暑假培优预习：正方形中的折叠问题、正方形中的多结论问题专项训练-2026年八升九暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦正方形折叠与多结论两大高频考点，通过区域期末真题构建从性质应用到综合推理的递进训练，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正方形中的折叠问题|5例+5变式|含单动点折叠、坐标折叠及多问证明，涉及边长计算与位置关系推导|以正方形性质为基础，通过折叠实现轴对称转化，结合勾股定理与方程思想解决线段关系| |正方形中的多结论问题|4例+4变式|以4结论选填为主，融合全等、相似及面积计算，需多维度推理验证|围绕正方形对称性与特殊三角形性质，构建“条件→结论”逻辑链，培养批判性思维与论证能力|

暑假培优预习：正方形中的折叠问题、正方形中的多结论问题专项训练 暑假培优预习：正方形中的折叠问题、正方形中的多结论问题专项训练 考点目录 正方形中的折叠问题 正方形中的多结论问题 考点一 正方形中的折叠问题 例1．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，正方形纸片的边长为，点分别在边上，将分别沿折叠，点恰好都落在上的点处，已知，则的长为（     ）． A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·广西河池·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________． 例4．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，将正方形沿折叠，点A落在上的处．若，则折痕的长为________． 例5．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折得到，连接BF并延长交于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若为的中点，求的值； (3)如图3，连接，若，，直接写出的长． 变式1．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，将正方形沿折叠，点落在对角线上的点处，已知，则的长为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·山东日照·期末）如图，正方形中，点是边的中点，将沿翻折至，延长交边于点，连接，若正方形的边长为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，正方形的边长为，，分别是边，上的点，沿着将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，若点将分成两部分，则的长是_______． 变式4．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图，将正方形沿折叠，使得点A的对应点恰好与边上的中点E重合，点D的对应点为F，若，则_______． 变式5．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）在正方形中，，为边上一点，连接，将沿折叠得到．连接，作，垂足为． (1)如图，求的度数； (2)延长，相交于点，连接． ①如图，当时，求的长； ②如图，当为的中点时，连接，求的周长． 考点二 正方形中的多结论问题 例1．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间是一个小正方形，连结交于点，延长交于点，若是的中点，，有以下四个结论：①；②；③；④，则正确的结论是（     ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 例2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G．连结、．下列结论：①；②；③；④的面积为75．其中结论正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（25-26八年级下·福建厦门·期末）在正方形中，点E为边的中点，点与点B关于对称，与交于点F，连接，，．下列结论：①；②为等腰直角三角形；③；④．其中正确的序号是____________． 例4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在正方形 中， ，点在边上，点 在 上， ，交 于点，交于点，连接 ．下列结论：① ；② ；③；④ 的最小值为．上述结论中，正确的序号有_______． 变式1．（25-26八年级下·广西玉林·期末）如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接、、，则下列结论：①；②；③和的面积比为；④．其中结论正确的序号有（     ） A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③ 变式2．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，正方形中，对角线交于点O，点E在线段上，连接，作交于点F，交于点G，连接交于点H，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（     ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 变式3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，正方形的面积为16，对角线，相交于点，点，分别在边，上运动，，平分，与边交于点．则下列结论： ①； ②的面积保持不变； ③； ④EF的最小值为． 其中正确说法的序号是_______．（把你认为正确的序号都填上） 变式4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在正方形中，O是对角线与的交点，M是边上的动点（点M不与B，C重合），连接，作交于N，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______（填序号）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优预习：正方形中的折叠问题、正方形中的多结论问题专项训练 暑假培优预习：正方形中的折叠问题、正方形中的多结论问题专项训练 考点目录 正方形中的折叠问题 正方形中的多结论问题 考点一 正方形中的折叠问题 例1．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，正方形纸片的边长为，点分别在边上，将分别沿折叠，点恰好都落在上的点处，已知，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的折叠的性质，利用勾股定理列方程即可得到答案． 【详解】∵正方形纸片的边长为， ∴，， 根据折叠的性质可得：， 设， 则，，， ∵在中，， 即，解得：， ∴，． 例2．（25-26八年级下·广西河池·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，与轴相交于，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，与轴相交于， 正方形的边在轴上， 四边形是矩形， ，，， 折叠， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 在中，， ， 解得， ，， 在中，， ， 解得， ， 点的坐标为． 例3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________． 【答案】/0.6 【分析】连接，利用折叠性质和正方形性质证明，得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，． ∵， ∴． ∵沿对折至， ∴，，． ∴，． 在和中，， ∴． ∴． 设，则，，． 在中，由勾股定理得：， 即． 解得． ∴的长是． 例4．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，将正方形沿折叠，点A落在上的处．若，则折痕的长为________． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，连接，则四边形是矩形，接着根据正方形和折叠的性质，可利用证明，从而得到，设，然后根据线段的和差推出，，，进而在中，利用勾股定理建立方程求得，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， 则，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，，即， 解得 ∴，， ∴在中，． 例5．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折得到，连接BF并延长交于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若为的中点，求的值； (3)如图3，连接，若，，直接写出的长． 【答案】(1)证明：如图1， ∵四边形是正方形， ∴，， 根据折叠性质得：，，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据四边形是正方形，结合折叠性质证明是等边三角形，根据等边三角形性质求出，，，进一步求出等于30度，即可得，再根据等角对等边即可证明． （2）根据四边形是正方形，即可得，，结合直角三角形斜边中线的性质得，可证明，即可得，再根据折叠性质即可证明是等边三角形，根据等边三角形性质求出，再根据30度角的直角三角形性质即可得的值． （3）延长交于，连接交于，根据折叠性质、结合四边形是正方形，即可证明，根据全等性质得，再根据，结合余角性质得，根据等角对等边得，结合已知条件得，设，用的代数式表示出、、，在直角三角形中，根据勾股定理列方程，解出即可得的长． 【详解】（1）略． （2）解：如图2， 连接，， ∵为的中点，是直角三角形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据折叠性质得：，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的值为． （3）解：如图3， 延长交于，连接交于，则：， 根据折叠性质得：，，， ， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点， ∴， 设，则，，， 在直角三角形中，根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查正方形性质、折叠性质、勾股定理、30度直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，充分理解题意，作出正确的辅助线、灵活运用几何知识是解题的关键． 变式1．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，将正方形沿折叠，点落在对角线上的点处，已知，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质及折叠的性质可知：，，设，则，可求出，列方程即可求出的长． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 由折叠的性质可知：，，， ，， 设，则， ， ， ， ， ． 变式2．（25-26八年级下·山东日照·期末）如图，正方形中，点是边的中点，将沿翻折至，延长交边于点，连接，若正方形的边长为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点作于点，由折叠的性质和正方形的性质得，，证得，得到，设，则，，利用勾股定理列方程求出的值，得到，，，利用等面积法求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 由正方形性质得，，， 点是边的中点， ， 折叠可知，，，， ，， 在和中， ， ， ， 设，则，， 由勾股定理得，即， 解得， ，，， ， ， ， ． 变式3．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，正方形的边长为，，分别是边，上的点，沿着将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，若点将分成两部分，则的长是_______． 【答案】或 【分析】根据题意，得点将分成的两部分的长为，，分或，利用勾股定理，结合方程的思想求解即可； 【详解】解：正方形的边长为， ， 点将分成两部分， 点将分成的两部分的长为，， 当时，如图，连接，则，设，则 根据折叠的性质，得， 根据勾股定理，得， ， 解得； 当时，如图，连接，则，设，则 根据折叠的性质，得， 根据勾股定理，得， ， 解得； 故的长是或． 变式4．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图，将正方形沿折叠，使得点A的对应点恰好与边上的中点E重合，点D的对应点为F，若，则_______． 【答案】 【分析】利用折叠的性质，得到对应边相等、对应角相等，以及折痕垂直平分，确定已知边长：E是中点，，所以．设的长度为未知数，在中，根据勾股定理列方程，求解得到和的长度．过点N作的垂线，构造直角三角形，证明该直角三角形与全等，依据全等三角形对应边相等，得到和的长度．最后代入分式计算比值． 【详解】解：连接，过作于，则， ∵正方形边长为8， ∴， ∵是中点， ∴， ∴在中，​． 设，则， 由折叠知，， 在中，由勾股定理：， 代入得：， 解得， ∴，． ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由折叠知，折痕是的垂直平分线，． 设垂足为点H，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 变式5．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）在正方形中，，为边上一点，连接，将沿折叠得到．连接，作，垂足为． (1)如图，求的度数； (2)延长，相交于点，连接． ①如图，当时，求的长； ②如图，当为的中点时，连接，求的周长． 【答案】(1) (2)①的长为；②的周长为 【分析】（1）利用折叠得，，结合正方形得，由三线合一得，推出即可求解； （2）①由折叠与正方形性质得，结合证为等边三角形，推导得，得等腰直角并求出，过作，利用直角三角形性质求、，得后即可利用勾股定理计算；②先求正方形对角线，由为中点用勾股定理求，折叠得对应边相等，过点作于点，过点作于点，在中利用面积法求，在中利用勾股定理求，证得、均为等腰直角三角形，依次算出、，证得、，利用勾股定理求，三边相加即可得的周长 【详解】（1）解：由折叠性质得，， 正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （2）解：①∵四边形是正方形，， ∴，， 由折叠性质得，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，，， 在中，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 如图，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中， ； ②∵正方形中， ∴，， 在中，， ∵为中点， ∴， 在中，， 由折叠性质得，，， 如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， 解得， 在中，， ∴， 由折叠性质得， ∵，， ∴平分，即， ∴ ， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ， 在中，，，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴的周长． 考点二 正方形中的多结论问题 例1．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间是一个小正方形，连结交于点，延长交于点，若是的中点，，有以下四个结论：①；②；③；④，则正确的结论是（     ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，先证明，再根据四个全等的直角三角形，证明出，从而推出，设，则，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形， ， ∵正方形， ， ∵是的中点， ， 在和中， ， ， ， 由题意可知， ， ， ， ， ，，①正确； ，②正确； 设，则， 在中，， ， 解得：， ∴，，③正确； ∴， ∴在中，， ∴，④错误； 综上，①②③正确． 例2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G．连结、．下列结论：①；②；③；④的面积为75．其中结论正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据正方形性质和折叠性质可得，，利用HL证明，得出，设，在中利用勾股定理求出的值，从而判断的长及与的关系，利用等腰三角形性质和外角性质证明，从而判断平行；利用三角形面积公式及等高模型计算的面积． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，． ∵， ∴，． 由折叠可知：， ，． ∴． 在和中， ， ∴， 故①正确； ∴． 设，则， ， ． 在中，， 即， 解得， ∴， 故②正确； ∴， ∴ ． ∵， ∴． ∵． 又∵ ， ∴， ∴． ∴，即． ∴，故③正确； ∵， 且在上，，， ∴ ． 故④错误． 综上所述，正确的结论有①②③，共3个． 例3．（25-26八年级下·福建厦门·期末）在正方形中，点E为边的中点，点与点B关于对称，与交于点F，连接，，．下列结论：①；②为等腰直角三角形；③；④．其中正确的序号是____________． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质结合轴对称的性质可得，可判断①正确；可得为的中位线，即有，可得，可判断②正确；利用可证明，即可证明，进而可得，进而有，可得，再证明，可得，可判断④正确； 假设成立，通过推导得到，与直角三角形斜边大于直角边矛盾，故可判断③错误． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点E为边的中点，点与点B关于对称， ∴，，， ∴，故①正确； ∵，点E为边的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴，即是直角三角形， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形，故②正确； ∴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故④正确， 若， ∵ ∴ ∴ ∴ 由对称可得 ∵ ∴ ∵点为边的中点， ∴， ∴， 此时与中，矛盾，故不成立， 故③错误； 综上所述：正确的结论有①②④． 例4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在正方形 中， ，点在边上，点 在 上， ，交 于点，交于点，连接 ．下列结论：① ；② ；③；④ 的最小值为．上述结论中，正确的序号有_______． 【答案】①③④ 【分析】通过证明推出即可判断①；无法说明，即不一定成立，即可判断②；如图：过G作于K，过G作于J，利用正方形的性质以及角平分线的性质定理可得，再利用三角形面积公式以及已知条件可判断③；如图：当三点共线时，有最小值，再说明，最后运用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴，故①正确； 无法说明，即不一定成立，即②错误； 如图：过G作于K，过G作于J， ∵四边形是正方形， ∴，即是的角平分线， ∴， ∵， 又∵， ∴，故③正确； ∵点C关于的对称点点A， ∴， ∴， 如图：当三点共线时，有最小值 ， 由对称性可得， ∵， ∴， ∴，即 的最小值为． 综上，正确的是①③④． 变式1．（25-26八年级下·广西玉林·期末）如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接、、，则下列结论：①；②；③和的面积比为；④．其中结论正确的序号有（     ） A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】利用正方形和等边三角形的性质可得，，，即得，进而得到，即可判断①；利用判定定理“”可证，即可判断②；由全等三角形的性质得到，过点作于，于，由等边三角形的性质得，由四边形是矩形得， 再根据三角形的面积公式即可判断③；过点作交的延长线于，可得，即得，进而得到，即可判断④，综上即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵，，， ∴，故②正确； ∴， 过点作于，于，如图， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴和的面积比为，故③正确； 过点作交的延长线于，如图， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误； 综上，结论正确的序号有①②③． 变式2．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，正方形中，对角线交于点O，点E在线段上，连接，作交于点F，交于点G，连接交于点H，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（     ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】过点作于，于，证明，可得，进而判断①；延长交于点T，根据矩形的判定与性质得到，设，则，故，即可判断②；通过角度计算或特值法判断③；利用线段和差关系及正方形性质推导与的关系判断④ ． 【详解】解：过点作于，于， 四边形是正方形， ，， ，， 四边形是矩形，且， ∴四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ，故①正确； 延长交于点T， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∵正方形中， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理可得，四边形是矩形， ∴ ∴ 设，则 ∴ ∴ ，故②正确； 若，则， ， ， ， 即， 而， ，这仅在特定位置成立，故③错误； ， ， ， ， ， ∵在正方形中，同理可得， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 变式3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，正方形的面积为16，对角线，相交于点，点，分别在边，上运动，，平分，与边交于点．则下列结论： ①； ②的面积保持不变； ③； ④EF的最小值为． 其中正确说法的序号是_______．（把你认为正确的序号都填上） 【答案】①③④ 【分析】依据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质、勾股定理，通过推理计算即可得到正确的结论，进而得出答案． 【详解】解：正方形的对角线，相交于点， ，，， 又， ， ， ，故①正确； ∵， ∴， ∵当点E在上运动时，的长是变化的， ∴的面积随着的变化而变化，故②错误； 连接， 平分， ， 又，， ， ， ， ， ∵在中，， ，故③正确； ，， 是等腰直角三角形， ， 当有最小值时，的值最小， 是等腰直角三角形， 当时，的最小值等于的一半， 即的最小值等于2， 的最小值为，故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 变式4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在正方形中，O是对角线与的交点，M是边上的动点（点M不与B，C重合），连接，作交于N，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】先根据正方形的性质和已知条件可证可得可判断①；由可得，进而证明可得，再结合可得，即可判断②；根据线段的和差可得，然后分别在和中运用勾股定理可判断③．当点接近点时，点接近点，接近，此时，即④错误． 【详解】解：∵正方形， ∴, ∴, ∵交于， ∴， ∴, ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴, ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即②正确； ∵， ∴，即， ∵中，， ∴， ∵中，， ∴， ∴，即③正确； 当点接近点时，点接近点，接近，此时，故④错误． 综上，正确的有①②③． 2 学科网（北京）股份有限公司 $