湖南省湘潭市第一中学2026-2027学年高二上学期9月开学检测数学试题

**基本信息** 2026年高二开学数学检测聚焦统计与立体几何核心知识，通过分层设问与跨模块综合题，检测暑期学习效果，培养空间观念与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|上四分位数、斜二测画法、独立事件|基础概念与空间想象结合，如第2题斜二测画法还原面积| |多选题|3/18|圆台体积、样本方差、平行六面体|多选项分层考查，如第10题综合样本数据特征分析| |填空题|3/15|正三棱柱体积、四面体重心、概率应用|情境化问题设计，如第14题雨伞使用概率模型| |解答题|5/77|频率分布直方图、五面体面面垂直、祖暅原理|跨模块综合，如第19题结合祖暅原理推导球缺体积，体现数学文化与创新意识|

2026年高二年级9月开学检测 数学试题 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的) 1.样本数据2,8,14,16,20的上四分位数为（) A.14 B.15 C.16 D.18 2.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形AB'CD,已知AB=6,C'D'=2,则四边形ABCD的 面积是() O(4) B A.162 B.8√2 C.8 D.16 3.某学习小组共有6人，其中男生4人、女生2人，在一次考试中男生得分的平均数为90、方差为12，女生得分 的平均数为81、方差为9，则该小组这次考试的总体方差为() A.29 B.37 C.84 D.87 4.在正四棱台ABCD-AR,CA中，AB=3,4R=2,若二面角A-CD-C的大小为牙，则正四棱台ABCD-4BCD 的体积为（) A.19V3 c.193 2 B. 6 5.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，分别标有数字1,2,3,4，从中不放回地依次随机取出两个球事件A=“第 一次取出的球的数字是1”，事件B=“第二次取出的球的数字是2”，事件C=“两次取出的球的数字之和是4”，则() A.A与B相互独立 B.A与C相互独立 C.B与C互斥 D.P(C)= 6.在四面体ABCD中，点P,O满足BP=PD,A⑨=2QC,记PO=xAB+yAC+-AD,则x+y+z=() A司 B. 6 c.g D. 7.如图，在平行六面体ABCD-ABC1D中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，∠AAB=∠AAD=60°，DA⊥AB, 则BD的长为() D D A.66 B.6V5 C.65 D.62 试卷第1页（共5页） 8.已知A,B为两个随机事件，PA=0.7,P(B)=0.4,则下列结论错误的是() A.P(A=0.3 B.若A≤B,则P(AB)=0.3 C.若P(AB)=0.2,则P(A+B)=0.9 D.若A,B互斥，则P(A+B)=0.7 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.如图，已知圆台OO'的下底面直径AB=4,母线BC=2,且AC⊥BC,P是下底面圆周上一动点，则() ●O' …aB A.圆台OO的侧面积为6π B.圆台O0的体积为75， 3 C.当点P是弧AB中点时，三棱锥A-BCP的内切球半径？>名 D.PA+2PC的最大值为6√2 10.已知样本数据x1,x2,,x的平均数为3，方差为3，样本数据，乃，，的平均数为3，方差为6，则下列结论 正确的是() A.数据2x1+1,2x2+1,…,2x5+1的平均数为7 B.数据2y-1,2y2-1,,2y0-1的方差为11 C.数据x1,x,,,,y2,,0的平均数为3 D.数据1，X2,,X5,,y2,,10的方差为5 11.在平行六面体ABCD-ABC1D1中，AB=AD=AA1=1,∠BAD=∠BA4=∠DA4=60°.则（) A B A.AB AD= B.AC1的长为6 C.AC1⊥平面ABD D.cos(Cc) 3 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有m3水，当侧面A4BB水平放置时，液面高为m（如图1)；当 试卷第2页（共5页） 转动容器至截面ABC水平放置时，盛水恰好充满三棱锥A-ABC(如图2)，则= B C E B B 图1 图2 13.在四面体P-ABC中，Q为△ABC的重心，B,R,G分别为侧棱PA,PB,PC上的点，若PE=PA,P丽=P丽， PG=号PC,PQ与平面BrG交于点D,则D OD 14.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如 果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家如果天不下雨，那么他不带雨伞假设每 天上班和下班时下雨的概率均为分，不下雨的概率均为？，且与过去情视相互独立现在两把雨伞均在家里，那么连 续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为一 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.（13分)为纪念建党100周年，某校举办党史知识竞赛，现从参加竞赛的同学中，选取200名同学并将其成绩 (百分制，均为整数)分成六组：第1组[40,50)，第2组[50,60)，第3组[60,70)，第4组[70,80)，第5组[80,90)， 第6组[90,100].得到如图所示的频率分布直方图. 率 个组距 0.0280--------- 0.0232 0.0156 0.0040--T 0人45060708090100分数 (1)求a的值，并估计这200名学生成绩的中位数； (2)若先用分层抽样的方法从得分在[40,50)和[50,60)的学生中抽取5人，然后再从抽出的5人中任意选取2人，求 此2人得分恰在同一组的概率. 16.(15分)如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形CDEF均为等腰梯形，AB/1CD, CD/EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AE=2W3,AD=BC=V10,M是CD的中点. 试卷第3页（共5页） (I)证明：平面ABCD⊥平面CDEF: (2)求平面BCM与平面BEM所成角的余弦值： (B)是否存在点N在线段AM上，使得直线BN与平面BBM所成角的正弦值为31？若存在，请求出4M的值； 26 若不存在，请说明理由、 17.(15分)如图，在正方体ABCD-ABC1D中，点G,E,F,P分别为棱AB,DC1,B,C,A4的中点，点M是棱AD 上的一点，且DM=3AM D M B D G B (1)求证：D,B,F,E四点共面： (2)求证：DGI平面DBFE: (3)记知点N是棱AB上的一点，且平面PN/平面DBFB,求 4B的值. 18.（17分)回答以下问题： 、B D B C 图1 图2 (1)如图1，设点O为三棱锥A-BCD外接球的球心，过O作OO⊥平面ABC于点O,作O0O21平面BCD于点O2.设 棱BC的中点为E,连接OE,OE.设二面角A-BC-D为8(0<0<π)，OE=m,OE=n,OA=片，OD=5, 球O的半径为R.求证： i.O为△ABC的外心； 试卷第4页（共5页） ii.O,Q,O,E四点共面： ii.R2=2+n-mcos8)） =2+ n-ncose sin sin 注：当三棱锥的形状变化时，图1的形状也可能发生变化（例如图2）.事实上，上述求解的公式对任意三棱锥 都成立，不过你只需基于图1证明即可. (2)已知等边三角形PQM的边长为2，直线l将其分成两个多边形.将其中一个多边形绕1旋转角度a(0<<元)， 然后以这两个多边形为底面，连接它们边界上的对应点，构成一个多面体.若该多面体的所有顶点都在同一个球面 上，求该球半径的最小值. 19.(17分)我国南北朝数学家祖暅于5世纪末提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖堩原理”， 意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总 相等，那么这两个几何体的体积相等。 图1 图2 (1)如图1，左边是半径为R的半球，右边是底面半径和高都等于R的圆柱，它们的底面在同一个平面α上，在圆柱 内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，现在用平行于平面的平 面去截半球和新几何体，得到如图所示两个阴影面，设底面圆心O到截面的距离为山，分别求图中的两个阴影面积 及新几何体的体积. (2)如图2，一个球体被平面截下的部分叫做球缺截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫 做球缺的高根据祖暅原理，推导半径为R,高为H的球缺的体积公式 (3)若正方体ABCD-ABCD棱长为√2，求该正方体与以A为球心，2为半径的球的公共部分的体积 试卷第5页（共5页） 2026年高二年级9月开学检测 数 学 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A C C D C C ABD ACD 题号 11 答案 AC 12． 13． 14． 15．（1）由频率分布直方图可得：，解得； 由频率分布的直方图可得设中位数为m，故可得，解得， 所以这200名学生成绩中位数的估计值为76； （2）由频率分布直方图可知：得分在和内的频率分别为0.04和0.06， 采用分层抽样知，抽取的5人，在内的人数为2人，在内的人数为3人. 设分数在[ 40，50 )内的2人为，分数在[ 50，60 )内的3人为， 则在这5人中抽取2人的情况有：，，，，，，，，，，共有10种情况， 其中分数在同一组的2人有，，，，有4种情况， 所以概率为. 16．(1)取的中点，连结， 由已知得，是边长为2的等边三角形，是以为腰的等腰三角形， 则，故, 故平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则， ，， 显然平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 由，取，得， 所以， 故平面与平面所成角的余弦值； （3）由上可知，， ，， 假设存在点在线段上，设，则， 所以， 设直线与平面所成角为， 则， 可得或（舍），所以， ， 所以存在点在线段上，且. 17．(1)证明如下： 连接，因为点分别为棱的中点，则， ∵在正方体中且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴四点共面； (2)证明如下： 连接、分别交、于点、，连接， 在正方体中，且， ∴，则， 同理可得， ∴， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （3）因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以， 又，所以，因为，所以. 18．(1)i．因为平面，，，平面， 所以，，， 则，，． 又点为三棱锥外接球的球心，则， 因此，即为的外心． ii．因为为的外心，且为的中点，所以．同理可证． 因为，平面，，所以平面． 因为平面，平面，所以． 因为，平面，，所以平面． 因为过点有且仅有一个平面与直线垂直， 所以平面与平面重合，即，，，四点共面． iii．因为，，所以是二面角的平面角，即． 设．因为，，，四点共面，所以在图1中，有． 因为平面，平面，所以．同理． 因此，即，解得． 因此． 因为（i．问中已经证明），所以． 同理，，． 因此． （2）在图1中有，因此由（1）的第iii问可得，对给定的，，和， 当在内变化时，若，则，此时当时，取得最小值； 若，则，此时当时，取得最小值； 若，则，此时， 因此当趋近于时，趋近于其下界（但无法取得）． 由对称性，仅需考虑以下两种情况：情况1：，设， 此时两个多边形为和，多面体为三棱锥 ， 设和的外接圆半径分别为，， 则由正弦定理，．而，等号成立当且仅当点为中点． 因此由前述结论，当趋近于时且为中点时，趋近于其下界． 情况2：与线段，各有一交点（非端点），设，， 此时两个多边形为和四边形， 多面体为四棱锥 （这里为旋转后的对应点）． 若该四棱锥有外接球，则四边形有外接圆，即． 此时，设和四边形的外接圆半径分别为，，（）， 则，，． 因为，且当（即为的中位线）时，取得最小值， 所以由前述结论，的最小值为． 综上，外接球半径的最小值为． 19．（1）在图1中的半球中，阴影面为一个圆面， 由球的截面圆性质，可知截面圆半径为，则阴影面积为； 在图1中的圆柱中，阴影面为两个同心圆所夹的圆环面， 因圆柱的底面半径和高都等于R，故小圆的半径为，大圆半径为，则阴影面积为， 因，故新几何体的体积等于半球体的体积，即. （2） 不妨设，先用与水平面平行且经过球缺所在球的球心的平面截球缺得到如图所示的球台， 则球台的高为，下底面半径为，上底面半径为， 由祖暅原理，球台体积等于与之等高，底面半径相等的圆柱挖去一个与之等高的小圆锥余下的几何体的体积， 其中小圆锥的底面半径为，则球台体积为， 将其加上半球的体积，即得球缺的体积：. 若，则可先计算另一半高为的大球缺体积，再用球的体积减去大球缺的体积， 即得小球缺的体积为. （3）依题意，该正方体与以A为球心，2为半径的球的公共部分是球体的，去掉3个包含点的正方体的面截球所得球缺的. 因，高为的球缺体积为：， 故所求的公共部分的体积为：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高二年级9月开学检测 数 学 试 题 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．样本数据的上四分位数为（   ） A．14 B．15 C．16 D．18 2．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形ABCD的面积是（    ）    A． B． C．8 D．16 3．某学习小组共有6人，其中男生4人、女生2人，在一次考试中男生得分的平均数为、方差为，女生得分的平均数为、方差为9，则该小组这次考试的总体方差为（    ） A． B． C． D． 4．在正四棱台中，，若二面角的大小为，则正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 5．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回地依次随机取出两个球.事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是4”，则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与互斥 D． 6．在四面体中，点，满足，，记，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 8．已知为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若互斥，则 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图，已知圆台的下底面直径，母线，且，是下底面圆周上一动点，则（    ） A．圆台的侧面积为 B．圆台的体积为 C．当点是弧中点时，三棱锥的内切球半径 D．的最大值为 10．已知样本数据的平均数为3，方差为3，样本数据的平均数为3，方差为6，则下列结论正确的是（    ） A．数据的平均数为7 B．数据的方差为11 C．数据的平均数为3 D．数据的方差为5 11．在平行六面体中，，．则（   ） A． B．的长为6 C．平面 D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有水，当侧面水平放置时，液面高为 （如图1）； 当转动容器至截面水平放置时，盛水恰好充满三棱锥（如图2），则___________. 13．在四面体中，Q为的重心，分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若，，，PQ与平面EFG交于点D，则______. 14．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）为纪念建党100周年，某校举办党史知识竞赛，现从参加竞赛的同学中，选取200名同学并将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组.得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这200名学生成绩的中位数； (2)若先用分层抽样的方法从得分在和的学生中抽取5人，然后再从抽出的5人中任意选取2人，求此2人得分恰在同一组的概率. 16．（15分）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，是的中点．    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)是否存在点在线段上，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 17．（15分）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：四点共面； (2)求证：平面； (3)已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值． 18．（17分）回答以下问题： (1)如图1，设点为三棱锥外接球的球心，过作平面于点，作平面于点．设棱的中点为，连接，．设二面角为（），，，，，球的半径为．求证： i．为的外心； ii．，，，四点共面； iii．． 注：当三棱锥的形状变化时，图1的形状也可能发生变化（例如图2）．事实上，上述求解的公式对任意三棱锥都成立，不过你只需基于图1证明即可． (2)已知等边三角形的边长为，直线将其分成两个多边形．将其中一个多边形绕旋转角度（），然后以这两个多边形为底面，连接它们边界上的对应点，构成一个多面体．若该多面体的所有顶点都在同一个球面上，求该球半径的最小值． 19．（17分）我国南北朝数学家祖暅于5世纪末提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. (1)如图1，左边是半径为R的半球，右边是底面半径和高都等于R的圆柱，它们的底面在同一个平面上，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，现在用平行于平面的平面去截半球和新几何体，得到如图所示两个阴影面，设底面圆心O到截面的距离为d，分别求图中的两个阴影面积及新几何体的体积. (2)如图2，一个球体被平面截下的部分叫做球缺.截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高.根据祖暅原理，推导半径为R，高为H的球缺的体积公式. (3)若正方体棱长为，求该正方体与以A为球心，2为半径的球的公共部分的体积. 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $