形为矩形； (2)当______时，四边形为正方形． 【答案】(1) 证明：连接， ∵、、、依次为，，，各边的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； (2) 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，正方形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握相关性质和判定方法，是解题的关键： （1）连接，根据三角形的中位线定理得到四边形为平行四边形，，进而得到四边形为矩形； （2）根据有一组邻边相等的矩形为正方形，得到当时，即，菱形为正方形，四边形为正方形，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）当时，四边形为正方形，理由如下： 当时，菱形为正方形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：四边形为矩形， ∴四边形为正方形． 例3．（25-26九年级上·广西防城港·阶段检测）如图平行四边形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)当的对角线满足_______条件时，四边形是正方形，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点， ∴，， ∴四边形是平行四边形； (2) 且，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴平行四边形是正方形． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握平行四边形与正方形的判定和性质是解题的关键． （1）由作图得，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可； （2）根据一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形，得到只需，且，再利用四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 变式1．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于E，交于F，交的延长线于G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵的垂直平分线交于E，交于F， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； (2)8 【分析】（1）先根据，判定四边形是矩形，再根据，即可得到四边形是正方形； （2）先判定，得出，再根据正方形中，，即可得到，即． 【详解】（1）略 （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵正方形中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质的综合应用，等腰三角形的性质和平行线的性质等知识．解决问题的关键是掌握：有一组邻边相等的矩形是正方形；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 变式2．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1) ∵矩形， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∵平分， ∴， ∴四边形是正方形； (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据可得，即可求得，，再由可得，进而可得的长． 【详解】（1）解：略． （2）解：∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； 由（1）知，四边形是正方形； ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 所以． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，熟悉正方形的性质与判定是解题的关键是解决问题的关键． 变式3．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．    (1)求证：DE＝EF； (2)当Rt△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请证明你的结论． 【答案】(1) 证明：∵DE∥BC，CF∥AB， ∴四边形DBCF为平行四边形， ∴DF＝BC， ∵D为边AB的中点，DE∥BC， ∴DE＝BC， ∴EF＝DF﹣DE＝BC﹣CB＝CB， ∴DE＝EF； (2) 当△ABC满足∠BAC＝45°，四边形ADCF是正方形， 证明：∵四边形DBCF为平行四边形， ∴BD＝CF， ∵∠ACB＝90°，D为边AB的中点， ∴AD＝BD＝CD， ∴AD＝CF， ∵AD∥CF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝45°， ∴∠BAC＝∠DCA＝45°， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF是正方形． 【分析】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF＝BC，再证明DE＝BC，进而得到EF=CB，即可得证； （2）证出AD=CF，AD∥CF，则四边形ADCF是正方形，由直角三角形的性质可得出AD＝CD，∠ADC＝90°，根据正方形的判定可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线、正方形的判定，掌握判定定理是解题的关键． 考点二 利用正方形的性质证明 例1．（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）结合图形，证明以下结论： (1)如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． (2)如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， . 【分析】（1）根据正方形的性质得到边和角的关系，再结合已知的垂直条件，利用全等三角形的判定定理证明． （2）先证明，得到对应角相等，再通过等量代换证明． 【详解】（1）略 （2）略 例2．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）如图1，正方形的边长为4，连接，点E为线段上任意一点（点E不与B，D重合），过点E作分别交，于点H，F．点G为的中点，连接． (1)若，则 ， ； (2)如图2，连接．求证：且； (3)如图3，在（2）的条件下，设交于点K，延长交于点M，连接． ①探究之间的数量关系，并说明理由； ②若，则 ． 【答案】(1)， (2)证明：在正方形和矩形中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)解：①如图， ，理由如下： 连接，延长至W，使，连接， 由（2）知，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ② 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，； （2）可证得，从而，进而得出结论； （3）①连接，延长至W，使，可证得，从而，，进而证得，从而，进一步得出结论； ②设，则，，，在中，由勾股定理，求得x的值，可证得． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，边长为4， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵G为的中点， ∴，； （2）略 （3）解：①略； ②设，则，，， 在中，由勾股定理得，， ∴ ∴， ∴， 由①知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 例3．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）如图，四边形是正方形，点，分别是和的中点，连接和． (1)求证：； (2)连接，分别交，于点，．求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵点，分别是和的中点， ∴， ∴， ∴； (2)∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）根据正方形的性质和线段中点的定义得到条件，即可证明； （2）证明再证明，根据线段的和差即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 变式1．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，四边形是正方形，点E在正方形的外部，是等边三角形，连接，，，与交于点F，再连接． (1)求的度数． (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) (2) 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）已得：，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分． 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，根据等边三角形的性质可得，则可得，再根据等腰三角形的性质即可得； （2）参考（1）的方法，先求出，再根据角的和差可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据线段垂直平分线的判定即可得证． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． （2）略 变式2．（25-26九年级上·北京西城·阶段检测）如图1，在正方形中，点是延长线上一点，连接．点在线段上，过点作的垂线分别交于M、N．    (1)求证：； (2)如图2，当点是中点时，连接交于，连接．写出和的数量关系，并证明． 【答案】(1) 证明：如图1，作于点Q，交于点L，则， ∵于点Q，分别交于点M、N， ∴， ∵四边形是正方形，点E在的延长线上， ∴， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． (2)， 证明：如图2，连接交于点P， ∵交于点G，点F是中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）作于点Q，交于点L，因为于点Q，分别交于点M、N，所以，由正方形的性质得，，，则四边形是平行四边形，所以，推导出，再根据“”证明，得，则； （2）连接交于点P，因为点F是中点，所以垂直平分，则，可证明，得，，所以，推导出，则，所以，则． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题重点考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 变式3．（25-26九年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，为正方形内一点，，为对角线的交点，连接，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 过点作交于点，连接， ∴， ∵四边形是正方形，为对角线交点， ∴，． 又∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形． ∴． (2) 证明：由（1）知，． ∴． ∵是等腰直角三角形，． ∴． 又∵， ∴． 【分析】（1）要证明，考虑利用正方形的性质构造辅助线．正方形对角线互相垂直且平分，为对角线交点，可通过构造全等三角形，将与特殊角建立联系． （2）要证明，根据（1）中得到的全等关系，将转化为，再结合等腰直角三角形的边的关系进行推导． 【详解】（1）解：略． （2）略． 【点睛】本题主要考查正方形的性质（对角线互相垂直平分且相等、四个角为直角）、勾股定理、全等三角形的判定（ASA）和性质以及等腰直角三角形的判定和性质．解题的关键在于利用正方形对角线交点的性质构造全等三角形，将所求角和线段关系转化到熟悉的特殊三角形（等腰直角三角形）中进行求解． 2 学科网（北京）股份有限公司 $证明四边形是正方形、利用正方形的性质证明专项训练 证明四边形是正方形、利用正方形的性质证明专项训练 考点目录 证明四边形是正方形 利用正方形的性质证明 考点一 证明四边形是正方形 例1．（2026·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形是平行四边形，平分，平分，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 例2．（25-26九年级上·河南安阳·期中）如图，边长为4的菱形中，、、、依次为，，，各边的中点． (1)求证：四边形为矩形； (2)当______时，四边形为正方形． 例3．（25-26九年级上·广西防城港·阶段检测）如图平行四边形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)当的对角线满足_______条件时，四边形是正方形，并说明理由． 变式1．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于E，交于F，交的延长线于G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)求的长． 变式2．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 变式3．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．    (1)求证：DE＝EF； (2)当Rt△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请证明你的结论． 考点二 利用正方形的性质证明 例1．（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）结合图形，证明以下结论： (1)如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． (2)如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 例2．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）如图1，正方形的边长为4，连接，点E为线段上任意一点（点E不与B，D重合），过点E作分别交，于点H，F．点G为的中点，连接． (1)若，则 ， ； (2)如图2，连接．求证：且； (3)如图3，在（2）的条件下，设交于点K，延长交于点M，连接． ①探究之间的数量关系，并说明理由； ②若，则 ． 例3．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）如图，四边形是正方形，点，分别是和的中点，连接和． (1)求证：； (2)连接，分别交，于点，．求证：． 变式1．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，四边形是正方形，点E在正方形的外部，是等边三角形，连接，，，与交于点F，再连接． (1)求的度数． (2)求证：垂直平分． 变式2．（25-26九年级上·北京西城·阶段检测）如图1，在正方形中，点是延长线上一点，连接．点在线段上，过点作的垂线分别交于M、N．    (1)求证：； (2)如图2，当点是中点时，连接交于，连接．写出和的数量关系，并证明． 变式3．（25-26九年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，为正方形内一点，，为对角线的交点，连接，． (1)求证：； (2)求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $