14.3 角的平分线-【新课程能力培养】2026-2027学年八年级上册数学同步练习（人教版·新教材）

全等三角形 第十四章 14.3 角的平分线（第一课时） 知识梳理@形成联系 【知识点1】角平分线的性质 ©角的平分线上的点到角的两边的 相等 ◎三角形三条 的交点到三边的距离相等 1.如图14.3-1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC,BD=2,则点D到AC的距 离是 2.如图14.3-2，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于？M的长为半径画弧，两孤交于点 P,作射线AP交BC于点D,CD=3,AB=14,则△ABD的面积是 图14.3-1 图14.3-2 图14.3-3 3.如图14.3-3，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠CAB,交BC于点D,DE⊥ AB于点E,AB=10,则△DEB的周长为() A.9 B.5 C.10 D.不能确定 4.如图14.3-4，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC,CD⊥AB,垂足为D. (1)若∠A=38°，求∠BEC的大小 (2)若BC=12,DE=4,求△BCE的面积. 图14.3-4 【知识点2】证明几何命题的步骤 ©明确命题中的 和 根据题意画出 并用 表示已知和求证； 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程， 43 数学 八年级上册（人教版） 例题点拨Q素养导向 多 【例】证明：全等三角形对应角的平分线相等我们在证明文字命题时，通常应遵循这样 的步骤： (1)首先，要弄清命题的条件和结论，那么这个命题的条件是 ；结论是 (2)其次，要结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形.如图1所示，线段AD是 △ABC的角平分线，请用尺规作图，作出图2中△A'B'C的角平分线A'D'交B'C'于点D'. (保留作图痕迹，不写作法)》 (3)最后，结合所画图形和这个命题的条件和结论写出已知和求证，并进行证明. 已知：如图， ≌ 线段AD,A'D分别是 △ABC和△A'B'C'的角平分线 求证： 图1 图2 证明： 图14.3-5 【点拨】根据几何命题的证明步骤先找出已知和求证再画出图形，最后给出证明. 夯实四基达标闯关 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC,DE LAB于点D.若AC=5cm,则 AE+DE=() A.2 cm B.3 cm C.4cm D.5 cm D 第1题图 第2题图 2.如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四 边形ABCD的面积是() A.24 B.28 C.30 D.42 44 全等三角形 第十四章 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,点F在AC上， BD=DF.求证： (1)CF=EB. (2)AF+EB=AE. 第3题图 4.如图，O是△ABC的两条角平分线B0,C0的交点，过点O作OD⊥BC于点D,OD= 3,若△ABC的周长是24，求△ABC的面积. D 第4题图 能力提升螂综合拓展 一卡卡 5.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,DG⊥AC于点G,点G为AC的中点，DE⊥BA 于点E,DF⊥BC于点F求证：AE=CF: 第5题图 中考链接©真题演练 -卡多B 6.(2025·资阳)如图，在射线BA,BC上，分别截取BM,BN,使 BM=BN;再分别以点M和点N为圆心、大于线段MN一半的长为半径作 圆弧，在∠ABC内，两弧交于点D,作射线BD:过点D作DE∥BC交 BA于点E.若∠BDE=30°，则∠AED的度数是（） B A.30° B.45° C.60° D.75° 第6题图 45 数学 八年级上册（人教版） 14.3 角的平分线（第二课时） 知识梳理@形成联系 【知识点】角的平分线的判定 ◎角的内部到角两边距离 的点在角的平分线上 1.如图14.3-6，PM⊥AC于点M,PN⊥AB于点N,PM=2,当PN= 时，点P在 ∠BAC的平分线上. 2.如图14.3-7，∠A0B=70°，QC1OA于点C,QD⊥OB于点D,若QC=QD,则 ∠A0Q= 3.如图14.3-8，AB∥CD,点P到AB,AC,CD的距离都相等，则∠P的度数为 MC 图14.3-6 图14.3-7 图14.3-8 4.如图14.3-9，CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,CD与BE相交于点F,BF=CF求 证：点F在∠BAC的平分线上 E 图14.3-9 全等三角形 第十四章 例题点拨Q素养导向 【例】如图14.3-10，D,E是AC上两点，F,G是AB上两点，且DE=FG,S△m=S△0rc 求证：点O在∠BAC的平分线上. 【点拨】作OP⊥AC于点P,OQ⊥AB于点Q,根据等底等高的两个三角形面积相等，得 到OP=OQ,根据角平分线的判定定理即可求证.本题主要考查角平分线的判定，掌握到角两 边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键. 图14.3-10 夯实四基U达标闯关 1.如图，DB⊥AB,DC⊥AC,BD=DC,∠BAC=80°，则∠BAD的度数为() A.10° B.40° C.30° D.20° P 第1题图 第2题图 2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB 于点E,交AC于点E再分别以点E,F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧（所在圆 的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P.画射线AP,与BC相交于点D,则∠ADC的大小 为() A.60° B.65° C.70° D.75° 3.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,BE= CF.求证：AD是△ABC的角平分线. D 第3题图 口数学 八年级上册（人教版） 4.如图，在△ABC中，∠C=36°，∠ABC=110°，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,DE= DF求∠ADB的度数， 第4题图 能力提升螂综合拓展 5.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E, 过点E作EF⊥AB,垂足为F,且∠AEF=50°，连接DE. (1)求证：AE平分∠FAD (2)求证：DE平分∠ADC. (3)若AB=7,AD=4,CD=8,S△M=15,求△ABE的面积 B D 第5题图 48 全等三角形 第十四章 中考链接⊙真题演练 6.(2022·卧龙区)数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分 线，方法如下： 作法：①在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE; ②分别以点D,E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在 ∠AOB内交于点C; ③作射线OC,则OC就是∠AOB的平分线. 根据以下情境，解决下列问题： (1)李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 小王只带了直角三角板，他发现利用直角三角板也可以作角平分线，方法如下： ①利用直角三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM,ON,使OM=ON; ②分别过点M,N作OM,ON的垂线，交于点P; ③作射线OP,则OP为∠AOB的平分线， (2)小王的作法正确吗？请说明理由. 第6题图 的参 考答案 (HL),.AE=BF..AE=0A-0E=0A-4,BF=0B+OF= 6.证明：△ABC≌△DEF,BC=EF,∠F=∠C, 0B+4,∴.OA-4=0B+4..0A-0B=8.②PE=PF=4, ·OB=OE,.BC-OB=EF-OE,即OC=OF,在△MOF和 PE⊥x轴于点E,PF⊥y轴于点F,.四边形OEPF是 ∠MOF=∠NOC, 正方形，.0E=0F=4.A(10,0),∴.0A=10.,AE=0A- △NOC中 OC-OF. .△MOF≌△NOC(ASA). OE=10-4=6..Rt△APE≌Rt△BPF,.AE=BF=6..∴.OB= ∠FELC, BF-0F=6-4=2.∴.点B的坐标为(0，-2). 7.(1)证明：AB∥DE,.∠B=∠E,在△ABC 14.2三角形全等的判定（第六课时) ∠B=∠E 【知识点1】相等相等1.B2.B 和△DEF中， ∠A=∠D,.△ABC≌△DEF(AAS). 【知识点2】解：(1)AD=BE.理由如下： AC=DF. CA=CB,∴∠CAB=∠CBA.AD⊥BC,BE⊥ (2)解：由(I)可知△ABC≌△DEF,∴BC=EF, AC,∴∠ADB=∠BEA=90P.又AB=BA,∴.△ADB≌ BF+CF=EC+CF,∴.BF=EC,BF=4,FC=3,∴EC=4, △BEA(AAS).AD=BE. .BE=BF+FC+EC=4+3+4=11. (2)'∠DAB=24°，AD⊥BC,.∠ABC=90°- 14.3角的平分线（第一课时) 24°=66°.又CA=CB,AD=BE,.△ADB≌ 【知识点1】距离角平分线1.22.21 △BEA(HL),∴，∠ABC=∠BAC=66°.∴.∠C=180 3.C -66°-66°=48° 4.解：(1)：∠ACB=90°，∠A=38°， 【例】解：，∠CMD=90°，.∠CMA+∠DMB= ∠ABC=90°-∠A=52°.BE平分∠ABC, 90°.又：∠CAM=90°，∴∠CMA+∠ACM=90°，. ∠DBE:号∠ABC=26CD1AB,∠DB=90 ∠ACM=∠DMB.在RE△ACM和Rt△BMD中， ∴.∠BEC=∠DBE+∠EDB=26°+90°=116°.(2)过 ∠CAM=∠DBM 点E作EF⊥BC于点F,,BE平分∠ABC,CD⊥ ∠ACM=∠DMB,∴Rt△ACM≌Rt△BMD(AAS), CM-MD. AB,EF L BC,DE=4,..EF=DE=4..BC=12, AC=BM=3.∴.他到达点M时，运动时间为3÷1 50r号BC+EF--7×12x4-24 3(s).答：该人运动了3s. 【知识点2】已知求证图形数学符号 1.82.B3.90 【例】解：(1)三角形全等：对应角的平分 4.解：：∠DAE=∠BAC,.∠DAE-∠CAD= 线相等。 ∠BAC-∠CAD,∴.∠CAE=LBAD,.△CAE≌△BAD (2)如图，△A'BC的角平分线A'D'交B'C (SAS),.EC=BD=2,EC的长是2. 于点D 5.解：作A'F⊥BD,垂足为FAC⊥BD,∴∠ACB= ∠A'FB=90°.在Rt△A'FB中，∠1+∠3=90°，又 A'B⊥AB,.∠1+∠2=90°..∠2=∠3.在△ACB和 ∠ACB=∠A'FB, △BFA'中， ∠2=∠3， .△ACB≌△BFA' 图 图2 AB=A'B」 例题答图 (AAS),A'F=BC.:AC∥DE且CD⊥AC,AE⊥DE, .CD=AE=1.5m.BC=BD-CD=2.5-1.5=1(m),∴A'F= (3)△ABC,△A'B'C",AD=A'D 1(m),即点A'到BD的距离是1m 证明：△ABC≌△A'BC,.AB=A'B' ∠B=∠B,∠A=∠A'.线段AD,A'D分别是 △ABC和△A'BC的角平分线，.∠BAD=∠BAC, ∠B'A'D'=1∠B'A'C',∠BAD=∠B'A'D', 地面 2 D .△ABD≌△A'BD',AD=A'D. 第5题答图 1.D2.C 55 数学 八年级上册（人教版） 3.证明：(1)AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=点Q,Sm=Sc,DE=FG,.OPOQ,又OP⊥ DF-DB. 90,.DC=DE.在Rt△DCF和Rt△DEB中， AC,OQ⊥AB..点O在∠BAC的平分线上 DC-DE, Rt△DCF≌Rt△DEB(HL),.CF=EB. (2)在R△DCA和R△DEA中，DC-DE, (AD=AD. Rt△DCA≌Rt△DEA(HL),AC=AE,AF+FC= AE,即AF+BE=AE. 例题答图 4.解：作OE⊥AC,OF⊥AB,垂足分别为E,F, 1.B2.B 连接OA.OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD1 3.证明：DE⊥AB,DF⊥AC,△BDE,△DCF BC,OE⊥AC,OF⊥AB,.OD=OE=OF=3.:△ABC 是直角三角形.在Rt△BDE和Rt△DCF中， 的周长是24，Sa=Sam+5amc+5ae=号0D:BC+ BD=DC, Rt△BDE≌Rt△DCF(HL)..DE=DF又 BE=CF. 10EAC+0F-AB-0D(BCAC+AB)-1X3x24- DE⊥AB,DF⊥AC,AD是△ABC的角平分线 36. 4.解：∠C=36°，∠ABC=110°，.∠BAC=180°- 36°-110°-=34°.DE上AB于点E,DF⊥AC于点F, DE=DF,AD平分∠BAC,.∠BAD=17°.∠ADB= 180°-110°-17°=53°. 5.(1)证明：EF⊥AB,.∠AFE=90°.：∠AEF= 50°，∴.∠EAF=90°-∠AEF=90°-50°=40°.：∠BAD= D 100°，.∠DAE=180°-100°-40°=40°=∠EAF,AE平分 第4题答图 第5题答图 ∠FAD. 5.证明：如图，连接AD,CD,BD平分∠ABC, (2)证明：过点E作EM⊥AD于点M,EN⊥BC DE⊥AB,DF⊥BC,.DE=DFDG⊥AC,点G为AC 于点N,BE平分∠ABC,EF⊥AB,.EF=EN,AE 的中点，AG=CG,∠AGD=∠CGD=90°，.在△AGD 平分∠DAF,EF⊥AB,.FE=EM,EM=EN,EM⊥ AG-CG, AD,EN⊥CD,.DE平分∠ADC. 和△CGD中， ∠AGD=∠CGD=90°，.∴.△AGD≌△CGD DG=DG (AD-CD, (SAS),.AD-CD.在Rt△ADE和Rt△CDF中， DE-DF. B Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴.AE=CF. D N 6.C 第5题答图 14.3角的平分线（第二课时) (3)解：5aa=SS,六AD-EM+号CD 【知识点】相等 1.22.35°3.90° EN=I15,74D4CD)-BM=1,7×4+8)xM=15, 4.证明：CD⊥AB,BE⊥AC,∴.∠BDF= 7,5E4-Bex-的 .EM-2,.E5 24 ∠CEF=90°. 6.解：(1)根据尺规作角平分线的过程，可知三 ∠DFB=∠EFC, 角形全等的判定方法是SSS.(2)小王的作法正确。 在△BDF和△CEF中 ∠BDF=∠CEF, 理由：PM⊥OM,PN⊥ON,∴.∠OMP=∠ONP=90° BF=CF, OP-OP, .△BDF≌△CEF(AAS),∴DF=EF又CD⊥ 在Rt△OMP和Rt△ONP中， .Rt△OMP≌ OM=ON, AB,BE⊥AC,,点F在∠BAC的平分线上 Rt△ONP(HL),∴.∠MOP-∠NOP,.OP平分∠AOB. 【例】证明：作OP⊥AC于点P,OO⊥AB于