22.2相似图形初中数学九年级上册同步讲义 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦相似图形核心知识点，系统梳理相似多边形的定义、相似比及性质，从对应角相等和对应边比相等的基本性质出发，延伸至周长比、面积比的应用，通过解题知识、典例及变式题构建学习支架。 资料以生活实例（如复印机放大图片）引导学生用数学眼光观察现实，通过典例变式训练培养推理意识，设置装裱画、矩形裁剪等问题提升应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生强化练习，查漏补缺。

第22章 22.2 相似图形 内 容 导 航 题型1 相似多边形的性质 考 点 演 练 题型1 相似多边形的性质 解｜题｜知｜识 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 【典例1】在学校的科技活动中，同学们使用复印机放大图片．如图，小雨将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后的矩形的宽为9cm，那么放大后的矩形的长为（　　） A．15cm B．18cm C．20cm D．25cm 【变式1】两个相似多边形的周长比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2，则较大多边形的面积为（　　） A．16cm2 B．54cm2 C．32cm2 D．48cm2 【变式2】如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【变式3】下列说法不正确的是（　　） A．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似 B．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2 C．若线段ABcm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则ACcm D．若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3 过 关 验 收 1．如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为4：3，则下列结论正确的是（　　） A．3BC＝4HI B．六边形ABCDEF的周长：六边形GHIJKL的周长＝3：4 C． D．3S六边形ABCDEF＝4S六边形CHIJKL 2．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H等于（　　） A．70° B．80° C．110° D．120° 3．如图，小康利用复印机将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后的长为10cm，则放大后的矩形的面积为（　　） A．60cm2 B．58cm2 C．56cm2 D．50cm2 4．如图，装裱一幅宽45cm、长60cm的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的上下部分宽都为12cm，若装裱上去的左右部分的宽都为xcm（x＜20），则x＝（　　） A．9 B．12 C．16 D．18 5．两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为（　　） A． B． C． D． 6．如图，把矩形ABCD中的AB边向上翻折到AD边上，当点B与点F重合时，折痕与BC边交于点E，连接EF，若四边形EFDC与矩形ABCD恰好相似，若AB＝1时，AD的长为（　　） A． B． C．3 D．1 7．如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（　　） A．2cm2 B．4cm2 C．8cm2 D．16cm2 8．如图，一块矩形ABCD绸布的长AB＝a，宽AD＝1，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（　　） A． B． C．2 D． 9．若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 10．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（　　） A．0.618 B． C． D．2 11．将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 12．已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为18cm，则较大多边形的周长为（　　） A．24cm B．27cm C．28cm D．32cm 13．如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，若∠B＝50°，∠C＝80°，∠A'＝100°，则∠D'＝ 　 　 ． 14．若四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，BC＝5，B1C1＝3，则四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的周长比为　 　 ． 15．如图，已知矩形ABCD与矩形DEFC相似，且AB＝2cm，BC＝5cm，则AE＝ cm． 16．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，剪去一个矩形AEFD后，余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，则CF的长为　 ． 17．如果两个相似多边形面积之比为4：9，则它们的边长之比为 　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章 22.2 相似图形 内 容 导 航 题型1 相似多边形的性质 考 点 演 练 题型1 相似多边形的性质 解｜题｜知｜识 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 【典例1】在学校的科技活动中，同学们使用复印机放大图片．如图，小雨将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后的矩形的宽为9cm，那么放大后的矩形的长为（　　） A．15cm B．18cm C．20cm D．25cm 【答案】A 【解答】解：设放大后的长为xcm． 由题意， 解得x＝15． 经检验x＝15是分式方程的解． 所以放大后的矩形的长为15cm． 故选：A． 【变式1】两个相似多边形的周长比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2，则较大多边形的面积为（　　） A．16cm2 B．54cm2 C．32cm2 D．48cm2 【答案】C 【解答】解：∵两个相似多边形的周长比是3：4， ∴两个相似多边形的相似比是3：4， ∴两个相似多边形的面积比是9：16， ∵较小多边形的面积为18cm2， ∴较大多边形的面积为32cm2， 故选：C． 【变式2】如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【答案】A 【解答】解：A、，对应边成比例，且对应角相等，甲和乙相似，符合题意； B、，乙和丙不相似，不符合题意； C、，乙和丙不相似，不符合题意； D、，乙和丙不相似，不符合题意， 故选：A． 【变式3】下列说法不正确的是（　　） A．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似 B．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2 C．若线段ABcm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则ACcm D．若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3 【答案】A 【解答】解：A．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形不一定相似，则A选项的说法错误，所以A选项符合题意； B．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2，则B选项的说法正确，所以B选项不符合题意； C．若线段ABcm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则ACABcm，则C选项的说法正确，所以C选项不符合题意； D．若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3，则D选项的说法正确，所以D选项符合题意． 故选：A． 过 关 验 收 1．如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为4：3，则下列结论正确的是（　　） A．3BC＝4HI B．六边形ABCDEF的周长：六边形GHIJKL的周长＝3：4 C． D．3S六边形ABCDEF＝4S六边形CHIJKL 【答案】A 【解答】解：A∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为4：3， ∴，即3BC＝4HI，正确，符合题意； B、六边形ABCDEF的周长：六边形GHIJKL的周长＝4：3，原说法错误，不符合题意； C、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL， ∴∠E＝∠K，原说法错误，不符合题意； D、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为4：3 ∴， ∴9S六边形ABCDEF＝16S六边形CHIJKL，原说法错误，不符合题意， 故选：A． 2．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H等于（　　） A．70° B．80° C．110° D．120° 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°， ∴∠E＝∠A＝80°，∠G＝∠C＝90°， ∴∠H＝360°﹣∠E﹣∠F﹣∠G＝360°﹣80°﹣70°﹣90°＝120°， 故选：D． 3．如图，小康利用复印机将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后的长为10cm，则放大后的矩形的面积为（　　） A．60cm2 B．58cm2 C．56cm2 D．50cm2 【答案】A 【解答】解：设放大后的宽是xcm， ∵放大前后的两个矩形相似， ∴5：10＝3：x， ∴x＝6， ∴放大后的宽是6cm， 放大后的矩形的面积＝10×6＝60（cm2）． 故选：A． 4．如图，装裱一幅宽45cm、长60cm的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的上下部分宽都为12cm，若装裱上去的左右部分的宽都为xcm（x＜20），则x＝（　　） A．9 B．12 C．16 D．18 【答案】A 【解答】解：根据题意，大矩形的长为：60+12×2＝84（cm），宽为：（45+2x）cm， ∵大矩形与原矩形画相似， ∴或， 解得，x＝9或x＝33.5＞20（不符合题意，舍去）， 检验，当x＝9时，原分式方程的分母不为0，有意义， ∴x＝9， 故选：A． 5．两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm， ∴它们的相似比为：． 故选：A． 6．如图，把矩形ABCD中的AB边向上翻折到AD边上，当点B与点F重合时，折痕与BC边交于点E，连接EF，若四边形EFDC与矩形ABCD恰好相似，若AB＝1时，AD的长为（　　） A． B． C．3 D．1 【答案】A 【解答】解：∵AB＝1， 设AD＝x，则FD＝x﹣1，FE＝1， ∵四边形EFDC与矩形ABCD相似， ∴，， 解得x1，x2（不合题意舍去）， 经检验x1是原方程的解． 故选：A． 7．如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（　　） A．2cm2 B．4cm2 C．8cm2 D．16cm2 【答案】C 【解答】解：长为8cm、宽为4cm的矩形的面积是32cm2， 留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似， 相似比是4：8＝1：2， 因而面积的比是1：4， 因而留下矩形的面积是328cm2． 故选：C． 8．如图，一块矩形ABCD绸布的长AB＝a，宽AD＝1，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解答】解：∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， ∴， 解得a或（舍弃）， ∴a， 故选：B． 9．若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解答】解：设这个多边形的最短边长为x， ∵两个多边形相似， ∴， 解得，x＝8， 故选：B． 10．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（　　） A．0.618 B． C． D．2 【答案】C 【解答】解：∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，各种开本的矩形都相似， ∴（）2＝2， ∴． 故选：C． 11．将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【解答】解：由题意得，等边三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似； 菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以菱形相似； 矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以矩形不一定是相似多边形； 正方形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形相似． 故选：C． 12．已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为18cm，则较大多边形的周长为（　　） A．24cm B．27cm C．28cm D．32cm 【答案】A 【解答】解：两个相似多边形的面积比是9：16， ∴两个相似多边形的相似比是3：4， ∴两个相似多边形的周长比是3：4， 设较大多边形的周长为xcm， 由题意得，18：x＝3：4， 解得，x＝24， 故选：A． 13．如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，若∠B＝50°，∠C＝80°，∠A'＝100°，则∠D'＝ 　130°　 ． 【答案】130° 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴∠A＝∠A'＝100°， 又∵∠B＝50°，∠C＝80°， ∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣100°﹣50°﹣80°＝130°， 故答案为：130°． 14．若四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，BC＝5，B1C1＝3，则四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的周长比为　5：3　 ． 【答案】5：3． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，BC＝5，B1C1＝3， ∴相似比为BC：B1C1＝5：3， ∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的周长比为5：3． 故答案为：5：3． 15．如图，已知矩形ABCD与矩形DEFC相似，且AB＝2cm，BC＝5cm，则AE＝　　 cm． 【答案】． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且AB＝2cm，BC＝5cm， ∴CD＝AB＝2cm，AD＝BC＝5cm， 设AE＝x，则DE＝AD﹣AE＝5﹣x， ∵矩形ABCD与矩形DEFC相似， ∴，即， 解得， 即AE的长为． 故答案为：． 16．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，剪去一个矩形AEFD后，余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，则CF的长为　1　 ． 【答案】1 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝2，AB＝DC＝4， ∵四边形EFBC是矩形， ∴EF＝BC＝2，CF＝BE， ∵余下的矩形EBCF∽矩形BCDA， ∴， 即， ∴CF＝1， 故答案为：1． 17．如果两个相似多边形面积之比为4：9，则它们的边长之比为 　2：3　 ． 【答案】2：3． 【解答】解：∵两个相似多边形面积比为4：9， ∴两个相似多边形相似比为2：3， 故答案为：2：3． 学科网（北京）股份有限公司 $