14.2 三角形全等的判定-【新课程能力培养】2026-2027学年八年级上册数学同步练习（人教版·新教材）

全等三角形 第十四章 14.2 三角形全等的判定（第一课时） 知识梳理@形成联系 【知识点1】三角形全等的判定一SAS ©两边和它们的夹角分别相等的两个三角形 (可以简写成“边角边”或“ ”)为 1.如图14.2-1，AB与CD相交于点E,AE=CE,如果根据“SAS”可以判定△ADE兰 △CBE,那么只需要补充一个条件 图14.2-1 图14.2-2 2.如图14.2-2，点E,F在AC上，AD=BC,DF=BE,要使△ADF≌△CBE,还需要添加 的一个条件是() A.AD∥BC B.DF∥BE C.∠A=∠C D.∠D=∠B 【知识点2】利用三角形全等证边角关系 ©“边角边”判定三角形全等，再利用全等三角形性质得出对应边相等、对应角相等， 1.如图14.2-3，BC=BD,∠ABC=∠ABD=50°，∠C=100°，那么 ∠BAD的度数为 2.如图14.2-4，在△ABC和△ADE中，AB=AD,AC=AE,∠1=∠2. 求证：BC=DE. 图14.2-3 图14.2-4 西 数学 八年级上册（人教版） 例题点拨Q素养导向 【例】如图14.2-5，DE LAB,CF1AB,垂足分别是点E,F,DE=CF,AE=BF.求证： AC∥BD 【点拨】欲证明AC∥BD,只要证明∠A=∠B,进而证明△DEB≌△CFA即可.本题考查 全等三角形的判定和性质，平行线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形 的判定方法。 图14.2-5 夯实四基达标闯关 L.如图，AD=BC,要得到△ABD和△CDB全等，可以添加的条件是() A.AB∥CD B.AD∥BC C.∠A=∠C D.∠ABC=∠CDA 2.如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为（) A.30° B.45° C.60 D.909 3.如图，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=22°，∠2=34°，则∠3= 第1题图 第2题图 第3题图 4.如图，AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠EAC.求证：DE=BC. 第4题图 2④ 全等三角形 第十四章 5.如图，点E,F在BC上，BE=FC,AB=DC,∠B=∠C.求证：∠A=∠D. E 第5题图 能力提升钟综合拓展 6.已知在△ABC和△ECD中，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=,AE与BD交于点F. (1)如图1，当a=90时，求证：①△ACE≌△BCD;②AE⊥BD. (2)如图2，当a=60°时，直接写出∠AFB的度数为 (3)如图3，直接写出∠AFD的度数为 (用含α的式子表示) 图1 图2 图3 第6题图 中考链接©真题演练 一，多多 7.(2025·广州)如图，BA=BE,∠1=∠2，BC=BD.求证：△ABC≌△EBD 第7题图 四 数学 八年级上册（人教版） 三角形全等的判定（第二课时） 知识梳理@形成联系 【知识点1】三角形全等的判定一ASA ◎两角和它们的夹边分别相等的两个三角形 (可以简写成“角边角”或 ”） 1.如图14.2-6，在△DEC和△BFA中，点A,E,F,C在同一 直线上，AB∥CD,AB=CD,若利用“ASA”证明△DEC≌△BFA, 则需添加的条件是() 图14.2-6 A.EC=FA B.∠A=∠C C.∠D=∠B D.BF=DE 2.如图14.2-7，D是AC上一点，AB=DA,DE∥AB,∠B=∠DAE.求证：BC=AE. 图14.2-7 【知识点2】三角形全等的判定一AAS ©两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形 (可以简写成 “角角边”或“”)· 如图14.2-8，CA=CD,∠B=∠E,∠BCE=∠ACD.求证：AB=DE. 图14.2-8 例题点拨Q素养导向 【例】如图14.2-9，在四边形ABCD中，点E在对角线AC上，AB∥DE,∠ACB= ∠EDA,AB=EA.求证：AC=ED 28 全等三角形 第十四章 【点拔】欲证明AC=ED,只要证明△ABC≌△EAD即可，本题考查全等三角形的判定和 性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，正确寻找全等三角形的全等 的条件. 图14.2-9 夯实四基达标闯关 L.如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一 个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF,这个条件是() A.∠A=∠D B.BC=EF E C.∠ACB=∠F D.AC=DF 第1题图 2.在△ABC中，∠B=∠C=50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形一定全等 的是 1.6 1.6 15 第2题图 3.如图，点E,C在线段BF上，BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F求证：AC=DF 第3题图 4.如图，BE⊥AC,CD LAB,垂足分别为E,D,BE=CD.求证：AB=AC. 第4题图 四 口数学 八年级上册（人教版） 能力提升螂综合拓展 5.如图，点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上，点E,F都在∠MAN内部的射线AD 上，∠1，∠2分别是△ABE,△CAF的外角，已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证：EF= BE-CF. M N 第5题图 中考链接©真题演练 -。多多 6.(2025·云南)如图，AB与CD相交于点0，AC=BD,∠C=∠D.求证：△AOC≌ △BOD. 第6题图 7.(2025·淮安)已知：如图，在△ABC和△ADE中，点D在BC上，∠B=∠ADE,AC= AE,∠BAD=∠CAE.求证：△ABC≌△ADE. 第7题图 0 全等三角形 第十四章 14.2 三角形全等的判定（第三课时） 知识梳理©形成联系 【知识点1】三角形全等的判定一SSS ◎三边分别相等的两个三角形 (可以简写成“边边边”或“ 1.如图14.2-10，已知AB=DE,BC=EF,若利用“SSS”证明 △ABC≌△DEF,还需要添加的一个条件是() A.AF-FC B.AF=FD C.DC=CF D.AC=DF 2.如图14.2-11，AB=AD,BE=DE,BC=DC,则图中全等三角形有 图14.2-10 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 【知识点2】SSS与全等三角形性质的应用 O全等三角形对应边相等←→SSS 图14.2-11 1.如图14.2-12，AC=BC,M是AB的中点，下列结论：①△AMC≌△BMC;②∠ACM= ∠BCM:③∠A=∠B:④CM LAB.其中结论正确的序号是() A.①③ B.①②③ C.①②③④ D.①②④ M 图14.2-12 图14.2-13 2.如图14.2-13，AB=AC,BD=CD,∠BAC=120°，∠BDC=80°，则∠B= 3.如图14.2-14，点B,E,C,F在同一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证： AB∥DE. E 图14.2-14 的 数学 八年级上册（人教版） 例题点拨Q素养导向 【例】如图，点A,F,C,D在同一直线上，AB=DE,AF=CD,BC=EF求证：∠ACB= ∠DFE. 【点拨】先证△ABC≌△DEF(SSS),再由全等三角形的性质即可得出结论.本题考查全 等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键 图14.2-15 夯实四基)达标闯关 一多多 1.如图，AB=AD,CB=CD,∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数为 B D 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，则下列结论不正确的是() A.AD平分∠BAC B.∠B=∠C C.△ABD是直角三角形 D.△ABC是等边三角形 3.尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法.如图，为了得到∠PO'Q'=∠POQ,在 用直尺和圆规作图的过程中，得到△AOB≌△A'O'B'的依据是（) 第3题图 A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS 32 全等三角形 第十四章 4.如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线. (1)尺规作图：过点A作AEBC交BD的延长线于点E.(保留作图 痕迹，不写作法) (2)图中一定与AE相等的线段为 5.如图，AC,BD相交于点O,且AB=DC,AC=DB.求证：∠ABO= 第4题图 ∠DCO. 第5题图 能力提升坤综合拓展 - 6.如图，D是BC上一点，AB=AD,BC=DE. (1)在条件①LC=∠E,②AC=AE中，选择②可得 (2)在(1)的条件下，求证：∠CDE=∠BAD. 第6题图 中考链接©真题演练 7.(2025·西藏)如图，已知AB=DC,AC=DB.求证：△ABC≌△DCB. 第7题图 3 数学 八年级上册（人教版） 三角形全等的判定（第四课时） 知识梳理@形成联系 【知识点】用三角形全等的判定方法研究尺规作图问题 如图是“过直线AB外一点C作AB的平行线CD”的尺规作图.根据该作图方法，可以 证明CD∥AB,证明过程中判定△CMW≌△EFG的依据是（) A.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D.三边分别相等的两个三角形全等 图14.2-16 例题点拨Q素养导向 【例】角的表示、作图与计算： 图1 图2 图3 图14.2-17 (1)已知：∠，∠AOB(图2，图3). 求作：在图3中，以OA为一边，在∠AOB的内部作∠AOC=∠.（要求：尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹)》 (2)在第(1)问的条件下，∠AOB=60°，∠AOC=20°，OD是∠A0B的角平分线，求 ∠DOC的度数， 【点拔】(1)利用尺规作图构造全等三角形作相等的角.(2)根据角的和差及角平分线 的定义进行计算. 全等三角形 第十四章 夯实四基达标闯关 ,s多多每 L.如图，用尺规作图作出∠OBF=∠AOB,则作图痕迹弧MN是() A.以点B为圆心，以OD长为半径的弧 B.以点B为圆心，以DC长为半径的弧 C.以点E为圆心，以OD长为半径的弧 D.以点E为圆心，以DC长为半径的弧 第1题图 2.如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作图： ①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点D,交OB于点E; ②以点C为圆心，以OD的长为半径画弧，交CB于点F; ③以点F为圆心，以DE的长为半径画弧，交前弧于点P; ④作射线CP 下列结论不一定正确的是() A.∠AOE=∠PCF B.OD=CP C.DE=OE D.△DOE≌△PCF D 第2题图 第3题图 3.如图，用尺规作图“过点C作CN∥OA”的实质就是作∠NCE=∠DOM,其作图依据 是() A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS 4.如图，点B在∠AOC的边OC上 (1)画射线BA (2)尺规作图：作∠CBD,使∠CBD=∠AOC.(不写过程，需保留作图痕迹)》 第4题图 35 口数学 八年级上册（人教版） 5.如图，∠AOB=90°，点E在∠AOB内部. (1)尺规作图：在OA边的下方作∠AOF,使得∠AOF=∠BOE. (2)在(1)的条件下，求∠BOF与∠EOA的数量关系 B ●E 第5题图 6.尺规作图：如图，已知平面上三点A,B,C(不写作法，保留作图痕迹) (1)作射线AC,线段AB. (2)作∠ABD=∠BAC,交射线AC于点D. ·G ●A ●B 第6题图 能力提升睡综合拓展 7.如图，∠=27°，根据尺规作图的痕迹，∠AOB的度数为 第7题图 6 全等三角形 第十四章 14.2 三角形全等的判定（第五课时） 知识梳理①形成联系 【知识点1】直角三角形全等的判定一HL ◎斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形 (可以简写成“斜边、直 角边”或“ ”) 1.如图14.2-18，∠B=∠C=90°，AB=AC,则△ABD≌△ACD的依据是(） A.SAS B.AAS C.ASA D.HL 2.如图14.2-19，在△ABC中，AD⊥BC于点D,若根据“HL”判定△ABD≌△ACD, 还需添加条件() A.AB=AC B.CD=BD C.∠BAD=∠CAD D.∠C=∠B 图14.2-18 图14.2-19 图14.2-20 3.如图14.2-20，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC交AB于点 E,则有() A.DE=DB B.DE=AE C.AE=BE D.AE=BD 【知识点2】直角三角形全等的判定综合 L.如图14.2-21，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E,BE=BC, 连接BD,AC=8cm,则AD+DE等于() A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm C▣ 2.如图14.2-22，AB=EF,BC⊥AE于点C,FD⊥AE于点D,CE=DA. 图14.2-21 求证：AB∥EF: 图14.2-22 ⑦ 数学 八年级上册（人教版） 例题点拨Q素养导向 多多多 【例】如图14.2-23，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC,∠1=∠2. (1)Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由， (2)△CDE是不是直角三角形？并说明理由， 【点拨】本题考查了直角三角形的判定、全等三角形的性质.做题时要结合图形，在图形 上找条件.(I)根据∠1=∠2，得DE=CE,利用“HL”可证明Rt△ADE≌Rt△BEC.(2)由 Rt△ADE≌Rt△BEC得到角相等，再得出90°角，则△CDE是直角三角形， D 图14.2-23 夯实四基)达标闯关 -卡多B 1.如图，PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D,E,PD=PE,则△APD与△APE全等的依 据是 第1题图 第2题图 2.如图，AC⊥BD于点P,AP=CP,增加下列一个条件：①BP=DP;②AB=CD;③∠A= ∠C.其中能判定△ABP≌△CDP的条件有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.如图，AC=BD,BD⊥AD于点D,AC⊥BC于点C.求证：∠ABC=∠BAD. 第3题图 38 全等三角形 第十四章 4.如图，OA=OB,AC=BD,OA⊥AC,OB⊥BD,OM⊥CD于点M,求证：OM平分∠AOB. /0 第4题图 能力提升脚综合拓展 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E,点F 在AC上，BD=DF (1)求证：CF=EB, (2)若AF=2,EB=1,求AB的长. 第5题图 中考链接©真题演练 6.(2022谷城)如图1，在平面直角坐标系中，P(4,4). (1)点A在x轴的正半轴上运动，点B在y轴的正半轴上，PA=PB. ①求证：PA⊥PB: ②求OA+0B的值. (2)点A在x轴的正半轴上运动，点B在y轴的负半轴上，PA=PB ①求OA-OB的值； ②若点A的坐标为(10,0)，求点B的坐标 P(4,4) 图1 图2 第6题图 39 数学 八年级上册（人教版） 三角形全等的判定（第六课时） 知识梳理@形成联系 【知识点1】三角形全等的性质 ◎全等三角形的对应边 ，全等三角形的对应角 1.如图14.2-24，△ACB≌△A'CB',∠BCB'=30°，则∠ACA'的度数为（) A.250 B.30° C.35° D.40° B' 图14.2-24 图14.2-25 2.如图14.2-25，小李利用全等三角形的知识测量池塘两端A,B之间的距离，如果 △AOB≌△COD,则只需测出() A.OD的长度 B.CD的长度 C.AB的长度 D.AC的长度 【知识点2】三角形全等的性质与判定的综合运用 (1)如图14.2-26，从C地看A,B两地的视角∠C是锐角，从C地到A,B两地的距离 相等，A地到路段BC的距离AD与B地到路段AC的距离BE相等吗？为什么？ (2)在(1)的条件下，若从A地看D,B两地的视角∠DAB=24°，求∠C的度数. 图14.2-26 例题点拨Q素养导向 【例】如图14.2-27所示，两根旗杆间相距12m,某人从B点沿BA 走向A,一定时间后到达点M,此时他仰望旗杆的顶点C和D,两次视 线的夹角为90°，且CM=DM,已知旗杆AC的高为3m,该人的运动速 A M 度为1ms,求这个人运动了多长时间. 图14.2-27 【点拨】本题的基础仍然是证明两个三角形全等，根据∠CMD=90°，利用互余关系可以 得出∠ACM=∠DMB,证明三角形全等的另外两个条件容易看出，利用全等的性质可求得 AC=BM=3,从而求得运动时间.解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应 40 全等三角形 第十四章 角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系，本题的 关键是求得Rt△ACM≌Rt△BMD. 夯实四基U达标闯关 - 1.如图，为了测量池塘两岸A,B间的距离，在B点同侧选取点C,经测量∠ACB=30°， 然后在BC的一侧找到一点D,使得BC为∠ABD的平分线，且∠DCB=30°.若BD的长为 8m,则池塘两岸A,B之间的距离为 m. 2.如图所示，BC,AE是锐角△ABF的高，相交于点D,若AD=BF,AF=7,CF=2,则 BD的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 第1题图 第2题图 第3题图 3.如图，已知AB=DC,AD=BC,E,F是DB上两点，且BF=DE,若∠AEB=120°， ∠ADB=30°，则∠BCF的度数为 4.如图，在△ABC中，AB=AC,D是边BC上的一点，连接AD,以AD为边作△ADE, 使AE=AD,且∠DAE=∠BAC,连接EC,，若BD=2,求EC的长. 第4题图 口数学 八年级上册（人教版） 能力提升坤综合拓展 5.如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的 距离BD=2.5m.小朋友在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离 AC=1.5m,点A到地面的距离AE=1.5m,当他从A处摆动到A'处时，若A'BLAB,求点 A'到BD的距离 地面 第5题图 中考链接©真题演练 一多 6.(2025·镇江)如图，已知△ABC≌△DEF,边BC与EF,DF分别交于点O,M,AC 与EF交于点N,OB=OE.求证：△MOF≌△NOC. 第6题图 7.(2025·内江)如图，点B,F,C,E在同一条直线上，AC=DF,∠A=∠D,AB∥DE. (1)求证：△ABC≌△DEF. (2)若BF=4,FC=3,求BE的长. 第7题图数学 八年级上册（人教版） ∠AED=90°，∴.∠C=∠AED=90°，∠DEC=180°-∠AED= .∠CAE=∠CBD.又∠CAE+∠EAB+∠ABC=120°， 90°，LC=∠DEC,DE∥BC.即当△ADE满足∠AED= ∠CBD+∠EAB+∠ABC=120°，∠AFB=60°. 90时，DE∥BC. (3)解：∠ACB=∠DCE=a,∴.∠ACB+∠BCE= 6.C7.100° ∠DCE+∠BCE, 即∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD 14.2三角形全等的判定（第一课时） AC=BC. 【知识点1】全等SAS1.DE=BE2.D 中 ∠ACE=∠BCD,.△ACE≌△BCD(SAS). 【知识点2】1.30° CE=CD 2.证明：∠1=∠2，.∠1+∠DAC=∠2+ .∠CAE=∠CBD.∠CAE+∠EAB+∠ABC=180°-a, ∠DAC,∴.∠BAC=∠DAE.在△BAC和△DAE .∠CBD+∠EAB+∠ABC=180°-∴.∠AFB=∠ACB=. .∠AFD=180°-. AB=AD. 中 7.证明：∠1=∠2，∴∠1+∠EBC=∠2+∠EBC, ∠BAC=∠DAE,.△BAC≌△DAE(SAS), ·.∠ABC=∠EBD,在△ABC和△EBD中. AC=AE. AB=EB. ·.BC=DE ∠ABC=∠EBD,.·.△ABC≌△EBD(SAS). 【例】证明：DE⊥AB,CF⊥AB,∴∠DEB= BC=BD. ∠AFC=90°.AE=BF,AF=BE.在△DEB和 14.2 三角形全等的判定（第二课时） DE=CF, 【知识点1】全等ASA1.C △CFA中， ∠DEB=∠AFC,.△DEB≌△CFA 2.证明：DE∥AB,,∠EDA=∠BAC.在 BE=AF, ∠B=∠DAE, (SAS)..∠A=∠B,AC∥DB. △ABC与△DAE中 A B=DA, ∴.△ABC≌ 1.B2.D3.56° ∠CAB∠EDA, 4.证明：∠DAB=∠EAC,.∠DAB-∠DAC= △DAE(ASA)..BC=AE. ∠EAC-∠DAC,即∠EAD=∠CAB.在△ACB和△AED 【知识点2】全等AAS AB=AD. 中， ∠CAB=∠EAD,.·△ACB≌△AED(SAS), 证明：∠BCE=∠ACD,∴∠ACB=∠DCE.在 AC=AE. ∠ACB=∠DCE, ·BC=DE. △ABC与△DEC中， ∠B=LE, .△ABC≌ 5.证明：BE=FC,BE+EF=CF+EF,即BF=CE. CA=CD. BF-CE. △DEC(AAS)...AB=DE 在△ABF和△DCE中，∠B=∠C,.△ABF≌△DCE 【例】证明：，AB∥DE,,∠BAC=∠AED AB=DC, ∠ACB=∠EDA, (SAS),∠A=∠D. 在△ABC和△EAD中， ∠BAC=∠AED, 6.(1)证明：∠ACB=∠DCE=90°，.∠ACB+ AB=AE, ∠BCE=∠DCE+∠BCE,即∠ACE=∠BCD..在△ACE ∴.△ABC≌△EAD(AAS..AC=ED AC=BC, 1.D2.①②③ 和△BCD中 ∠ACE=∠BCD,.△ACE≌△BCD 3.证明：AB∥ED,∴.∠ABC=∠DEF..BE=CF CE=CD, ∠ABC=∠DEF, (SAS),∴.∠CAE=∠CBD.·∠CAE+∠EAB+∠ABC= ·BC=EF.在△ABC与△DEF中， BC=EF. 90°，∴.∠CBD+∠EAB+∠ABC=90°，∴.∠AFB=90°， ∠ACB=∠F, AE⊥BD.(2)解：∠ACB=∠DCE=60°，.∠ACB+ .△ABC≌△DEF(ASA),.AC=DF ∠BCE=∠DCE+∠BCE,即∠ACE=∠BCD.在△ACE和 4.证明：BE⊥AC,CD⊥AB,.∠ADC=∠AEB= A C=BC, ∠A=∠A, △BCD中， ∠ACE=∠BCD,.∴.△ACE≌△BCD(SAS), 90P.在△ABE和△ACD中， ∠AEB=∠ADC,.△ABE≌ CE-CD. BE-CD. 52 参考答案 △ACD(AAS).AB=AC 5.证明：∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE, ∠BAC=∠BAE+∠CAF,∴.∠AEB=∠CFA,∠ABE= ∠AEB=∠CFA, ∠CAF.在△ABE和△CAF中， ∠ABE=∠CAF, 第5题答图 AB=AC, BC=DE, .∴△ABE≌△CAF(AAS),.BE=AF,CF=AE,.EF= 6.(1)解：在△ABC和△ADE中，AB=AD, BE-CF. AC=AE, 6.(1)证明：在△A0C和△B0D中， △ABC≌△ADE(SSS).(2)证明：△ABC≌ ∠C=∠D △ADE,.∠BAC=∠DAE..∠BAC-∠DAC=∠DAE ∠AOC=∠BOD,∴.△AOC≌△BOD(AAS). ∠DAC.∴.∠BAD=∠EAC.△ABC≌△ADE,∴.∠E= AC=BD. ∠C..∠AOE=∠DOC,∠E+∠AOE+∠EAC=180°， 7.证明：∠BAD=∠CAE,.∠BAD+∠CAD= ∠C+∠DOC+∠CDE=180°，∴.∠CDE=∠EAC..∠BAD= ∠CAE+∠CAD,即∠BAC=∠DAE,在△ABC和△4DE ∠EAC,.∠CDE=∠BAD. |∠BAC=∠DAE, AB-DC, 中， ∠B=∠ADE, ∴.△ABC≌△ADE(AAS): 7.证明：如题图，在△ABC与△DCB中， A C=BD, AC=AE. BC-BC, 14.2三角形全等的判定（第三课时)】 .△ABC≌△DCB(SSS) 【知识点1】全等SSS1.D2.C 14.2三角形全等的判定（第四课时)】 【知识点2】1.C2.80° 【知识点】D 3.证明：BE=CF,BC=EF在△ABC与 【例】解：(1)根据题意，以OA为一边， AB=DE, 在∠AOB的内部作∠AOC=∠a即可，如图所示， △DEF中， AG=DF,∴.△ABC≌△DEF(SSS), ∠AOC就是所求的角. BC=EF. M ·.∠ABC=∠DEF,AB∥DE 【例】证明：AF=CD,AF件CF-CD+CF,即 AB=DE, AC=DF在△ABC和△DEF中， BC=EF. 图1 图2 AC=DF, (2)如图，∠A0C= △ABC≌△DEF(SSS),∴.∠ACB=LDFE. 20°，∠A0B=60°，∴.∠B0C= 1.127°2.D3.B ∠A0B-∠A0C=60°-20°= 4.解：(1) 40°，.OD是∠AOB的平分 线，.∠A0D=30°，.∠D0C= ∠A0D-∠A0C=30°-20°=10° 图3 例题答图 1.D2.C3.B 4.解：(1)如图，射线BA即为所求. 第4题答图 (2)CB=AE. 5.证明：连接BC,在△ABC和△DCB中， AB=DC. {AC=DB,.△ABC≌△DCB(SSS)..∠A=∠D. BC=CB. ∠AOB=∠DOC,.∠ABO=∠DCO. 第4题答图 53 数学 八年级上册（人教版） (2)如图，∠CBD或∠CBD即为所求 (2)如图，是直角三角形.理由如下： 5.解：(1)如图，∠A0F即为所求. Rt△ADE≌Rt△BEC,.∠3=∠4.∠3+ ∠5=90°，.∠4+∠5=90°，.∠DEC=90°， △CDE是直角三角形 1.HL 2.D 3.证明：AC⊥BC,BD⊥AD,.∠ACB=∠BDA= 9.在Rt△ABC和R△BAD中，AC-BD, AB-BA. .Rt△ABC≌ Rt△BAD(HL)..∠ABC=∠BAD. 4.证明：连接OC,OD,OA⊥AC,OB⊥BD, A0=B0, ·.∠A=∠B=90°.在△OAC和△OBD中， ∠A=∠B, 第5题答图 AC=BD, (2)结论：∠B0F+∠A0E=180° .△OAC≌△OBD(SAS.∴.∠AOC=∠B0D,OC=OD. 理由：：∠A0F=∠B0E,.∠AOB=∠E0F=90°， OM⊥CD,∴.∠OMC=∠OMD=90°.在Rt△OMC和 ∴.∠BOF+∠AOE=∠AOB+∠AOF+∠AOE=∠AOB+ OC-OD. ∠E0F=90+90°=180° Rt△OMD中， :.Rt△OMC≌Rt△OMD(HL). OM-OM, 6.解：(1)根据射线、线段的定义画出图形，如 .∠COM=∠DOM..∠AOC+∠COM=∠BOD+∠D0M, 图所示，射线AC、线段AB即为所求 .∠AOM=∠BOM,即OM平分∠AOB. (2)根据作一个角等于已知角的方法作出图形， 5(1)证明：∠C-90,DE⊥AB于点E,.∠DEA= 如图所示，点D即为所求 ∠C=90.:AD是∠BAC的平分线，.∠CAD=∠EAD. AD=AD,△ACD≌△AED,∴DC=DE.BD=DF, D ·Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),.CF=EB. (2)解：由(I)知EB=CF,Rt△AED≌Rt△ACD (HL),.AE=AC,.AB-EB=AF+CF,.AB=AF+CF+ EB=AF+2EB=2+2=4. 第6题答图 6.(1)①证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于点 E,作PF⊥y轴于点F,PE⊥PFP(4,4),PE=PF= 7.54° PA=PB. 14.2三角形全等的判定（第五课时) 4.在Rt△APE和Rt△BPF中， PE=PF, .Rt△APE≌ 【知识点1】全等HL1.D2.A3.B Rt△BPF(HL),∴∠APE=∠BPF,∴.∠APB=∠APE+ 【知识点2】1.C ∠BPE=∠BPF+∠BPE=∠EPF=90°，.PA⊥PB.②解： 2.证明：CE=DA,.AC=ED.BC⊥AE于 .Rt△APE≌Rt△BPF,.AE=BF.OA=OE+AE,OB= 点C,FD⊥AE于点D,.在Rt△ABC与Rt△EFD OF-BF..0A+0B=OE+AE+OF-BF-0E+OF-4+4-8 中， (AB=EF. Rt△ABC≌Rt△EFD(HL),. AC=ED ∠A=∠E,.∴AB∥EE 【例】解：(1)全等 3D 理由如下：∠1=∠2，DE CE,在Rt△ADE和Rt△BEC 图1 图2 AE=BC, 第6题答图 .Rt△ADE≌ DE-CE, (2)解：①如图2，过点P作PE⊥x轴于点E, Rt△BEC(HL). 作PF⊥y轴于点F,同理得Rt△APE≌Rt△BPF 例题答图 54 参 考答案 (HL),.AE=BF..AE=0A-0E=0A-4,BF=0B+OF= 6.证明：△ABC≌△DEF,BC=EF,∠F=∠C, 0B+4,∴.OA-4=0B+4..0A-0B=8.②PE=PF=4, ·OB=OE,.BC-OB=EF-OE,即OC=OF,在△MOF和 PE⊥x轴于点E,PF⊥y轴于点F,.四边形OEPF是 ∠MOF=∠NOC, 正方形，.0E=0F=4.A(10,0),∴.0A=10.,AE=0A- △NOC中 OC-OF. .△MOF≌△NOC(ASA). OE=10-4=6..Rt△APE≌Rt△BPF,.AE=BF=6..∴.OB= ∠FELC, BF-0F=6-4=2.∴.点B的坐标为(0，-2). 7.(1)证明：AB∥DE,.∠B=∠E,在△ABC 14.2三角形全等的判定（第六课时) ∠B=∠E 【知识点1】相等相等1.B2.B 和△DEF中， ∠A=∠D,.△ABC≌△DEF(AAS). 【知识点2】解：(1)AD=BE.理由如下： AC=DF. CA=CB,∴∠CAB=∠CBA.AD⊥BC,BE⊥ (2)解：由(I)可知△ABC≌△DEF,∴BC=EF, AC,∴∠ADB=∠BEA=90P.又AB=BA,∴.△ADB≌ BF+CF=EC+CF,∴.BF=EC,BF=4,FC=3,∴EC=4, △BEA(AAS).AD=BE. .BE=BF+FC+EC=4+3+4=11. (2)'∠DAB=24°，AD⊥BC,.∠ABC=90°- 14.3角的平分线（第一课时) 24°=66°.又CA=CB,AD=BE,.△ADB≌ 【知识点1】距离角平分线1.22.21 △BEA(HL),∴，∠ABC=∠BAC=66°.∴.∠C=180 3.C -66°-66°=48° 4.解：(1)：∠ACB=90°，∠A=38°， 【例】解：，∠CMD=90°，.∠CMA+∠DMB= ∠ABC=90°-∠A=52°.BE平分∠ABC, 90°.又：∠CAM=90°，∴∠CMA+∠ACM=90°，. ∠DBE:号∠ABC=26CD1AB,∠DB=90 ∠ACM=∠DMB.在RE△ACM和Rt△BMD中， ∴.∠BEC=∠DBE+∠EDB=26°+90°=116°.(2)过 ∠CAM=∠DBM 点E作EF⊥BC于点F,,BE平分∠ABC,CD⊥ ∠ACM=∠DMB,∴Rt△ACM≌Rt△BMD(AAS), CM-MD. AB,EF L BC,DE=4,..EF=DE=4..BC=12, AC=BM=3.∴.他到达点M时，运动时间为3÷1 50r号BC+EF--7×12x4-24 3(s).答：该人运动了3s. 【知识点2】已知求证图形数学符号 1.82.B3.90 【例】解：(1)三角形全等：对应角的平分 4.解：：∠DAE=∠BAC,.∠DAE-∠CAD= 线相等。 ∠BAC-∠CAD,∴.∠CAE=LBAD,.△CAE≌△BAD (2)如图，△A'BC的角平分线A'D'交B'C (SAS),.EC=BD=2,EC的长是2. 于点D 5.解：作A'F⊥BD,垂足为FAC⊥BD,∴∠ACB= ∠A'FB=90°.在Rt△A'FB中，∠1+∠3=90°，又 A'B⊥AB,.∠1+∠2=90°..∠2=∠3.在△ACB和 ∠ACB=∠A'FB, △BFA'中， ∠2=∠3， .△ACB≌△BFA' 图 图2 AB=A'B」 例题答图 (AAS),A'F=BC.:AC∥DE且CD⊥AC,AE⊥DE, .CD=AE=1.5m.BC=BD-CD=2.5-1.5=1(m),∴A'F= (3)△ABC,△A'B'C",AD=A'D 1(m),即点A'到BD的距离是1m 证明：△ABC≌△A'BC,.AB=A'B' ∠B=∠B,∠A=∠A'.线段AD,A'D分别是 △ABC和△A'BC的角平分线，.∠BAD=∠BAC, ∠B'A'D'=1∠B'A'C',∠BAD=∠B'A'D', 地面 2 D .△ABD≌△A'BD',AD=A'D. 第5题答图 1.D2.C 55