13.1 三角形中的边角关系 课时作业 2026-2027学年沪科版数学 八年级上册

**基本信息** 初中数学沪科版八年级上册“三角形中的边角关系”同步练，以“基础巩固-能力提升-拓展探究”分层设计，实现从概念理解到综合应用的知识进阶，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|三角形概念、分类、三边关系、内角和计算|选择填空聚焦单一知识点，如判断线段组成三角形、内角度数计算，夯实基础| |能力提升|多知识点综合应用（中线/角平分线/高的性质、等腰三角形分类讨论）|解答题整合内角和与角平分线性质，如探究∠DAE与∠B、∠C关系，培养推理能力| |拓展探究|规律探究、证明及实际应用（三角形稳定性、周长问题）|通过火柴棒摆三角形、五边形稳定性等问题，发展空间观念与创新意识|

沪科版 · 八年级上册 · 数学课时作业　13.1 三角形中的边角关系 13.1　三角形中的边角关系　课时作业 （沪科版　八年级上册　第13章）　班级：________　姓名：________　学号：________　得分：________ 　学习目标 1．了解三角形的有关概念，会用符号表示三角形，能按边、按角对三角形进行分类． 2．掌握三角形的三边关系，会判断三条线段能否组成三角形，会求第三边的取值范围． 3．掌握三角形内角和等于 180°，理解直角三角形的两个锐角互余，并能进行有关计算． 4．理解三角形的中线、角平分线、高的概念，会画出这些线段；了解三角形的稳定性． 　一、知识点梳理 知识点1　三角形的有关概念 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成元素：三角形有三条边、三个顶点、三个内角． 表示方法：顶点是 A，B，C 的三角形记作“△ABC”，读作“三角形 ABC”．∠A 所对的边 BC 记作 a，∠B 所对的边 AC 记作 b，∠C 所对的边 AB 记作 c． 知识点2　三角形按边分类 分类 特征 不等边三角形 三条边都不相等 等腰三角形（底边和腰不相等） 有两条边相等，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边 等边三角形 三条边都相等（它是特殊的等腰三角形） 在等腰三角形中，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 知识点3　三角形的三边关系 三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边． 判断三条线段能否组成三角形：只需看较短的两条线段之和是否大于最长的线段． 求第三边的范围：若三角形两边长分别为 a，b（a>b），第三边长为 c，则 a-b<c<a+b． 知识点4　三角形的内角和及按角分类 三角形内角和：三角形三个内角的和等于 180°． 按角分类：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）． 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．直角三角形 ABC 可以记作 Rt△ABC． 推论：有两个角互余的三角形是直角三角形． 知识点5　三角形中几条重要的线段 名称 定义（以图中为例） 几何语言 中线 连接顶点 A 与对边 BC 中点 D 的线段 BD=DC=BC 角平分线 ∠BAC 的平分线与对边 BC 交于点 E，线段 AE ∠1=∠2=∠BAC 高 从顶点 A 向对边 BC 所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段 AH AH⊥BC，∠AHB=90° （1）三角形的三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，这两个交点都在三角形的内部．三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． （2）三角形的三条高（或高所在直线）交于一点：锐角三角形的交点在内部，直角三角形的交点是直角顶点，钝角三角形的交点在外部．如下图，钝角△ABC 中，AD，CE 两条高在三角形的外部，BF 在内部． 知识点6　三角形的稳定性 三角形的三边长度确定后，三角形的形状和大小就完全确定，这个性质叫做三角形的稳定性．四边形不具有稳定性． 易错提醒 ①三角形的角平分线是线段，而一个角的平分线是射线，二者不同． ②已知等腰三角形的两边长求周长时，要分“哪条边是腰”两种情况讨论，并检验是否满足三边关系． ③画钝角三角形的高时，要把对边延长后再作垂线． 　二、例题精讲 例1　判断下列各组线段能否组成三角形：（1）3 cm，4 cm，8 cm；（2）5 cm，6 cm，11 cm；（3）5 cm，6 cm，10 cm． 解：（1）因为 3+4=7<8，所以不能组成三角形；（2）因为 5+6=11，所以不能组成三角形；（3）因为 5+6=11>10，所以能组成三角形． 方法点拨：用较短的两条线段之和与最长线段比较，比最长线段大才能组成三角形． 例2　已知等腰三角形的两边长分别为 4 和 9，求它的周长． 解：①若腰长为 4，则三边为 4，4，9，因为 4+4=8<9，不能组成三角形，舍去； ②若腰长为 9，则三边为 9，9，4，因为 4+9>9，能组成三角形，周长为 9+9+4=22．所以这个等腰三角形的周长为 22． 例3　在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，求三个内角的度数，并判断三角形的形状． 解：设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，则 2x+3x+4x=180°，x=20°．所以∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°，这是一个锐角三角形． 例4　如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AE 平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°，求∠DAE 的度数． 解：在△ABC 中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°． 因为 AE 平分∠BAC，所以∠BAE=∠BAC=40°． 因为 AD⊥BC，所以在 Rt△ABD 中，∠BAD=90°-∠B=20°．所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°． 　三、基础巩固 （一）选择题（每题只有一个正确选项） 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，6 C．4，5，8 D．5，5，11 2．一个三角形的两边长分别为 3 和 8，则第三边的长可能是（　　） A．4 B．5 C．10 D．11 3．在△ABC 中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C 的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 4．一个三角形三个内角的度数之比为 1∶2∶3，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 5．下列说法中，正确的是（　　） 　　A．三角形的角平分线是射线 　　B．三角形的三条高都在三角形内部 　　C．三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分 　　D．等腰三角形一定是等边三角形 6．在△ABC 中，若∠A=∠B+∠C，则△ABC 是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 7．若等腰三角形的一边长为 3，另一边长为 7，则它的周长为（　　） A．13 B．17 C．13 或 17 D．以上都不对 8．如图，点 D，E 在△ABC 的边 BC 上，连接 AD，AE，则图中三角形的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．下列生活实例中，利用了三角形稳定性的是（　　） A．电动伸缩门 B．自行车的三角形车架 C．推拉窗 D．可以升降的晾衣架 10．直角三角形的一个锐角是 35°，则另一个锐角是（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° （二）填空题 11．在△ABC 中，∠A=∠B=2∠C，则∠C=________． 12．三角形的三边长分别为 2，x，5，则 x 的取值范围是________；若 x 为偶数，则 x=________． 13．等腰三角形的周长为 20，腰长为 x，则 x 的取值范围是________． 14．如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 上的点，BE 与 CD 相交于点 O，则图中共有________个三角形． 15．在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，若△ABC 的面积为 12，则△ABD 的面积为________． 16．直角三角形中两个锐角的差为 20°，则较大的锐角为________． 17．在△ABC 中，∠A=80°，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 O，则∠BOC=________． 18．用 7 根长度相同的火柴棒首尾相接（不折断）摆三角形，能摆成________种不同形状的三角形． 　四、能力提升 19．在△ABC 中，∠B 比∠A 大 10°，∠C 比∠B 大 10°，求△ABC 各内角的度数． 20．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AE 平分∠BAC，且∠B>∠C． （1）若∠B=64°，∠C=36°，求∠DAE 的度数； （2）试探究∠DAE 与∠B，∠C 之间的数量关系，并说明理由． 21．如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 O． （1）若∠A=70°，求∠BOC 的度数；（2）若∠BOC=120°，求∠A 的度数；（3）猜想∠BOC 与∠A 之间的数量关系． 22．如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，F 是 CE 的中点．若△ABC 的面积为 16，求阴影部分△BEF 的面积． 23．如图，在△ABC 中，AB=AC，BD 是 AC 边上的中线，BD 把△ABC 的周长分成 15 和 12 两部分，求△ABC 各边的长． 24．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长． （1）化简：|a+b-c|-|b-a-c|；（2）当 a=5，b=4，c=3 时，求（1）中式子的值． 25．已知一个三角形的两边长分别为 3 和 7，第三边长为奇数． （1）求第三边的长；（2）求这个三角形的周长；（3）若这个三角形是等腰三角形，求它的周长． 26．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D． （1）求证：∠ACD=∠B；（2）若∠A=36°，求∠BCD 的度数；（3）图中共有几个直角三角形？ 　五、拓展探究 27．周长为 12，且各边长都是整数的三角形共有多少个？请写出它们的三边长． 28．如图，P 是△ABC 内一点，连接 PB，PC．求证：PB+PC<AB+AC．（提示：延长 BP 交 AC 于点 D） 29．【规律探究】在△ABC 的边 BC 上取点，并与点 A 连接． （1）BC 上取 1 个点时，图中共有________个三角形；取 2 个点时共有________个三角形；取 3 个点时共有________个三角形； （2）BC 上取 n 个点（不含 B，C）时，图中共有多少个三角形？ 　六、易错辨析（正确的画“✓”，错误的画“✗”） 30．三角形的角平分线、中线和高都是线段．（　　） 31．一个三角形中至少有两个锐角．（　　） 32．若三条线段 a，b，c 满足 a+b>c，则这三条线段一定能组成三角形．（　　） 33．钝角三角形的三条高都在三角形的外部．（　　） 34．等边三角形是特殊的等腰三角形．（　　） 35．甲、乙两地相距 5 km，乙、丙两地相距 3 km，则甲、丙两地的距离一定大于 2 km 且小于 8 km．（　　） 　七、实际应用 36．如图是一个用木条钉成的五边形木框．为了使它不变形，至少需要再钉上几根木条？若是六边形木框呢？n 边形木框呢？ 37．现有长度分别为 2 cm，3 cm，4 cm，5 cm 的四根木棒，从中任取三根首尾相接，能组成几个不同的三角形？请写出来． 38．A，B，C 三个村庄不在同一条直线上，A，B 两村相距 6 km，B，C 两村相距 4 km． （1）求 A，C 两村距离的取值范围； （2）若 A，C 两村的距离为偶数千米，现计划在 A，C 两村间修一条笔直的公路，每千米造价 50 万元，求修这条公路可能的造价． 　参考答案及解析 三、基础巩固 1．C 【解析】4+5=9>8，能组成三角形；A 中 1+2=3，B 中 2+3<6，D 中 5+5<11，都不能组成三角形． 2．C 【解析】第三边 x 满足 8-3<x<8+3，即 5<x<11，只有 10 符合． 3．C 【解析】∠C=180°-50°-60°=70°． 4．B 【解析】设三个角为 x，2x，3x，则 6x=180°，x=30°，最大角 3x=90°，是直角三角形． 5．C 【解析】三角形的角平分线是线段；钝角三角形有两条高在外部；等腰三角形不一定是等边三角形．三角形的中线把三角形分成等底同高的两个三角形，面积相等． 6．B 【解析】由∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B+∠C，得 2∠A=180°，∠A=90°． 7．B 【解析】若腰为 3，则 3+3<7，不能组成三角形；所以腰为 7，周长为 7+7+3=17． 8．D 【解析】BC 上共有 B，D，E，C 四个点，任取两点与 A 组成三角形：△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC，共 6 个． 9．B 【解析】伸缩门、推拉窗、升降晾衣架利用的是四边形的不稳定性（或可移动性），三角形车架利用了三角形的稳定性． 10．C 【解析】直角三角形两锐角互余，90°-35°=55°． 11．36° 【解析】设∠C=x，则∠A=∠B=2x，2x+2x+x=180°，x=36°． 12．3<x<7；4 或 6 【解析】5-2<x<5+2，即 3<x<7，其中的偶数为 4，6． 13．5<x<10 【解析】底边长为 20-2x．由 20-2x>0 得 x<10； 　　由三边关系得 x+x>20-2x，即 x>5．所以 5<x<10． 14．8 【解析】△ABC，△ABE，△ACD，△BCD，△BCE，△BOC，△BOD，△COE，共 8 个． 15．6 【解析】中线把三角形分成面积相等的两部分，S△ABD=×12=6． 16．55° 【解析】设较大锐角为 x，则较小锐角为 x-20°，x+x-20°=90°，x=55°． 17．130° 【解析】∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°， 　　∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=50°，所以∠BOC=180°-50°=130°． 18．2 【解析】设三边为 a≤b≤c，a+b+c=7，由 a+b>c 得 c<3.5，所以 c≤3；又 c≥，所以 c=3，可得 (1，3，3)，(2，2，3)，共 2 种． 四、能力提升 19．∠A=50°，∠B=60°，∠C=70° 【解析】设∠A=x，则∠B=x+10°，∠C=x+20°，所以 x+x+10°+x+20°=180°，解得 x=50°． **20．（1）14°；（2）∠DAE=(∠B-∠C)** 【解析】（1）∠BAC=180°-64°-36°=80°，∠BAE=∠BAC=40°，∠BAD=90°-64°=26°，所以∠DAE=40°-26°=14°． 　　（2）∠BAE=∠BAC=(180°-∠B-∠C)=90°-∠B-∠C，∠BAD=90°-∠B， 　　所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=∠B-∠C=(∠B-∠C)． **21．（1）125°；（2）60°；（3）∠BOC=90°+∠A** 【解析】（1）∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，因为 BO，CO 分别平分∠ABC，∠ACB， 　　所以∠OBC+∠OCB=×110°=55°，∠BOC=180°-55°=125°． 　　（2）∠OBC+∠OCB=180°-120°=60°，所以∠ABC+∠ACB=120°，∠A=180°-120°=60°． 　　（3）∠BOC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A． 22．4 【解析】D 是 BC 的中点，所以 S△ABD=S△ACD=×16=8． 　　E 是 AD 的中点，所以 S△BDE=S△ABD=4，S△CDE=S△ACD=4，所以 S△BCE=8． 　　F 是 CE 的中点，所以 S△BEF=S△BCE=4． 　　方法点拨：三角形的中线平分面积，多次使用中线可以逐步求出面积． 23．10，10，7 或 8，8，11 【解析】设 AB=AC=x，BC=y，则 AD=DC=x． 　　①当 AB+AD=15，BC+DC=12 时，x+x=15，x=10，y=12-5=7，三边为 10，10，7，满足三边关系； 　　②当 AB+AD=12，BC+DC=15 时，x+x=12，x=8，y=15-4=11，三边为 8，8，11，满足三边关系． 　　所以△ABC 的三边长为 10，10，7 或 8，8，11． 24．（1）2b-2c；（2）2 【解析】（1）由三边关系得 a+b>c，所以 a+b-c>0；又 b<a+c，所以 b-a-c<0． 　　原式=(a+b-c)-(a+c-b)=a+b-c-a-c+b=2b-2c． 　　（2）当 b=4，c=3 时，原式=2×4-2×3=2． 25．（1）5 或 7 或 9；（2）15 或 17 或 19；（3）17 【解析】（1）设第三边为 x，则 7-3<x<7+3，即 4<x<10，其中的奇数为 5，7，9． 　　（2）周长分别为 3+7+5=15，3+7+7=17，3+7+9=19． 　　（3）若为等腰三角形，第三边只能是 7（第三边为 3 时 3+3<7），周长为 17． 26．（1）见解析；（2）36°；（3）3 个 【解析】（1）因为∠ACB=90°，所以∠ACD+∠BCD=90°；因为 CD⊥AB，所以∠B+∠BCD=90°．所以∠ACD=∠B（同角的余角相等）． 　　（2）同理可得∠BCD=∠A=36°． 　　（3）Rt△ABC，Rt△ACD，Rt△BCD，共 3 个． 五、拓展探究 27．3 个：(4，4，4)，(3，4，5)，(2，5，5) 【解析】设三边为 a≤b≤c，a+b+c=12．由 a+b>c 得 12-c>c，c<6；又 3c≥12，c≥4． 　　c=4 时，a+b=8，得 (4，4，4)；c=5 时，a+b=7，得 (2，5，5)，(3，4，5)．共 3 个． 28．见解析 【解析】延长 BP 交 AC 于点 D．在△ABD 中，AB+AD>BD，即 AB+AD>BP+PD ①； 　　在△PDC 中，PD+DC>PC ②． 　　①+②得 AB+AD+PD+DC>BP+PD+PC，即 AB+AC>PB+PC． **29．（1）3，6，10；（2） 个** 【解析】（1）取 1 个点时，BC 上有 3 个点，线段有 2+1=3 条，每条线段与 A 组成一个三角形，共 3 个；同理取 2 个点时有 3+2+1=6 个，取 3 个点时有 4+3+2+1=10 个． 　　（2）BC 上共有 n+2 个点，线段条数为 (n+1)+n+…+1=，所以三角形共有 个． 六、易错辨析 30．✓ 【解析】三角形的角平分线、中线、高都是线段． 31．✓ 【解析】若一个三角形中锐角少于两个，则至少有两个角不小于 90°，内角和大于 180°，不可能． 32．✗ 【解析】反例：1，2，5 满足 1+5>2，但 1+2<5，不能组成三角形．必须任意两边之和都大于第三边． 33．✗ 【解析】钝角三角形有两条高在外部，钝角所对边上的高在内部． 34．✓ 【解析】等边三角形三边相等，当然有两边相等． 35．✗ 【解析】题目没有说明三地不在同一条直线上，当三地共线时距离可以是 2 km 或 8 km，所以应是 2 km≤距离≤8 km． 七、实际应用 36．五边形 2 根，六边形 3 根，n 边形 (n-3) 根 【解析】从一个顶点出发钉木条，把多边形分成若干个三角形，n 边形需要 (n-3) 根木条． 37．3 个 【解析】任取三根共 4 种：2，3，4（能）；2，3，5（2+3=5，不能）；2，4，5（能）；3，4，5（能）． 38．（1）2 km<AC<10 km；（2）200 万元或 300 万元或 400 万元 【解析】（1）三村不共线，构成三角形，6-4<AC<6+4，即 2<AC<10． 　　（2）AC 为偶数，AC=4，6，8，造价分别为 4×50=200（万元），6×50=300（万元），8×50=400（万元）． 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $