20.1 认识二次根式 讲义 2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

本讲义聚焦“认识二次根式”核心知识点，系统梳理二次根式的概念（含定义、根指数与被开方数条件）、有意义的条件（被开方数非负）及性质（双重非负性、平方与开方关系等），构建从概念到性质再到应用的学习支架。 资料特色为题型设计结合中考真题与变式练习，通过对比表格培养抽象能力（数学眼光），参数化简题发展推理意识（数学思维），符号表达强化数学语言。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固提升，有效查漏补缺。

20.1 认识二次根式 【新华东师大版】 【题型1 二次根式的概念】 ……………………………………………………………………………………………………2 【题型2 二次根式有意义的条件】 …………………………………………………………………………………………2 【题型3 二次根式的性质】 ……………………………………………………………………………………………………3 【题型4 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】 …………………………………………………………3 知识点1 二次根式的概念 1.定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，“”叫做二次根号，叫做被开方数． 2.拓展： （1）被开方数可以是非负数、单项式、多项式或分式等； （2）若一个式子是二次根式，则需要满足以下条件：①根指数必须是2；②被开方数为非负数. 知识点2 二次根式有无意义的条件 当时，二次根式有意义；当时，二次根式无意义. 知识点3 二次根式的性质 1. （），即二次根式具有双重非负性：. 2. ，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如. 3. ，即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.如：，. 拓展：和的区别与联系 从运算顺序看 先开方，后平方 先平方，后开方 从取值范围看 取任意实数 从运算结果看 意义 表示一个非负数的算术平方根的平方 表示一个实数的平方的算术平方根 【题型1 二次根式的概念】 【例1】（2026遂宁月考）在下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式；解题关键是判断被开方数是否恒为非负数. 【详解】 A、 当时，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、 被开方数-10＜0，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、 因为，故，一定是二次根式，故此选项符合题意； D、 当时，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C. 【变式1-1】（24-25八年级下·四川成都·专题练习）下列各式一定属于二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据形如，这样的式子叫做二次根式，逐项进行判断即可． 【详解】解： A、因为，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、当时，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、因为，故是二次根式，故此选项符合题意； D、当时，则，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】下列各式中，是二次根式的是______________（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥. 【答案】①②⑥ 【分析】本题考查二次根式的识别；关键：被开方数0 【详解】解： ①，7＞0，是； ②，，是； ③，-49＜0，不是； ④，三次根式，不是； ⑤，可能是负数，不是； ⑥，恒为正数，是. 故填：①②⑥ 【变式1-3】下列判断正确的是（ ） A. 带根号的式子一定是二次根式 B. 二次根式的值必定是无理数 C. 式子是二次根式 D. 式子一定是二次根式 【答案】D 【分析】本题考查二次根式概念的辨析；关键：紧扣被开方数0 【详解】解： A、 带根号但被开方数若为负数，则不是二次根式，比如就不是二次根式，故此选项不符合题意； B、 有可能为有理数，比如，就为有理数，故此选项不符合题意； C、 -5＜0，则式子无意义，故此选项不符合题意； D、 m²+3恒为非负数，一定是二次根式，故此选项符合题意. 故选：D 【题型2 二次根式有意义的条件】 【例2】（2025·四川内江·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件：被开方数0；关键：列出相应不等式求解. 【详解】，则 故选：A 【变式2-1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）若式子有意义，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式+分母不为0；关键：被开方数＞0. 【详解】解：若式子有意义，则，即 故填： 【变式2-2】（2025·河南·中考真题）请写出一个使在实数范围内有意义的的值： 【答案】0（答案不唯一，即可） 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；关键： 【详解】解：由题意知：，即，任些一个，如0、1、、……均可. 故填：0（答案不唯一，即可） 【变式2-3】（2025·四川凉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 【答案】 【分析】考查二次根式的意义+分母≠0；关键：被开方数0，分母≠0 【详解】根据题意知：，解得： 故填： 【题型3 二次根式的性质】 【例3】（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式、立方根、幂的运算；关键：， 【详解】解： A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意. 故选：B 【变式3-1】（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为____________ 【答案】1 【分析】本题考查非负数的和为0；平方、算术平方根的非负性；关键：几个非负数的和为0，则这几个数都为0 【详解】解：∵，，且 ∴，且 即：， ∴=（-4+5）²=1²=1 故填：1 【变式3-2】（2022·四川广安·中考真题）若，则以、为边长的等腰三角形的周长为________ 【答案】11或13 【分析】本题主要考查平方及二次根式的非负性，等腰三角形的周长；关键：先求出，，再分类讨论 【详解】解：，且，故，. 腰为3时，3+3+5=11；腰为5时，3+5+5=13.均满足三角形的三边关系. 故填：11或13 【变式3-3】（24-25八年级下·福建莆田·阶段练习）已知实数满足，则的值为_________ 【答案】-1 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，代数式求值；关键：被开方数0，得 【详解】解：∵，∴，∴； ∴= 故填：-1 【题型4 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】 【例4】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查；关键：由去绝对值 【详解】解：，∵，∴＞0， ∴= 故填： 【变式4-1】（2025·新疆伊犁·模拟预测）已知，化简： 【答案】1 【分析】本题主要考查，绝对值的化简；关键：由判断正负号，去掉绝对值 【详解】解：， ∵ ∴，， 故：= 故填：1 【变式4-2】（24-25八年级下·天津和平·期中）若是三角形的三边长，化简 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，二次根式化简；关键：先确定的范围 【详解】解：由是三角形的三边长，知：，即, ∴ 故填： 【变式4-3】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）若化简的结果为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值，二次根式的化简；关键：配方成为完全平方，分段讨论 【详解】解： 分段讨论： ①时，，此时不满足要求； ②时，，当时，原式=-3； ③时， 故选：A 巩固练习 1.要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ） A．x≥1 B．x＞1 C．x≥－1 D．任意实数 【答案】D 【分析】恒成立，取任意实数 2.若二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】，则，实心原点向左 3. 在y＝中，x的取值范围是__________ 【答案】且 【分析】，得且 4. 若代数式有意义，则的取值范围是___________ 【答案】且 【分析】，故且 5. 已知，则代数式的值为________ 【答案】 【分析】，则，，故= 6. 若满足，则的值为_______ 【答案】2026 【分析】由二次根式有意义的条件知：，即， 此时去掉绝对值，原等式变形得：，即 ∴，∴ 7.（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】时，= 8．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ． 【答案】2 【分析】由实数a，b在数轴上的位置知：，，， 故 9.（2026福建泉州高新区期末）阅读下列材料： 式子有意义，则；式子有意义，则，若式子有意义，求的取值范围.这个问题可以转化为不等式组来解决，即求关于的不等式组的解集，解这个不等式组得. 请你运用上述的数学方法解决下列问题： （1）式子有意义，求的取值范围. （2）已知，求的立方根. 【答案】（1）；（2）1 【解析】 解：（1）∵，∴，∴； （2） ∵，∴，， ∴= ∴的立方根，即1的立方根，为 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.1 认识二次根式 【新华东师大版】 【题型1 二次根式的概念】 ……………………………………………………………………………………………………2 【题型2 二次根式有意义的条件】 …………………………………………………………………………………………2 【题型3 二次根式的性质】 ……………………………………………………………………………………………………3 【题型4 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】 …………………………………………………………3 知识点1 二次根式的概念 1.定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，“”叫做二次根号，叫做被开方数． 2.拓展： （1）被开方数可以是非负数、单项式、多项式或分式等； （2）若一个式子是二次根式，则需要满足以下条件：①根指数必须是2；②被开方数为非负数. 知识点2 二次根式有无意义的条件 当时，二次根式有意义；当时，二次根式无意义. 知识点3 二次根式的性质 1. （），即二次根式具有双重非负性：. 2. ，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如. 3. ，即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.如：，. 拓展：和的区别与联系 从运算顺序看 先开方，后平方 先平方，后开方 从取值范围看 取任意实数 从运算结果看 意义 表示一个非负数的算术平方根的平方 表示一个实数的平方的算术平方根 【题型1 二次根式的概念】 【例1】（2026遂宁月考）在下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·四川成都·专题练习）下列各式一定属于二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各式中，是二次根式的是______________（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥. 【变式1-3】下列判断正确的是（ ） A. 带根号的式子一定是二次根式 B. 二次根式的值必定是无理数 C. 式子是二次根式 D.式子一定是二次根式 【题型2 二次根式有意义的条件】 【例2】（2025·四川内江·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）若式子有意义，则的取值范围是 【变式2-2】（2025·河南·中考真题）请写出一个使在实数范围内有意义的的值： 【变式2-3】（2025·四川凉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 【题型3 二次根式的性质】 【例3】（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为____________ 【变式3-2】（2022·四川广安·中考真题）若，则以、为边长的等腰三角形的周长为________ 【变式3-3】（24-25八年级下·福建莆田·阶段练习）已知实数满足，则的值为_________ 【题型4 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】 【例4】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，化简 ． 【变式4-1】（2025·新疆伊犁·模拟预测）已知，化简： 【变式4-2】（24-25八年级下·天津和平·期中）若是三角形的三边长，化简 【变式4-3】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）若化简的结果为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 巩固练习 1.要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ） A．x≥1 B．x＞1 C．x≥－1 D．任意实数 2.若二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在y＝中，x的取值范围是__________ 4. 若代数式有意义，则的取值范围是___________ 5. 已知，则代数式的值为________ 6. 若满足，则的值为_______ 7.（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（ ） A． B．1 C． D． 8．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ． 9.（2026福建泉州高新区期末）阅读下列材料： 式子有意义，则；式子有意义，则，若式子有意义，求的取值范围.这个问题可以转化为不等式组来解决，即求关于的不等式组的解集，解这个不等式组得. 请你运用上述的数学方法解决下列问题： （1）式子有意义，求的取值范围. （2）已知，求的立方根. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $