05二次函数及其性质 专项训练 2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 围绕二次函数解析式、图象、单调性及最值构建从概念到性质应用的系统训练，通过典例与变式题组强化知识逻辑与解题能力，发展抽象能力、几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数的解析式|1例+3训练题|含顶点式、条件求解析式，覆盖待定系数法应用|从解析式表达（基础）到图象直观（性质呈现）再到单调性与最值应用（综合能力），形成完整知识链| |二次函数的图象|1例+2训练题|多选形式，结合零点、对称轴分析系数符号与不等式解集|通过图象特征逆向推导函数性质，培养几何直观与推理能力| |二次函数的单调性及最值|1例+2训练题|含区间单调性判断、恒成立问题、最值求解，强调分类讨论|以单调性为核心，关联最值与不等式，体现知识应用的递进关系|

2027届高三数学一轮复习—— 二次函数及其性质 专项训练 05二次函数及其性质 专项训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、二次函数的解析式 例1．已知二次函数f(x)满足f（2）＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，二次函数的解析式是_______ 【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7. 【分析】分别利用二次函数的一般式、顶点式、零点式三种方法进行求二次函数的解析式即可得解. 【详解】法一　(利用“一般式”解题) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得解得 ∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二　(利用“顶点式”解题) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0). 因为f（2）＝f(－1)， 所以抛物线的对称轴为，所以m＝. 又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8， 所以y＝f(x)＝. 因为f（2）＝－1，所以，解得a＝－4， 所以f(x)＝＝－4x2＋4x＋7. 法三　(利用“零点式”解题) 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8，即. 解得a＝－4或a＝0(舍). 故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 故答案为：f(x)＝－4x2＋4x＋7. 训练1-1．已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式是__________. 【答案】 【解析】设二次函数为，代入点求解即可. 【详解】因为二次函数的图象的顶点坐标为， 所以设， 代入点， 可得，解得， 所以函数解析式为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，考查了二次函数的性质，属于中档题. 训练1-2．(1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式． (3)已知函数是二次函数，且满足，，求的解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意利用换元法分析运算求解； （2）根据题意利用构建方程组法运算求解； （3）根据题意利用待定系数法运算求解. 【详解】（1）已知，令 ，则， 所以， 即. （2）因为，所以， 即 ，解得. （3）函数是二次函数，设， ∵，∴， 又∵，∴， 整理，得， 由恒等式的性质知，上式中对应项的系数相等， ∴，解得，∴. 二、二次函数的图象 例2．（多选）已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 【答案】AD 【分析】根据图象得出参数，进而计算判断A，B，C选项，再代入化简计算一元二次不等式判断D. 【详解】函数的零点为和1，则， 又因为图象开口向下，所以， 对于A：，A选项正确； 对于B：，B选项错误； 对于C：，C选项错误； 对于D：关于的不等式的解集为，D选项正确； 故选：AD 训练2-1．（多选）如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 【答案】BCD 【分析】根据二次函数的图象的开口、对称轴、零点，知，可判断A，B，由对称性知函数有两个零点，得，，代入不等式，结合求解，即可判断C，D. 【详解】对于A，由图象开口向下，得，故A不正确； 对于B，对称轴为，故对， 即，故B正确； 对于C，图像过点，由对称性得有两个零点， 所以，故，由， ，得，故的解集为，故C正确； 对于D，∵，，由，得 又，，解得， ∴的解集为，故D正确. 故选：BCD. 训练2-2．（多选）二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题知，，进而根据对称性得判断即可得答案. 【详解】解：由二次函数图象开口向下知：，对称轴为，即，故. 又因为， 所以. 故选：ACD. 三、二次函数的单调性及最值 例3．已知二次函数，， (1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集； (3)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 当时，此不等式的解集为，当时，此不等式的解集为，当时，此不等式的解集为 (3). 【分析】(1)利用二次函数的单调性来确定参数的取值范围即可； (2)利用分类讨论来解含参的一元二次不等式即可； (3)利用分离参变量，结合基本不等式求最小值，即可得参数的取值范围. 【详解】（1）由二次函数在区间上单调， 可得或，解得或， 所以实数的取值范围； （2）由， 当时，此不等式的解集为， 当时，此不等式的解集为， 当时，此不等式的解集为， （3）由， 因为，所以不等式可变形为， 则， 因为，而函数在区间上单调递增， 所以，当且仅当时取到最小值. 即，则实数的取值范围. 训练3-1．已知函数 (1)当时，求函数的最小值和最大值； (2)若函数在上的最小值为2，求实数a的值. 【答案】(1)函数的最小值为，最大值为； (2) 【分析】（1）根据函数在的单调性讨论求解即可； （2）分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 所以，当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值. （2），开口向上，对称轴为， 所以，当时，在上单调递增，故，解得，满足； 当时，在上单调递减，在上单调递增，故，即，方程无解； 当时，在上单调递减，故，解得，不满足； 综上，当时，函数在上的最小值为2. 训练3-2．已知函数， (1)当时，求函数在上的最大值与最小值； (2)若在上的最大值为4，求实数的值； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)9；0 (2) 或 (3) 时，解集为； 时，解集为； ，解集为或； 时，解集为； 时，解集为或． 【分析】（1）先求出函数解析式，再利用二次函数性质求最大值和最小值； （2）根据二次函数的性质，结合函数的最大值，讨论函数的对称轴的位置，从而求出； （3）先对不等式进行化简，分情况讨论求不等式的解集． 【详解】（1）当时，，函数开口向上，对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为； ，， 当时，取得最大值，最大值为9． （2），函数开口向上，对称轴为，在上的最大值为4， 当，即时，在上单调递增，最大值为， ，解得，与矛盾，舍去； 当，即时，在上单调递减，最大值为，解得，与矛盾，舍去； 当，即时，最大值为， ，， 若，，解得，符合条件； 若，，解得，符合条件； 或． （3），， ，整理得，即， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，等价于， 若，不等式变为，解得； 若，，解得或； 若，，解得或． 时，解集为； 时，解集为； ，解集为或； 时，解集为； 时，解集为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习—— 二次函数及其性质 专项训练 05二次函数及其性质 专项训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、二次函数的解析式 例1．已知二次函数f(x)满足f（2）＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，二次函数的解析式是_______ 训练1-1．已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式是__________. 训练1-2．(1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式． (3)已知函数是二次函数，且满足，，求的解析式． 二、二次函数的图象 例2．（多选）已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 训练2-1．（多选）如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 训练2-2．（多选）二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、二次函数的单调性及最值 例3．已知二次函数，， (1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集； (3)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 训练3-1．已知函数 (1)当时，求函数的最小值和最大值； (2)若函数在上的最小值为2，求实数a的值. 训练3-2．已知函数， (1)当时，求函数在上的最大值与最小值； (2)若在上的最大值为4，求实数的值； (3)解关于的不等式. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $