精品解析：四川达州市渠县琅琊中学2026-2027学年九年级上学期开学学情自测数学试题

四川省达州市渠县琅琊中学2026-2027学年九年级开学学情自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合. 【详解】解： A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，灵活运用不等式的性质成为解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A． 若，则，故该选项错误，不符合题意； B． 当时，，，故该选项错误，不符合题意； C． 若，当时，，故该选项错误，不符合题意； D． 若，则，故该选项正确，符合题意． 故选D． 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，根据把多项式写出几个整式积的形式叫做因式分解对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、是多项式乘法运算，故此选项不符合题意； B、，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、，不是因式分解，故此选项不符合题意； D、，是因式分解，故此选项符合题意． 故选：D． 4. 平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直平分 【答案】A 【解析】 【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质． 【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立． 故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键． 5. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质推导边与角的关系，再结合角平分线判定等腰三角形，由此求出线段的长，最后利用中位线定理计算出的长度． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，． ． 是的角平分线， ， ， ， ． 是中点，是中点， 是的中位线， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定及三角形中位线定理，重难点为等腰三角形的判定与三角形中位线定理的综合应用． 7. 如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，角的和差，解题的关键是掌握菱形的性质．由菱形的额性质可得：，，推出，由垂直的定义可得：，进而得到，最后根据角的和差求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， 于点，于点， ， ， ， 故选：C． 8. 关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．计算判别式的值，再确定根的情况即可． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若分式的值为0，则x的值为 __ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件解答，即分式的分子等于零，分母不等于零． 【详解】解：由题意可得，且， 解得． 10. 若多项式的一个因式是，则k的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】设另一个因式为x+n，得x2-3x+k=（x-2）（x+n），则x2-3x+k=x2+（n-2）x-2n，据此求出k、n的值各是多少，并把多项式x2-3x+k分解因式即可． 【详解】解：设另一个因式为x+n， ∴x2-3x+k=（x-2）（x+n），即x2-3x+k=x2+（n-2）x-2n， ∴ ， 解得：n=-1，k=2， ∴另一个因式为x+1， 故答案为2 【点睛】此题主要考查因式分解的意义和应用，以及多项式乘多项式的方法，要熟练掌握． 11. 在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为，则点D坐标为 __________ ． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵点的对应点C的坐标为， ，， ∴平移规律为向右平移6个单位，向下平移3个单位， ∴的对应点D的坐标为，即． 12. 已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则m2﹣m的值为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】把x=m代入方程x2-x-2=0得m2-m=2． 【详解】解：∵m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根， ∴把x=m代入方程x2-x-2=0得m2-m=2， 故答案是：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 13. 如图，在矩形中，，．对角线，相交于点．点，分别是，的中点，连接，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质得，，，在中可得，推出，再根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线，，， ∴， ∴， ∴的周长为． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 计算： （1）解一元二次方程： （2）解分式方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用配方法将方程转化为完全平方形式求解，先将常数项移到等式右边，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方（二次项系数为1），最后写成完全平方形式开方即可； （2）观察发现是最简公分母，等式左右两边同时乘去分母后化为整式方程求解，注意分式方程需检验； 本题考查解一元二次方程和解分式方程，熟练掌握配方法和解分式方程的标准步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：移项：， 配方：， ， 开方：， ； 【小问2详解】 解：去分母：， ， ， 检验：将代入得到，， 所以是原方程的根． 15. 已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； 【小问2详解】 解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 16. 如图，四边形中，，连接，的角平分线分别交于点O，E． （1）连接，求证：四边形为菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）如图， ∵， ∴， ∵的角平分线为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，可得四边形为平行四边形，即可求证； （2）根据勾股定理可得的长，再结合菱形的性质可得的长，设，则，在中，利用勾股定理可得的长，可得到的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴． 17. 点E是正方形的对角线上一点，过点E作交于点F，的延长线交于点G，交于点H． （1）如图1，证明：； （2）如图2，若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， 四边形是正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， 又， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD是正方形可得，，则可证明，得到，，再证明，得到，则可证明； （2）先由正方形的性质得到，，，再证明，可得，即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ，，， ∵， ，， ∴，即， 又， ， ， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴轴于A，B两点，点A的坐标为，，过点B的直线与x轴交于点． （1）求直线的解析式及点C的坐标； （2）点D是直线上一点，当的面积为3时，求点D的坐标； （3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2）或 （3）存在，Q点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据含的直角三角形的性质与勾股定理求出，再利用待定系数法即可求解； (2) 设，则，利用含角的直角三角形的性质，得到直角，利用三角形的面积公式，利用解直角三角形的知识，解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法画出符合题意的图形，再利用菱形的性质解答即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， ， 设直线的解析式为， 在直线上， ， 直线的解析式为， 在直线上， ， 直线的解析式为 点C在x轴上， 令，则 ． 【小问2详解】 解：∵ ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵点D在直线上， 不妨设， 则， ∵的面积为3， ∴， ∴， ∴， 解得， 故或． 【小问3详解】 解：存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形， Q点的坐标为或或或．理由： 由题意：，， ， ①过点A作直线，当点Q在直线a上时，如图， 以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形， ， ，； ②当以为一边时，如图， 以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形， ， ③当以为一条对角线时，如图， 以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形， ，， 设， ， 由勾股定理得：， ， ， 综上，存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，Q点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，菱形的性质，分类讨论的思想方法．利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若关于的分式方程有增根，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：去分母，得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程，可得：． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 20. 代数式的最大值为____ ． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， ∵， ∴， ， ∴代数式的最大值为3． 21. 已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． ∵由根与系数的关系可得，， ∴ ， ， ． 22. 如图，在中，，，，点E，F分别为中点，连接并延长，交的外角平分线于点M，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理．根据勾股定理求出的长，根据三角形中位线的性质得出的长，根据结合平分推出，据此即可求出结果． 【详解】解：∵，，， ∴由勾股定理得，， 在中，点E，F分别为中点， ∴，，， ∵连接并延长，交的外角平分线于点M， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ， 故答案为：4． 23. 如图，把边长为5的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，与交于点P，的延长线交于点Q，交的延长线于点M，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】求出，根据旋转的定义得到，，证明，则，得到，设，则，，在中，用勾股定理列方程即可求出答案． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵把边长为5的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形， ∴，， ∵点M在的延长线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得或（不合题意，舍去）， 即． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 中秋节将至，某商店用8000元购进一批月饼礼盒，很快售完，于是商店又用20000元购进了第二批月饼礼盒，所购数量是第一批购进量的两倍，但每个礼盒的进价贵了20元． （1）第二批月饼礼盒每个的进价为多少元？ （2）商店将第二批月饼礼盒的进价提高后售出，预计在中秋节前2天，第二批月饼礼盒有m盒没有售出，商店计划把没有售出的月饼礼盒打八折促销．经核算，剩余的月饼礼盒全部售完后，第二批月饼礼盒的总利润率仍不低于（不考虑其他因素），请求出m的最大值． 【答案】（1）第二批月饼礼盒每个的进价为100元 （2）m的最大值是66 【解析】 【分析】（1）设第二批月饼礼盒每个的进价为x元，则第一批月饼礼盒每个的进价为元，利用数量=总价÷单价，结合第二批所购数量是第一批购进量的两倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）利用数量=总价÷单价，可求出第二批购进月饼礼盒的数量，利用总利润=销售单价×销售数量进货总价，结合第二批月饼礼盒的总利润率不低于，可列出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出分式方程； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【小问1详解】 解：设第二批月饼礼盒每个的进价为x元，则第一批月饼礼盒每个的进价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：第二批月饼礼盒每个的进价为100元． 【小问2详解】 解：第二批购进月饼礼盒的数量为（盒）， 依题意得：， 解得：， 又m为整数， 的最大值为66, 答：m的最大值是66． 25. 阅读下列材料： 已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： （1）若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ． （2）已知实数、满足，求的值． （3）解方程． 【答案】（1），，， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，多项式的乘法，平方差公式与求方程的解； （1）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． （2）设．由已知等式得出，结合可得答案； （3）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质得出答案． 【小问1详解】 解：设最小数为，则， 即：， 设，则， ，， 为正整数， ， ，舍去， 这四个整数为，，，． 故答案为：，，，． 【小问2详解】 设． ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 ， ， 设，则， ， 或， ，， 或， ∴． 26. 在等腰中，，点D在边上． （1）如图1，D是靠近C点的三等分点，N是的中点，连接，，求腰长； （2）如图2，点E在的延长线上，连接交于H，点F在边上，其中，若点G是的中点且，探究与的数量关系并证明； （3）如图3，若，平面内有一动点，满足，平面内有一动点P，满足且，当最大时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2），理由如下： 过D作，交于W，连接，，如图1所示： 则，，， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 点G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）可证得，设，，则，根据列出关于a的方程，求得a，进而得出结果； （2）作，交于W，连接，，可证得，从而，进而得出，从而得出，证明，得出； （3）以为斜边作等腰直角三角形，以O为圆心，为半径作，则过点C和点，作直径，连接，作点P关于的对称点，连接，，，可得出，，，，进而得出，从而求得，根据得出的最大值，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：∵， ， 是的中点， ，， ， ， ∵， ， ， 设， ∵点D是三等分点， ∴，， 根据勾股定理得：， ∴， ，（舍去）， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：以为斜边作等腰直角三角形，如图2所示： ， ， ， ∵，， 以O为圆心，为半径作，则过点C和点， ∴， 作直径，连接，作点P关于的对称点，连接，，， ，，，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 当、O、共线时，， 如图3，作于V， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县琅琊中学2026-2027学年九年级开学学情自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直平分 5. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若分式的值为0，则x的值为 __ ． 10. 若多项式的一个因式是，则k的值为_________． 11. 在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为，则点D坐标为 __________ ． 12. 已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则m2﹣m的值为 _____． 13. 如图，在矩形中，，．对角线，相交于点．点，分别是，的中点，连接，则的周长为______． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 计算： （1）解一元二次方程： （2）解分式方程： 15. 已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求的值． 16. 如图，四边形中，，连接，的角平分线分别交于点O，E． （1）连接，求证：四边形为菱形； （2）若，求的长． 17. 点E是正方形的对角线上一点，过点E作交于点F，的延长线交于点G，交于点H． （1）如图1，证明：； （2）如图2，若，，求的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴轴于A，B两点，点A的坐标为，，过点B的直线与x轴交于点． （1）求直线的解析式及点C的坐标； （2）点D是直线上一点，当的面积为3时，求点D的坐标； （3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若关于的分式方程有增根，则的值为______． 20. 代数式的最大值为____ ． 21. 已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为____． 22. 如图，在中，，，，点E，F分别为中点，连接并延长，交的外角平分线于点M，则______． 23. 如图，把边长为5的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，与交于点P，的延长线交于点Q，交的延长线于点M，若，则_____． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 中秋节将至，某商店用8000元购进一批月饼礼盒，很快售完，于是商店又用20000元购进了第二批月饼礼盒，所购数量是第一批购进量的两倍，但每个礼盒的进价贵了20元． （1）第二批月饼礼盒每个的进价为多少元？ （2）商店将第二批月饼礼盒的进价提高后售出，预计在中秋节前2天，第二批月饼礼盒有m盒没有售出，商店计划把没有售出的月饼礼盒打八折促销．经核算，剩余的月饼礼盒全部售完后，第二批月饼礼盒的总利润率仍不低于（不考虑其他因素），请求出m的最大值． 25. 阅读下列材料： 已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： （1）若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ． （2）已知实数、满足，求的值． （3）解方程． 26. 在等腰中，，点D在边上． （1）如图1，D是靠近C点的三等分点，N是的中点，连接，，求腰长； （2）如图2，点E在的延长线上，连接交于H，点F在边上，其中，若点G是的中点且，探究与的数量关系并证明； （3）如图3，若，平面内有一动点，满足，平面内有一动点P，满足且，当最大时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $