天津市第四十一中学2026-2027学年高三上学期开学考数学试卷

**基本信息** 高三开学数学统练卷，聚焦基础巩固与首轮能力诊断，通过集合、函数、导数等核心模块，考查抽象能力、推理意识及模型应用，适配一轮复习起点学情评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/60|集合子集、函数奇偶性、复数象限|基础题为主，如集合子集个数考查抽象能力| |填空题|9/45|二项式系数、抛物线切线、函数零点|中档题梯度，如抛物线切线结合几何直观| |解答题|3/45|函数定义域、导数单调区间证明|综合题突出推理，如导数切线证明考查逻辑思维|

数学河西四十一26秋高三开学考试卷 2026—2027学年度第一学期高三数学第一次统练 一、单选题(每小题5分，共60分) 1. 己知集合, 则集合C 的子集个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2. 下列条件中、使得“”成立的充分不必要条件是( ) 3. 下列函数中，既是偶函数、又在区间内是增函数的为( 4. 已知（ ） 5. 函数 的图象如图所示，则的解析式可能为( ) 6.若复数z满足（i是虚数单位）,则在复平面内的点在（　　） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 7. 已知=( ) A.25 B.5 C. D. 8.已知则=（ ） 9.已知则= ( )。 10.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，则的大小关系是（） 11.若关于x的不等式 的解集为R, 则实数a的取值范围是( ） 12. 若 则下列说法正确的是( ) A. 函数 为奇函数 B. 函数 在上单调递增 C. D. 函数在上单调递减 二、填空题(每小题5分，共45分) 13. 命题“” 的否定是 。 14.设 若的必要条件，则实数 的取值范围是 。 15. 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是 . (请用数字作答) 16. 随机变量ξ的分布列如表所示，且 = . 17.化简 = . 18.若 = . 19. 若抛物线 上的 一点P 的横坐标是,抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点， 则实数c 的值为 . 20.若则的最小值为___. 21.已知函数,若方程有 4 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是 _______. 三、解答题：(每小题15分，共45分) 22.设函数的定义域为 求集合A; (2)已知函数 不等式 的解集为A (i) 求实数 的值； (ii) 若对恒成立，求实数k 的取值范围. 23.已知。 (1)求的值； (2) 若求的值. 24.已知函数为自然对数的底数)。 (1) 求函数的单调区间； (2)设 处的切线方程为,求证：当时，; (3) 若 ,存在, 使得 求证：当 学科网（北京）股份有限公司 $数学河西四十一中26秋高三开学考答案 2026一2027学年度第一学期高三数学第一次统练答题卷 班级 姓名 成绩 一、 单选题（每小题5分，共60分） 1 3 5 6 7 8 10 11 12 D B D C B A C A C D A 二、填空题（每小题5分，共45分） 13 3x∈Re￥-1≤x 14. 15. 105 [3.土o) 8 16. 17. 18 V1项 19 5 20. V2土1 21. (Q1) 2设函数8四2+元+n(3-)的定义域为A (1)求集合A; (2)已知函数f(x)=x2+ax-2b+1,不等式f(x)<0的解集为A (i)求实数a,b的值； (ii)若对Vx∈[1,2]，f(x)-2+3k≥0恒成立，求实数k的取值范围. 解：1)由题意，自变量×满足： 仔十>8解得-2<x<33分 所以定义域A={x-2<x<3}5分 2)I)由题意及1)知，-2和3是方程x2+ax-2b+1=0的解，由韦达定理得： -2+3=-a,(-2)x3=1-2b, .8分 解得a1.b 10分 (2)根据第一问得函数f(x)=x2一x一6， c∈[1,2)，函数f(c)-2+3k≥0，即f(r)min 2+3k≥0， .12分 由于当c∈[1,2时，函数f(c)单调递增， 所以f(x)min=f(1)=-6,即3k≥8，解得k∈[ +0) .15分 23.已知cos(e+)=2,ue(0,引. (1)求cos的值； (2)若an(c+)=盟，B∈(0，引 求B的值 解：(1)由a∈(0，受)，所以a+3∈（受， )； 又cos(a+号)=3Y 14 所以sina+等)V1-(2)’=是 2分 所以cosa=cos[(a+号)-号]=cos(a+号)cos号+sin 4分 (a+3)sin号 =32×+是×-44 5分 7 (2)由cosa=4y9,且a∈(0，)， 所以sina=V1=c0s2a=V1-(49)'=号： .7分 所以tana=ime=克 =v3 cosa4-12 ..9分 又tan(a+)=5y3 11, tan(a+B)-tana= 所t以tan8=tan[(a+)-a]=+tana+ana 13分 1+普×9 3 又B∈(0，罗)， .15分 所以6=君· 24.已知函数f(x)=xlnx,gx=x(1-ex-1)(x>0),(a∈R,e为自然对数的底数)。 (1)求函数f(x)的单调区间； (2)设g(x)在x=1处的切线方程为y=k(x),求证：当x∈(1，+∞)时，g(X)<k(x): (3)若hx T8,存在<a<彼得)=Aa)=ie 且x2=mx1,求证：当m∈(1,2)时，x2+x3<(2ln2e)x1+1 解：(1)由题意知，∫(x)的定义域为(0，十∞)， 0;当x>0时，y>0, f(z)=In z+1, 2分 所以y=e-(x+1)在(-∞，0)上单调递减，在 令(x>0,得>1；令(x)<0,得 (0,十∞)上单调递增，故y≥e°-(0+1)=0.即 0<r<e 4分 e>x+1(x≠0)， 9分 所以xe-2x+1>x2-2x+1>0,所以 所以(x)的单调递减区间为(0，。)，单调递增区 (x)>0. 10分 间为(。，+∞) 5分 故当x∈(1，十oo)时，g(x)<k(x)得证. (rln r.0<r<1, (2)证明：根据题意，g'(x)=一（x十1)e-1+1,所 (3)证明：由题意可知h(x）= 以g'(1)=-1,而g(1)=0, -xet+r,x≥l, 所以g(x)的图象在点(1,0)处的切线方程为y= 当x≥1时，h'(x)=-(x+1)e-+l, k(x)=-x十1. 7分 令w(x)=h'(.x)=-(.x十1)e1+1,则w'(x)= 令(x)=k(x)-g(x)=xe--2x+1,r∈(1， -(x+2)e1<0,所以h'（x)在[1，+o)上单调 +∞). 递减， 令y=e'-(x+1),则y=e-1,当x<0时，y< 所以h'(x)≤h'(1)<0,所以h(x)在[1，+o)上单 调递减，且h(1)=0,此时h(x)∈(-o∞，0]. 当0<x<1时，结合(1)可知，h(x)在(0，)上单 调递减，在（日1）上单调递增，且a(日)=-， 当0时，A(x)+0,此时k(∈[-日0)， 12分 由题意，设(x)=h(x)=h(x)=∈(-，0）， 作出直线y=一x+1,y=t和函数y=h(x)的大 致图象如图所示， =-x+] y=h() 设直线y=k(x)=一x+1与y=t交点的横坐标 →lnx1=ln(mx1)m→x1=（mx1)m, 且lnx,=mlnm 1-m 所以1=h=‘9·nm,又=mx, 所以x2+x<x2十x=x2+1-t=mx1-1+1= (m+m·nm),+1, 令dm)=m十m·nm, d'(m)=m(m-1)-In mm-m-In m （m-1)2 (m-1)3 令y=lnx-（x-1)(.x>0), 则y=-1=1之， t, 所以当0<x<1时，y'>0,当x>1时y<0,