21.2一元二次方程的解法 讲义 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

本讲义聚焦初中数学一元二次方程的解法，系统梳理方程的解的意义、直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及根的判别式、根与系数的关系等核心知识点，构建从基础概念到解法应用的完整学习支架。 资料以题型为纲，通过解题知识梳理、典例示范与变式训练结合，培养学生抽象能力（如根的意义理解）、运算能力（如配方法步骤掌握）和模型意识（如根与系数关系应用）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

第21章 21.2 一元二次方程的解法 内 容 导 航 题型1 一元二次方程的解 题型2 解一元二次方程-直接开平方法 题型3 解一元二次方程-配方法 题型4 解一元二次方程-公式法 题型5 解一元二次方程-因式分解法 题型6 根的判别式 题型7 根与系数的关系 考 点 演 练 题型1 一元二次方程的解 解｜题｜知｜识 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 【典例1】若x＝2027是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【变式1】若x＝m是方程x2+x﹣4＝0的根，则m2+m+2025的值为（　　） A．2025 B．2027 C．2029 D．2030 【变式2】若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣4＝0的一个根是x＝1，则代数式2025﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2021 B．2021 C．2022 D．2029 【变式3】根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　） A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3 题型2 解一元二次方程-直接开平方法 解｜题｜知｜识 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 【典例1】方程x2＝4的解是（　　） A．x1＝x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝1 C．x1＝﹣4，x2＝4 D．x1＝﹣2，x2＝2 【变式1】若一元二次方程（x+6）2＝64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝8，则另一个一元一次方程是（　　） A．x﹣6＝﹣8 B．x﹣6＝8 C．x+6＝8 D．x+6＝﹣8 【变式2】关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x﹣m+2）2+b＝0的解是（　　） A．x1＝0，x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝﹣4，x2＝﹣1 D．无法求解 【变式3】若方程（x﹣1）2＝m+1有解，则m的取值范围是（　　） A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．m为任意实数 D．m＞0 题型3 解一元二次方程-配方法 解｜题｜知｜识 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【典例1】用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0时，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝3 B．（x﹣3）2＝6 C．（x+3）2＝6 D．（x﹣3）2＝12 【变式1】一元二次方程x2﹣4x+3＝0经过配方变形为（x﹣2）2＝k，则k的值是（　　） A．﹣3 B．﹣7 C．1 D．7 【变式2】用配方法解一元二次方程时，需将方程配方化成（x+m）2＝n的形式，一元二次方程x2﹣3x+1＝0用配方法解时化成该形式是 　 ． 题型4 解一元二次方程-公式法 解｜题｜知｜识 （1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 【典例1】若x是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【变式1】定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（　　） A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2 【变式2】若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（　　） A．﹣2 B．4 C．2 D．0 【变式3】（1）计算：； （2）已知关于x的方程（k﹣1）x2+2kx﹣1＝0．请为k取一个正整数值，使得该方程是一元二次方程，并解这个方程． 题型5 解一元二次方程-因式分解法 解｜题｜知｜识 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 【典例1】如图，根据小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2 【变式1】一元二次方程x（x﹣2）＝0的解是（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝x2＝2 D．x1＝1，x2＝2 【变式2】定义一种新运算：a※，例：2※（﹣1）＝22﹣（﹣1）＝5．若x※（﹣2x+1）＝2，则x的值为　 ． 题型6 根的判别式 解｜题｜知｜识 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 【典例1】关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0（a＜0）根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能确定 【变式1】关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2 【变式2】关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　） A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 【变式3】在平面直角坐标系中，若直线y＝kx+1不经过第四象限，则关于x的方程x2+x﹣k＝0的实数根的情况为（　　） A．无解 B．两个不相等的实数根 C．“两个相等的实数根 D．无法确定 题型7 根与系数的关系 解｜题｜知｜识 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 【典例1】已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则的值是（　　） A．1 B． C．﹣1 D． 【变式1】若x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，则x1•的值为（　　） A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或6 【变式2】若m，n是关于x的方程2x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根，则mn的值为（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 【变式3】已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2（k+1）x+k﹣1＝0有两个实数根，下列说法正确的是（　　） A．k的取值范围是且k≠2 B．当k＝3时，方程的两根之和为﹣4 C．若方程有一个根为﹣1，则k＝4 D．当k＝3时，方程的两根之积为﹣4 过 关 验 收 1．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2023﹣2b﹣2a的值为（　　） A．2023 B．﹣2023 C．2024 D．2025 2．已知关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝2（a，b，c均为常数，且a≠0），那么方程a（2x+3）2+b（2x+3）+c＝0的解是（　　） A． B． C． D．无法求解 3．若4a+2b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一根为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣2或2 4．已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，则　 　 ． 5．已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的根，求代数式 m（m﹣1）+5 的值． 6．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）试判断方程是不是“勾系一元二次方程”； （2）求关于x的“勾系一元二次方程”的实数根； （3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积． 7．已知． （1）求m，n的值． （2）若关于x的一元二次方程mx2+bx+n＝0有一个根是1，求b的值． 8．已知一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（　　） A．10 B．10或8 C．9 D．8 9．一元二次方程3x2＝27的解是（　　） A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝﹣3，x2＝3 D． 10．小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下： ∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步） ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步） ∴x（第三步） ∴x1，x2（第四步） （1）小明解答过程是从第 　 　 步开始出错的，其错误原因是 　 ． （2）写出此题正确的解答过程． 11．若关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 12．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c； 其中正确的（　　） A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 13．若a，b是一元二次方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根，则a+b﹣ab的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 14．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根x1，x2，且满足，则m＝（　　） A．﹣3或1 B．1 C．3或﹣1 D．﹣1 15．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝ρ2（ρ为常数）有根的情况下，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 16．若方程x2+5x﹣4＝0的两根为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣9 D．9 17．已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0． （1）求证：不论m任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为x1，x2且满足，求m的值． 18．若x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根，求下列代数式的值． （1）； （2）； （3）； ． 19．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1，x2是方程的两根，且，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 21.2 一元二次方程的解法 内 容 导 航 题型1 一元二次方程的解 题型2 解一元二次方程-直接开平方法 题型3 解一元二次方程-配方法 题型4 解一元二次方程-公式法 题型5 解一元二次方程-因式分解法 题型6 根的判别式 题型7 根与系数的关系 考 点 演 练 题型1 一元二次方程的解 解｜题｜知｜识 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 【典例1】若x＝2027是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】C 【解答】解：方程变形为a（x+2）2+b（x+2）+1＝0， ∵x＝2027是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根， ∴x+2＝2027是关于（x+2）的方程a（x+2）2+b（x+2）+1＝0的一个根， 此时x＝2025， 即关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为2025． 故选：C． 【变式1】若x＝m是方程x2+x﹣4＝0的根，则m2+m+2025的值为（　　） A．2025 B．2027 C．2029 D．2030 【答案】C 【解答】解：∵x＝m是方程x2+x﹣4＝0的根， ∴m2+m﹣4＝0， ∴m2+m＝4， ∴m2+m+2025＝4+2025＝2029， 故选：C． 【变式2】若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣4＝0的一个根是x＝1，则代数式2025﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2021 B．2021 C．2022 D．2029 【答案】B 【解答】解：将x＝1代入方程得a×12+b×1﹣4＝0， ∴a+b＝4， ∴2025﹣a﹣b＝2025﹣4＝2021， 故选：B． 【变式3】根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　） A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3 【答案】B 【解答】解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0， x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0， ∴1.1＜x＜1.2时，x2+12x﹣15＝0， 即方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2， 故选：B． 题型2 解一元二次方程-直接开平方法 解｜题｜知｜识 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 【典例1】方程x2＝4的解是（　　） A．x1＝x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝1 C．x1＝﹣4，x2＝4 D．x1＝﹣2，x2＝2 【答案】D 【解答】解：方程x2＝4的解是：x1＝﹣2，x2＝2， 故选：D． 【变式1】若一元二次方程（x+6）2＝64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝8，则另一个一元一次方程是（　　） A．x﹣6＝﹣8 B．x﹣6＝8 C．x+6＝8 D．x+6＝﹣8 【答案】D 【解答】解：∵（x+6）2＝64， ∴x+6＝8或x+6＝﹣8， 故选：D． 【变式2】关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x﹣m+2）2+b＝0的解是（　　） A．x1＝0，x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝﹣4，x2＝﹣1 D．无法求解 【答案】A 【解答】解：把方程a（x﹣m+2）2+b＝0变形为a[（﹣x﹣2）+m]2+b＝0， 则方程a（x﹣m+2）2+b＝0看作关于（﹣x﹣2）的一元二次方程， ∵a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1， ∴﹣x﹣2＝﹣2或﹣x﹣2＝1， 解得x1＝0，x2＝﹣3， 即方程a（x﹣m+2）2+b＝0的解是x1＝0，x2＝﹣3． 故选：A． 【变式3】若方程（x﹣1）2＝m+1有解，则m的取值范围是（　　） A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．m为任意实数 D．m＞0 【答案】B 【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）2＝m+1有解， ∴m+1≥0， ∴m≥﹣1． 故选：B． 题型3 解一元二次方程-配方法 解｜题｜知｜识 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【典例1】用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0时，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝3 B．（x﹣3）2＝6 C．（x+3）2＝6 D．（x﹣3）2＝12 【答案】B 【解答】解：x2﹣6x+3＝0， x2﹣6x＝﹣3， x2﹣6x+9＝﹣3+9， （x﹣3）2＝6， 故选：B． 【变式1】一元二次方程x2﹣4x+3＝0经过配方变形为（x﹣2）2＝k，则k的值是（　　） A．﹣3 B．﹣7 C．1 D．7 【答案】C 【解答】解：x2﹣4x+3＝0， x2﹣4x＝﹣3， x2﹣4x+4＝﹣3+4， （x﹣2）2＝1， ∴k＝1， 故选：C． 【变式2】用配方法解一元二次方程时，需将方程配方化成（x+m）2＝n的形式，一元二次方程x2﹣3x+1＝0用配方法解时化成该形式是 　（x）2　 ． 【答案】（x）2． 【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0 ∴x2﹣3x＝﹣1， ∴x2﹣3x1， ∴（x）2， 故答案为：（x）2． 题型4 解一元二次方程-公式法 解｜题｜知｜识 （1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 【典例1】若x是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【答案】D 【解答】解：∵x是某个一元二次方程的根， ∴此一元二次方程二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣2，常数项c＝﹣1， ∴这个一元二次方程可以是3x2﹣2x﹣1＝0， 故选：D． 【变式1】定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（　　） A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2 【答案】D 【解答】解：当x≥0时， ∵[x]≤x，2[x]＝x2， ∴[x]x2， ∴x2≤x， ∴0≤x≤2； ①0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0； ②1≤x＜2时，x2＝2，解得x或x（舍）； ③x＝2时，[x]＝2，2[x]＝x2； 当x＜0时， ∵[x]≤x，2[x]＝x2， ∴[x]x2， ∴x2≤x， ∴0≤x≤2与x＜0矛盾； 综上所述：方程的解为x＝0或x＝2或x， 故选：D． 【变式2】若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（　　） A．﹣2 B．4 C．2 D．0 【答案】D 【解答】解：由题意，a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴a+b+c＝3﹣2﹣1＝0， 故选：D． 【变式3】（1）计算：； （2）已知关于x的方程（k﹣1）x2+2kx﹣1＝0．请为k取一个正整数值，使得该方程是一元二次方程，并解这个方程． 【答案】（1）0； （2）k＝2，（答案不唯一）． 【解答】解：（1）原式＝2+1﹣3＝0． （2）取k＝2， 此时方程为x2+4x﹣1＝0， 则Δ＝42﹣4×1×（﹣1）＝20＞0， 所以x， 所以（答案不唯一）． 题型5 解一元二次方程-因式分解法 解｜题｜知｜识 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 【典例1】如图，根据小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2 【答案】B 【解答】解：设这个数为x， 则x2﹣3x+4＝x， x2﹣4x+4＝0， （x﹣2）2＝0， 所以x1＝x2＝2， 则这个数为2． 故选：B． 【变式1】一元二次方程x（x﹣2）＝0的解是（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝x2＝2 D．x1＝1，x2＝2 【答案】B 【解答】解：x（x﹣2）＝0， 可得x＝0或x﹣2＝0， 解得：x1＝0，x2＝2． 故选：B． 【变式2】定义一种新运算：a※，例：2※（﹣1）＝22﹣（﹣1）＝5．若x※（﹣2x+1）＝2，则x的值为　1或　 ． 【答案】1或． 【解答】解：当x≥﹣2x+1，即时， 根据新运算得：x2﹣（﹣2x+1）＝2， 解得x1＝1，x2＝﹣3（不合，舍去）； 当x＜﹣2x+1，即时， 根据新运算得：4x+（﹣2x+1）2＝2， 解得，（不合，舍去）； 综上所述，x的值为1或， 故答案为：1或． 题型6 根的判别式 解｜题｜知｜识 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 【典例1】关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0（a＜0）根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能确定 【答案】C 【解答】解：Δ＝22﹣4×1×a＝4﹣4a． ∵a＜0， ∴﹣4a＞0， ∴4﹣4a＞0，即Δ＞0， ∴关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0（a＜0）有两个不相等的实数根． 故选：C． 【变式1】关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2 【答案】C 【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0， 解得k≥﹣2且k≠0． 故选：C． 【变式2】关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　） A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 【答案】C 【解答】解：由已知得：， 解得：a≥1且a≠5． 故选：C． 【变式3】在平面直角坐标系中，若直线y＝kx+1不经过第四象限，则关于x的方程x2+x﹣k＝0的实数根的情况为（　　） A．无解 B．两个不相等的实数根 C．“两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：∵直线y＝x+k不经过第四象限， ∴k≥0， ∵关于x的方程x2+x﹣k＝0， ∴Δ＝12+4k＞0， ∴关于x的方程x2+x﹣k＝0有两个不相等的实数根． 故选：B． 题型7 根与系数的关系 解｜题｜知｜识 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 【典例1】已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则的值是（　　） A．1 B． C．﹣1 D． 【答案】D 【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2， 则． 故选：D． 【变式1】若x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，则x1•的值为（　　） A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或6 【答案】B 【解答】解：解方程x2+2x﹣3＝0得，x1＝﹣3，x2＝1或x1＝1，x2＝﹣3， ∴x1•3×12＝﹣3或x1•的＝1×（﹣3）2＝9， 故选：B． 【变式2】若m，n是关于x的方程2x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根，则mn的值为（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 【答案】C 【解答】解：由题知， 因为m，n是关于x的方程2x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根， 则根据一元二次方程根与系数的关系得， ． 故选：C． 【变式3】已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2（k+1）x+k﹣1＝0有两个实数根，下列说法正确的是（　　） A．k的取值范围是且k≠2 B．当k＝3时，方程的两根之和为﹣4 C．若方程有一个根为﹣1，则k＝4 D．当k＝3时，方程的两根之积为﹣4 【答案】A 【解答】解：由条件可知k﹣2≠0，即k≠2． 判别式Δ＝[2（k+1）]2﹣4（k﹣2）（k﹣1）＝4（k+1）2﹣4（k﹣2）（k﹣1）＝4（5k﹣1）． ∵有两个实数根， ∴Δ≥0，即 4（5k﹣1）≥0， ∴5k﹣1≥0，即 且 k≠2． A正确，符合题意； B：当 k＝3 时，方程x2+8x+2＝0，方程的两根之和为﹣8≠﹣4，选项错误，不符合题意； C：代入 x＝﹣1，得 （k﹣2）×（﹣1）2+2（k+1）×（﹣1）+（k﹣1）＝k﹣2﹣2k﹣2+k﹣1＝﹣5＜0，关于k的方程无解，选项错误，不符合题意； D：当 k＝3 时，方程x2+8x+2＝0，两根之积为 2≠﹣4，选项错误，不符合题意； 故选：A． 过 关 验 收 1．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2023﹣2b﹣2a的值为（　　） A．2023 B．﹣2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【解答】解：由题意知，a+b+1＝0， ∴a+b＝﹣1， ∴2023﹣2b﹣2a ＝2023﹣2（a+b） ＝2025． 故选：D． 2．已知关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝2（a，b，c均为常数，且a≠0），那么方程a（2x+3）2+b（2x+3）+c＝0的解是（　　） A． B． C． D．无法求解 【答案】B 【解答】解：∵x1＝﹣1，x2＝2是方程ax2+bx+c＝0的解， ∴令2x+3＝x1，2x+3＝x2，满足方程ax2+bx+c＝0，即a（2x+3）2+b（2x+3）+c＝0． ∴2x+3＝﹣1，2x+3＝2， ∴方程a（2x+3）2+b（2x+3）+c＝0的解是，x2＝﹣2， 故选：B． 3．若4a+2b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一根为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣2或2 【答案】C 【解答】解：把x＝2代入关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0得4a+2b+c＝0， 所以若4a+2b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一根为2． 故选：C． 4．已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，则　2025　 ． 【答案】2025． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根， ∴a2﹣2026a+1＝0， ∴a2＝2026a﹣1， 则 ＝2025， 故答案为：2025． 5．已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的根，求代数式 m（m﹣1）+5 的值． 【答案】7． 【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2＝0的根， ∴m2﹣m﹣2＝0， ∴m2﹣m＝2， ∴m（m﹣1）+5 ＝m2﹣m+5 ＝2+5 ＝7． 6．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）试判断方程是不是“勾系一元二次方程”； （2）求关于x的“勾系一元二次方程”的实数根； （3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积． 【答案】（1）是； （2）； （3）2． 【解答】解：（1）根据题意得：，， ∴， ∴， ∴方程是“勾系一元二次方程”； （2）， ∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0， ∴； （3）当x＝﹣1时，有，即， 由条件可知，即， ∴， ∴， ∴a2+b2＝c2＝8，a+b＝4， ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab， ∴42＝8+2ab， ∴ab＝4， ∴． 7．已知． （1）求m，n的值． （2）若关于x的一元二次方程mx2+bx+n＝0有一个根是1，求b的值． 【答案】（1）m的值为4，n的值为5； （2）b的值为﹣9． 【解答】解：（1）∵， ∴， 解得：n＝5， ∴4＝4， ∴m的值为4，n的值为5； （2）依（1）得：该一元二次方程为4x2+bx+5＝0， ∵原方程有一个根是1， ∴4+b+5＝0， ∴b＝﹣9， ∴b的值为﹣9． 8．已知一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（　　） A．10 B．10或8 C．9 D．8 【答案】A 【解答】解：∵（x﹣3）2＝1， ∴x﹣3＝±1， 解得，x1＝4，x2＝2， ∵一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长， ∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2+2，此时不能构成三角形； ②当底边长和腰长分别是2和4时， ∴△ABC的周长为：2+4+4＝10； 故选：A． 9．一元二次方程3x2＝27的解是（　　） A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝﹣3，x2＝3 D． 【答案】C 【解答】解：原方程整理得：x2＝9， x1＝﹣3，x2＝3， 故选：C． 10．小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下： ∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步） ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步） ∴x（第三步） ∴x1，x2（第四步） （1）小明解答过程是从第 　一　 步开始出错的，其错误原因是 a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1　 ． （2）写出此题正确的解答过程． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原方程化为：x2﹣5x﹣1＝0， ∴a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1， 故答案为：一，a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1； （2）∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29＞0． ∴x， ∴x1，x2． 11．若关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝22﹣4（kb+1）＞0， ∴kb＜0， 当k＞0，b＜0时，一次函数经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，一次函数经过第一、二、四象限． 故选：B． 12．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c； 其中正确的（　　） A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 【答案】B 【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确； ②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝0﹣4ac＞0， ∴﹣4ac＞0， 则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确； ③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根， 则ac2+bc+c＝0， ∴c（ac+b+1）＝0， 若c＝0，等式仍然成立， 但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， 则由求根公式可得： x0或x0 ∴2ax0+b或2ax0+b ∴ 故④正确． ⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c成立； ∵由am2+bm+c＝an2+bn+c， ∴a（m2﹣n2）+b（m﹣n）＝0， ∴a（m﹣n）（m+n）+b（m﹣n）＝0， 即（m﹣n）[a（m+n）+b]＝0， ∵m≠n， ∴a（m+n）+b＝0， ∴当a≠0时，存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c成立； 故⑤正确． 故选：B． 13．若a，b是一元二次方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根，则a+b﹣ab的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【解答】解：由条件可知a+b＝﹣1，ab＝﹣2026， ∴a+b﹣ab＝（﹣1）﹣（﹣2026）＝﹣1+2026＝2025． 故选：C． 14．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根x1，x2，且满足，则m＝（　　） A．﹣3或1 B．1 C．3或﹣1 D．﹣1 【答案】B 【解答】解：由条件可得x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5， 则﹣2m+5+4＝m2+6， 即m2+2m﹣3＝0， 解得：m1＝﹣3，m2＝1， ∵原方程有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4•1•（﹣2m+5）＝8m﹣4≥0， 解得m≥0.5， 因此m＝﹣3不满足，舍去， 综上，m＝1， 故选：B． 15．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝ρ2（ρ为常数）有根的情况下，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【答案】C 【解答】解：原方程整理得：x2+x﹣2﹣ρ2＝0， ∴Δ＝12﹣4（﹣2﹣ρ2）＝4ρ2+9＞0， ∴方程有两个不等的实数根， 设方程两个根为x1、x2， ∵x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2﹣p2， ∴两个异号，而且负根的绝对值大． 故选：C． 16．若方程x2+5x﹣4＝0的两根为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣9 D．9 【答案】A 【解答】解：∵方程x2+5x﹣4＝0的两根为x1和x2， ∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣4， ∴x1+x2﹣x1x2 ＝﹣5﹣（﹣4） ＝﹣1， 故选：A． 17．已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0． （1）求证：不论m任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为x1，x2且满足，求m的值． 【答案】（1）证明见解析． （2）． 【解答】（1）证明：Δ＝（4m+1）2﹣4（2m﹣1）＝16m2+5＞0， ∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由根与系数的关系，得x1+x2＝﹣4m﹣1，x1x2＝2m﹣1， ∵，即， ∴①， 解得 m， 经检验得出m是方程①的根， 即m的值为． 18．若x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根，求下列代数式的值． （1）； （2）； （3）； ． 【答案】（1）﹣3； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1）由条件可得， ∴； （2）由条件可得， ∴； （3）由条件可得， ∴； （4）由条件可得， ∴． 19．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1，x2是方程的两根，且，求m的值． 【答案】（1）证明：∵x2+（m+3）x+m+1＝0， 则Δ＝b2﹣4ac＝（m+3）2﹣4×1×（m+1） ＝m2+2m+5 ＝（m+1）2+4＞0， ∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）m1＝﹣7，m2＝3． 【解答】（1）证明：∵x2+（m+3）x+m+1＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac ＝（m+3）2﹣4×1×（m+1） ＝m2+2m+5 ＝（m+1）2+4， ∵（m+1）2≥0， ∴（m+1）2+4＞0， ∴Δ＞0， ∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵， ∴， 又∵x1+x2＝﹣（m+3），x1•x2＝m+1， ∴[﹣（m+3）]2﹣2（m+1）＝28， 整理得：m2+4m﹣21＝0， 解得：m1＝﹣7，m2＝3． 学科网（北京）股份有限公司 $