精品解析：广东佛山市听音湖实验中学2025-2026学年第一学期10月段测教学质量检测高二数学试题

听音湖实验中学2025～2026学年度第一学期10月段测考教学质量检测 高二年级 数学试题 （全卷共4页，考试时间：120分钟，满分150分） 测试范围：必修二第十章、选择性必修一第一章、第二章2.1 一、单选题(每题5分，共40分） 1. 的值是（   ） A. B. C. D. 1 2. 在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 掷一枚骰子，设事件出现的点数不小于5，出现的点数为偶数，则事件A与事件B的关系是（ ） A. B. 出现的点数为6 C. 事件A与B互斥 D. 事件A与B是对立事件 4. 已知空间向量，，且，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 5. 已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（   ） A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 相交但不垂直 6. 已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（    ） A. B. C. D. 7. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知大小为的二面角的棱上有两点A、B，，，，，若，，，则CD的长为（ ） A. 67 B. 49 C. 7 D. 二、多选题（共18分） 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，则下列说法中正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果互斥，那么 D. 如果互斥，那么 11. 给出下列命题，其中是真命题的为（ ） A. 若直线的方向向量，直线的方向向量，则l与m垂直 B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 若平面的法向量分别为，则 D. 若平面经过三点，向量是平面的法向量，则 三、填空题:（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________ . 13. 如图，在平行六面体中，，，，，，则___________． 14. 某次数学考试的一道多项选择题，学生作答时可以从、、、四个选项中至少选择一个选项，至多可以选择四个．得分规则是：“全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是，若某同学不会做该题目，随机选择一个或两个选项，则该同学能得分的概率是______． 四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18、19题各17分，共77分） 15. 2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名．现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动． （1）写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间； （2）求选出的2名教师中至少有1名女教师的概率． 16. 如图，在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是的中点. （1）求与所成角的余弦值； （2）求点G到平面的距离. 17. 甲、乙两人组成“明日之星队”参加“疫情防控与生命健康”趣味知识竞赛. 每轮竞赛由甲、乙各答一道题目，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮答题中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求甲在两轮答题中，答对一道题目的概率； （2）求“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的概率. 18. 在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，面，，且为的中点，为中点. （1）求证：平面； （2）求平面NMF与平面DMF所成角的余弦值； 19. 图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面底面，为的中点， ． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若是棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 听音湖实验中学2025～2026学年度第一学期10月段测考教学质量检测 高二年级 数学试题 （全卷共4页，考试时间：120分钟，满分150分） 测试范围：必修二第十章、选择性必修一第一章、第二章2.1 一、单选题(每题5分，共40分） 1. 的值是（   ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】特殊锐角的三角函数值直接求解. 【详解】. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间直角坐标系中点坐标公式求解即得. 【详解】依题意，点，则线段的中点坐标是. 故选：B 3. 掷一枚骰子，设事件出现的点数不小于5，出现的点数为偶数，则事件A与事件B的关系是（ ） A. B. 出现的点数为6 C. 事件A与B互斥 D. 事件A与B是对立事件 【答案】B 【解析】 【分析】利用两个事件的关系对各个选项进行判断即可． 【详解】出现的点数不小于5出现的点数为，出现的点数为偶数出现的点数为， 则出现的点数为，故B正确，A错误； 因为事件A与事件B可以同时发生，故事件A与B不是互斥事件，也不是对立事件，故C，D错误， 故选：B． 4. 已知空间向量，，且，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】时，，利用坐标进行运算即可. 【详解】因为，，且， 所以， 解得， 故选：C. 5. 已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（   ） A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 相交但不垂直 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线的斜率关系判断. 【详解】由题意， 所以，且经过不在的点， 所以. 6. 已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基底的概念判断即可. 【详解】对于A，，共面，不可为基底； 对于B，，共面，不可为基底； 对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量， 这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底， 对于D，，共面，不可为基底. 7. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解. 【详解】由，，得，， 所以在上的投影向量为. 故选：C 8. 如图，已知大小为的二面角的棱上有两点A、B，，，，，若，，，则CD的长为（ ） A. 67 B. 49 C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】过A作且，连接、，易得，通过线面垂直的判定定理可得平面，继而得到，即可求出答案． 【详解】过A作且，连接、， 则四边形是平行四边形， 因为，所以平行四边形是矩形， 因为，即，而， 则是二面角的平面角，即， 因为，即为正三角形，所以， 因为，，即，，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以在中，，所以，． 故选：C． 二、多选题（共18分） 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量坐标运算法则求解即可． 【详解】因为向量，， 所以，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选：AD 10. 已知，，则下列说法中正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果互斥，那么 D. 如果互斥，那么 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于AB，由可得即可；对于CD，由互斥可得即可. 【详解】对于AB，由可得, 所以,故AB正确； 对于CD，由互斥可得， 所以,故C正确，D错误. 故选：ABC. 11. 给出下列命题，其中是真命题的为（ ） A. 若直线的方向向量，直线的方向向量，则l与m垂直 B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 若平面的法向量分别为，则 D. 若平面经过三点，向量是平面的法向量，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，计算，即可判断；对于B，求出的值，即可判断；对于C，计算的值，即可判断；对于D，求出的坐标，根据法向量含义可得，即可判断. 【详解】对于A，，则， 所以直线与垂直，故A是真命题； 对于B，，则， 所以或，故B是假命题； 对于C，，即不垂直， 所以不成立，故C是假命题； 对于D，， 因为向量是平面的法向量，故， 即，故D是真命题， 故选：AD 三、填空题:（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________ . 【答案】 【解析】 【详解】因为直线l的一个方向向量为， 所以直线l的斜率为 13. 如图，在平行六面体中，，，，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先，画出图形，然后，结合=，两边平方，同时结合数量积的运算法则进行计算即可． 【详解】平行六面体，如图所示： ∵∠BAA1=∠DAA1=60° ∴A1在平面ABCD上的射影必落在直线AC上， ∴平面ACC1A1⊥平面ABCD， ∵AB=1，AD=2，AA1=3， ∵ = ∴||2=（）2 =||2+||2+||2+2+2+2 =1+9+4+0+2×1×3×+2×2×3×=23， ∴||=， ∴AC1等于． 故答案为：． 【点睛】本题重点考查了向量的坐标分解，向量的加法运算法则与运算律、数量积的运算等知识，属于中档题． 14. 某次数学考试的一道多项选择题，学生作答时可以从、、、四个选项中至少选择一个选项，至多可以选择四个．得分规则是：“全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是，若某同学不会做该题目，随机选择一个或两个选项，则该同学能得分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定同学随机选择选项一个或两个选项的基本事件总数，再确定其中“能得分”的基本事件个数，最后利用古典概型概率公式即可计算出所求概率． 【详解】解：某同学随机选择选项一个或两个选项，分别为：选择一项有，，，；选择两项有：，，，，，；共有基本事件10种，其中“能得分”的基本事件有，，，共3种，故“能得分”的概率为． 故答案为：． 四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18、19题各17分，共77分） 15. 2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名．现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动． （1）写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间； （2）求选出的2名教师中至少有1名女教师的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）写出试验包含的所有可能发生的情况组成样本空间； （2）写出所求事件包含的情况数，根据古典概型即可计算概率． 【小问1详解】 将2位男教师记为，3位女教师记为， 则样本空间，共有10个样本点． 【小问2详解】 设事件表示“选出的2名教师中至少有1名女教师”， 则， 中包含9个样本点，故． 16. 如图，在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是的中点. （1）求与所成角的余弦值； （2）求点G到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，分别求得向量的坐标，由求解； （2）求得平面CEF的一个法向量，由求解, 【小问1详解】 建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 所以， 所以与所成角的余弦值是； 【小问2详解】 ， 设平面CEF的一个法向量为， 则，即， 令，则， 所以 17. 甲、乙两人组成“明日之星队”参加“疫情防控与生命健康”趣味知识竞赛. 每轮竞赛由甲、乙各答一道题目，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮答题中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求甲在两轮答题中，答对一道题目的概率； （2）求“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的概率. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）两轮中答对一道题的情形为： 第一种情况：甲第一轮答对1题，第二轮答错1题； 第二种情况：甲第一轮答错1题，第二轮答对1题； 然后，根据以上情况，列式求解即可 （2）答对三道题目的情况有： 第一种情况：甲答对2道题，乙答对1道题； 第二种情况：甲答对1道题，乙答对2道题； 然后，根据以上情况，列式求解即可 【详解】（1）设表示甲每轮答错1道题目的事件，表示甲每轮答对1道题目的事件，则 ，，两轮中答对一道题的情况为，甲第一轮答对1题，第二轮答错1题和甲第一轮答错1题，第二轮答对1题，故概率为 ； （2）设表示甲答对表示乙每轮答错1道题目的事件，表示乙每轮答对1道题目的事件，则 ，，“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的情况有： 第一种情况：甲答对2道题，乙答对1道题： 第二种情况：甲答对1道题，乙答对2道题： 所以，“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的概率为 【点睛】解题关键在于把情况进行分类，通过分情况再列相关式子求解即可，难度属于中档题 18. 在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，面，，且为的中点，为中点. （1）求证：平面； （2）求平面NMF与平面DMF所成角的余弦值； 【答案】（1）如图建立空间直角坐标系，则，， 所以，显然平面的法向量可以为， 所以，即，又平面，所以平面； （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，设平面的法向量为， 则，令，则，所以， 因为平面，所以平面的法向量可以为， 则设两平面所成角为，则， 为锐角，所以两平面所成角的余弦值为. 19. 图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面底面，为的中点， ． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若是棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，点为棱的靠近的三等分点； 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据三角形的三线合一定理及面面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理及性质定理即可求解； （Ⅱ）由（Ⅰ）建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标，分别求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求出线面角的余弦值， （Ⅲ）根据（Ⅱ）的空间直角坐标系，得出相关点的坐标，分别求出平面和平面的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求出二面角的余弦值，再结合已知条件即可求解. 【详解】Ⅰ）因为平面平面， 因为是等腰三角形，为的中点，所以， 平面平面,平面 所以平面，平面,所以， 因为，所以， 又,平面, 所以平面，平面,所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，,以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示 有题意可知，，，， 所以，又,, 设平面的一个法向量为,则 则，令，则，所以 又 设直线与平面所成角为,则 , 所以直线与平面所成角的正弦值为. （Ⅲ）假设在棱上存在点，使二面角的余弦值为， 设，则 又， 设平面的一个法向量为则 令则, 又为平面的一个法向量， 设二面角所成的角为，则， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得或（负值舍）. 故存在点为棱的靠近的三等分点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $