湖南省邵阳市2026-2027学年高二上学期拔尖创新班9月联考数学试题

2026年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 题号 1 2 6 P 答案 心 A A O 0 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 AB ACD BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1 12.9 13.e 14.V29+4 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分) sin Acos B 2sin C sin Acos B+sin Bcos A 2sin C +1= (1)解：在△ABC中，由题意得：sin BcosA sinB,即 sin Bcos A sin B, sin C 2sin C osA= 得sin Bcos A sin B,解得 2 …4分 A∈0，π A= ,故 3.…5分 0<B< 2 0<B< 2 B+C= 2π 0 2-B< (2)解：由于该三角形为锐角三角形， 3,有 即( 正<B< 解得6 2 …7分 a b 由正弦定理得：sin A sin B sinC, 都释6=25smB.c=25snC=25sn(- …9分 则△ABC的周长 -3+2n8+ …11分 又因为6 解得△ABC的周长L的取值范围为 3+3V3,9 …13分 16.(15分) be d=- a =b 2 (1)解：因为右焦点F(c,0)到渐近 y=±bx a的距离 /hx a2 ,故b=1.…2分 e=c-v6 又a2,且c2=a2+b2,解得a2=2,b=1,c2=3, x2 则曲线℃的标准方程为之一严=】 …5分 (2)证明：设P(m,m),A(,）,B(,）,先证该双曲线在点P处的切线方程为 mx-2ny =2 …7分 证明过程如下： mx-2ny =2 x2 联立2y2=1 ,整理有(2n2-m)y2+4my+2-m2=0 m2 -n2=1 由于2 则2m2-m2≠0，△=16m2-4(2m2-m)(2-m2)=0 故直线与双曲线相切，证毕.… …10分 mx-2y=2, 联立2广=0， 符（2m-m)产+4+2=0，则片，为为方程的解。 y+y2= -2n 故2 2n2-m2=n ,故P为线段AB的中点.… …15分 17.(15分) (1)证明：因为AD⊥AB,PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,PA上AD,故建立如图所示的空间直 角坐标系，由AB=2,BC=2,CD=1,底面ABCD为直角梯形，解得AD=V5. 2 A” 则B(2,00),D0,5,0,15,1.P(0,02) 在平面BD0中，BD=(25,0）,D0-L0,)】 …2分 设平面BD卫的一个法向量为m=(:,h,), BD.m=0 ∫-2x+V3y=0 则D0m=0,即x+名=0 取=V5.解得m=(5,25) …5分 因为点E在P0上.设PE=2P四=5，-则正=P+P呢=（久3A,2-) 因为AE∥平面BD卫，所以AE·m=0,解得一2，故B为线段P的中点.…7分 (2)解：在平面DP0中，DD=(L0,l).DP=(0,-V5,2) 设平面DP吧的一个法向量为i=(3,少，3)， Do.=0 x2+22=0 则DF万=0，即-5%+22，=0， 取5=5，解得i=(5,-2-) …0分 m列1 记面BDO与面DPO的夹角为B,则 os0=lcos(m.= m同5 1 故平面BD0与平面DP2的夹角的余弦值为5. 。。。。。。。。 。。。。。。。。。 …15分 18.(17分) ￥t7-e+y,0-ha.a+2了o-日 故切线方程为 …4分 2)解：当k=l时，f)=h(a+x）-arf)=1-a dI-a-x a -a= a+x a+x,x>-a, 知f代因在区回-a。”上单通道藏，o (1-a,+0 )上单调递减， nfem=f日a=a-na-1s0 恒成立. …6分 设8(a）=a-ha-1.a>0.g'(a)=2a-月 02 故8(a)在区间 2 )上单调递减，在区间 2 )上单调递增， 且四g(@=+og①=0又>2：可知当a>1时8(@>8=0 故a的最大值为l. …9分 (3)解：f()=l血(a+)ak,令x=l,由题可知f()=n(a+)-ak≤0，故k>0, f()=1-k=k1-ak-x a+x a+xak令f(x)=0m-二月 ak …10分 当0<6石.刊T区可Q)小.在么+eL*网花按 f(x)m=f(xo)=In(a+x)-akxo=a'k-In(ak)-15O 设(a)=ak-n(ak)-10<a<K,欲存在唯一的正数a使得h(a)s0 可知只需使得h(a)m=0(且取得最小值的a值唯一)， sa如2c-oa=号目1- 2 k=- 解得C.. …13分 当《之时，x≤0，则f(x)在(0，+∞)上单调递减， limf(x) 欲使满足题意，则0 0,即ha≤0，解得a≤1，放之7之 1 ≤a2≤1 若k>1且给定，显然满足k 的a值不唯一： 1 若-1.则情足之。 k2 的a的值为1： 若不存在其他满足题意的a,即可保证k=l时，有唯一的a满足题意，此时a=1: 但当k=l时，f(x)=lh(a+x)-ax 2 a∈ 1 2 由(2)知， 当（ 时，均可使得f(x)≤0，故a的值不唯一： 2 k= 综上所述， e时，可保证存在唯一的a满足题意。…… …17分 19.(17分) (1)证明：因为a,=b+bl,b+2=pb1+gb+Fn,n∈N, 直接计算得： an2=Ab2+ub3=(pb+qo+F)+u(pba2+qb+) =p(b+ub)+q(b+b+AF+F) pa+qa+(F+uF) …3分 又a+2=pa+1+qa,+Fn, 故E,+uFn1=Fn,则(2-l)F.+Fn=0,n≥1 F1=1-入 由于无，4是非零常数，F0,则F业，则F}为等比数列.…5分 (2)解：(i)由题意得b2=2b+4b.+Fn,取n=L,解得F=-10 2 = 3 2+24=1 1 u= 又4，=.+b1,取n=1,2,得2元-2μ=1，解得 6 21hF=1-=2 即 =b+b,,则E。=-5x2” 故}的前n项和 =-100,）-10×0-2）=10-5×2 1-2 …9分 (i)由(i1)知，b2=2b1+46,-5×2”,等式左右同时除以2*2， 1bn5 +2”-4 b2-5+1xb=1-v5×b-5+lxb_5 一X -XI -× 2n+2 待定系数法解得 221 2222厂4 …11分 b1-V5+1b2 1-5 5 .=22 xC 记 2”，则 2 4 继续待定系数可得 55-急5+1455-35-3 8 2222 8 8 5 8 1-5 35-3 是以公比为2，首项为8的等比数列， -4y ,停 …13分 设存在常数x,y,使得 ”学会 3V5 5 y=- 解得 20 4 。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。 …15分 15+3V5 √5+1 则数列 丁是以 40为首项，2为公比的等比数列， 55 所以 50-5j-5+5j+5x2 解得 …17分 注：解答题其它解法酌情给分. 秘密★启用前 姓名____________________ 准考证号____________________ 2026年9月邵阳市高二拔尖创新班联考试题卷 数 学 本试卷共4页，19个小题．满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．一组数据3，1，4，1，5，9，2，6，5，3的中位数是 A．3 B．3.5 C．4 D．7 2．双曲线的两条渐近线的夹角为 A． B． C． D． 3．复数的共轭复数为 A． B． C． D． 4．已知，，．则在上的投影向量为 A． B． C． D． 5．已知正项等比数列，其前n项和为．若，，则 A． B． C． D． 6．在四棱锥中，，，．若该四棱锥的外接球球心在底面内，则该四棱锥的体积为 A． B． C． D． 7．已知钝角满足，则 A． B． C． D． 8．设函数，，则下列说法正确的是 A．的最小值为0 B．若，则的极值点也是其零点 C．可能存在两个不同的零点 D．可能存在三个不同的零点 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．函数（，，）的部分图象如图（一）所示，图象与x轴的一个交点为，与y轴的交点为N，是最高点，若，则 A． B． C． D．直线与函数的图象一共有四个交点 10．如图（二），在四棱锥中，，平面，取棱的中点为E，连接，则下列说法正确的是 A．存在点P，使得 B．存在点P，使得 C．不存在点P，使得 D．线段的长度恒为1 11．已知圆，圆，直线，点P为直线l上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B；过P作圆的两条切线，切点分别为C，D，O为坐标原点，则下列说法正确的是 A．直线l是圆与圆的公共弦所在直线 B．对于直线l上任意一点P，都有 C．当直线与相交时，设交点为Q，则Q一定在直线l上 D．若圆G与圆，均外切，记点G到直线l的距离为d，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若，则的最小值为__________． 13．已知函数与具有相同的单调递减区间，则实数__________． 14．函数的定义域为，值域为，对任意x，y均有，则的最小值为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，求周长的取值范围． 16．（15分）双曲线（，）的离心率为，其右焦点到渐近线的距离为1． （1）求双曲线C的标准方程； （2）设点P在双曲线C的右支上，以P为切点作双曲线C的切线，与其两条渐近线分别相交于点A，B，证明：P为线段的中点． 17．（15分）如图（三），在多面体中，四边形是直角梯形，，，，均与平面垂直，且． （1）在棱上取一点E，使得平面，证明：E为棱的中点； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18．（17分）设函数，其中，． （1）若，求该函数在处的切线方程（结果用参数a表示）； （2）若，恒成立，求a的最大值； （3）若存在唯一的正数a，使得当时，恒成立，求满足条件的k的值． 19．（17分）已知数列，，满足，其中，，，且，中至少有一个成立．若存在唯一的非零常数，，使得对任意的正整数n恒成立，则称可由基线性表示． （1）若可由基线性表示，证明：为等比数列； （2）若，，且，，可由基线性表示． （ⅰ）求的前n项和； （ⅱ）求的通项公式． 学科网（北京）股份有限公司 $