3.1 代数式 课时作业 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到综合应用，适配新授课分层教学需求，助力学生逐步发展抽象能力、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|核心知识点（用字母表示数、代数式概念等）|基础题型（选择、填空），强化概念理解与规范书写| |B组|综合应用（代数式求值、实际问题建模）|情境题（出租车计费、新定义运算），培养推理与模型意识| |C组|跨情境探究（购票方案、图形面积比较）|开放题（方案优化、规律探究），发展创新与应用意识|

第三章 整式及其加减　 1 代数式 课时作业（含知识点·答案·解析） 北师大版　七年级上册 班级：　　　　　姓名：　　　　　得分：　　　　　用时：　　　分钟 一、知识点梳理 知识点 1　用字母表示数 在数学中，我们常用字母表示数。用字母表示数以后，数量之间的关系可以表示得更加简明、一般，也更便于研究与交流。 （1）用字母可以表示运算律。例如加法交换律：；乘法分配律：。 （2）用字母可以表示公式。例如圆的面积公式 ；长方形周长公式 。 （3）用字母可以表示数量关系。例如某商品原价 元，打八折后的售价是 元。 注意：在同一个问题中，同一个字母只能表示同一个量；不同的量一般要用不同的字母表示。 知识点 2　代数式的概念 用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数和表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。 例如：、、、、、 都是代数式。 判断代数式的关键：式子中不能含有等号（=）、不等号（＞、＜、≥、≤、≠）。含有这些符号的式子是方程或不等式，不是代数式。 例如： 是方程， 是不等式，它们都不是代数式。 知识点 3　代数式的书写规范 ① 数与字母相乘、字母与字母相乘时，乘号通常省略不写，或写成“·”。如 写成 或 。 ② 数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面。如 写成 ，不写成 。 ③ 带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数。如 应写成 ，不能写成 。 ④ 数字 1 与字母相乘时，1 省略不写。如 写成 ， 写成 。 ⑤ 含有除法运算时，一般写成分数的形式。如 写成 ， 写成 。 ⑥ 代数式后面有单位时，若代数式是和或差的形式，要先把它用括号括起来再写单位。如“ 元”“ 米”。 知识点 4　列代数式 列代数式时，要抓住题目中表示数量关系的关键词，弄清运算顺序，再按要求写出式子。常见关键词与运算的对应关系如下： 关键词 对应的运算或写法 和、增加、多、共 加法。如“比 多 3”即 差、减少、少、余 减法。如“比 少 3”即 积、倍、乘 乘法。如“ 的 3 倍”即 商、平均、几分之几 除法。如“ 的 ”即 平方、立方、次方 乘方。如“ 的平方”即 ，“ 的立方”即 特别提醒：“ 与 的和的平方”是 ；“ 的平方与 的平方的和”是 ，两者含义完全不同。 知识点 5　代数式的意义 同一个代数式可以有不同的读法，也可以表示不同的实际意义。 例如代数式 ，可以读作“ 的 3 倍”，也可以读作“3 与 的积”；它可以表示“每千克 元的苹果买 3 千克需要的钱数”，也可以表示“边长为 的等边三角形的周长”。 知识点 6　求代数式的值 用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。求代数式的值一般分两步： 第一步——代入：把字母的值代入代数式（“代”）；第二步——计算：按运算顺序算出结果（“算”）。 求值时要注意三点： ① 代入的数是负数或分数时，一定要添加括号。如当 时，。 ② 原式中省略的乘号，代入数值后必须补上。如 中 ，，应写成 。 ③ 书写格式要完整，先写“当……时”，再写“原式 = ……”。 知识点 7　易错点归纳 易错类型 错误示例与正确写法 乘号漏写位置颠倒 写成 （错），应写成 带分数未化假分数 （错），应写成 单位未加括号 元（错），应写成 元 代入负数不加括号 时 （错），应为 混淆平方与相反数 与 意义不同，前者是 的相反数 两位数表示错误 十位 、个位 的两位数是 ，不是 【典型例题】 例 1　如图，在长为 、宽为 的长方形中，挖去两个半径都是 的半圆，求剩余部分（阴影部分）的面积。 分析：阴影面积 = 长方形面积 − 两个半圆面积 = 一个整圆面积被挖去。 解：两个半径为 的半圆合起来是一个整圆，面积为 ， 所以阴影部分的面积为 （面积单位）。 例 2　如图是一个 L 形零件的示意图，各段长度如图所示（单位：cm）。用含 、、、 的代数式表示它的面积。 分析：把 L 形沿虚线分成上、下两个长方形——下面一块长为 、宽为 ；上面一块长为 、宽为 。 解：（面积单位）。 另解：用大长方形补全后减去右上角缺口，。两种表示都正确，这体现了代数式表示的灵活性。 例 3　当 ， 时，求代数式 的值。 解：当 ， 时， 原式 。 二、基础达标（A 组） （一）选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1．下列各式中，不是代数式的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．下列代数式的书写符合规范的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．“ 与 的差的 3 倍”用代数式表示为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．买一支单价为 元的钢笔和 3 本单价为 元的笔记本，共需要（　　）元 A．　　B．　　C．　　D． 5．当 时，代数式 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．某种商品原价为 元，先提价 10%，再按提价后的价格打九折出售，现价为（　　）元 A．　　B．　　C．　　D． 7．代数式 不能表示的实际意义是（　　） A．比 的 2 倍多 3 的数　　B．一个两位数，十位数字是 ，个位数字是 3　　C．长为 、宽为 3 的长方形的周长的一半　　D．买 2 支单价 元的笔和 1 件 3 元的商品共花的钱 8．已知 ，则代数式 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． （二）填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9．某班有男生 人，女生比男生的 2 倍少 5 人，则女生有　　　　　人，全班共有　　　　　人。 10．把代数式 写成规范形式为　　　　　；把 写成分数形式为　　　　　。 11．一个长方体的长、宽、高分别为 、、，则它的体积是　　　　　，表面积是　　　　　。 12．当 ， 时，代数式 的值为　　　　　。 13．温度由 ℃ 下降 5 ℃ 后是　　　　　℃；若再上升 ℃，则此时温度是　　　　　℃。 14．某数为 ，它的相反数的平方是　　　　　，它的平方的相反数是　　　　　。 15．一列火车的速度是 km/h，行驶 h 后又以 km/h 的速度行驶了 3 h，则这列火车共行驶了　　　　　km。 16．如图，边长为 的正方形铁皮，四角各剪去一个边长为 的小正方形后折成一个无盖的盒子，则这个盒子的底面积是　　　　　，容积是　　　　　。 （三）解答题（共 32 分） 17．（6 分）列代数式表示下列各量： （1） 与 的平方的和；　（2） 与 的和的平方； （3） 的 与 的差；　（4） 与 的和除以它们的积所得的商； （5）比 的 3 倍少 2 的数；　（6）、 两数的平均数。 18．（6 分）当 ， 时，分别求下列代数式的值： （1）；　（2）；　（3）。 19．（6 分）某商店进了一批衬衫，每件进价 元，商店按进价提高 40% 标价出售。 （1）用含 的代数式表示每件衬衫的标价； （2）促销时按标价的八折出售，用含 的代数式表示每件衬衫的售价； （3）当 时，求每件衬衫打折后商店的利润。 20．（7 分）一个两位数，十位数字是 ，个位数字是 。 （1）用含 、 的代数式表示这个两位数； （2）把这个两位数的十位数字与个位数字交换位置，得到一个新的两位数，用代数式表示这个新数； （3）当 ， 时，求这两个两位数的和。 21．（7 分）如图，长方形的长为 ，宽为 ，在它内部有两个阴影长方形，两个阴影长方形的宽都是 ，它们分别横放、竖放且互相重叠（如图所示）。请用含字母的代数式表示空白部分的面积（结果不必化简），并说明你的分割或计算思路。 三、能力提升（B 组） 22．（4 分）已知 ，则代数式 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 23．（4 分）已知 是最小的正整数， 是绝对值最小的有理数， 是最大的负整数，则代数式 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 24．（5 分）某长方形的长是 ，宽比长少 ，则该长方形的周长是　　　　　，面积是　　　　　。 25．（5 分）定义一种新运算：对于任意有理数 、，规定 。 （1）求 的值； （2）求 的值。 26．（8 分）一个圆柱形水池的底面半径为 m，深 m。 （1）用代数式表示水池的容积； （2）若在池底和内壁抹上水泥，用代数式表示抹水泥部分的面积； （3）当 ， 时，求抹水泥部分的面积（ 取 3.14，结果保留一位小数）。 27．（8 分）某市出租车的收费标准是：起步价 8 元（行驶路程不超过 3 km 时只收起步价），超过 3 km 的部分每千米收费 2.4 元。 （1）小明乘出租车行驶了 km（），用含 的代数式表示他应付的车费； （2）当 时，求小明应付的车费； （3）若小明和小红分别乘出租车行驶 5 km 和 7 km，比较“两人分别乘车”与“两人合乘一辆车行驶 12 km”所付车费的多少。 28．（8 分）观察下面的等式： ，，，…… （1）猜想并用含 （ 为正整数）的代数式表示第 个等式； （2）利用上面的规律计算 的值。 28-1．（6 分）已知 与 互为相反数， 与 互为倒数， 的绝对值是 2，求代数式 的值。 28-2．（6 分）一个水池有进水管和出水管各一根。单独开进水管 h 可把空池注满，单独开出水管 h 可把满池水放完（）。 （1）用代数式表示进水管每小时注入水池的水占满池的几分之几； （2）用代数式表示两管同时打开时每小时池中水量的增加量占满池的几分之几； （3）当 ， 时，求（2）中的结果。 四、拓展探究（C 组） 29．（10 分）某公园门票的收费标准是：成人票每张 30 元，学生票每张 15 元；团体票（30 人以上，含 30 人）每张按 20 元计算。某校组织 名学生和 名教师去公园参观（）。 （1）用含 、 的代数式表示按成人票、学生票分别购买时应付的总钱数； （2）用含 、 的代数式表示购买团体票时应付的总钱数； （3）当 ， 时，通过计算说明哪种购票方式更省钱，最少需付多少元。 30．（10 分）用一根长为 的绳子围成一个图形。 （1）若围成一个正方形，用含 的代数式表示它的面积； （2）若围成一个圆，用含 、 的代数式表示它的面积； （3）当 时，分别求出上面两个面积的近似值（ 取 3.14，结果保留两位小数），并回答：用同样长的绳子围成正方形和圆，哪个面积大？ 五、参考答案与解析 一、选择题 1．C　2．D　3．B　4．C　5．B　6．B　7．B　8．A 1．C　含有等号的式子是方程，不是代数式。A 是单独一个数，B、D 都是用运算符号连接数与字母的式子，都是代数式。 2．D　A 应写成 ；B 带分数应化为假分数，写成 ；C 除法应写成分数形式 ；D 书写规范。 3．B　先算差 ，再乘 3，且和差作为一个整体要加括号，故为 。 4．C　钢笔费用 元，笔记本费用 元，共 元。 5．B　 表示 的相反数，当 时，，故 。注意 与 的区别。 6．B　提价后价格为 ，打九折后为 （元）。 7．B　十位数字是 、个位数字是 3 的两位数应为 ，不是 ，故 B 错误；其余三项均可用 表示。 8．A　把 看作一个整体代入：。 二、填空题 9．；。　解析：女生人数为 ，全班为 。 10．；。　解析：按从左到右的顺序，。 11．；。　解析：长方体表面积为三组相对面面积和的 2 倍。 12．。　解析：。 13．；。　解析：下降记作减，上升记作加，。 14．；。　解析： 的相反数是 ，； 的平方是 ，其相反数是 。 15．。　解析：前段路程 ，后段路程 ，共 。 16．；。　解析：底面是边长为 的正方形，盒子的高为 。 三、解答题 17．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。 解析：注意（1）（2）的区别——“平方的和”先平方后求和，“和的平方”先求和后平方，和作为整体必须加括号。 18．解：（1）当 ， 时， 原式 。 （2）原式 。 （3）原式 。 解析：代入负数必须添括号，否则 会被误算成 。 19．解：（1）标价为 （元）。 （2）售价为 （元）。 （3）利润 = 售价 − 进价 （元）。当 时，（元）。 答：每件衬衫商店获利 24 元。 20．解：（1）这个两位数为 。 （2）交换后的新两位数为 。 （3）当 ， 时，两数分别为 ，， 它们的和为 。 解析：两位数的值等于“十位数字×10 + 个位数字”，不能写成 ，因为 表示 与 的积。 21．解：大长方形的面积为 ；横放的阴影长方形长为 、宽为 ，面积为 ；竖放的阴影长方形宽为 、长为 ，面积为 。 空白部分面积为 ，也可以直接写成 。 解析：两块阴影相交处的小正方形（边长 ）被减了两次，因此要加回一次 ，这就是“容斥”的思想；也可以直接把空白部分看成长为 、宽为 的长方形，两种方法结果一致。 四、能力提升 22．A　解析：。整体代入是求值的常用技巧。 23．C　解析：最小的正整数 ，绝对值最小的有理数 ，最大的负整数 ， 所以原式 。 24．；。 解析：宽为 ，所以周长为 ，面积为 。 25．解：（1）。 （2）先算 ， 再算 。 解析：新定义运算题只需严格按给定式子“对号入座”代入，注意先算括号内的部分。 26．解：（1）容积为 （）。 （2）抹水泥部分为池底圆面与侧面，面积为 （）。 （3）当 ， 时， 原式 （）。 27．解：（1）车费为 （元），化简得 元。 （2）当 时，（元）。 （3）分别乘车：（元）； 合乘一辆车行驶 12 km：（元）。 因为 ，所以合乘更省钱，可少付 （元）。 解析：合乘只付一次起步价，这是省钱的原因。 28．解：（1）第 个等式为 。 （2）把 ，2，3，…，10 的各式相加，等号右边中间各项依次相消， 原式 。 解析：这种“裂项相消”的思想是探索规律的常用方法，第三节还会继续研究。 28-1．解：因为 与 互为相反数，所以 ； 因为 与 互为倒数，所以 ； 因为 ，所以 或 ，两种情况下都有 。 所以原式 。 解析：本题不必求出每个字母的具体值，只需利用“相反数的和为 0”“互为倒数的积为 1”“互为相反数的平方相等”这三条结论整体代入。 28-2．解：（1）进水管每小时注入 。 （2）同时打开时每小时增加 。 （3）当 ， 时，原式 。 答：两管同时打开时，每小时池中水量增加满池的 。 五、拓展探究 29．解：（1）分别购票应付 元。 （2）购买团体票应付 元，即 元。 （3）当 ， 时， 分别购票：（元）； 团体票：（元）。 因为 ，所以分别购买成人票与学生票更省钱，最少需付 720 元。 解析：本题说明“团体票”并非总是便宜，学生票单价低于团体票单价时，学生人数越多，分别购票越划算。 30．解：（1）正方形边长为 ，面积为 。 （2）设圆半径为 ，则 ，， 面积为 。 （3）当 时，正方形面积 ； 圆面积 。 因为 ，所以用同样长的绳子围成圆的面积大。 解析：在周长相同的所有平面图形中，圆的面积最大，这是一个重要的几何事实。 ——本课时作业结束—— 学科网（北京）股份有限公司 $