24.1在重复试验中观察随机现象 同步讲义 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“在重复试验中观察随机现象”核心内容，系统梳理随机事件（含确定事件中的必然事件、不可能事件）、可能性大小（理论计算与实验估算）、游戏公平性（概率比较）等知识点，构建从事件分类到概率应用的递进式学习支架。 资料以题型为纲，典例与变式结合生活实例（如“守株待兔”辨随机事件、摸球实验估可能性），培养数学眼光；解题知识逻辑清晰（如事件概率范围、列表法算概率），发展推理意识；游戏公平性问题需用概率语言分析，提升数学表达。课中辅助教师系统教学，课后过关验收助学生查漏补缺。

第24章 24.1 在重复试验中观察随机现象 内 容 导 航 题型1 随机事件 题型2 可能性的大小 题型3 游戏公平性 考 点 演 练 题型1 随机事件 解｜题｜知｜识 （1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 【典例1】下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A．守株待兔 B．水涨船高 C．水中捞月 D．缘木求鱼 【变式1】下列事件中，属于随机事件的是（　　） A．四边形的外角和大于360° B．三角形中两个锐角的和小于90° C．平行四边形对边相等 D．圆有无数条对称轴 【变式2】下列事件是必然事件的是（　　） A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．任意画一个三角形，其内角和是360° D．通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰 【变式3】现有12个同类产品，其中有10个正品，2个次品，从中任意抽取3个，则下列事件为必然事件的是（　　） A．3个都是正品 B．至少有一个是次品 C．3个都是次品 D．至少有一个是正品 题型2 可能性的大小 解｜题｜知｜识 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 【典例1】小红在一个袋子里摸球，袋子里的球除颜色外完全相同，她每次任意摸出一个球，然后放回摇匀，摸了10次，摸到白球8次．她从下面（　　）袋子摸球的可能性大． A． B． C． D． 【变式1】下列说法中，正确的是（　　） A．平行四边形是轴对称图形 B．ax2+bx+c＝0是关于x的一元二次方程 C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．连续九次抛掷同一枚质地均匀的硬币都是反面朝上，第十次抛掷该硬币，正面朝上的可能性大于80% 【变式2】投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是（　　） A． B． C． D． 【变式3】在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将1个标有“北斗”，5个标有“天眼”，3个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（　　） A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大 C．摸出“高铁”小球的可能性最大 D．摸出三种小球的可能性相同 题型3 游戏公平性 解｜题｜知｜识 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率． 【典例1】如图，把可以自由转动的圆形转盘A，B分别分成3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字．小明和小颖两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针两区域的数字均为奇数，则小明胜；若指针两区域的数字均为偶数，则小颖胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由． 过 关 验 收 1．请指出在下列事件中，是随机事件的有 　 　 ．（填序号） ①通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰； ②随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数； ③购买1张彩票，中奖； ④明天太阳从东方升起． 2．在一个不透明的袋子里，装有9个大小和形状一样的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个． （1）当n为何值时，这个事件必然发生？ （2）当n为何值时，这个事件不可能发生？ （3）当n为何值时，这个事件可能发生？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24章 24.1 在重复试验中观察随机现象 内 容 导 航 题型1 随机事件 题型2 可能性的大小 题型3 游戏公平性 考 点 演 练 题型1 随机事件 解｜题｜知｜识 （1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 【典例1】下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A．守株待兔 B．水涨船高 C．水中捞月 D．缘木求鱼 【答案】A 【解答】解：A、是随机事件，故A符合题意； B、是必然事件，故B不符合题意； C、是不可能事件，故C不符合题意； D、是不可能事件，故D不符合题意； 故选：A． 【变式1】下列事件中，属于随机事件的是（　　） A．四边形的外角和大于360° B．三角形中两个锐角的和小于90° C．平行四边形对边相等 D．圆有无数条对称轴 【答案】B 【解答】解：A、选项事件是不可能事件，不符合题意； B、选项事件是随机事件，符合题意； C、选项事件是必然事件，不符合题意； D、选项事件是必然事件，不符合题意． 故选：B． 【变式2】下列事件是必然事件的是（　　） A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．任意画一个三角形，其内角和是360° D．通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰 【答案】D 【解答】解：A、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； B、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件，不符合题意； D、通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰，是必然事件，符合题意． 故选：D． 【变式3】现有12个同类产品，其中有10个正品，2个次品，从中任意抽取3个，则下列事件为必然事件的是（　　） A．3个都是正品 B．至少有一个是次品 C．3个都是次品 D．至少有一个是正品 【答案】D 【解答】解：A，B，C的概率都不为1，为不确定事件，即随机事件，不符合题意． 而D项的概率为1．当任意抽取3个产品时，因为次品总数为2个，所以一定可以取得一个正品，所以事件“至少有一个正品”一定能够发生，则D为必然事件． 故选：D． 题型2 可能性的大小 解｜题｜知｜识 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 【典例1】小红在一个袋子里摸球，袋子里的球除颜色外完全相同，她每次任意摸出一个球，然后放回摇匀，摸了10次，摸到白球8次．她从下面（　　）袋子摸球的可能性大． A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、袋中白球4个，黑球1个，白球数量多； B、袋中白球1个，黑球3个，黑球数量多； C、袋中白球2个，黑球2个，数量相等； D、袋中白球0个，黑球4个，无白球； 故选：A． 【变式1】下列说法中，正确的是（　　） A．平行四边形是轴对称图形 B．ax2+bx+c＝0是关于x的一元二次方程 C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．连续九次抛掷同一枚质地均匀的硬币都是反面朝上，第十次抛掷该硬币，正面朝上的可能性大于80% 【答案】C 【解答】解：A、平行四边形是中心称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、ax2+bx+c＝0（a≠0）是关于x的一元二次方程，故该选项不符合题意； C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故该选项符合题意； D、连续九次抛掷同一枚质地均匀的硬币都是反面朝上，第十次抛掷该硬币，正面朝上的可能性与反面朝上的可能性是一样大，故该选项不符合题意；． 故选：C． 【变式2】投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是． 故选：B． 【变式3】在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将1个标有“北斗”，5个标有“天眼”，3个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（　　） A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大 C．摸出“高铁”小球的可能性最大 D．摸出三种小球的可能性相同 【答案】B 【解答】解：∵某科技活动小组将1个标有“北斗”，5个标有“天眼”，3个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，5＞3＞1， ∴小红从盒中随机摸出1个小球，摸出“天眼”的可能性最大． 故选：B． 题型3 游戏公平性 解｜题｜知｜识 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率． 【典例1】如图，把可以自由转动的圆形转盘A，B分别分成3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字．小明和小颖两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针两区域的数字均为奇数，则小明胜；若指针两区域的数字均为偶数，则小颖胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：这个游戏规则对双方公平， 如图所示： 共9种情况，其中均为偶数的有2种结果，均为奇数的情况数有2种， 所以小明获胜的概率为、小颖获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏规则对双方公平． 过 关 验 收 1．请指出在下列事件中，是随机事件的有 　②③　 ．（填序号） ①通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰； ②随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数； ③购买1张彩票，中奖； ④明天太阳从东方升起． 【答案】②③． 【解答】解：通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰，①是必然事件； 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②是随机事件； 购买1张彩票，中奖，③是随机事件； 明天太阳从东方升起，④是必然事件； 故答案为：②③． 2．在一个不透明的袋子里，装有9个大小和形状一样的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个． （1）当n为何值时，这个事件必然发生？ （2）当n为何值时，这个事件不可能发生？ （3）当n为何值时，这个事件可能发生？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当n＞6时，即n＝7或8或9时，这个事件必然发生； （2）当n＜3时，即n＝1或2时，这个事件不可能发生； （3）当3≤n≤6时，即n＝3或4或5或6时，这个事件可能发生． 学科网（北京）股份有限公司 $