专题04 射影定理与三角形内接矩形模型（几何模型讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

该初中数学几何模型讲义通过“模型提炼-知识储备-例讲应用”的框架系统梳理射影定理与三角形内接矩形模型，依托相似三角形原理，用几何图形推导过程图呈现射影定理的三组比例线段关系，通过对比表格归纳内接矩形模型中相似比与高的关系，突出直角三角形线段计算和面积最值等重难点的内在逻辑。 讲义亮点在于分层递进的“问题探究”练习设计，如射影定理从基础证明到综合几何题的拓展，内接矩形模型结合二次函数求面积最值，培养推理能力与模型意识。每个模型配有中考真题示例和解题步骤拆解，基础学生能掌握相似比应用，优秀学生可突破动态几何综合题，为教师实施精准复习提供清晰教学路径。

专题04 射影定理与三角形内接矩形模型（几何模型讲义） 直角三角形斜边上的高，衍生出三组比例线段，这便是射影定理。它依托相似三角形推导而来，是平面几何高频二级结论，常用于线段长度计算、比例证明、几何综合题。掌握射影定理，能够快速建立线段等量关系，简化复杂推导，是解决直角三角形综合题型的重要工具。 三角形内接矩形模型，以三角形内部作矩形为基本图形，依托平行线构造A型相似三角形进行求解。该模型是相似三角形典型应用，常结合线段长度、面积最值出题。解题核心是利用相似三角形对应高之比等于相似比，建立方程，实现几何问题代数化，是中考相似综合题型的常见载体。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1. 射影定理 2 模型2. 三角形内接矩形模型 6 模型运用 10 直角三角形作斜边上的高线，一条高线分割大直角三角形，诞生两个小直角三角形，三个三角形两两相似。“射影”含义：直角边向斜边作投影（、就是两条直角边在斜边上的射影），故此得名射影定理。解题时注意不能直接使用，需要先证明相似；选择、填空可以直接秒杀计算。 射影定理由直角三角形斜边上的高构造两两相似的直角三角形推导得出，借助相似三角形边长比例变形得到线段乘积关系。它是相似三角形重要衍生结论，是直角三角形线段计算强有力工具。 中国《 《九章算术》·勾股章》：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”即直角三角形中内接正方形的边长。刘徽用“出入相补”证得 。这是矩形退化为正方形的最早文字记录。在任意三角形的一条边上安放矩形的一边，矩形剩余两个顶点落在三角形另外两条边上，形成“大三角形内部嵌套矩形”的固定图形。特殊形式：矩形邻边相等，就演变为三角形内接正方形，是本模型特例。 三角形内接矩形模型来源于A型相似三角形。利用矩形对边平行，得到上方小三角形与原三角形相似，借助相似比与对应高的关系建立方程。该模型既可计算线段长度，也常结合二次函数求解面积最值，是相似三角形综合应用的经典载体。 如图，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）． 模型1. 射影定理 【模型提炼】 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D， 则△ABD∽△CAD∽△CBA，则，，。 【模型运用】 【典例1】（2026•宿豫区二模）某数学兴趣小组的同学对三角形的相似进行了深入研究． （1）【观察发现】 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则AC2＝AD•AB，请证明； （2）【灵活运用】 如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠AEC＝∠ABC时，请判断△AEB的形状，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2，，平面内一点D，满足AD＝AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB＝∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时．求线段CE的长． 【典例2】（2026•日照二模）【问题探究】 （1）在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D． ①如图1，若，求的值； ②如图2，点F在CD的延长线上，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE＝∠AFC时，求证：； （2）【问题解决】 为提升城市绿化品质，某市计划在新区建设一座生态公园．公园设计包含一片人工湖和多个休闲广场，其中一处广场形状为直角三角形区域ABC（如图3），∠ACB＝90°，AC＝30m，．为增强景观的连贯性，设计师计划在广场外选取一点D，建造一座景观桥AD，满足AD＝AC．在点A和点B处设置游客休息区，并修建仿古长廊BE和小路CE，点E在CD的延长线上，且∠CEB＝∠CBD，连接BD．经测算，当仿古长廊BE的长度最短时，成本最小，请你帮助设计师求出当仿古长廊BE最短时，小路CE的长度．（小路、仿古长廊、景观桥的宽度均忽略不计） 【典例3】（2026•贵州一模）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝6． 【问题解决】 （1）如图①，过点A作AD⊥BC，垂足为D．则BD的长度是　3　 ，∠DAC的度数是　45　 度； 【问题探究】 （2）如图②，点E，F分别是BC边、AC边上的动点，且．过点F作FG⊥BC，垂足为G．在点E运动过程中，线段EG的长度是否会发生改变？说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，在（2）的条件下，点H是AB边的中点，分别过点B，C作AB，AC的垂线，相交于点M，连接EM，EH．当HE+EF的值最小时，求的值． 【典例4】（2026•通许县一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． 【拓展探究】如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D． （1）兴趣小组的同学得出AC2＝AD•AB．理由如下： ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠B＝①　 ． ∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴②　 ， ∴AC2＝AD•AB． 请完成填空； （2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE＝∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由． （3）【学以致用】如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝1，，平面内一点D，满足AD＝AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB＝∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时．请直接写出线段CE的长． 模型2. 三角形内接矩形模型 【模型提炼】 在△ABC中，四边形DEFG为矩形， 结论：△AGF∽△ABC， 【模型运用】 【典例1】（2026•柳江区模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CH⊥AB于H，矩形DEFG的四个顶点都在△ABC的边上，设DE＝x． （1）CH＝　 ； （2）EF＝　 （用含x的代数式表示）； （3）设矩形DEFG的面积为S，求S的最大值． 【典例2】（2026•龙凤区校级模拟）如图，有一块三角形余料，它的边BC＝100m，高线AH＝80m，要把它加工成矩形零件．使矩形的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在边AB，AC上，设矩形DEFG的一边长DE＝xm，矩形DEFG的面积为Sm2． （1）求S关于x的函数表达式？ （2）当x为多少时，矩形DEFG的面积S有最大值？最大值是多少？ 【典例3】（2026•南京一模）材料：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法， 例：求x2+2x+5的最小值； 解：令x2+2x+5＝y ∴x2+2x+（5﹣y）＝0 ∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0， ∴y≥4，∴x2+2x+5的最小值为4． 请利用上述方法解决下列问题： 如图，在△ABC中，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．设EQ＝x． （1）用含x的代数式表示EF的长； （2）求矩形EFPQ的面积最大值． 【典例4】（2025•深圳校级开学）劳动课上，叶老师给每位同学发了一张等腰三角形彩纸，底边长12cm，底边上的高为12cm．圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为2cm的矩形纸条． （1）直接写出剪下的第一张矩形纸片长为　 cm； （2）从下往上剪第几张纸片是正方形纸片？请说明理由； （3）圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为a（a＞2，且a为整数）cm的矩形纸条，要剪出正方形纸片，直接写出a的一个可能的取值：　 ． 【典例5】（2025秋•连云港期末）在学习完相似三角形性质后，小明利用若干张如图1所示的锐角等腰三角形卡纸ABC进行综合实践探究，底边BC＝120cm，底边上的高AD＝80cm． 初步探究：（1）如图2，沿底边裁剪成一张邻边之比为2：5的矩形纸片EFGH（EF＜EH），点E、H分别在AB、AC上，FG在BC上，则EH＝　 cm； （2）如图2，在剩余三角形卡纸AEH中，剪出一个正方形MNPQ，使得MN在EH上，点P、Q分别在AH、AE上，求正方形MNPQ的边长； 深入探究：（3）如图3，沿底边依次从下往上裁剪出宽度为12cm的矩形纸片，那么从下往上剪，能否剪出正方形？如能剪出，第几张纸片是正方形？请写出解答过程；如果不能，请说明理由； 拓展探究：（4）现需若干张长为20cm，宽为6cm的小长方形纸片作为贴纸，小明在该三角形卡纸中进行如图4所示分割（分割线的耗材忽略不计），那么按图示方式分割的小长方形纸片最多有多少个？ 1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝3，BD＝1，则BC的值是（　　） A．2 B． C．2 D．4 2．（2025秋•平谷区期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AB＝4，BD＝3，则BC的长为（　　） A． B．4 C．5 D． 3．如图，一张底边长为20cm、底边上的高为30cm的等腰三角形纸片，沿底边依次从下往上裁剪宽度均为4cm的矩形纸条．若剪得的纸条是一张正方形，则这张正方形纸条是（　　） A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 4．（2025•日照一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，设BD＝a，DC＝b，AD＝c，给出下面三个结论： ①c2＝ab；②a+b≥2c；③若a＞b，则a＞c． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（2025•蚌山区三模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，矩形DEFG的顶点D，G分别在边AB、AC上，E，F在边BC上．若，则矩形DEFG的面积为（　　） A．16 B．24 C．32 D．36 6．（2026•大兴区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b（其中a＜b）．CD⊥AB于点D，点E在边AB上，BE＝BC．设CD＝h，AD＝m，BD＝n，给出下面三个结论：①n2+h2＜（m+n）2；②2h2＞m2+n2；③AE的长是关于x的方程x2+2ax﹣b2＝0的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 7．（2025•泾县模拟）如图，四边形ABCD是矩形，过点C的直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且CE＝CF．点G，H分别在AF，AE上，且CH⊥CG，连接BD，GH，则下列结论不正确的是（　　） A．EF＝2BD B．∠CHG＝∠F C．EH2+FG2＝HG2 D．EH+FG＝CH+CG 8．（2026春•荔城区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AD＝6，DB＝3，则CD等于　 ． 9．在矩形ABCD中，BE⊥AC交AD于点E，G为垂足．若CG＝CD＝1，则AC的长是 　 ． 10．（2026•沭阳县校级模拟）如图，在△ABC中，BC＝48，AD＝16，AD是高，矩形PQMN的顶点P，N分别在AB，AC上，QM在BC上，AD交PN于点E，当PQ＝　 时，矩形PQMN的面积最大． 11．（2025•甘孜州）一块三角形材料的形状如图所示，AC＝BC＝8，∠C＝90°．用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中点D，E，F分别在BC，AB，AC上，则可剪出矩形CDEF的最大面积为 　 ． 12．（2025秋•萧县期中）如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.5米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是9米，则车宽FA的长度为　 米． 13．（2025秋•崇明区期中）如图，矩形DEFG内接于△ABC，点G、F分别在AB、AC上，点D、E分别在BC上，如果AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，且DE＝3EF，则EF　 cm． 14．（2025•盱眙县模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BD＝2，AD＝8，求S△ABC． 15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D． （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）如果BD＝5，AC＝6，求CD的长． 16．（2025春•江汉区月考） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D． （1）若记AC为3，BC为4，直接写出CD＝ 　 ； （2）若AD＝4，BD＝9，求CD的长度． 17．（2025秋•芜湖期末）如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片．AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm．从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH．使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上．AD与HG的交点为M．求这个矩形EFGH的周长． 18．【问题情境】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①CD2＝AD•BD；②AC2＝AB•AD；③BC2＝AB•BD，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”． （1）请证明“射影定理”中的结论③BC2＝AB•BD． 【结论运用】 （2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF． ①求证：△BOF∽△BED． ②若CE＝2，求OF的长． 19．（2025•银川模拟）如图三角形ABC，BC＝12，AD是BC边上的高AD＝8．P，N分别是AB，AC边上的点，Q，M是BC上的点，连接PQMN，PN交AD与E．求 （1）若四边形PQMN是正方形，求PQ的长（图一）； （2）若四边形PQMN是矩形，且PQ：PN＝1：2．求PQ、PN的长（图二） （3）若四边形PQMN是矩形，求当矩形PQMN面积最大时，求最大面积和PQ、PN的长 20．（2025秋•姜堰区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，矩形DEFG的顶点D，G分别在边AB，AC上，EF在边BC上，AB＝5，BC＝6． （1）若DG＝DE，求DG的长度； （2）连接EG，若∠DEG＝∠B，求DG的长度． 21．（2025秋•老河口市期末）在矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，交AD于点F． （1）如图1，求证：AF2＝BF•EF； （2）当点F是AD中点时． ①如图1，若AD＝6，求AB的长； ②如图2，连接DE并延长交AB于点P，求证：CD＝DE； ③在②的条件下，请直接写出的值． 22．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为2m，面积为1.5m2．现在要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示．请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求． 23．（2025秋•镇海区校级期中）【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BC＝CD，求证：BC2＝BD•AB； 【尝试应用】 （2）如图2，在△AEC中，∠E＝90°，D为AE边上一点，若∠A＝2∠ECD，ED•AC＝5，求CD； 【拓展提高】 （3）如图3，四边形ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，AD＝DC＝2，tanB＝2，点F是边DA延长线上一点，连接CF交边AB于点M，过点C作∠FCE＝∠B交射线BA于点E，设AM＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式． 24．（2026春•皇姑区月考）【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．设AD＝a，BD＝b，CD＝m． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a，b的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝（a+b）2； 小颖说：也可以用含a，b，m的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝　 ； 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则m＝　 ； 小亮说：可以用含a，b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为　　 ． 并进一步可以得到a+b与的大小关系为　 ． （温馨提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半） （2）若Rt△ABC的面积为9，直接写出m的最大值． 【迁移应用】 （3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为18平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 25．（2026•济源模拟）【定义】 如果从某一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，该对角线可称为“垂中对角线”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在▱ABCD中，BF⊥AC于点E，交AD于点F，若F为AD的中点，则▱ABCD是垂中平行四边形，E是垂中点． 【应用】 （1）①菱形　 （填“可能”或“不可能”）是“垂中平行四边形”． ②如图1，▱ABCD是“垂中平行四边形”，其中AC是“垂中对角线”，则的值为　 ． （2）如图2，在矩形ABCD中，，AD＞AB．若该矩形是“垂中平行四边形”，且AC是其“垂中对角线”，求AB的长． （3）如图3，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CE＝2AE＝4，BE＝3．若BC是某个“垂中平行四边形”的边，点E为该“垂中平行四边形”的垂中点，点A在垂中平行四边形的边上，请直接写出这个“垂中平行四边形”的周长． 26．（2025秋•深圳期末）【问题情境】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①CD2＝AD•BD；②AC2＝AB•AD；③BC2＝AB•BD，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里德在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”． （1）请证明“射影定理”中的结论②AC2＝AB•AD． 【结论运用】 （2）如图2，等腰直角△ABC的腰长为12，点O是斜边AC的中点，点E在AB上，连接CE，过点B作BF⊥CE，垂足为F，连接OF． ①求证：△COF∽△CEA． ②若BE＝4，求OF的长． （3）如图3，在△ABC中，已知∠BAC＝90°，过点A作AD⊥DE，交BC于点D，此时∠BAD＝2∠C，若，请直接写出的值．（用含n的代数式表示） 25 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 射影定理与三角形内接矩形模型（几何模型讲义） 直角三角形斜边上的高，衍生出三组比例线段，这便是射影定理。它依托相似三角形推导而来，是平面几何高频二级结论，常用于线段长度计算、比例证明、几何综合题。掌握射影定理，能够快速建立线段等量关系，简化复杂推导，是解决直角三角形综合题型的重要工具。 三角形内接矩形模型，以三角形内部作矩形为基本图形，依托平行线构造A型相似三角形进行求解。该模型是相似三角形典型应用，常结合线段长度、面积最值出题。解题核心是利用相似三角形对应高之比等于相似比，建立方程，实现几何问题代数化，是中考相似综合题型的常见载体。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 4 模型1. 射影定理 4 模型2. 三角形内接矩形模型 11 模型运用 51 直角三角形作斜边上的高线，一条高线分割大直角三角形，诞生两个小直角三角形，三个三角形两两相似。“射影”含义：直角边向斜边作投影（、就是两条直角边在斜边上的射影），故此得名射影定理。解题时注意不能直接使用，需要先证明相似；选择、填空可以直接秒杀计算。 射影定理由直角三角形斜边上的高构造两两相似的直角三角形推导得出，借助相似三角形边长比例变形得到线段乘积关系。它是相似三角形重要衍生结论，是直角三角形线段计算强有力工具。 中国《 《九章算术》·勾股章》：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”即直角三角形中内接正方形的边长。刘徽用“出入相补”证得 。这是矩形退化为正方形的最早文字记录。在任意三角形的一条边上安放矩形的一边，矩形剩余两个顶点落在三角形另外两条边上，形成“大三角形内部嵌套矩形”的固定图形。特殊形式：矩形邻边相等，就演变为三角形内接正方形，是本模型特例。 三角形内接矩形模型来源于A型相似三角形。利用矩形对边平行，得到上方小三角形与原三角形相似，借助相似比与对应高的关系建立方程。该模型既可计算线段长度，也常结合二次函数求解面积最值，是相似三角形综合应用的经典载体。 如图，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）． 模型1. 射影定理 【模型提炼】 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D， 则△ABD∽△CAD∽△CBA，则，，。 【模型运用】 【典例1】（2026•宿豫区二模）某数学兴趣小组的同学对三角形的相似进行了深入研究． （1）【观察发现】 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则AC2＝AD•AB，请证明； （2）【灵活运用】 如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠AEC＝∠ABC时，请判断△AEB的形状，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2，，平面内一点D，满足AD＝AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB＝∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时．求线段CE的长． 【分析】（1）可证明∴△ACD∽△ABC，从而，从而得出AC2＝AD•AB； （2）可证明△ACF∽△AEC，从而得出AC2＝AF•AE，进而得出AF•AE＝AD•AB，从而△DAF∽△EAB，∠AEB＝∠ADC＝90°，△AEB是直角三角形； （3）以A为圆心，AC为半径作⊙A，交CA的延长线于G，在CG的延长线上截取GH＝1，连接DG，可证明△BCD∽△ECB，从而BC2＝CD•CE，进而得出△CDG∽△CHE，从而∠AHE＝∠CDG＝90°，当BE⊥BE时，BE最小（图中BE′），进一步得出结果． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∴AC2＝AD•AB； （2）解：△AEB是直角三角形，理由如下： 由（1）知：△ACD∽△ABC，AC2＝AD•AB， ∴∠ABC＝∠ACD， ∵∠AEC＝∠ABC， ∴∠ACD＝∠AEC， ∵∠CAF＝∠CAE， ∴△ACF∽△AEC， ∴， ∴AC2＝AF•AE， ∴AF•AE＝AD•AB， ∵∠DAF＝∠EAB， ∴△DAF∽△EAB， ∴∠AEB＝∠ADC＝90°， ∴△AEB是直角三角形； （3）如图， 以A为圆心，AC为半径作⊙A，交CA的延长线于G，在CG的延长线上截取GH＝1，连接DG， ∴CH＝CG+GH＝5，CG是⊙A的直径， ∴CG•CH＝20，∠CDG＝90°， ∵∠CEB＝∠CBD，∠BCD＝∠BCE， ∴△BCD∽△ECB， ∴， ∴BC2＝CD•CE， 同理（2）可得：△CDG∽△CHE， ∴∠AHE＝∠CDG＝90°， ∴当BE⊥BE时，BE最小（图中BE′）， ∴四边形AHE′B是矩形， ∴E′H＝BC＝2， ∴CE′3， 即当线段BE的长度取得最小值时．求线段CE的长为：3． 【典例2】（2026•日照二模）【问题探究】 （1）在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D． ①如图1，若，求的值； ②如图2，点F在CD的延长线上，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE＝∠AFC时，求证：； （2）【问题解决】 为提升城市绿化品质，某市计划在新区建设一座生态公园．公园设计包含一片人工湖和多个休闲广场，其中一处广场形状为直角三角形区域ABC（如图3），∠ACB＝90°，AC＝30m，．为增强景观的连贯性，设计师计划在广场外选取一点D，建造一座景观桥AD，满足AD＝AC．在点A和点B处设置游客休息区，并修建仿古长廊BE和小路CE，点E在CD的延长线上，且∠CEB＝∠CBD，连接BD．经测算，当仿古长廊BE的长度最短时，成本最小，请你帮助设计师求出当仿古长廊BE最短时，小路CE的长度．（小路、仿古长廊、景观桥的宽度均忽略不计） 【分析】（1）①证明△ADC∽△ACB，即可解答； ②证明△AFC∽△ACE，可得AC2＝AE•AF，再证明△ADC∽△ACB，可得AC2＝AD•AB，即可求证； （2）过点E作EG∥BC交CA的延长线于点G，过点B作BE1⊥EG交于E1，过点D作DH⊥CE交AG于点H，可得四边形BCGE1为矩形，从而得到CG＝BE1，根据△ECB∽△BCD，可得DC•EC＝5400m2，再由△DCH∽△GCE，可得GC＝90m，根据∠EGC＝90°为定值，且CG＝90m为定值，可得点E在直线EG上运动，且EG∥BC，当BE⊥EG时，BE取得最小值，此时点E与点E1重合，即可求解． 【解答】（1）①解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D， ∴∠ACB＝∠ADC＝90°， ∵∠A＝∠A，， ∴△ADC∽△ACB， ∴； ②证明：∵∠ACE＝∠AFC，∠EAC＝∠CAF， ∴△AFC∽△ACE， ∴，即AC2＝AE•AF， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴，即AC2＝AD•AB， ∴AD•AB＝AE•AF， ∴； （2）解：如图，过点E作EG∥BC交CA的延长线于点G，过点B作BE1⊥EG交于E1，过点D作DH⊥CE交AG于点H， ∴四边形BCGE1为矩形， ∴CG＝BE1， ∵AD＝AC， ∴∠ACD＝∠ADC， ∵∠ACD+∠CHD＝90°，∠ADC+∠ADH＝90°， ∴∠CHD＝∠ADH， ∴∠CDH＝90°，AH＝AD＝30m， ∴CH＝CA+AH＝60m， ∵∠CEB＝∠CBD，∠ECB＝∠CBD， ∴△ECB∽△BCD， ∴，即BC2＝DC•EC， ∴， ∵∠CDH＝∠CGE＝90°，∠DCH＝∠GCE， ∴△DCH∽△GCE， ∴， ∴DC•CE＝CH•GC， ∴5400＝60GC， ∴GC＝90m， ∵∠EGC＝90°为定值，且CG＝90m为定值， ∴点E在直线EG上运动，且EG∥BC， ∴当BE⊥EG时，BE取得最小值，此时点E与点E1重合， ∴BE1＝90m， 在直角三角形BCE1中，由勾股定理得：CE130（m）， 即当仿古长廊BE最短时，小路CE的长度为． 【典例3】（2026•贵州一模）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝6． 【问题解决】 （1）如图①，过点A作AD⊥BC，垂足为D．则BD的长度是　3　 ，∠DAC的度数是　45　 度； 【问题探究】 （2）如图②，点E，F分别是BC边、AC边上的动点，且．过点F作FG⊥BC，垂足为G．在点E运动过程中，线段EG的长度是否会发生改变？说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，在（2）的条件下，点H是AB边的中点，分别过点B，C作AB，AC的垂线，相交于点M，连接EM，EH．当HE+EF的值最小时，求的值． 【分析】（1）通过三角形内角和定理，直角三角形的性质即可求解； （2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADB＝∠CDB＝90°，由（1）得，∠BAD＝30°，∠DAC＝45°，BD＝3，所以，∠DAC＝∠C＝45°，则，，通过勾股定理求出，即，设BE＝a，则，则，，然后通过EG＝BC﹣BE﹣CG即可求解； （3）过M作MK⊥BC于点K，则∠BKM＝∠CKM＝90°，由BM⊥AB，CM⊥AC，则∠ABM＝∠ACM＝90°，从而可得BM＝2MK，∠CMK＝∠MCK＝45°，所以CK＝MK，设CK＝MK＝b，则BM＝2b，，从而求得b＝3，所以CK＝MK＝EG＝3，通过勾股定理得EF，EM，所以EF＝EM，则HE+EF＝HE+EM，故当H、E、M三点共线时，HE+EF有最小值，为HM的值，过H作HL⊥BC于点L，则∠BLH＝90°，然后证明△HLE∽△MKE，所以，然后勾股定理求得，再代入得，从而求解． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠CDA＝90°， ∵∠B＝60°，∠C＝45°， ∴∠BAD＝30°，∠DAC＝45°， ∴， 故答案为：3，45； （2）线段EG的长度是不会发生改变；理由如下： 如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADB＝∠CDA＝90°， 由（1）得，∠BAD＝30°，∠DAC＝45°，BD＝3， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：AD，∠DAC＝∠C＝45°， ∴， ∴， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AC， ∵FG⊥BC， ∴∠FGC＝90°， ∴∠GFC＝∠C＝45°， ∴CG＝FG， 在直角三角形CFG中，由勾股定理得：CF，即CG， 设BE＝a，则， ∴， ∴CG， ∴EG＝BC﹣BE﹣CG＝3+3a﹣（3a）＝3， ∴线段EG的长度不会发生改变； （3）如图3，过M作MK⊥BC于点K，则∠BKM＝∠CKM＝90°， ∵BM⊥AB，CM⊥AC， ∴∠ABM＝∠ACM＝90°， ∵∠ABC＝60°，∠ACB＝45°， ∴∠MBK＝30°，∠MCK＝45°， ∴BM＝2MK，∠CMK＝∠MCK＝45°， ∴CK＝MK， 设CK＝MK＝b，则BM＝2b， 在直角三角形BMK中，由勾股定理得：BK， ∴， 由（2）得， ∴， ∴b＝3， ∴CK＝MK＝EG＝3， ∵EG＝EK+GK，CK＝CG+GK， ∴EK＝CG＝GF， 在直角三角形EFG中，由勾股定理得：EF， 在直角三角形EMK中，由勾股定理得：EM， ∴EF＝EM， ∴HE+EF＝HE+EM， ∴当H、E、M三点共线时，HE+EF有最小值，为HM的值，如图4，过H作HL⊥BC于点L，则∠BLH＝90°， ∴HL∥MK， ∴△HLE∽△MKE， ∴， ∵点H是AB边的中点，AB＝6， ∴， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BHL＝30°， ∴BLBH， ∴HL， ∴， ∴的值为． 【典例4】（2026•通许县一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． 【拓展探究】如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D． （1）兴趣小组的同学得出AC2＝AD•AB．理由如下： ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠B＝①　∠ACD ． ∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴②　　 ， ∴AC2＝AD•AB． 请完成填空； （2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE＝∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由． （3）【学以致用】如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝1，，平面内一点D，满足AD＝AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB＝∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时．请直接写出线段CE的长． 【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可； （2）证明△ACF∽△AEC，得出，证明△AFD∽△ABE，得出∠ADF＝∠AEB＝90°，即可得出答案； （3）证明△CEB∽△CBD，得出，求出CD•CE＝CB2＝6，以点A为圆心，1为半径作⊙A，则C，D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0＝3，交⊙A于D0，连接E0E，证明△ECE0∽△D0CD，得出∠CDD0＝∠CE0E＝90°，说明点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动，过点B作BE′⊥E0E，垂足为E′，连接CE′，根据垂线段最短，得出当点E在点E′处时，BE最小，根据勾股定理求出结果即可． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠B＝∠ACD， ∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴， ∴AC2＝AD•AB， 故答案为：①∠ACD；②； （2）△AEB是直角三角形；理由如下： ∵∠CAE＝∠FAC，∠ACE＝∠AFC， ∴△ACF∽△AEC， ∴， ∴AC2＝AF•AE， 由（1）得AC2＝AD•AB， ∴AF•AE＝AD•AB， ∴， ∵∠FAD＝∠BAE， ∴△AFD∽△ABE， ∴∠AEB＝∠ADF＝90°， ∴△AEB是直角三角形； （3）∵∠ECB＝∠BCD，∠CEB＝∠CBD， ∴△CEB∽△CBD， ∴， ∴， ∵AD＝AC， 如图，以点A为圆心，1为半径作⊙A，则C，D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0＝3，交⊙A于D0，连接E0E， 则CD0＝2， ∵CD0为⊙A的直径， ∴∠CDD0＝90°， ∴CD0•CE0＝6＝CD•CE， ∴， ∵∠ECE0＝∠D0CD， ∴△ECE0∽△D0CD， ∴∠CE0E＝∠CDD0＝90°， ∴点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动， 过点B作BE′⊥E0E，垂足为E′，连接CE′， ∵垂线段最短， ∴当点E在点E′处时，BE最小， 即BE的最小值为BE′的长， ∵∠CE0E′＝∠E0CB＝∠BE′E0＝90°， ∴四边形CE0E′B是矩形， ∴BE′＝CE0＝3， 在Rt△CE0E′中，． 模型2. 三角形内接矩形模型 【模型提炼】 在△ABC中，四边形DEFG为矩形， 结论：△AGF∽△ABC， 【模型运用】 【典例1】（2026•柳江区模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CH⊥AB于H，矩形DEFG的四个顶点都在△ABC的边上，设DE＝x． （1）CH＝　　 ； （2）EF＝　　 （用含x的代数式表示）； （3）设矩形DEFG的面积为S，求S的最大值． 【分析】（1）根据勾股定理求得AB，再根据面积法得出结果； （2）证明△CDG∽△CAB，进而得出，进一步得出结果； （3）得出S的解析式，配方得出结果． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝5， 由S△ABCAB•CH得， CH， 故答案为：； （2）如图， 设CH和DQ交于点Q， ∵四边形DEFG是矩形， ∴DG∥AB，EF＝DG， ∴△CDG∽△CAB， ∴， ∴， ∴EF， 故答案为：； （3）S， ∴当x时，S最大＝3． 【典例2】（2026•龙凤区校级模拟）如图，有一块三角形余料，它的边BC＝100m，高线AH＝80m，要把它加工成矩形零件．使矩形的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在边AB，AC上，设矩形DEFG的一边长DE＝xm，矩形DEFG的面积为Sm2． （1）求S关于x的函数表达式？ （2）当x为多少时，矩形DEFG的面积S有最大值？最大值是多少？ 【分析】（1）设AH与DG相交于点M，根据矩形的性质可得DG∥EF，然后证明A字模型△ADG∽△ABC，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）设AH与DG相交于点M， ∵四边形DEFG是矩形， ∴DG∥EF， ∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠C， ∴△ADG∽△ABC， ∴， ∴， 解得：DG（80﹣x）， ∴S＝DE•DG＝x•（80﹣x）x2+100x， 即Sx2+100x； （2）Sx2+100x， ∵a，b＝100， ∴当x40时，S最大＝2000， ∴当x为40，矩形DEFG的面积S有最大值，最大值是2000． 【典例3】（2026•南京一模）材料：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法， 例：求x2+2x+5的最小值； 解：令x2+2x+5＝y ∴x2+2x+（5﹣y）＝0 ∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0， ∴y≥4，∴x2+2x+5的最小值为4． 请利用上述方法解决下列问题： 如图，在△ABC中，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．设EQ＝x． （1）用含x的代数式表示EF的长； （2）求矩形EFPQ的面积最大值． 【分析】（1）利用矩形的性质可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求解； （2）由（1）可得矩形EFPQ的面积为，令，利用根的判别式即可得y≤20，故矩形EFPQ的面积最大值为20． 【解答】解：（1）∵四边形EFPQ是矩形，EQ＝x， ∴EF∥BC，EQ＝DH＝PF＝x， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， 解得：； （2）由（1）知：，EQ＝x， ∴矩形EFPQ的面积为：， 令， ∴， ∴， ∴y≤20， ∴x2+2x+5的最大值为20，即矩形EFPQ的面积最大值为20． 【典例4】（2025•深圳校级开学）劳动课上，叶老师给每位同学发了一张等腰三角形彩纸，底边长12cm，底边上的高为12cm．圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为2cm的矩形纸条． （1）直接写出剪下的第一张矩形纸片长为　10　 cm； （2）从下往上剪第几张纸片是正方形纸片？请说明理由； （3）圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为a（a＞2，且a为整数）cm的矩形纸条，要剪出正方形纸片，直接写出a的一个可能的取值：　6（答案不唯一）　 ． 【分析】（1）如图，过A作AH⊥BC于H，交MN于P，由题意得，BC＝AH＝12cm，MG＝2cm，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的线段长，再根据矩形的宽求解即可； （3）根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的线段长，再根据矩形的宽求解即可． 【解答】解：（1）如图，过A作AH⊥BC于H，交MN于P， 由题意得，BC＝AH＝12cm，MG＝2cm， ∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC， ∴， ∴， ∴MN＝10， ∴剪下的第一张矩形纸片长为10cm， 故答案为：10． （2）从下往上剪第5张纸片是正方形纸片， 理由：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边长为2cm，即DE＝2cm，过点A作AG⊥BC于点G，交DE于点F， 由题意得，AG＝12cm，BC＝12cm， ∴设从顶点到这个正方形的线段长为AF＝xcm， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 即， 解得x＝2， ∴FG＝AG﹣AF＝12﹣2＝10（cm）， ∵10÷2＝5， ∴则这张正方形纸条是第5条； （3）已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边长为2cm，即DE＝2cm，过点A作AG⊥BC于点G，交DE于点F， 由题意得，AG＝12cm，BC＝12cm， ∴设从顶点到这个正方形的线段长为AF＝xcm， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 即， 解得x＝a， ∴FG＝AG﹣AF＝（12﹣a）（cm）， ∵（12﹣a）÷2＝6， ∴a＝6，4，3； 故答案为：6（答案不唯一）． 【典例5】（2025秋•连云港期末）在学习完相似三角形性质后，小明利用若干张如图1所示的锐角等腰三角形卡纸ABC进行综合实践探究，底边BC＝120cm，底边上的高AD＝80cm． 初步探究：（1）如图2，沿底边裁剪成一张邻边之比为2：5的矩形纸片EFGH（EF＜EH），点E、H分别在AB、AC上，FG在BC上，则EH＝　75　 cm； （2）如图2，在剩余三角形卡纸AEH中，剪出一个正方形MNPQ，使得MN在EH上，点P、Q分别在AH、AE上，求正方形MNPQ的边长； 深入探究：（3）如图3，沿底边依次从下往上裁剪出宽度为12cm的矩形纸片，那么从下往上剪，能否剪出正方形？如能剪出，第几张纸片是正方形？请写出解答过程；如果不能，请说明理由； 拓展探究：（4）现需若干张长为20cm，宽为6cm的小长方形纸片作为贴纸，小明在该三角形卡纸中进行如图4所示分割（分割线的耗材忽略不计），那么按图示方式分割的小长方形纸片最多有多少个？ 【分析】（1）根据比例设EF＝2x，EH＝5x，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求解即可； （2）证明△AQP∽△AEH，得出，解得：a＝30．则可得出答案； （3）设点A到该正方形上面的高为h，则有，解得：h＝8．（80﹣8）+12＝6，则能剪出正方形，第6张纸片是正方形； （4）设第x层的上面水平长为 ycm，得出.，则y＝﹣9x+120．求出x＝11，则可得出答案． 【解答】解：（1）设EF＝2x，EH＝5x， ∵矩形对边EH∥BC， ∴△AEH∽△ABC， ∴， 即， 解得x＝15， ∴EH＝5x＝15×5＝75cm， ∴矩形纸片较长边EH的长为75cm； 故答案为：75； （2）设正方形的边长为a， 由（1）可知：EH＝75，EF＝30． ∵△AQP∽△AEH， ∴， 解得：a＝30． ∴正方形的边长为30cm； （3）假设能剪出正方形，则该正方形的边长为12． 设点A到该正方形上面的高为h，则有， 解得：h＝8．（80﹣8）+12＝6， ∴能剪出正方形，第6张纸片是正方形． （4）设第x层的上面水平长为 ycm， ∴.， ∴y＝﹣9x+120． ∵y≥20， ∴﹣9x+120≥20， ∴， 即一共可以剪11层． 每层的长方形个数记为m（m为正整数），， x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 m 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 1 m＝2×（5+4+3+2）+1×3＝31． ∴最多一共可以分割31个小长方形贴纸 1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝3，BD＝1，则BC的值是（　　） A．2 B． C．2 D．4 【分析】利用射影定理得到BC2＝BD•BA，然后把AD＝3，BD＝1代入计算即可． 【解答】解：根据射影定理得BC2＝BD•BA， 即BC2＝1×（1+3）， 所以BC＝2． 故选：C． 2．（2025秋•平谷区期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AB＝4，BD＝3，则BC的长为（　　） A． B．4 C．5 D． 【分析】根据射影定理得出AB2＝BD•BC，即可求出BC． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AB＝4，BD＝3， 根据射影定理得出AB2＝BD•BC， ∴16＝3BC， ∴BC， 故选：D． 3．如图，一张底边长为20cm、底边上的高为30cm的等腰三角形纸片，沿底边依次从下往上裁剪宽度均为4cm的矩形纸条．若剪得的纸条是一张正方形，则这张正方形纸条是（　　） A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 【分析】设剪得正方形纸条是第x张，根据相似三角形的性质，得到，从而求出x的值，即可得到答案． 【解答】解：字母标注如图， 由题意可知，BC＝20cm，AD＝30cm，EF＝4cm， 设剪得正方形纸条是第x张， ∴AG＝（30﹣4x）cm， ∵△AEF∽△ABC， ∴， ∴， 解得：x＝6， 即剪得正方形纸条是第6张， 故选：C． 4．（2025•日照一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，设BD＝a，DC＝b，AD＝c，给出下面三个结论： ①c2＝ab；②a+b≥2c；③若a＞b，则a＞c． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】①证△BAD和△ACD相似，再根据相似三角形的性质可对结论①进行判断； ②设BC的中点为E，连接AE，则AEBC（a+b），根据“垂线段最短”得AE≥AD，即（a+b）≥c，由此可对结论②进行判断； ③先由c2＝ab得，再根据a＞b得，由此根据不等式的性质可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠B+∠BAD＝90°， ∴∠B＝∠CAD， ∵AD⊥BC， ∴∠BDA＝∠ADC＝90°， ∴△BAD∽△ACD， ∴BD：AD＝AD：CD， 即a：c＝c：b， 即c2＝ab， 故结论①正确； ②设BC的中点为E，连接AE，如图所示： ∵∠BAC＝90°， ∴AEBC（a+b）， 根据“垂线段最短”得：AE≥AD， ∴（a+b）≥c， 即a+b≥2c， 故结论②正确； ③∵c2＝ab， ∴， 又∵a＞b， ∴， ∵a＞0，c＞0， ∴a2＞c2， 即a＞c， 故结论③正确． 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：D． 5．（2025•蚌山区三模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，矩形DEFG的顶点D，G分别在边AB、AC上，E，F在边BC上．若，则矩形DEFG的面积为（　　） A．16 B．24 C．32 D．36 【分析】设DE＝x，则 DG＝2x．根据矩形的性质易证△BED∽△GFC，再根据相似三角形的性质得出，然后将值代入化简，求出一元二次方程的解即可得出答案． 【解答】解：设DE＝x，则 DG＝2x． ∵∠BAC＝90°， ∴∠B+∠C＝90°． ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DEB＝90°，GF＝DE＝x，EF＝DG＝2x， ∴∠B+∠BDE＝90°， ∴∠C＝∠BDE． ∵∠BED＝∠GFC＝90°， ∴△BED∽△GFC， ∴， ∵， ∴， 即， 即x2+6x﹣40＝0， 解得x＝4或 x＝﹣10（负值舍去）， ∴DE＝4，DG＝8， ∴矩形DEFG 的面积为4×8＝32． 故选：C． 6．（2026•大兴区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b（其中a＜b）．CD⊥AB于点D，点E在边AB上，BE＝BC．设CD＝h，AD＝m，BD＝n，给出下面三个结论：①n2+h2＜（m+n）2；②2h2＞m2+n2；③AE的长是关于x的方程x2+2ax﹣b2＝0的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】因为CD⊥AB，所以∠CDB＝∠CDA＝90°，由勾股定理得，n2+h2＝a2，因为∠ACB＝90°，由勾股定理得，（m+n）2＝a2+b2，因为a2＜a2+b2，所以n2+h2＜（m+n）2，由射影定理得，h2＝mn，所以2h2＝2mn，因为a＜b，a，b，则m＞n，所以（m﹣n）2＞0，可得m2+n2＞2mn，所以m2+n2＞2h2，方程x2+2ax﹣b2＝0配方得（x+a）2﹣（a2+b2）＝0，因为a2+b2＝（m+n）2，可得（x+a）2＝（m+n）2，解得x的值，因为BE＝BC，BC＝a，可得BE＝a，因为AB＝AD+BD＝m+n，所以AE＝m+n﹣a，可得AE的长是否是关于x的方程x2+2ax﹣b2＝0的一个实数根． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∴n2+h2＝a2， ∵∠ACB＝90°， ∴（m+n）2＝a2+b2， ∵a2＜a2+b2， ∴n2+h2＜（m+n）2，故①符合题意， ∵h2＝mn， ∴2h2＝2mn， ∵a＜b，a，b， ∴m＞n， ∴（m﹣n）2＞0，即m2+n2＞2mn， ∴m2+n2＞2h2，故②不符合题意， x2+2ax﹣b2＝0，配方得，（x+a）2﹣（a2+b2）＝0， ∵a2+b2＝（m+n）2， ∴（x+a）2﹣（m+n）2＝0，即（x+a）2＝（m+n）2， ∴x＝m+n﹣a或x＝﹣m﹣n﹣a， ∵BE＝BC，BC＝a， ∴BE＝a， ∵AB＝AD+BD＝m+n， ∴AE＝m+n﹣a， ∴AE的长是关于x的方程x2+2ax﹣b2＝0的一个实数根x＝m+n﹣a，故③符合题意， 故选：B． 7．（2025•泾县模拟）如图，四边形ABCD是矩形，过点C的直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且CE＝CF．点G，H分别在AF，AE上，且CH⊥CG，连接BD，GH，则下列结论不正确的是（　　） A．EF＝2BD B．∠CHG＝∠F C．EH2+FG2＝HG2 D．EH+FG＝CH+CG 【分析】根据矩形的性质、平行线分线段成比例及相似三角形的判定和性质即可判断A、B，过点E作EP∥AF，交GC的延长线于点P，连接PH，利用全等三角形的判定和性质，勾股定理即可判断C、D． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AF，CD∥AE． ∴， ∵CE＝CF， ∴AB＝BE，AD＝DF， ∴EF＝2BD，， ∴． ∵∠BCD＝90°，∠GCH＝90°， ∴∠BCH＝∠DCG． ∵∠CBH＝∠CDG＝90°， ∴△CBH∽△CDG， ∴， ∴． 又∵∠GCH＝∠A＝90°， ∴△HCG∽△FAE， ∴∠CHG＝∠F， ∴选项A，B都是正确的，不符合题意； 如图，过点E作EP∥AF，交GC的延长线于点P，连接PH， ∴∠PEC＝∠F， 在△CGF和△CPE中， ， ∴△CGF≌△CPE（ASA）， ∴PE＝FG，∠PEC＝∠F，CG＝CP． ∵∠AEF+∠F＝90°， ∴∠AEF+∠CEP＝90°． 在Rt△PEH中，根据勾股定理，得EH2+EP2＝HP2， ∴EH2+FG2＝HP2． ∵CH⊥PG，CG＝CP， ∴CH垂直平分PG， ∴HP＝HG， ∴EH2+FG2＝HG2， ∴选项C正确，不符合题意． ∵由所给条件无法证明．EH+FG＝CH+CG， ∴选项D不正确，符合题意； 故选：D． 8．（2026春•荔城区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AD＝6，DB＝3，则CD等于　　 ． 【分析】先根据直角三角形的两锐角互余得到∠DCB＝∠A，进而得到△ACD∽△CBD，即可得到，代入解题即可． 【解答】解：由条件可知∠CDB＝∠CDA＝90°， ∴∠DCB+∠B＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠DCB＝∠A， ∴△ACD∽△CBD， ∴， 即CD2＝AD•BD＝6×3＝18， ∴， 故答案为：． 9．在矩形ABCD中，BE⊥AC交AD于点E，G为垂足．若CG＝CD＝1，则AC的长是 　　 ． 【分析】证△ABG∽△ACB，得AG•AC＝AB2（射影定理），即（AC﹣1）•AC＝12，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝1，∠ABC＝90°， ∵BE⊥AC， ∴∠AGB＝90°＝∠ABC， ∵∠BAG＝∠CAB， ∴△ABG∽△ACB， ∴， ∴AG•AC＝AB2（射影定理）， 即（AC﹣1）•AC＝12， 解得：AC或AC（不合题意舍去）， 即AC的长为， 故答案为：． 10．（2026•沭阳县校级模拟）如图，在△ABC中，BC＝48，AD＝16，AD是高，矩形PQMN的顶点P，N分别在AB，AC上，QM在BC上，AD交PN于点E，当PQ＝　8　 时，矩形PQMN的面积最大． 【分析】证明△APN∽△ABC，得出，设DE＝PQ＝MN＝x，表示出PN＝48﹣3x，从而得矩形PQMN的面积为PQ•PN＝x（48﹣3x）＝﹣3（x﹣8）2+192，根据二次函数的性质即可求解． 【解答】解：∵四边形PQMN为矩形， ∴PN∥QM，PQ＝MN， ∴△APN∽△ABC， ∵△ABC中，AD是高， ∴△APN中，AE是高，且有DE＝PQ＝MN， ∴， ∵BC＝48，AD＝16， 设DE＝PQ＝MN＝x， ∴， ∴PN＝48﹣3x， ∴矩形PQMN的面积为PQ•PN＝x（48﹣3x）＝﹣3x2+48x＝﹣3（x﹣8）2+192． ∴当PQ＝x＝8时，矩形PQMN的面积最大， 故答案为：8． 11．（2025•甘孜州）一块三角形材料的形状如图所示，AC＝BC＝8，∠C＝90°．用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中点D，E，F分别在BC，AB，AC上，则可剪出矩形CDEF的最大面积为 　16　 ． 【分析】先根据等腰直角三角形ABC（AC＝BC＝8，∠C＝90°的性质，设矩形边长CD＝x，推导得CF＝8﹣x，再用矩形面积公式列出二次函数S＝﹣x2+8x，结合二次函数性质（开口向下，对称轴为直线x＝4），求得最大面积为16． 【解答】解：设CD＝x， ∵AC＝BC＝8，∠C＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形，∠A＝∠B＝45°， 又∵四边形CDEF是矩形， ∴EF∥CD，DE∥CF，△AFE也是等腰直角三角形， 则AF＝EF＝CD＝x，那么CF＝AC﹣AF＝8﹣x， 矩形CDEF的面积S＝CD×CF＝x（8﹣x）＝﹣x2+8x， 对于二次函数y＝﹣x2+8x，其图象开口向下，对称轴为， 当x＝4时，S取得最大值，最大值为﹣42+8×4＝16， ∴可剪出矩形CDEF的最大面积为16． 故答案为：16． 12．（2025秋•萧县期中）如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.5米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是9米，则车宽FA的长度为　　 米． 【分析】如图，过点P作PM⊥BE于点M，交FA于点N，根据相似三角形的判定和性质以及3DF＝2AF，设辅助未知数可求出答案． 【解答】解：如图，FA∥BE，过点P作PM⊥BE于点M，交FA于点N， ∴∠PAF＝∠PBE，∠PFA＝∠PEB， ∴△PAF∽△PBE， ∴， ∵3FD＝2FA，EB的长度是9米，P处与地面BE的距离为1.5米，即PM＝1.5米， 设DF＝2k米，则AF＝3k米，PN＝（1.5﹣2k）米， ∴， 解得：， ∴米，米， 故答案为：． 13．（2025秋•崇明区期中）如图，矩形DEFG内接于△ABC，点G、F分别在AB、AC上，点D、E分别在BC上，如果AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，且DE＝3EF，则EF　　 cm． 【分析】作AR⊥BC于点R，交FG于点Q，由GF∥BC，证明△AGF∽△ABC，得，由AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，得BR＝CR＝3cm，求得AR4cm，可证明四边形REFQ是矩形，则QR＝EF，所以AQ＝AR﹣QR＝（4﹣EF）cm，而GF＝DE＝3EF，所以，解方程求出EF的值即得到问题的答案． 【解答】解：作AR⊥BC于点R，交FG于点Q，则∠ARC＝90°， ∵矩形DEFG的顶点G、F分别在AB、AC上，顶点D、E在BC上， ∴GF∥BC， ∴△AGF∽△ABC，∠AGF＝∠ARC＝90°， ∴AQ⊥GF于点Q， ∴， ∵AB＝AC＝5cm，BC＝6cm， ∴BR＝CRBC＝3cm， ∴AR4（cm）， ∵∠QRE＝∠REF＝∠QFE＝90°， ∴四边形REFQ是矩形， ∴QR＝EF， ∴AQ＝AR﹣QR＝（4﹣EF）cm， ∵GF＝DE＝3EF， ∴， 解得EF， ∴EF的长是cm， 故答案为：． 14．（2025•盱眙县模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BD＝2，AD＝8，求S△ABC． 【分析】根据射影定理求得斜边AB上的高线CD的长度，然后由三角形的面积公式进行解答． 【解答】解：如图，∵△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴CD2＝AD•BD． 又∵BD＝2，AD＝8， ∴CD2＝16，AB＝BD+AD＝10， ∴CD＝4， ∴S△ABCAB•CD10×4＝20，即S△ABC＝20． 15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D． （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）如果BD＝5，AC＝6，求CD的长． 【分析】（1）证明Rt△ACD∽Rt△ABC，然后利用相似比可得到结论； （2）由AC2＝AB•AD得到62＝（AD+5）•AD，则可求出AD＝4，然后利用射影定理计算出CD的长． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∵∠DAC＝∠CAB， ∴Rt△ACD∽Rt△ABC， ∴AC：AB＝AD：AC， ∴AC2＝AB•AD； （2）解：∵AC2＝AB•AD， ∴62＝（AD+5）•AD， 整理得AD2+5AD﹣36＝0，解得AD＝﹣9（舍去）或AD＝4， ∵CD2＝AD•BD， ∴CD2． 16．（2025春•江汉区月考） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D． （1）若记AC为3，BC为4，直接写出CD＝ 　　 ； （2）若AD＝4，BD＝9，求CD的长度． 【分析】（1）由勾股定理求出AB的长，再由面积法求出CD的长即可； （2）首先证△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应边成比例求出CD的长，即可求出答案． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵CD⊥AB， ∴S△ABCAB•CDAC•BC， ∴AB•CD＝AC•BC， 即5CD＝3×4＝12， ∴CD， 故答案为：； （2）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A， 又∵∠ADC＝∠CDB＝90°， ∴△ACD∽△CBD， ∴， ∴CD2＝AD•BD＝36， ∴CD＝6． 17．（2025秋•芜湖期末）如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片．AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm．从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH．使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上．AD与HG的交点为M．求这个矩形EFGH的周长． 【分析】由四边形EFGH是矩形，AD是△ABC的高，得到HG∥EF，MD＝HE，进而得到△AHG∽△ABC，由此得到；根据矩形的长是宽的2倍，可设HE＝x，则HG＝2x，AM＝30﹣x，进而利用比例式即可求出矩形的长和宽，由此即可得到矩形EFGH的周长． 【解答】解：∵四边形EFGH为矩形， ∴HG∥EF，HE⊥EF， ∴△AHG∽△ABC， ∴． ∵HE⊥EF，AD⊥EF， ∴HE∥AD， ∴MD＝HE． 设HE＝x，则HG＝2x，AM＝AD﹣DM＝AD﹣HE＝30﹣x， ∵，AD＝30cm，BC＝40cm，AM＝30﹣x，HG＝2x， ∴， ∴x＝12，2x＝24， ∴矩形EFGH的周长为2×（12+24）＝72（cm）． 18．【问题情境】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①CD2＝AD•BD；②AC2＝AB•AD；③BC2＝AB•BD，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”． （1）请证明“射影定理”中的结论③BC2＝AB•BD． 【结论运用】 （2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF． ①求证：△BOF∽△BED． ②若CE＝2，求OF的长． 【分析】（1）利用两个分别相等可证△CBD∽△ABC，得，从而得出结论； （2）①由（1）同理可得BC2＝BF•BE，BC2＝BO•BD，则，且∠OBF＝∠EBD，证明出△BOF∽△BED； ②利用勾股定理求出BE，BO的长，由①知△BOF∽△BED，得，代入即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°＝∠ACB， ∵∠CBD＝∠ABC， ∴△CBD∽△ABC， ∴， ∴BC2＝AB•BD； （2）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OC⊥BO，∠BCD＝90°， ∴BC2＝BO•BD， ∵CF⊥BE， ∴BC2＝BF•BE， ∴BO•BD＝BF•BE， 即， ∵∠OBF＝∠EBD， ∴△BOF∽△BED； ②解：在Rt△BCE中，∵BC＝6，CE＝2， ∴BE2， ∴DE＝4，BO＝3， 由①知△BOF∽△BED， ∴， ∴， ∴OF． 19．（2025•银川模拟）如图三角形ABC，BC＝12，AD是BC边上的高AD＝8．P，N分别是AB，AC边上的点，Q，M是BC上的点，连接PQMN，PN交AD与E．求 （1）若四边形PQMN是正方形，求PQ的长（图一）； （2）若四边形PQMN是矩形，且PQ：PN＝1：2．求PQ、PN的长（图二） （3）若四边形PQMN是矩形，求当矩形PQMN面积最大时，求最大面积和PQ、PN的长 【分析】（1）PN与AD交于点E，设PQ＝x，则AE＝AD﹣ED＝8﹣x，再证明△APN∽△ABC，利用相似比可求出正方形边长； （2）设长方形的PQ＝y则PN＝2y，由△APN∽△ABC，利用相似比列方程即可得到结果． （3）设AE＝x，矩形PQMN的面积为S，利用△APN∽△ABC得相似比，用相似比可得出用含x的式子表示S，从而得出二次函数解析式，根据解析式及自变量取值范围求S的最大值． 【解答】解：（1）设正方形的边长为x， ∵四边形PQMN为正方形， ∴PN∥QM， ∴△APN∽△ABC， ∴，即 ， 解得x＝4.8， ∴正方形的边长是4.8； （2）设PQ＝y则PN＝2y，由（1）得△APN∽△ABC， ∴，即 ， 解得y， ∴PQ，PN， （3）∵四边形PQMN是矩形， ∴PN∥BC，∠PQM＝90°，∠QPN＝90°， ∴△PAN∽△BAC， ∵AD是高， ∴∠ADB＝90°， ∴四边形PQDE是矩形，∠AEN＝90°， ∴，PQ＝DE， 设AE＝x，矩形PQMN的面积为S， 则 ，DE＝8﹣x， ∴PNx，PQ＝8﹣x， ∴Sx（8﹣x）（x﹣4）2+24， ∴当x＝4时，S的最大值为24， ∴当AE＝4时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是24，此时PQ＝4，PN＝6． 20．（2025秋•姜堰区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，矩形DEFG的顶点D，G分别在边AB，AC上，EF在边BC上，AB＝5，BC＝6． （1）若DG＝DE，求DG的长度； （2）连接EG，若∠DEG＝∠B，求DG的长度． 【分析】（1）过A点作AN⊥BC于N点，交DG于M点，如图1，设DG＝x，则DE＝x，先利用等腰三角形的性质得到BN＝CN＝3，则利用勾股定理可计算出AN＝4，易得四边形DENM为矩形，所以MN＝DE＝x，接着利用DG∥BC得到△ADG∽△ABC，则根据相似三角形的性质得到，即，然后解方程即可； （2）过A点作AN⊥BC于N点，交DG于M点，如图1，设DG＝x，则DE＝x，由（1）得AN＝4，MN＝DE，先证明Rt△DEG∽Rt△NBA，则利用相似三角形的性质得到，则可设DG＝4t，BN＝3t，所以MN＝3t，AM＝4﹣3t，然后证明△ADG∽△ABC得到，即，最后求出x，从而得到DG的长． 【解答】解：（1）过A点作AN⊥BC于N点，交DG于M点，如图1，设DG＝x，则DE＝x， ∵AB＝AC，AN⊥BC， ∴BN＝CNBC＝3， 在Rt△ABN中，AN4， ∵四边形DEFG为矩形， ∴DG∥BC， ∴AN⊥DG， ∵∠DEN＝∠ENM＝∠MNE＝90°， ∴四边形DENM为矩形， ∴MN＝DE＝x， ∴AM＝AN﹣MN＝4﹣x， ∵DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC， ∴，即， 解得x， 即DG的长为； （2）过A点作AN⊥BC于N点，交DG于M点，如图1，设DG＝x，则DE＝x， 由（1）得AN＝4，MN＝DE， ∵∠DEG＝∠B， ∴Rt△DEG∽Rt△NBA， ∴， ∴， 设DG＝4t，则BN＝3t，则MN＝3t，AM＝4﹣3t， ∵DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC， ∴，即， 解得x， ∴DG＝4x． 21．（2025秋•老河口市期末）在矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，交AD于点F． （1）如图1，求证：AF2＝BF•EF； （2）当点F是AD中点时． ①如图1，若AD＝6，求AB的长； ②如图2，连接DE并延长交AB于点P，求证：CD＝DE； ③在②的条件下，请直接写出的值． 【分析】（1）根据垂直的定义及矩形的性质得∠AEF＝90°＝∠BAF，证明△AEF∽△BAF得，即可得证； （2）①根据矩形的性质得AD∥BC，AD＝BC，证明△AEF∽△CEB得，继而得到BC＝AD＝2AF，，进一步得BE＝2EF，再根据AF2＝BF•EF，推出，最后根据勾股定理可得答案； ②如图，延长BF、CD交于点G，根据矩形的性质得AB∥CD，AB＝CD，证明△ABF≌△DGF（AAS）得AB＝DG，再根据直角三角形斜边中线的性质即可得证； ③根据等边对等角得∠DEC＝∠DCE，根据矩形的性质进一步推出，结合前面的结论得到AF2＝BF•EF＝3EF2，求出，，可得答案． 【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，交AD于点F， ∴∠AEF＝∠BAF＝90°， 又∵∠AFE＝∠BFA， ∴△AEF∽△BAF， ∴， ∴AF2＝BF•EF； （2）①解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠EAF＝∠ECB，∠EFA＝∠EBC， ∴△AEF∽△CEB， ∴， ∵点F是AD中点，AD＝6， ∴BC＝AD＝2AF，， ∴， ∴BE＝2EF， ∴BF＝3EF， 由（1）知：AF2＝BF•EF， ∴32＝3EF•EF， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：； ②证明：如图2，四边形ABCD是矩形，延长BF、CD交于点G， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAF＝∠GDF，∠ABF＝∠DGF， ∵点F是AD中点， ∴AF＝DF， 在△ABF和△DGF中， ， ∴△ABF≌△DGF（AAS）， ∴AB＝DG， ∴DG＝AB＝CD，即点D是CG的中点， ∵BE⊥AC， ∴∠CEG＝90°， ∴， ∴CD＝DE； ③解：的值为．理由如下： 由②知：CD＝DE， ∴∠DEC＝∠DCE， ∵四边形ABCD是矩形，∠DEC＝∠PEA， ∴AB∥CD， ∴∠PAE＝∠DCE， ∴∠PAE＝∠PEA， ∴PA＝PE，∠ABE＝90°﹣∠PAE＝90°﹣∠PEA＝∠PEB， ∵PE＝PB， ∴PA＝PE＝PB， ∴， 由①知：BE＝2EF，BF＝3EF， 由（1）知：AF2＝BF•EF， ∴AF2＝BF•EF＝3EF•EF＝3EF2， ∵BE⊥AC， ∴∠AEF＝90°＝∠AEB， 在直角三角形AEF中，由勾股定理得：， 在直角三角形ABE中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 即的值为． 22．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为2m，面积为1.5m2．现在要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示．请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求． 【分析】由于有正方形的一边平行于三角形的一边，故可用“A”型的相似三角形的性质求得正方形的边长，最后比较边长的大小即可得到哪位同学的加工方法符合要求． 【解答】解：∵直角三角形木板的一条直角边AC长为2m，面积为1.5m2， ∴2×BC＝1.5， ∴BC＝1.5m，AB＝2.5m， 在甲同学的加工方法图①中，设正方形的边长为ym， ∵四边形CDEF是正方形， ∴DE∥CB， ∴△ADE∽△ACB， ∴，即：， 解得y（m）， 即正方形CDEF的边长为m； 在乙同学的加工方法图②中，过点C作CG⊥AB于点G，交MN于K，则CK⊥MN． Rt△ABC中，AB边上的高CG1.2（m）． 设正方形的边长为xm， ∵四边形MNPQ是正方形， ∴MN∥AB， ∴△CMN∽△CAB， ∴，即， 解得：x（m）， 即正方形CDEF的边长为m． ∵， ∴甲的方法符合要求 23．（2025秋•镇海区校级期中）【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BC＝CD，求证：BC2＝BD•AB； 【尝试应用】 （2）如图2，在△AEC中，∠E＝90°，D为AE边上一点，若∠A＝2∠ECD，ED•AC＝5，求CD； 【拓展提高】 （3）如图3，四边形ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，AD＝DC＝2，tanB＝2，点F是边DA延长线上一点，连接CF交边AB于点M，过点C作∠FCE＝∠B交射线BA于点E，设AM＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式． 【分析】（1）先由两角相等证明△ABC∽△CBD，然后由相似三角形对应边成比例即可得出结论． （2）通过构造等腰△CDF，再由两角相等证明△CFD∽△AFC得到AC＝AF，即可由（1）的结论求出CD． （3）通过辅助线CG由tanB＝2求出BG的长度，然后由两角相等证明△MCE∽△CBE，再结合相似三角形对应边成比例和勾股定理得出关于x和y的等式，整理即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，BC＝CD， ∴∠B＝∠ACB，∠B＝∠BDC． ∴△ABC∽△CBD， ∴， ∴BC2＝BD•AB． （2）如图，延长AE，使EF＝DE，连接CF，根据等腰三角形的性质，CD＝CF，∠DCF＝2∠DCE． ∵∠CFD＝∠AFC，∠A＝∠DCF． ∴△CFD∽△AFC， ∴AC＝AF． 同理（1）可得CD2＝CF2＝EF•AF＝ED•AC＝5． ∴CD． （3）过点C作BE的垂线，垂足为G．易知四边形ADCG为正方形，则AG＝CG＝2． 由tanB2，BG＝1，AB＝BG+AG＝3． ∵∠MCE＝∠CBE，∠MEC＝∠CEB， ∴△MCE∽△CBE， 同理（1）可得CE2＝ME•BE＝（x+y）（3+y）， 在Rt△CGE中，CE2＝CG2+EG2＝4+（3+y）2． ∴（x+y）（3+y）＝4+（3+y）2． 整理得：y． 24．（2026春•皇姑区月考）【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．设AD＝a，BD＝b，CD＝m． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a，b的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝（a+b）2； 小颖说：也可以用含a，b，m的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝a2+b2+2m2 ； 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则m＝　　 ； 小亮说：可以用含a，b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为　　 ． 并进一步可以得到a+b与的大小关系为　　 ． （温馨提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半） （2）若Rt△ABC的面积为9，直接写出m的最大值． 【迁移应用】 （3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为18平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 【分析】（1）根据勾股定理以及垂线段最短原理进行作答； （2）利用（1）当中得到的不等式原理进行作答； （3）设长方形种植实验地的长为a，宽为b，然后将小栅栏的总长度表示出来，再利用（1）当中的不等式原理进行作答． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB于点D， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴由勾股定理可知：AC2＝AD2+CD2＝a2+m2，BC2＝BD2+CD2＝b2+m2， ∴AC2+BC2＝a2+b2+2m2， ∵则AC2+BC2＝（a+b）2， ∴a2+b2+2m2＝（a+b）2， ∴m2＝ab， ∴； 由垂线段最短原理可知：Rt△ABC的斜边上的中线的长大于等于CD，即， ∴． 故答案为：a2+b2+2m2，，，． （2）∵∠ACB＝90°， ∴， 由（1）中所得不等式规律可知：， ∵， ∴AC×BC＝18， ∴AB≥6， ∵， ∴， 即m的最大值为3． （3）设长方形种植实验地的长为a，宽为b， 则小栅栏的总长度为2a+4b， ∵长方形种植实验地的面积为18， ∴ab＝18， ∴， ∴小栅栏的总长度最少为24米． 25．（2026•济源模拟）【定义】 如果从某一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，该对角线可称为“垂中对角线”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在▱ABCD中，BF⊥AC于点E，交AD于点F，若F为AD的中点，则▱ABCD是垂中平行四边形，E是垂中点． 【应用】 （1）①菱形　不可能　 （填“可能”或“不可能”）是“垂中平行四边形”． ②如图1，▱ABCD是“垂中平行四边形”，其中AC是“垂中对角线”，则的值为　　 ． （2）如图2，在矩形ABCD中，，AD＞AB．若该矩形是“垂中平行四边形”，且AC是其“垂中对角线”，求AB的长． （3）如图3，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CE＝2AE＝4，BE＝3．若BC是某个“垂中平行四边形”的边，点E为该“垂中平行四边形”的垂中点，点A在垂中平行四边形的边上，请直接写出这个“垂中平行四边形”的周长． 【分析】（1）①由菱形对角线的性质，就可以判定； ②过点D，作DH∥BF，四边形BFDH是平行四边形，易证点H也是BC中点，由平行线分线段成比例，可知AE＝EG＝GC，所以； （2）过点B作BE⊥AC，垂足为F，交AD于点E，四边形ABCD是矩形，也是“垂中平行四边形”，证明Rt△ABE∽Rt△BCA，根据边长成比例，求出AB； （3）分三种情况，运用平行四边形性质，相似三角形，判定“垂中平行四边形”，再结合平行四边形的性质，勾股定理，求出四边形的周长． 【解答】解：（1）①不可能．因为如果从某一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”， 而菱形的对角线互相垂直，点F与D点重合，不是AD中点，所以菱形不是“垂中平行四边形”； 故答案为：不可能； ②过点D，作DH∥BF，交AC于点G，交BC于点H，如下图， ∵四边形ABCD是“垂中平行四边形”， ∴，FD∥BH，AD＝BC， ∴四边形BFDH是平行四边形， ∴，即点H也是BC中点， ∴AE＝EG＝CG， 即． 故答案为：； （2）过点B作BE⊥AC，垂足为F，交AD于点E，如图 ∵矩形ABCD是“垂中平行四边形”， ∴，， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAE＝∠ABC＝90°， ∵BE⊥AC，垂足为F， ∴∠BAC+∠ABE＝90°，∠BAC+∠BCA＝90°， ∴∠ABE＝∠BCA， ∵∠ABC＝∠EAB＝90°， ∴Rt△ABE∽Rt△BCA， ∴， ∴， ∴． （3）∵CE＝2AE＝4， ∴AE＝2， 构成“垂中平行四边形”，分三种情况 ①过点A作AD1∥BC，过点C作CD2∥AB，AD1与CD2相交于点D，延长BC交AD于点F，如下图 ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴，即， ∴点F是AD中点， ∵BE⊥AC， ∴四边形ABCD是“垂中平行四边形”， 由勾股定理可得，， ， ∴； ②过点C作CD1∥AB，与BE的延长线交于点D，过点D作DF1∥BC，交BA的延长线于点F，如下图 ∵四边形BCDF是平行四边形， ∴AB∥CD，BF＝CD，BC＝FD， ∴，即，点A是BF中点， ∵BE⊥AC， ∴四边形BCDF是“垂中平行四边形” 由①知， ∴； ③过点A作AD1∥BC，交BE的延长线于点D，连接CD，过点B作BF1∥CD，交DA的延长线于点F，四边形BCDF是平行四边形，如下图 ∴BF＝CD，BC＝FD， ∵AD∥BC， ∴，即，， 点A是DF的中点， ∵BE⊥AC，BD是对角线， ∴四边形BCDF是“垂中平行四边形”， 由勾股定理可得，， 由①知BC＝5， ∴． 26．（2025秋•深圳期末）【问题情境】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①CD2＝AD•BD；②AC2＝AB•AD；③BC2＝AB•BD，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里德在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”． （1）请证明“射影定理”中的结论②AC2＝AB•AD． 【结论运用】 （2）如图2，等腰直角△ABC的腰长为12，点O是斜边AC的中点，点E在AB上，连接CE，过点B作BF⊥CE，垂足为F，连接OF． ①求证：△COF∽△CEA． ②若BE＝4，求OF的长． （3）如图3，在△ABC中，已知∠BAC＝90°，过点A作AD⊥DE，交BC于点D，此时∠BAD＝2∠C，若，请直接写出的值．（用含n的代数式表示） 【分析】（1）证明△ACD∽△ABC，从而得出AC2＝AB•AD； （2）①由射影定理得BC2＝CF•CE＝OC•AC，进而证得△COF∽△CEA； ②根据勾股定理得出CE和AC的长，进而得出OC的长，根据△COF∽△CEA得出，进而得出结果； （3）作AF⊥BC于F，作EG⊥BC于G，可证得△ADF∽△DEG，从而，不妨设BA＝1，AC＝n，从而得出BC，BF，CF，可推出DF＝BF，根据面积法表示出AF，设EG＝x，CG＝nx，从而表示出DG＝CF﹣CG﹣DF，进一步得出结果． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∴AC2＝AB•AD； （2）①证明：∵AB＝AC，O是AC的中点， ∴OB⊥AC， ∵∠ABC＝90°，BF⊥CE， ∴由射影定理得：BC2＝CF•CE＝OC•AC， ∴， ∵∠ACE＝∠OCF， ∴△COF∽△CEA； ②解：∵BE＝4，AB＝BC＝12，∠ABC＝90°， ∴4，ACAB＝12，AE＝8， ∵O是AC的中点， ∴OC＝6， 由①得：△COF∽△CEA， ∴ ∴， ∴OF； （3）如图， 作AF⊥BC于F，作EG⊥BC于G， ∴∠AFD＝∠EGD＝90°， ∴∠FAD+∠ADF＝90°， ∵AD⊥DE， ∴∠ADE＝90°， ∴∠ADF+∠EDG＝90°， ∴∠EDG＝∠FAD， ∴△ADF∽△DEG， ∴， ∵， ∴不妨设BA＝1，AC＝n， ∴BC， 由射影定理得， BF，CF， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAF+∠CAF＝90°， ∵∠AFC＝90°， ∴∠C+∠CAF＝90°， ∴∠BAF＝∠C， ∵∠BAD＝2∠C， ∴∠BAD＝2∠BAF， ∴∠BAF＝∠DAF， ∴∠B＝∠ADF， ∴AB＝AD， ∴DF＝BF， 由S△ABC得， AF， ∵tanC， ∴设EG＝x，CG＝nx， ∴DG＝CF﹣CG﹣DF， ∴， ∴x， ∴EG， ∴． 25 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $