精品解析：四川达州市铭仁园中学2026-2027学年九年级上学期开学考试数学试题

四川省达州市铭仁园中学2026-2027学年九年级上学期开学考试数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 中国代表队在第届巴黎奥运会中取得了金银铜的傲人成绩，并在多个项目上获得了突破，以下奥运比赛项目图标中，不是中心对称图形的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形； 本题考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 【详解】解：A．图形是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．图形是中心对称图形，故本选项不符合题意． C．图形是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．图形不是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，根据因式分解的方法（提公因式法和公式法）一一分解因式即可； 【详解】解：A． ，故错误； B． ，故错误； C． 无法在整式范围内分解因式，故错误； D． ，故正确； 故选：D． 3. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：A、在不等式的两边同时减去2，不等式仍成立，即，原变形错误，故本选项不符合题意； B、在不等式的两边同时乘以2，不等式仍成立，即，原变形错误，故本选不项符合题意； C、在不等式的两边同时乘以，不等式的符号方向改变，即，原变形错误，故本选不项符合题意； D、在不等式的两边同时乘以，不等式的符号方向改变，即，在不等式的两边同时加上3，不等式仍成立，即，原变形正确，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 下列命题中，假命题是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 一组对边互相平行、另一组对边长度相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边互相平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：∵两组对边互相平行的四边形是平行四边形，真命题，故A不符合题意； 一组对边互相平行、另一组对边长度相等的四边形不一定是平行四边形，故B符合题意； 如图，，； 由，则， 而， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴一组对边互相平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，真命题，故C不符合题意； 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，真命题，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键． 5. 若一个多边形的内角和与外角和之差是，则此多边形是（ ）边形． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先求出多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式求出边数即可． 【详解】解：∵一个多边形的内角和与外角和之差为720°，多边形的外角和是360°， ∴这个多边形的内角和为720°+360°=1080°， 设多边形的边数为n， 则（n-2）×180°=1080°，解得：n=8， 即多边形的边数为8， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，能列出关于n的方程是即此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和=（n-2）×180°，多边形的外角和等于360°． 6. 《鹊华秋色图》是画家赵孟的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，下列符合题意的方程是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，根据装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，以及设边框的宽度为，列式得，即可作答． 【详解】解：∵装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，以及设边框的宽度为， ∴， 故选：D． 7. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程的解求参数：熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，把代入一元二次方程得到，然后解关于m的一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得：． 故选：C． 8. 如图，已知在平面直角坐标系中，四边形是菱形，其中点B的坐标是，点D的坐标是，点A在x轴上，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先连接 、 相交于点 ，由在菱形 中，点 在 轴上，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，可求得点 的坐标，继而求得答案． 【详解】解：连接，相交于点， 四边形是菱形， ，，， 点在轴上，点的坐标为，点的坐标为， ，轴， ， ， 点的坐标为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是注意菱形的对角线互相平分且垂直． 9. 如图，在中，，平分，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点．连接，则的长为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直角三角形的性质，特殊角的三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的基本作图，角的平分线的意义解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 根据基本作图，得垂直平分线段， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的基本作图，角的平分线的意义，熟练掌握性质是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定了，由矩形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，推出，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ，，即垂直平分， ， ， ， ， 故选D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若分式的值为0，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的值为0，根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，且， 解得； 故答案为：． 12. 如图，在中，以点为圆心、适当长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心、大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点．若周长为，，则的周长为 _______ ． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得出为的平分线是解题关键．根据角平分线的作法和定义得出，再结合平行线的性质得，即可得出，最后求周长即可． 【详解】解：由题意可知为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵周长为， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴的周长为． 13. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACD＝70°，则∠EDC的度数是_____． 【答案】115° 【解析】 【分析】根据∠EDC＝180°﹣∠E﹣∠DCE，想办法求出∠E，∠DCE即可． 【详解】由题意可知：CA＝CE，∠ACE＝90°， ∴∠E＝∠CAE＝45°， ∵∠ACD＝70°， ∴∠DCE＝20°， ∴∠EDC＝180°﹣∠E﹣∠DCE＝180°﹣45°﹣20°＝115°， 故答案为115°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，问题，属于中考常考题型． 14. 如图，在正五边形，以为一边，在内部作正方形，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角的计算，熟记多边形内角和公式是解题关键．分别求出正五边形与正方形每个内角的度数，作差即可得答案． 【详解】解：∵在正五边形，以为一边，在内部作正方形， ∴，， ∴． 故答案为： 15. 如图，菱形中，，对角线与相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，若，则菱形的面积为 __ ． 【答案】60 【解析】 【分析】先根据菱形及直角三角形的性质求出的长，再用勾股定理求的长，进而求出，即可解答． 【详解】解：四边形为菱形， ，，， ，， ，， ， ， 菱形的面积为． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. （1）解方程：； （2）解不等式组 【答案】(1)；(2) 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解分式方程； （1）根据解分式方程的步骤求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）去分母，得， 去括号，得， 解得：， 当时，分母， 故原分式方程的解为； （2）解不等式，得：， 解不等式得：， 则不等式组的解集为． 17. 解下列方程： （1） ； （2）； （3）； 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【小问1详解】 解：整理，得， ∴， ∴或 解得，； 【小问2详解】 解：移项，得， ∴， ∴， 解得，； 【小问3详解】 解：整理，得， ∵， ∴， ∴，． 18. 先化简：，然后再从，，1，2中选取一个合适的数代入求值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据分式有意义的条件选取合适的x的值代入进行计算，即可解题． 【详解】解：原式 ， 分式有意义， ， ， 当时， 原式=． 19. 已知关于x的一元二次方程x2+（2a+1）x+a2＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； （2）若方程有两个相等的实数根，求a的值，并求出这两个相等的实数根． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式直接进行求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式求解a的值，然后代入进行求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程x2+（2a+1）x+a2＝0有两个不相等的实数根， ， 解得：， 即当时，方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 即当时，方程有两个相等的实数根； 把代入原方程得：， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及解法，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式及解法． 20. 如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若求的度数． 【答案】（1） 证明：在中， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的对边相等可得，对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“边角边”证明，故可得出结论； （2）根据平行四边形的性质得，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题． 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是得出，再由全等三角形的性质得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴． 21. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，结合，推出四边形是平行四边形，根据，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，，，根据直角三角形的斜边中线定理可得，，再由勾股定理求出，进而得到，根据可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，，，即为的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 22. 阳光合作社在党委政府的精心指导下，大力发展生态水果蓝莓，助推乡村经济发展．在蓝莓上市期间，某水果店第一次用元购进蓝莓销售；由于蓝莓深受人们喜欢，第一次购进的蓝莓很快售完．该水果店又用元购进这种蓝莓，所购数量与第一次购进数量相同，但每千克的价格比第一次购进的贵了元． （1）该水果店第一次购进蓝莓的进价为多少元/千克？ （2）假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是多少元？ 【答案】（1）元/千克 （2）元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设该水果店第一次购进蓝莓每千克元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元，利用数量＝总价÷单价，结合两次购进蓝莓的数量相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． （2）设每千克蓝莓的售价是元，利用利润＝销售单价×销售数量－进货总价，结合利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该水果店第一次购进蓝莓每千克元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：水果店第一次购进蓝莓的进价为元/千克． 【小问2详解】 设每千克蓝莓的售价是元， 根据题意得：， 解得：， 即y的最小值为． 答：要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是元． 23. 如图，D是异于A，B的一点，在和中，，，，，B、D、E三点不在一条直线上． （1）如图1，连接并延长交于点F． ①证明：； ②求证：； （2）如图2，，，，的延长线交于点F，则的长是______． 【答案】（1） ①证明：如图， ， ， ， 在和中， ， ； ②证明：如图，过点C作交延长线于点G， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）． 【解析】 【分析】（1）①利用“”即可证明； ②过点C作交延长线于点G，利用“”证明，即可证明结论； （2）过点B作交延长线于点K，过点A作交于点H，根据等腰三角形的性质，得到，再根据直角三角形的性质，得到，进而得到，利用勾股定理求得，由（1）同理可证，，，得到，，，然后证明是等边三角形，得到，最后求出，即可求出的长． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 解：如图2，过点B作交延长线于点K，过点A作交于点H， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 由（1）同理可证，，， ，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， , 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，，点A的坐标为．点是线段上一点，连接并延长至D，使，连接． （1）求直线的表达式； （2）若是直角三角形，求点C的坐标； （3）若直线与的边有两个交点，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设点，由中点公式知，可表示三角形三边长，分别以三边为斜边根据勾股定理列方程求解即可； （3）点是线段上一点，可得，，代入，得，可知直线过定点；分别求出直线过点时的值，因为直线与的边有两个交点，结合，即可求m的取值范围． 【小问1详解】 解：，点的坐标为， ∴为等腰直角三角形， ∴点， 将坐标代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为：； 【小问2详解】 解：点是线段上一点，直线的表达式为， 故点， ， 由中点公式知， 作轴于，过作轴于，于， 由勾股定理得：， ， ， 若是直角三角形， 当为斜边时， 则， 解得：（舍去）或， 即点； 当为斜边时， 同理可得： 解得（舍去）或， 点； 当为斜边时， ， 整理得， ∴无实根； 综上，点或； 【小问3详解】 解：点是线段上一点，直线的表达式为， ，， ， ∴直线过定点， 是的中点， 点坐标为，即点坐标为， 当直线过点时，代入函数表达式得： ， 解得：（舍去）或， 直线过点时，代入函数解析式得： （舍）或（舍）， 直线过点时，代入函数解析式得： （舍）， ∵直线与的边有两个交点，且过定点，， ． 25. 按要求完成问题 （1）【课本再现】如图1，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，与相交于点，与相交于点，连接．在正方形绕点旋转的过程中，始终有，请证明这个结论． （2）【迁移应用】如图2，在中，，，点是边的中点，是射线上的动点，过点作的垂线交直线于点，连接． （i）当点在边上，点在边上时，试探究线段，，之间的数量关系．并证明你的结论； （ii）若，，设，，请直接写出与的关系． 【答案】（1）证明：四边形、都是正方形， ，，，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ； （2）（i）结论：， 证明：如图，作矩形，延长交于点，连接， ，， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 垂直平分， ， 在中，， ； （ii） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，利用中，，则可得出答案； （2）（i）作矩形，证出，得到，，进而得到垂直平分，则，在中，根据则可得出答案；（ii）分两种情况：当、分别在线段和上时，当、分别在线段和的延长线上时，利用（1）、（i）结果和勾股定理进行变换可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）解：如图，当、分别在线段和上时， 由（2）的结论可得， 在中，由勾股定理得， ， 设，，则，， ， ， ， ； ②如图，当、分别在线段和的延长线上时， 由（2）的结论可得， 在中，由勾股定理得， ， 设，，则，， ， ， ， ， ， 综上所述，与的关系为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市铭仁园中学2026-2027学年九年级上学期开学考试数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 中国代表队在第届巴黎奥运会中取得了金银铜的傲人成绩，并在多个项目上获得了突破，以下奥运比赛项目图标中，不是中心对称图形的是（     ） A. B. C. D. 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，假命题是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 一组对边互相平行、另一组对边长度相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边互相平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 5. 若一个多边形的内角和与外角和之差是，则此多边形是（ ）边形． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 《鹊华秋色图》是画家赵孟的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，下列符合题意的方程是（    ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 如图，已知在平面直角坐标系中，四边形是菱形，其中点B的坐标是，点D的坐标是，点A在x轴上，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，平分，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点．连接，则的长为（ ） A. B. 6 C. D. 10. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是（ ） A. 6 B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若分式的值为0，则的值为______． 12. 如图，在中，以点为圆心、适当长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心、大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点．若周长为，，则的周长为 _______ ． 13. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACD＝70°，则∠EDC的度数是_____． 14. 如图，在正五边形，以为一边，在内部作正方形，则________． 15. 如图，菱形中，，对角线与相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，若，则菱形的面积为 __ ． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. （1）解方程：； （2）解不等式组 17. 解下列方程： （1） ； （2）； （3）； 18. 先化简：，然后再从，，1，2中选取一个合适的数代入求值． 19. 已知关于x的一元二次方程x2+（2a+1）x+a2＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； （2）若方程有两个相等的实数根，求a的值，并求出这两个相等的实数根． 20. 如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若求的度数． 21. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 22. 阳光合作社在党委政府的精心指导下，大力发展生态水果蓝莓，助推乡村经济发展．在蓝莓上市期间，某水果店第一次用元购进蓝莓销售；由于蓝莓深受人们喜欢，第一次购进的蓝莓很快售完．该水果店又用元购进这种蓝莓，所购数量与第一次购进数量相同，但每千克的价格比第一次购进的贵了元． （1）该水果店第一次购进蓝莓的进价为多少元/千克？ （2）假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是多少元？ 23. 如图，D是异于A，B的一点，在和中，，，，，B、D、E三点不在一条直线上． （1）如图1，连接并延长交于点F． ①证明：； ②求证：； （2）如图2，，，，的延长线交于点F，则的长是______． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，，点A的坐标为．点是线段上一点，连接并延长至D，使，连接． （1）求直线的表达式； （2）若是直角三角形，求点C的坐标； （3）若直线与的边有两个交点，求m的取值范围． 25. 按要求完成问题 （1）【课本再现】如图1，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，与相交于点，与相交于点，连接．在正方形绕点旋转的过程中，始终有，请证明这个结论． （2）【迁移应用】如图2，在中，，，点是边的中点，是射线上的动点，过点作的垂线交直线于点，连接． （i）当点在边上，点在边上时，试探究线段，，之间的数量关系．并证明你的结论； （ii）若，，设，，请直接写出与的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $