20.1认识二次根式 同步讲义 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“认识二次根式”核心知识点，系统梳理二次根式的定义（形如√a，a≥0）及有意义的条件（被开方数非负），通过“解题知识-典例-变式-过关验收”的学习支架，构建从概念理解到应用的递进脉络。 资料以题型分类为特色，通过定义辨析题（如判断是否为二次根式）培养抽象能力，借助字母取值范围问题发展推理意识，结合实际情境题（如等腰三角形边长）体现应用意识。课中便于教师分层教学，课后助力学生通过多样练习查漏补缺，强化知识掌握。

第20章 20.1 认识二次根式 内 容 导 航 题型1 二次根式的定义 题型2 二次根式有意义的条件 考 点 演 练 题型1 二次根式的定义 解｜题｜知｜识 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 【典例1】下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列式子中，不属于二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列判断正确的是（　　） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 【变式3】已知a为正整数，且也为正整数，则a的最小值为　 　 ． 题型2 二次根式有意义的条件 解｜题｜知｜识 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【典例1】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1且x≠0 D．x＜1 【变式1】若是整数，则a的值可能是（　　） A．﹣1 B．﹣4 C．4 D．8 【变式2】二次根式中字母x的取值可以是（　　） A．x＝6 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝﹣1 【变式3】若x，y都是实数，且y，则xy的值是（　　） A． B． C．2 D．﹣2 过 关 验 收 1．观察分析，探求规律，然后填空：，2，，，，…，　 　 （请在横线上写出第100个数）． 2．式子有意义，则实数a的取值范围是（　　） A．a≥1 B．a≠2 C．a≥﹣1 且 a≠2 D．a＞2 3．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　 ． 4．已知x，y满足，则x+y的平方根为 　 　 ． 5．已知，则xy＝　 　 ． 6．先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题， 若和在实数范围内都有意义，求x的值． 解：∵和在实数范围内都有意义， ∴x﹣1≥0且1﹣x≥0． 由1﹣x≥0得：x﹣1≤0 ∴x﹣1＝0， ∴x＝1． 问题，若实数x，y满足，求的值． 7．已知|2012﹣a|a，求a﹣20122的值． 8．已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b4，求此三角形的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 20.1 认识二次根式 内 容 导 航 题型1 二次根式的定义 题型2 二次根式有意义的条件 考 点 演 练 题型1 二次根式的定义 解｜题｜知｜识 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 【典例1】下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、的被开方数﹣2＜0，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、是三次根式，故此选项不符合题意； C、的被开方数a2+1＞0，是二次根式，故此选项符合题意； D、的被开方数a﹣1有可能小于0，即当a＜1时不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列式子中，不属于二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、是二次根式，故本选项不符合题意； B、因a2+1＞0，则是二次根式，故本选项不符合题意； C、由于被开方数是负数，所以在实数范围内没有意义，不属于二次根式，故本选项符合题意； D、由于被开方数是正数，是二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】下列判断正确的是（　　） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 【答案】C 【解答】解：A、带根号的式子不一定是二次根式，故此选项错误； B、，a≥0时，一定是二次根式，故此选项错误； C、一定是二次根式，故此选项正确； D、二次根式的值不一定是无理数，故此选项错误； 故选：C． 【变式3】已知a为正整数，且也为正整数，则a的最小值为　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵，且开方的结果是正整数， ∴3a为某数的平方， 又∵3×3＝9，9是满足题意最小的被开方数， ∴a的最小值为3． 故答案为：3． 题型2 二次根式有意义的条件 解｜题｜知｜识 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【典例1】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1且x≠0 D．x＜1 【答案】A 【解答】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴x≠0且x﹣1≥0， 解得x≥1， 故选：A． 【变式1】若是整数，则a的值可能是（　　） A．﹣1 B．﹣4 C．4 D．8 【答案】C 【解答】解：当a＝﹣1，﹣4时，二次根式无意义，故A，B不符合题意； 当a＝4时，2，符合题意； 当a＝8时，2，不符合题意． 故选：C． 【变式2】二次根式中字母x的取值可以是（　　） A．x＝6 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝﹣1 【答案】A 【解答】解：由题意，得x﹣5≥0， 解得x≥5， ∴x可以取6，故A正确． 故选：A． 【变式3】若x，y都是实数，且y，则xy的值是（　　） A． B． C．2 D．﹣2 【答案】C 【解答】解：由题意，得 ， 解得x， ∴y＝﹣1， ∴xy． 故选：C． 过 关 验 收 1．观察分析，探求规律，然后填空：，2，，，，…，　10　 （请在横线上写出第100个数）． 【答案】10 【解答】解：因为2，2， 所以此列数为：，，，，， 则第100个数是：10． 故答案为：10． 2．式子有意义，则实数a的取值范围是（　　） A．a≥1 B．a≠2 C．a≥﹣1 且 a≠2 D．a＞2 【答案】C 【解答】解：由题意得：a+1≥0，且a﹣2≠0， 解得：a≥﹣1，且a≠2， 故选：C． 3．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　﹣1≤x≤1　 ． 【答案】﹣1≤x≤1． 【解答】解：由题意可知：， 解得﹣1≤x≤1， 故答案为：﹣1≤x≤1． 4．已知x，y满足，则x+y的平方根为 　±3　 ． 【答案】±3 【解答】解：根据题意得， 解得x＝1， 所以y＝8，则x+y＝8+1＝9， 而9的平方根为±3． 故答案为：±3． 5．已知，则xy＝　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，2﹣x≥0， ∴x﹣2＝0，即x＝2， ∴y＝3， ∴xy＝23＝8． 故答案为：8． 6．先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题， 若和在实数范围内都有意义，求x的值． 解：∵和在实数范围内都有意义， ∴x﹣1≥0且1﹣x≥0． 由1﹣x≥0得：x﹣1≤0 ∴x﹣1＝0， ∴x＝1． 问题，若实数x，y满足，求的值． 【答案】5． 【解答】解：由题意可得，和在实数范围内都有意义， ∴2x﹣4≥0且4﹣2x≥0， 由4﹣2x≥0得到2x﹣4≤0， ∴2x﹣4＝0， 解得x＝2， ∴， ∴． 7．已知|2012﹣a|a，求a﹣20122的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意得：a﹣2013≥0， 解得：a≥2013， ∴|2012﹣a|a﹣2012a， ∴2012， ∴a﹣2013＝20122， ∴a＝20122+2013， ∴a﹣20122＝20122+2013﹣20122＝2013． 8．已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b4，求此三角形的周长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵、有意义， ∴， ∴a＝3， ∴b＝4， 当a为腰时，三角形的周长为：3+3+4＝10； 当b为腰时，三角形的周长为：4+4+3＝11． 学科网（北京）股份有限公司 $