天津市第二中学2026-2027学年高三年级上学期假期知识阶段性回顾数学试题

**基本信息** 立足高三开学知识回顾，以华罗庚名言、疾病概率等情境融合函数图像、统计概率等核心考点，通过梯度设计检测数学眼光、思维与语言的综合运用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|9/45|集合、命题、函数图像、线性回归|第3题结合文化情境考查数形结合，体现数学眼光| |填空|6/30|复数、二项式定理、解三角形、概率|第13题疾病症状概率计算，强化数学语言表达现实世界| |解答|5/75|解三角形、三角函数、立体几何、导数|19题导数恒成立及证明，20题零点问题论证，突出数学思维的逻辑性与创新意识|

2026-2027（一）天津二中高三年级假期知识阶段性回顾 数学学科试卷 一、单选题（每题5分，共45分） 1．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（ ） A．， B．， C．设，为向量，则“”是“”的必要不充分条件 D．“，”是“”的充分不必要条件 3．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（ ） A． B． C． D． 4．下列有关线性回归分析的六个命题： ①线性回归直线必过样本数据的中心点； ②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线； ③当相关性系数时，两个变量正相关； ④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于1； ⑤残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； ⑥甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好． 其中真命题的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 6．设是数列的前项和，若，则（ ） A．4045 B．4043 C．4041 D．2021 7．若，则的最小值为（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 8．在正方体中，下列说法错误的是（ ） A． B．与所成角为 C．平面 D．与平面所成角为 9．已知双曲线的左右焦点分别为，，是双曲线的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ） A．2 B．4 C． D．3 二、填空题（每题5分，共30分） 10．已知是虚数单位，复数满足，则__________． 11．若在展开式中，若奇数项的二项式系数之和为32，则含的系数是__________． 12．中，角，，的对边分别为，，，若，，，则__________． 13．在秋冬季节，疾病的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病的发病率为5%，病人中18%表现出症状S，疾病的发病率为0.5%，病人中60%表现出症状S则任意一位病人有症状S的概率为__________，病人有症状S时患疾病的概率为__________．（症状S只在患有疾病，，时出现） 14．在平行四边形中，，、分别是线段，的中点．记，，用和表示__________；若延长交于点，，则平行四边形面积的最大值为__________． 15．已知函数，．给出下列四个结论： ①当时，函数有两个极值点； ②当时，函数没有最小值； ③，函数都有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于2． 其中所有正确结论的序号是__________（选对得5分；少选得2分） 三、解答题（本题包含5道题，共75分） 16．（本题14分）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，． （1）求A的值； （2）求的值； （3）求的值． 17．（本题15分）已知函数（其中常数）． （1）若函数的最小正周期是，求的值及函数的单调递增区间； （2）若，，求函数的值域及零点． 18．（本题15分）如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱和棱上，且，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19．（本题15分）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）利用（2）的结论证明：． 20．（本题16分）已知函数． （1）求的单调区间； （2）若有两个正零点，，且． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027(一)天津二中高三年级假期知识阶段性回顾一一数学学科试卷 参考答案 题号 1 2 心 4 6 6 7 9 答案 B D C B B A c D A 1.B 【分析】化简集合，即可根据交集运算求解 【详解】由题知，M={x∈Nx-l<5}={x∈N-4<x<6={,2,3,4,5}, 又集合N={3,4,5,6},所以M∩N={3,4,5} 2.C 【分析】根据相关知识，对各选项逐个判断即可得出， 【详解】对A,根据指数函数的值域可知，e>0恒成立，所以A错误； 对B,取x=2,可知B错误： 对C,“|ab曰alb|”是“a/仍”的充要条件，所以D错误. 对D,“a>1,b>1”→“ab>1”,但“ab>1”“a>1,b>1”,所以D正确： 3.C 【分析】首先判断函数的奇偶性，再取特殊值逐个分析判断即可 【详解】由图象可知，函数图象关于y轴对称，所以函数为偶函数， 对于A,f-x)=sin(-6y=-sim6xsin6x 2-2-2-222=f四，所以f6四是偶函数，当x>0时，令f网=0，则 s血6=0，得x=keN,则当x>0时，酒数的第一个零点为名当0<x<名时，s血6x>0,2r-2r<0, 6 6 所以f(x)<0,所以A不合题意， 对行B,因为水对-学9-份.所队网是布面数，前似不合超 cos6x 时于C因为八-智-四，所以四足两藏，当x0别，令-0.别e6r0 得x=受+gkeW,所以当x>0时，函数的第一个零点为臣当0<x<径时，cos6c>0.2-2>0,所 π 126 以f(x)>0,所以符合题意， 对于D,因为f(-)= sin(-6x)-sin6x sin 6x 2*-2 2-2 2-2 =一f(x),所以f(x)是奇函数，所以不合题意， 4.B 【详解】分析：根据线性回归方程的几何体特征及残差，相关指数的概论，逐一分析四个选项的正误，可得结论 答案第1页，共11页 详解：①线性回归直线必过样本数据中心点x,y),故①正确： ②回归直线方程在散点图中可能不经过任意样本数据点，故②错误： ③当相关性系数r>0时，则两个变量正相关，故③正确： ④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r就越接近于1或-1，故④错误： ⑤残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，回归方程的预报精确度越高，故⑤错误： ⑥甲、乙两个模型的R2分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好，故⑥错误， 真命题的个数为2，故选B. 5.B 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性求解. 【详解】因为1=3°<a=39<3=3,b=eh3=31= 3 c=l0g,9>l0g,8=3, 所以b<a<c. 6.A 【分析】根据a2o22=S222-S221计算可得； 【详解】解：因为Sn=n2+2n, 所以a202=S202-S2021=20222+2×2022-(20212+2×2021）=4045: 7.C 【分析】先代数变形得，+2红-2少+2(x-2列+5，再利用基本不等式即可求解 x-2y y x-2y y 【详解】由题意得：x-2y>0, x+2x=x-2y+2y+2x-4y+4y=1+2y+2(x-2y+4 x-2y y x-2y y x-2y y 2y+2x-21+5≥22y2-245=9. x-2y y Vx-2y y 当2y-2x-2列，即x=3y时，等号成立. x-2y y 8.D 【分析】设正方体ABCD-AB,CD,的棱长为1，以点D为坐标原点，DA、DC、DD所在直线分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误 【详解】设正方体ABCD-AB,CD的棱长为1，以点D为坐标原点，DA、DC、DD所在直 线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 答案第2页，共11页 Z B A 则A1,0,0)、B(1,1,0)、C(0,1,0)、D(0,0,0)、A(1,0,1)、B(1,1,1)、C(0,1,1)、D,(0,0,1), 对于A选项，AD=（-1,0,1),A4C=（-1,1,-1) 则AD·AC=1+0-1=0,所以，AD⊥AC,A对： 对于B选项，DB=(LL,0),则cos AD,DB= AD·DB -11 AD DB2x22 所以，D与BD所成角的大小为了B对： 对于C选项，设平面BDC的法向量为m=（x,,)，DC=(0,1,1), 则 m-DB=x+片=0 取y=-1,则m=(1,-1,) mDC=y+=0 则AD·m=-1+0+1=0,所以，AD⊥m, 又因为AD,t平面BDC,所以，AD∥平面BDC,C对： 对于D选项，设平面ACC℃的法向量为i=（x2,2,z2),CC=(0,0,1),CA=(（1,-1,0), 则 n.CC=z2=0 取x2=1,则万=(1，l,0), iCA=x-y,=0 所以，cos(AD,n)= AD 1 AD2’ 所以，AD与平面ACC所成角为为元，D错 9.A 【分析】结合双曲线的图形，过P作PM⊥x轴，根据题设条件分别表示出F,M,PM,AM=a+2c,然后利用 斜率公式得到关于a,c的等式，进而即可求解. 【详解】 答案第3页，共11页 M 如图，过P作PM⊥x轴，交x轴于M点， 因为∠PF,F=120°，所以∠PE,M=60°，所以∠F,PM=30°； 因为aPFF为等腰三角形，所以FF=PF=2c,所以F,M=c,PM=V3Cc; 因为A是双曲线C的左顶点，所以A(-a,0),所以AM=a+2c, 因为点P在过A且斜率为25的直线上，所以直线PA的斜率为k,25 5 ，即an∠PAM=2V3 5 在△PAM中，tan∠PAM= PM3c AM a+2c' 所以5c-2v5 以a+2c,即5c=4c+2a,即c=2a,所以C的离心率为e=2 io 【分析】化简复数，再由复数的模长公式求解即可. ii(1+i)i-11,i 【详解】因为z(1-)=i,所以z0+2=2+2 所以 11.6 【分析】由题意可知，奇数项的二项式系数之和为2=32，求出=6，然后求出展开式的通项，利用x的指数 为4，求出参数的值，然后将参数的值代入通项，即可求出含x项的系数 【详解】由题意可知，奇数项的二项式系数之和为2=32，解得n=6, 展开式的适项为“( =C(（-1)x6-k, 令6-2k=4,得k=1,因此，展开式中含x的系数为Cg(-1)=6, 12.3V7 7 【分析】先利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可得解 【详解】已知sinB=3sinA,可得b=3a, 根据余弦定理c2=a2+b2-2 abcos C, 答案第4页，共11页 将b=3a,c=3,cosC=cos5=号f代入上式：9=a2+(3a}-2xax3ax) 32 化简得：9=7心，心-号解得：0-37（边长为正，舍去负根 7 13. 0.02/ 50 0.459 20 【分析】根据全概率公式和贝叶斯公式计算可得结果」 【详解】由题意可知：P(D)=0.02,P(D2)=0.05,P(D)=0.005, P(SD)=0.4,P(SD2)=0.18,P(SD)=0.6, 由全概率公式可知： P(S)=P(SD)P(D)+P(S D2)P(D2)+P(S D)P(D,) =0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02, 即任意一位病人有症状$的概率为0.02， 由贝叶斯公式可知： Po,1)-PDSD）_05x018-045. P(S) 0.02 即病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45. 14. - 3V5 4 【分析】先利用中点与共线条件，将点H的位置用参数t表示，并通过向量共线建立方程解出t与入，从 而确定D与DE的表达式；再将已知的Di.DE的值代入，结合ā与b的夹角关系转化为关于x,y的方 程：最后使用基本不等式求出xy的最大值，进而得到平行四边形面积的最大值. 【详解】如图，因为E是BC中点，所以BE=i,A正=ā+b D F B 又F是4中点，救-+，0F=-0=05 2 4 设AH=a,则DF=Ai-AD=ta-b 由DKI共线，Dm=Df,即a-6-径0列 得1-1数m0-6 又DE=i-5,D丽-D6-3a-号a5+6=5+l 答案第5页，共11页 设1ax,16y,则a-6=gyc0sA=ycos2红=-1 3 2少， 代入得4x2+4y+3y2=6(V3+1). 由基本不等式红+3245g,得灯号当且假当-35广-5时等号成立 T行达形面积S=00油4-，故及 35 4 15.①③④ 【分析】当t=0时，利用导数分析函数y=f(x)g(x)的单调性，可判断①②的正误；利用函数的最值与导数的 关系可判断③的正误；取t=-1,利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误. 【详解】对于①，当1=0时，y=f(x)g(x)=(x2-2x)e,则y=(x2-2)e, 由y<0可得-V2<x<V2,由y>0可得x<-V2或x>2, 此时，函数y=(x2-2x)e的增区间为(o,-V2)、(V2,+∞），减区间为(-V2,2) 所以，函数y=f(x)g(x)有两个极值点，①对： 对于②，当x<0或x>2时，y=(x2-2x)e>0,当0<x<2时，y=(x2-2x)e*<0, 故函数y=(x2-2x)e在x=V2处取得最小值，②错： 对于③，y=f(x)+g(x)=x2-2x+e+1,y=2x-2+e, 因为函数y'=2x-2+e'在R上单调递增， 因为yx0=-1<0,yx1=e>0,所以，存在x∈(0，)，使得y=0, 当x<x时，y<0,此时函数y=x2-2x+e+1在(oo,x)上单调递减， 当x>x时，y>0,此时函数y=x2-2x+e+t在(x,+oo)上单调递增， 所以，对任意的实数t,函数y=x2-2x+e+1有最小值，③对； 对于④，令u(x)=x2-2x+e+t,不妨令u(0)=1+t=0,即取t=-1, 由③可知，函数u(x)=x2-2x+e-1在(-o,x)上单调递减，在(x,+oo)上单调递增， 因为x∈(0,1)，则u(x)<u(0)=0,u(2)=e2-1>0, 所以，存在x∈(x,2),使得u(x)=0, 此时函数u(x)的零点之和为x+0=x<2,④对. 故答案为：①③④， 答案第6页，共11页 16(@7g3g45 7 【分析】(1)由正弦定理边角互化即可； (2)由余弦定理计算： (3)利用正弦定理和倍角公式、两角和的正弦公式计算 【详解】(l)由正弦定理以及asin B=√3 bcos 4可得sin AsinB=V3 sin BcosA, 显然smB≠0，得mA=5,由0<4<，故A=骨 (2)由(1)知coM=2且c=2b+1,a=7, 由余弦定理a=+e2-2hcos4得7=+(2b+-2x6(2b+1)-=36+36+1, 解得b=1(b=-2舍去)，故c=3. (3)由正弦定理a=b sin A sin B' 且b=l,a=V7,sinM=5,得snB-bsi4_回 2 a14 因光a>6,所以B为楼角，微a8液，敏28=2如c- 14 14 则cos2B=1-2sin2B=14 11 sin(+2)=sin4cos2B+c0s4sin2 2142147 17.(1)0=2, o[-L2,沿 【分析】(1)利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，结合三角函数的性质计算即可； (2)利用(1)化简得函数解析式，利用整体思想及三角函数的性质求值域与零点即可. 【详a解】(1)由f()-5sn2r+2osor-l=5sn2or+cos20=2sn2or+若 若面数儿创的最小正周期足受则无-o>0叭，即@=2所以心=2n(4:+)】 202 令2版受≤4+爱s2+受解之得好名≤x≤经+受 6 26 212 所似微了心m命端运知区间%[仔经+e列 2)白知：=-2sn2ox+君}若o1,测f创-2s2+8引 则r引味有2r+培[G则r动打 故f(x)∈[-1,2]，函数值域为[-1,2]， 只有sin元=0，即2.x+元=元→x=5n 12 答案第7页，共11页 即函数的零点为 2 18.(1)证明：取BE的中点G,连接FG,DG,则FG1/CC∥AA, 且FG-GE+BB-1+3=2,FGMD且FG=AD, 2 2 则四边形ADGF为平行四边形，∴.AFDG. 又AFC平面BDE,DGC平面BDE, ∴AF∥平面BDE. B D 【分析】(1)取BE的中点G,证明AFDG即可： (2)建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值： (3)向量法求点到平面的距离. 【详解】(1)略 (2)解：直三棱柱ABC-ABC中，AC⊥BC.以C为原点，以CACB,CC,的方向为x轴、y轴、z轴的正方 向建立空间直角坐标系， 则B(0,2,0),E(0,0,2),D(2,01),BE=(0,-2,2),BD=（2,-2,1), i.BE=-2y+2z=0, 设平面BDE的一个法向量为i=(x,y,z),则 i.BD=2x-2y+z=0, 即令y=1,则z=lx-分：得到平面BDE的个法向量= 易知平面ACC,A的一个法向量为m=(0,1,0)。 设平面ACC,A与平面BDE的夹角为0， 答案第8页，共11页 则cos0=cos(m,n m_ x0+1×1+1×0 2 2 m Vg*1+1 :.平面ACCA与平面BDE夹角的余弦值为 2 (3)解：A(2,0,3),AD=(0,0-2), ∴点A到平面BDE的距离= 4D.-2_4 33 2 1 y=- 19.(1)e:(2)m≥二；(3)证明见解析。 e 【分析】(1)求出函数f(x)的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. (2)由不等式恒成立，分离参数构造函数g(x)= _血x,再求出函数的最大值即得 (3)结合(2)的结论得n1<上.L,nN,n>l,再利用不等式的性质推理即得 n en 【详解1D当m0时，函数四，求号符了()则f阿=0，两f伦)= 1 所以曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程为y= e (2)西数田=nx-m的定义城为(0，+o）,f)≤0⊙m≥血x,令g闲=hx 依题意，Vx∈(0，+o),m≥g(x)恒成立， 求号得gC四由g田>0，得0<x<c:由g)<0,得>e 则函数g()在(0，e)上单词递增，在(e,十0)上单润递减，g()=g(e)=】, 1 所以m≥- (3)由(2)知， nr≤<，即Inx≤x,当且仅当x=e时取等号， xe e .111 111 则当neN,n>时n，<,n3e3,n-< 2e2 n e n 答案第9页，共11页 1 因此ln一+ln 3 n e 2 3 所以原不等式成立， 20.()当a≥0时，函数f(x)在R上单调递增： 当a<0时，函数f(x)在(-oo,ln(-a)上单调递减，在(n(-a),+oo)上单调递增 (2)(i)a<-e;(ii)略 【分析】(1)利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间： (2)（i)结合(1)的分析，确定a满足的条件，从而求得a的取值范围： ()通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得x+x2>2. 【详解】(1)函数f(x)=e+ax的定义域为R,求导得f'(x)=e+a, 当a≥0时，f'(x)>0,所以函数f(x)在R上单调递增：. 当a<0时，令f'(x)=0,解得x=ln(-a): 当x∈(-o,ln(-a)时，f'(x)<0,函数f(x)在(-oo,ln(-a)上单调递减， 当x∈(n(-a),+o)时，f'(x)>0,函数f(x)在(n(-a),+oo)上单调递增. 综上所述，当a≥0时，函数(x)在R上单调递增： 当a<0时，函数f(x)在(-oo,ln(-a)上单调递减，在(n(-a),+oo)上单调递增。 (2)(i)由题意知方程e+ax=0有两个不同的正实根x1,x2, 由(1)知a<0,且f(0)=1, [-a+aln(-a)<0 所以 ,解得a<-e. ln(-a)>0 (ii)由(1)得a<-e,所以e=-ax,e=-a2,两边同时取自然对数， =In (-a)+Inx,x2=In (-a)+Inx2, x3-=1, 两式相减得名-名=ln,-lnx,即n,-nx 要证x+为>2，只需证明，龙一无<女+为 Inx2 -Inx 2 答案第10页，共11页 -受1西w>20g0-w≥ 5ee-品 0 所以函数g(t)在(1，+oo)上单调递增， 于是g()>g(1)=0,所以不等式()成立，于是原不等式x+x2>2成立. 答案第11页，共11页