20.2 二次根式的乘除 讲义 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

本讲义聚焦二次根式的乘除核心知识点，系统梳理乘法法则、积的算术平方根、除法法则、商的算术平方根及最简二次根式，形成“法则-性质-应用”的学习支架，帮助学生逐步构建知识体系。 资料通过5类分层题型设计，如条件判断题培养推理意识，方格实数相乘题发展应用意识，答案解析详细助力课后查漏补缺，有效提升学生抽象能力与数学表达能力，课中辅助教学，课后巩固效果显著。

第20章20.2二次根式的乘除 【新教材华东师大版】 知识点1 二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即． 例如：． 2. 拓展 （1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即． （2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即． 知识点2 积的算术平方根 1. 积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即． 2. 该法则可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，即． 3. 应用：化简二次根式 知识点3 二次根式的除法 1. 二次根式的除法法则 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即． 2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即． 3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即． 知识点4 商的算术平方根 1.商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即． 2. 应用：化简二次根式 知识点5 最简二次根式 1. 被开方数不含分母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式． 2. 化为最简二次根式的步骤 （1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； （2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； （3）利用，使被开方数中不含分母； （4）分母有理化，化去分母中的根号； （5）约分化简，整理成最简二次根式． 【题型1 二次根式乘除成立的条件】 1．如果成立，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2．对于，关于、的取值正确的说法是（   ） A． ， B．  ， C．， D．， 3．若成立，则（    ） A． B． C． D．为任意实数 4．如果成立，那么的取值范围是：______． 5．小路在学习了后， 认为也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的． (1)你认为他的化简对吗？ 如果不对，请写出正确的化简过程； (2)说明成立的条件． 【题型2 二次根式的乘除运算】 1．下列运算正确的是（     ） A．÷ B．÷= C．÷ D．2÷=1 2．下列选项中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．在如图的方格中，要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为___． 4．计算：_______． 5．计算的结果为__________． 6．对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算⊗如下：a⊗b＝，如：3⊗2＝＝，那么8⊗12的运算结果为______． 【题型3 最简二次根式】 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ）． A． B． C． D． 2．下列二次根式中：①；②；③；④；是最简二次根式的是______（填序号）． 3．写出一个小于3的最简二次根式________．（写出一个即可） 4．若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 5．若与最简二次根式可以合并，则的值为_________． 6．若与是被开方数相同的最简二次根式，______. 7．判断下列二次根式是否是最简二次根式，如果不是，请化成最简二次根式． ①    ②   ③   ④ 【题型4 根号内、外的因式互移】 1．把根号外面的因式移到根号内得( ) A． B． C． D．-1 2．把根号外的因式移进根号内，结果等于(    )． A． B． C． D． 3．若m＜0，n＞0，把代数式中的m移进根号内的结果是(　　)． A． B． C． D． 4．把根号外的因式移到根号内结果为______． 5．求把根号外数放到根号内的值______ 【题型5 二次根式的乘除运算】 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 3．若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 4．计算： （1）___________． （2）________________． 5．计算：___________（其中）． 6．若，则化简________ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 第20章20.2二次根式的乘除答案与详细解析 【题型1 二次根式乘除成立的条件】 1．A 【详解】∵， ∴， 解得：﹣3≤x≤3． 故选A． 2．B 【详解】解：当，时，才成立． 3．A 【详解】解：∵二次根式中的被开方数是非负数， ∴ 解得： 当 时，左边 右边 ∴ 等式成立的条件是 ， 故选：A． 4．/ 【详解】解：由题意可得：， 故， ∴的取值范围是， 故答案为：． 5．(1) 解：因为二次根式的被开方数不能小于0，所以他的化简不对．正确的化简过程如下： ． (2)且 【详解】（1）略 （2）解：因为二次根式的被开方数不能小于0、分式的分母不能等于0， 所以成立的条件是且． 【题型2 二次根式的乘除运算】 1．D 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 2．B 【详解】对选项A：∵ ，∴ A错误； 对选项B：∵ ，等式成立 ，∴ B正确； 对选项C：∵ ，∴ C错误； 对选项D：∵ ，， ，∴ D错误． 3． 【详解】解：由题意，第一列和第一行相乘得到同样的结果，即， ∴， 故答案为：． 4． 【详解】解：． 故答案为：． 5． 【详解】解： ∵ ∴原式= 故答案为：． 6．﹣ 【详解】解：8⊗12＝． 故答案为：． 【题型3 最简二次根式】 1．C 【详解】解：A选项：，不是最简二次根式； B选项：，不是最简二次根式； D选项：，不是最简二次根式； C选项：的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式． 2．②③/③② 【详解】解：①，不是最简二次根式； ②满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； ③满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； ④，不是最简二次根式； 综上，是最简二次根式的有②③. 3．（答案不唯一） 【详解】解：满足条件的最简二次根式可以为. 4．5 【详解】∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 5． 【详解】解：化简：， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， 解得： 6． 【详解】解：∵与是被开方数相同的最简二次根式， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 7．①不是最简二次根式，； ②是最简二次根式； ③不是最简二次根式，； ④不是最简二次根式，． 【详解】解：①不是最简二次根式，； ②是最简二次根式； ③，被开方数含有分母，不是最简二次根式，； ④不是最简二次根式，． 【题型4 根号内、外的因式互移】 1．A 【详解】由题意可知a＜0， ∴=-=-． 故选A． 2．D 【详解】试题解析： 故选D. 3．C 【详解】解：， 故选C. 4． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 5． 【详解】解：要使根式有意义，则−≥0，解得a＜0， ∴=−(−a) =−=． 故答案为： 【题型5 二次根式的乘除运算】 1．B 【详解】解：． 2．D 【详解】解：． 故选：D． 3．C 【详解】解：原式 ， 故选：C． 4． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 故答案为：①，②． 5． 【详解】解：按照二次根式乘除法则，先处理系数部分，再处理根式部分： 系数部分运算：； 根式部分运算：； 化简被开方数：； 因此根式部分结果为：； 将系数与根式部分结合：． 故答案为：． 6． 【详解】， ， 故答案为：． $