学易金卷：高二数学上学期第一次月考（广东专用01，测试范围：人教A版统计概率+空间向量与立体几何+直线和圆的方程）

**基本信息** 覆盖统计概率、立体几何、直线和圆三大模块，解答题融合石榴收购情境与球面三角学创新题型，注重应用能力与创新思维考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|空间向量垂直（1题）、分层抽样（5题）、直线斜率范围（3题）|多选题结合射击概率独立事件（9题），考查逻辑推理| |填空题|3题15分|圆的切线方程（12题）、百分位数与概率（13题）|平行六面体动态最值（14题），体现空间观念| |解答题|5题77分|石榴重量统计分析（16题）、翻折问题线面角（17题）、球面三角学应用（19题）|以会理石榴产业为情境（16题），用数学语言表达现实世界；引入球面几何（19题），发展数学眼光与创新意识|

■■■ ■■ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 r 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C]D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A[B][C][D] 戡 麻 4[A]B][C][D] 8[A][B][C]D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A]B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、 填空题（每小题5分，共15分) 氧 12 13. 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) D B A 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) D O A 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版统计概率+空间向量与立体几何+直线和圆的方程。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，且与互相垂直，则的值是（    ） A．－1 B． C． D． 2．已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 3．已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A． B． C． D． 5．下列命题中是假命题的是（ ） A．一组数据的平均数、众数、中位数相同 B．有三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为9，则样本容量为18 C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲 D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 6．已知二面角的棱l上有A，B两点，直线BD，AC分别在平面内，且它们都垂直于l．若，则异面直线AC与BD所成角为（   ） A． B． C． D． 7．圆上任意一点到直线的距离的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．已知，直线与圆交于两点，若，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，甲是否击中对乙没有影响，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（  ） A．与与，与，与都相互独立 B．与是对立事件 C． D． 10．下列说法正确的是（　　） A．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 11．如图，在正三棱柱中，，点满足，其中，则（    ）    A．当时，与平面所成角为 B．当时，有且仅有一个点，使得 C．当时，平面平面 D．若，则点的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过点与圆相切的直线方程为_______. 13．某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为______． 14．平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知圆 ，过点 的直线 与圆 交于 两点（不重合）. (1)求直线 斜率的取值范围； (2)当 时，求直线 的方程. 16．（15分）会理石榴，凉山彝族自治州会理市特产.会理石榴果大、色艳、皮薄、粒软、味浓、有微香、余味长，含有人体所需的多种维生素和氨基酸，可食部分百分率较高，可溶性固性物含量较高，籽粒“透明晶亮若珍珠，果味浓甜如蜂蜜”，品质佳良.每年月份正是石榴成熟之季，各大网红、电商纷纷前来会理带货石榴.一电商老板收果时要求石榴重量(单位：克)如下：克以下的为次果，克为小果，克为中果，克为大果，克及以上为特大果.为了了解果农家石榴情况，在果园里随机摘取了个石榴称重量（单位：克）并统计分析，绘制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）.    (1)根据频率分布直方图，求图中的值和估计这个石榴的平均重量及第百分位数(每组数据用所在区间的中点值作代表) (2)此电商老板来收购果农家石榴，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该石榴果园中有石榴大约万个，在今年的石榴行情下，电商老板提出以下两种收购方案： 方案①：所有石榴以元/千克收购； 方案②：对重量低于克的石榴以元/个收购，对重量高于或等于克的石榴以元/个收购． 请通过计算确定果农选择哪种方案获利更多？ 17．（15分）如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段PB的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线PB与平面所成角大小； (3)若直线PC与AB所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 18．（17分）已知. (1)若，求的外接圆的方程； (2)若以线段为直径的圆过点(异于点)，直线交直线于点，线段的中点为，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论； (3)若在圆上存在点，使得，求的取值范围. 19．（17分）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图1，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角C-OA-B，A-OB-C，B-OC-A分别为，，，则球面三角形ABC的面积为.    (1)若平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积； (2)将图1中四面体OABC截出得到图2，若平面三角形ABC为直角三角形，，延长AO与球O交于点D，连接BD，CD. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，且，，S为AC的中点，T为BC的中点，设平面OBC与平面EST的夹角为，求的最小值. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版统计概率+空间向量与立体几何+直线和圆的方程。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，且与互相垂直，则的值是（    ） A．－1 B． C． D． 2．已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 3．已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A． B． C． D． 5．下列命题中是假命题的是（ ） A．一组数据的平均数、众数、中位数相同 B．有三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为9，则样本容量为18 C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲 D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 6．已知二面角的棱l上有A，B两点，直线BD，AC分别在平面内，且它们都垂直于l．若，则异面直线AC与BD所成角为（   ） A． B． C． D． 7．圆上任意一点到直线的距离的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．已知，直线与圆交于两点，若，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，甲是否击中对乙没有影响，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（  ） A．与与，与，与都相互独立 B．与是对立事件 C． D． 10．下列说法正确的是（　　） A．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 11．如图，在正三棱柱中，，点满足，其中，则（    ）    A．当时，与平面所成角为 B．当时，有且仅有一个点，使得 C．当时，平面平面 D．若，则点的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过点与圆相切的直线方程为_______. 13．某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为______． 14．平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知圆 ，过点 的直线 与圆 交于 两点（不重合）. (1)求直线 斜率的取值范围； (2)当 时，求直线 的方程. 16．（15分）会理石榴，凉山彝族自治州会理市特产.会理石榴果大、色艳、皮薄、粒软、味浓、有微香、余味长，含有人体所需的多种维生素和氨基酸，可食部分百分率较高，可溶性固性物含量较高，籽粒“透明晶亮若珍珠，果味浓甜如蜂蜜”，品质佳良.每年月份正是石榴成熟之季，各大网红、电商纷纷前来会理带货石榴.一电商老板收果时要求石榴重量(单位：克)如下：克以下的为次果，克为小果，克为中果，克为大果，克及以上为特大果.为了了解果农家石榴情况，在果园里随机摘取了个石榴称重量（单位：克）并统计分析，绘制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）.    (1)根据频率分布直方图，求图中的值和估计这个石榴的平均重量及第百分位数(每组数据用所在区间的中点值作代表) (2)此电商老板来收购果农家石榴，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该石榴果园中有石榴大约万个，在今年的石榴行情下，电商老板提出以下两种收购方案： 方案①：所有石榴以元/千克收购； 方案②：对重量低于克的石榴以元/个收购，对重量高于或等于克的石榴以元/个收购． 请通过计算确定果农选择哪种方案获利更多？ 17．（15分）如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段PB的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线PB与平面所成角大小； (3)若直线PC与AB所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 18．（17分）已知. (1)若，求的外接圆的方程； (2)若以线段为直径的圆过点(异于点)，直线交直线于点，线段的中点为，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论； (3)若在圆上存在点，使得，求的取值范围. 19．（17分）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图1，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角C-OA-B，A-OB-C，B-OC-A分别为，，，则球面三角形ABC的面积为.    (1)若平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积； (2)将图1中四面体OABC截出得到图2，若平面三角形ABC为直角三角形，，延长AO与球O交于点D，连接BD，CD. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，且，，S为AC的中点，T为BC的中点，设平面OBC与平面EST的夹角为，求的最小值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D C A C B C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ACD CD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．【答案】或 13． 14．【答案】/ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）设直线 的斜率为，则直线 的方程为， 因为直线与圆有2个交点，则圆心到直线的距离， 解得，即直线 斜率的取值范围为.（6分） （2）当时，由，可得，解得，（8分） 所以直线方程为，即或.（13分） 16．（15分） 【答案】(1)，平均重量为克，第百分位数为克 (2)选择方案②获利多 【详解】（1）表由题知，解得；（2分） 平均重量：（4分） 由频率分布直方图可知： 前组的频率之和为， 前组的频率之和为， 则第百分位数一定位于内，设第百分位数为， 则，解得；（5分） （2）方案①收入：（元）， 方案②收入：低于克的石榴收入为（元），（7分） 不低于克的石榴收入为（元）， 故方案②的收入（元）；（13分） 由于，所以选择方案②获利多．（15分） 17．（15分）如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段PB的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线PB与平面所成角大小； (3)若直线PC与AB所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 【详解】（1）【取中点为，连接，因为，所以， 又因为，平面，所以平面，又因为平面， 所以.（4分） （2）因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面，所以两两互相垂直， 以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系，     则，， 则， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以， 设直线PB与平面所成角为，则， 又，则， 所以直线PB与平面所成角为，（8分） （3）以为原点，以直线为轴，直线为轴，垂直于平面所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为为等腰三角形，，所以， 则， 设，则， 则， 故， 所以或（舍去）， 所以两两互相垂直， 由（2）知平面的法向量为， 设平面的法向量为，， 则，取，得， 所以.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）由题意知点在所求的圆上， 设圆的方程为：， 可得解得： ， 所以的外接圆的方程为，（4分） （2）相切，证明如下： 以线段为直径的圆的圆心为，半径为， 所以圆的方程为， 设，因为、、三点共线， 可得，，， 所以，所以， 可得，， 所以直线的斜率为， 因为点在圆：上，所以，可得， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为：，即， 圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切.（9分） （3）设，则①， 由可得， 所以②， 由①②可得：，所以， 设，，所以，即， 所以即， 所以， 由可得：或， 由可得：， 因为，所以（17分） 19．（17分 【详解】（1）因为平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，所以， 所以球面三角形面积为．（3分） （2）（ⅰ）由是球的直径，得， 且，平面， 则平面，又平面，则；（6分） （ⅱ）由（ⅰ）知，， 而，平面， 于是平面，由直线与平面所成的角分别为，得， 不妨取，得， 以C为坐标原点，直线分别为x，y轴，过点C作的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，   （8分） 设，则，（10分） ， 则， 设平面法向量，则， 取，得， 设平面法向量，则， 取，得，（13分） 因此 ， 令，则， 于是， 当且仅当时取等号，取最大值， 所以的最小值为.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版统计概率+空间向量与立体几何+直线和圆的方程。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，且与互相垂直，则的值是（    ） A．－1 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以，， 因为与互相垂直， 所以，解得， 故选：D 2．已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点在平面内，且，所以，解得. 故选：D 3．已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示，   若过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率或， ，， 直线的斜率或， 直线斜率的取值范围是，故C正确． 故选：C． 4．已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 依题意得，， 则点到直线的距离为. 故选：A. 5．下列命题中是假命题的是（ ） A．一组数据的平均数、众数、中位数相同 B．有三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为9，则样本容量为18 C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲 D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 【答案】C 【详解】对于A：平均数为，众数为3，中位数为，故A为真命题； 对于B：设样本容量为，则，解得，故B为真命题； 对于C：乙组数据平均数为，其方差为，则这两组数据中较稳定的是乙，故C为假命题； 对于D：，则，故数据的标准差为16，故D为真命题； 故选：C. 6．已知二面角的棱l上有A，B两点，直线BD，AC分别在平面内，且它们都垂直于l．若，则异面直线AC与BD所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 因为，，，，，， 所以， 所以． 因为异面直线AC与BD所成角为，， 所以，所以. 故选：B. 7．圆上任意一点到直线的距离的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心为原点，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以圆上任意一点到直线的距离的最大值为. 故选：C. 8．已知，直线与圆交于两点，若，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【详解】的圆心，半径为， 因为直线，且， 所以直线必过点， 又，所以点在圆内，设为点到直线的距离， 所以，，如图，可得， 则， 因为在上单调递增， 所以当时，，则当时，， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，甲是否击中对乙没有影响，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（  ） A．与与，与，与都相互独立 B．与是对立事件 C． D． 【答案】ACD 【详解】因为两人射击结果没有相互影响，所以与与，与，与都相互独立，故A正确； 因为表示事件“甲中靶且乙未中靶”，表示事件“乙中靶且甲中靶”，所以这两个事件的并集并非全集， 因此二者不是对立事件，故B错误； 因为与相互独立，所以，故C正确； ，故D正确； 故选：ACD. 10．下列说法正确的是（　　） A．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【详解】对于A，直线与直线平行，则，解得， 直线，即， 则与的距离为，选项A正确； 对于B，由两直线互相垂直得，，解得或， 可知“”两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误； 对于C，将直线方程变形为，由得， 则直线过定点，斜率为， 当直线与垂直时，点到直线的距离最大， 因为，所以，选项C正确；     对于D，如图，， 由图可知，当或时，直线与线段有交点，故选项D正确. 故选：ACD． 11．如图，在正三棱柱中，，点满足，其中，则（    ）    A．当时，与平面所成角为 B．当时，有且仅有一个点，使得 C．当时，平面平面 D．若，则点的轨迹长度为 【答案】CD 【详解】对于A：当时，，即与重合， 由正三棱柱的结构特点可知平面， 所以与平面所成角即为，且，所以， 所以与平面所成角为，故A错误；    对于B：取中点，连接，以为原点， 以过平行于方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示， 由题意可知，， 所以， 所以， 所以， 当时，，所以或， 所以满足条件的点有两个，故B错误；    对于C：当，时，， 因为，所以， 又， 设平面的一个法向量为， 所以， 取，则，所以， 因为， 设平面的一个法向量为， 所以， 取，则，所以， 所以，所以， 所以平面平面，故C正确； 对于D：因为，其中，， 所以在右侧面中， 因为平面，且， 所以，所以的轨迹是以为圆心，半径为的半圆， 所以轨迹长度为，故D正确； 故选：CD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过点与圆相切的直线方程为_______. 【答案】或 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径， 过点，斜率不存在的直线方程为，圆心到直线的距离为2，该直线为圆的切线； 过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 当直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，即，解得， 此时切线方程为. 故答案为：或 13．某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为______． 【答案】 【详解】因为，所以这8人成绩的第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即， 若在这8人中随机选取两人，共有28种情况，分别是，，，，，，， 其中两人的成绩都低于的情况有6种， 分别为， 所以在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为. 故答案为：． 14．平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为__________． 【答案】/ 【详解】设，，，    设，则，， 则， 由，，， 可得，， ， 当时，的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知圆 ，过点 的直线 与圆 交于 两点（不重合）. (1)求直线 斜率的取值范围； (2)当 时，求直线 的方程. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）设直线 的斜率为，则直线 的方程为， 因为直线与圆有2个交点，则圆心到直线的距离， 解得， 即直线 斜率的取值范围为. （2）当时，由，可得，解得， 所以直线方程为， 即或. 16．（15分）会理石榴，凉山彝族自治州会理市特产.会理石榴果大、色艳、皮薄、粒软、味浓、有微香、余味长，含有人体所需的多种维生素和氨基酸，可食部分百分率较高，可溶性固性物含量较高，籽粒“透明晶亮若珍珠，果味浓甜如蜂蜜”，品质佳良.每年月份正是石榴成熟之季，各大网红、电商纷纷前来会理带货石榴.一电商老板收果时要求石榴重量(单位：克)如下：克以下的为次果，克为小果，克为中果，克为大果，克及以上为特大果.为了了解果农家石榴情况，在果园里随机摘取了个石榴称重量（单位：克）并统计分析，绘制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）.    (1)根据频率分布直方图，求图中的值和估计这个石榴的平均重量及第百分位数(每组数据用所在区间的中点值作代表) (2)此电商老板来收购果农家石榴，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该石榴果园中有石榴大约万个，在今年的石榴行情下，电商老板提出以下两种收购方案： 方案①：所有石榴以元/千克收购； 方案②：对重量低于克的石榴以元/个收购，对重量高于或等于克的石榴以元/个收购． 请通过计算确定果农选择哪种方案获利更多？ 【答案】(1)，平均重量为克，第百分位数为克 (2)选择方案②获利多 【详解】（1）表由题知 ，解得； 平均重量： 由频率分布直方图可知： 前组的频率之和为， 前组的频率之和为， 则第百分位数一定位于内，设第百分位数为， 则，解得； （2）方案①收入：（元）， 方案②收入：低于克的石榴收入为（元）， 不低于克的石榴收入为（元）， 故方案②的收入（元）； 由于，所以选择方案②获利多． 17．（15分）如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段PB的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线PB与平面所成角大小； (3)若直线PC与AB所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 【详解】（1）【取中点为，连接，因为， 所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以. （2）因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面，所以两两互相垂直， 以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系，     则，， 则， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以， 设直线PB与平面所成角为，则， 又，则， 所以直线PB与平面所成角为， （3）以为原点，以直线为轴，直线为轴，垂直于平面所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为为等腰三角形，，所以， 则， 设，则， 则， 故， 所以或（舍去）， 所以两两互相垂直， 由（2）知平面的法向量为， 设平面的法向量为，， 则，取，得， 所以. 18．（17分）已知. (1)若，求的外接圆的方程； (2)若以线段为直径的圆过点(异于点)，直线交直线于点，线段的中点为，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论； (3)若在圆上存在点，使得，求的取值范围. 【详解】（1）由题意知点在所求的圆上， 设圆的方程为：， 可得解得： ， 所以的外接圆的方程为， （2）相切，证明如下： 以线段为直径的圆的圆心为，半径为， 所以圆的方程为， 设，因为、、三点共线， 可得，，， 所以，所以， 可得，， 所以直线的斜率为， 因为点在圆：上，所以，可得， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为：，即， 圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切. （3）设，则①， 由可得， 所以②， 由①②可得：， 所以， 设，， 所以，即， 所以即， 所以， 由可得：或， 由可得：， 因为，所以 19．（17分）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图1，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角C-OA-B，A-OB-C，B-OC-A分别为，，，则球面三角形ABC的面积为.    (1)若平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积； (2)将图1中四面体OABC截出得到图2，若平面三角形ABC为直角三角形，，延长AO与球O交于点D，连接BD，CD. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，且，，S为AC的中点，T为BC的中点，设平面OBC与平面EST的夹角为，求的最小值. 【详解】（1）因为平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，所以， 所以球面三角形面积为． （2）（ⅰ）由是球的直径，得， 且，平面， 则平面，又平面，则； （ⅱ）由（ⅰ）知，， 而，平面， 于是平面，由直线与平面所成的角分别为， 得， 不妨取，得， 以C为坐标原点，直线分别为x，y轴，过点C作的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，    设，则， ， 则， 设平面法向量，则， 取，得， 设平面法向量，则， 取，得， 因此 ， 令，则， 于是， 当且仅当时取等号，取最大值， 所以的最小值为. / 学科网（北京）股份有限公司 $