二次函数专项训练——2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 高三数学一轮复习二次函数专项训练，通过50道分层次习题构建从概念理解到综合应用的完整训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|1-8题|顶点坐标、平移变换等基础题型|从二次函数定义出发，构建概念认知框架| |性质应用|9-20题|单调性、最值、对称性综合题|以函数性质为核心，形成知识网络| |方程不等式|21-32题|根的分布、恒成立问题|建立函数与方程、不等式的内在联系| |实际应用|33-50题|拱桥、利润等建模问题|体现数学建模与应用意识，培养用数学语言表达现实世界的能力|

二次函数专项训练——2027届高三数学一轮复习（原卷） 一、单项选择题（第 1～28 题，每题只有一个正确选项） 1. 抛物线 的顶点坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2. 将抛物线 向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3. 二次函数 的单调递减区间是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4. 已知二次函数 的图象经过点 、、，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 5. 函数 在区间 上的最大值与最小值之和为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6. 已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7. 若二次函数 满足 ，则其图象的对称轴方程为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8. 若方程 的两根为 ，，则 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 9. 若方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 10. 已知二次函数 满足 ，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 11. 若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 12. 函数 在区间 上的值域为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 13. 已知二次函数 满足 ，且 ，则 的解析式为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 14. 已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 15. 已知抛物线 与 轴的两个交点分别为 ，，则 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 16. 不等式 的解集为（　　） A．　　B． 或 　　C． 或 　　D． 17. 已知函数 （），若不等式 的解集非空，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 18. 已知二次函数 中，，，，则其图象与 轴的交点个数为（　　） A． 个　　B． 个　　C． 个　　D．无法确定 19. 若关于 的方程 的两根 ， 满足 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 20. 某抛物线形拱桥，当水面宽为 8 米时，拱顶离水面 4 米。以水面所在直线为 轴、拱顶所在的竖直直线为 轴建立平面直角坐标系，则抛物线的函数解析式为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 21. 函数 在区间 上的最大值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 22. 已知 （，），，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 23. 若关于 的不等式 对任意 恒成立，则实数 的最大值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 24. 已知 ，则 的最小值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 25. 已知二次函数 （）满足 ，则下列不等式成立的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 26. 若方程 恰有一根在区间 内（另一根在区间 外），则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 27. 已知函数 在区间 上的最大值为 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 28. 已知函数 ，若对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 二、多项选择题（第 29～32 题，每题至少有两个正确选项，全部选对得满分，部分选对得部分分，有错选得 0 分） 29. 关于二次函数 ，下列说法正确的是（　　） A．图象开口向下 B．对称轴方程为 C．最大值为 D．在区间 上单调递减 30. 已知二次方程 （）的两根为 ，（），下列说法正确的是（　　） A．若两根异号，则 B．若 ，则两根异号 C．若 且 ，则两根均为正数 D．若方程有两个不相等的实数根，则 31. 已知函数 ，下列说法正确的是（　　） A． 在 上单调递减 B． 的最小值为 C． 在 上的最大值为 D． 的图象与直线 有两个不同的交点 32. 已知二次函数 的图象经过点 、、，则下列结论正确的是（　　） A． B．对称轴方程为 C．图象与 轴的另一个交点为 D． 在区间 上单调递增 三、填空题（第 33～45 题） 33. 抛物线 的顶点坐标为________． 34. 已知二次函数的图象经过点 ，对称轴方程为 ，且最小值为 ，则该二次函数的解析式为________． 35. 函数 在区间 上的值域为________． 36. 已知函数 在区间 上的最大值为 ，则 的最小值为________． 37. 若方程 在区间 内有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是________． 38. 已知函数 在区间 上的最大值为 ，则 ________． 39. 已知 ， 是方程 的两根，则 ________． 40. 已知函数 满足 ，，则 ________． 41. 某商店销售某种商品，进价为每件 40 元。当售价为每件 60 元时，每天可卖出 100 件；售价每上涨 1 元，每天少卖出 2 件。要使每天的利润最大，售价应定为每件________元，最大利润为________元． 42. 已知函数 在区间 内有一个零点，则实数 的取值范围是________． 43. 已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，且 ，则 ________． 44. 若二次函数 （）的图象经过点 ，且对称轴方程为 ，则 ________． 45. 已知函数 在区间 上的最小值小于 ，则实数 的取值范围是________． 四、解答题（第 46～50 题，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 46. 已知二次函数 （）的图象的对称轴方程为 ，与 轴交于点 ，且与 轴两个交点之间的距离为 ． （1）求 的解析式； （2）求 的单调递减区间及最小值． 47. 已知函数 （）在区间 上的最小值为 ． （1）求 的解析式； （2）求 的最大值． 48. 已知二次函数 ． （1）解不等式 ； （2）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围； （3）若方程 在区间 上有解，求实数 的取值范围． 49. 已知函数 （）． （1）若 ，求 的值； （2）若方程 在区间 内恰有一个实数根，求 的取值范围． 50. 某喷泉的喷水嘴位于水面处，水流从喷水嘴喷出后沿抛物线（开口向下）落下，水流离水面的高度 （米）与离喷水嘴的水平距离 （米）之间的关系为 （）． （1）求水流能达到的最大高度； （2）求水流落回水面处离喷水嘴的水平距离； （3）为增大观赏效果，将水流的轨迹调整为 （，）的形式，若调整后水流的最大高度为 4 米，求 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数专项训练——2027届高三数学一轮复习 （答案解析） 选择题答案速查表 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D B B C B A 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 D D A A C D A B 题号 17 18 19 20 21 22 23 24 答案 A C D B C A C D 题号 25 26 27 28 29 30 31 32 答案 D A C B ACD ABCD ABC ABC 一、单项选择题解析 1. 答案 C。 ，顶点坐标为 。 2. 答案 B。 左移 3 个单位：；下移 1 个单位：整体减 1，得 。 3. 答案 D。 对称轴 ，开口向上，在 上单调递减。 4. 答案 B。 代入三点：，，，解得 ，，，故 （验证三点均满足）。 5. 答案 B。 ，（最小值，顶点），（最大值），和为 。 6. 答案 C。 开口向上，递增区间为 ，需 ，即 。 7. 答案 B。 说明 与 关于对称轴对称，对称轴 。 8. 答案 A。 ，，。 9. 答案 D。 需 ，即 。 10. 答案 D。 得对称轴 ，故 ，开口向上。，，所以 。 11. 答案 A。 对称轴 ，递减区间 ，需 ，即 。 12. 答案 A。 顶点 为最大值；端点 为最小值，值域 。 13. 答案 C。 设 ， 得 ；，得 ，，故 。 14. 答案 D。 恰为全局最小值（顶点值），故需 ，即 。 15. 答案 A。 两交点为 ，，则 ，，，。 16. 答案 B。 同解于 ，即 ，解得 或 。 17. 答案 A。 开口向上， 有解需 ，即 ，结合 得 。 18. 答案 C。 ，其中 ，，故 ，与 轴有 2 个交点。 19. 答案 D。 由韦达定理 ，，代入得 ，（此时 ，符合）。 20. 答案 B。 顶点 ，设 ；水面宽 8 米，故过点 ：，，。 21. 答案 C。 。在 上：，，取绝对值后最大值为 。 22. 答案 A。 ，解得 ，，，。 23. 答案 C。 不等式即 。当 时 ，故只需 对 恒成立，即 ，最大值为 。 24. 答案 D。 ，故 ，最小值为 。 25. 答案 D。 得对称轴 ，开口向下， 为最大值，故 （A 错）；（B 错）； 与 关于 对称，（C 错）。 26. 答案 A。 恒成立。当 时：，根为 ，不在 ； 时 ，，两根均为负数，不合题意。当 时两根异号，恰一根为正，该正根在 内 ，即 ，。故选 A。 27. 答案 C。 对称轴 ， 上最大值在离轴较远的端点 处取得：，（此时 ，，确为最大值 ）。 28. 答案 B。 恒成立需 且 ：，即 （此时 自动满足）。 二、多项选择题解析 29. 答案 ACD。 ，开口向下，A 对；对称轴 ，B 错；最大值 ，C 对；轴右侧 单调递减，D 对。 30. 答案 ABCD。 A：异号则 ，而 ，故 ，对；B： 则 且 自动成立，两根异号，对；C：积为正则同号，和为正则同正，对；D：两不等实根 ，对。 31. 答案 ABC。 。A：轴 ， 递减，对；B：最小值 ，对；C：，，最大值 ，对；D：，仅一个交点 ，错。 32. 答案 ABC。 代入三点：，，，解得 ，，。A 对；对称轴 ，B 对；与 轴交于 ，，另一交点 ，C 对；区间 在轴 右侧， 单调递减，D 错。 三、填空题解析 33. 答案：。。 34. 答案：。顶点 ，设 ，由 得 。 35. 答案：。，区间 含顶点 ，最小值 ；最大值在端点 。 36. 答案：。，区间 长 2，最大值 在离轴较远的端点取得。当 时区间 关于轴对称，两端等距，；当 时较远端点离轴距离大于 1，。故 的最小值为 。 37. 答案：。设 ，开口向上，需 ，解得 。 38. 答案：。开口向上，最大值在端点取得； 恒成立，故最大值 ，（此时 ，成立）。 39. 答案：。，，。 40. 答案：。，解得 ，，。 41. 答案：；。设售价上涨 元（），利润 ，当 时取最大值 ，此时售价 元。 42. 答案：。 恒成立。当 时两根异号（积 ），恰一根为正，且 ，由零点存在定理正根在 内，符合； 时根 ，符合；当 时两根均为正，，，恰一根在 内，符合；当 时 ，正根不小于 1，不符合。综上 。 43. 答案：。，故 ，（两种情形 均满足）。 44. 答案：。 得 ；对称轴 得 ，代入得 ，。 45. 答案：。，两根为 和 。当 时， 上两因式均 ，，最小值为 ，不合；当 时，开区间 与 有公共部分，其上 ，最小值小于 。故 。 四、解答题解析 46. （1）对称轴 ，与 轴两交点距离为 2，故两交点为 ，，可设 。又 ，得 ，故 。 （2），开口向上，对称轴 。单调递减区间为 ；最小值为 处的函数值 。 47. （1）对称轴 ，分类讨论： ① 当 时， 位于对称轴右侧， 递增，； ② 当 时，对称轴在区间内，； ③ 当 时， 位于对称轴左侧， 递减，。 综上， （2）当 时，；当 时， 在 上递减， 在 上递减，且在衔接点 处 连续，故 时 。所以 的最大值为 。 48. （1），解集为 。 （2） 的对称轴 ，在 上单调递增，最小值 ，故 。 （3） 在 上的值域为 ，方程有解 。 49. （1），解得 。 （2）注意到 ，即 恒为方程的根，但 。又 。 当 时，，仅有根 ，不合题意； 当 时，另一根为 ，需 ，解得 。 综上， 的取值范围是 。 50. （1），当 时取最大值，水流最大高度为 米。 （2）落回水面时 ：，即 ，舍去 （喷出点），得 ，落点离喷水嘴 4 米。 （3） 为开口向下的抛物线，对称轴 ，最大高度 。由 且 ，得 。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $