精品解析：江苏省南菁高级中学2026-2027学年高三上学期9月诊断练习数学试题

高三数学诊断练习 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】由命题的否定的定义即可得到结果. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题的条件不变． 所以命题“，，”的否定是：“，，”． 故选：B． 2. 若全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合间的基本运算可得. 【详解】由题意可知，，， 则，故. 故选：B. 3. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于选项A，由得，即，所以是的必要不充分条件，故A正确； 对于选项B，取，则，所以不是的必要条件，故B错误； 对于选项C，等价于，所以是的充要条件，故C错误； 对于选项D，等价于，所以是的充要条件，故D错误. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两角差的余弦公式结合二倍角的余弦公式化简可得出的值，再利用可求得的值. 【详解】因为，则，，所以，， 由可得， 所以，， 所以，，故. 故选：D. 5. 已知函数，正数满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性和单调性得出，再结合基本不等式求最小值. 【详解】因为，为奇函数， 所以， 因为在上单调递增，所以，即， 因为均为正数， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 故选：A 6. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，将问题转化为恒成立，然后换元，参变分离，将问题转化为求函数最值问题即可得解. 【详解】， 则， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 令，则在上恒成立， 即在上恒成立， 因为在上单调递减， 所以，所以. 故选：A 7. 已知函数，，若曲线上存在点P，使得点P关于y轴的对称点在曲线上，则a的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，建立方程并构造函数，利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】函数，的定义域均为， 设，则点关于轴的对称点为， 依题意，方程组有解，即方程组有解， 因此方程有解， 令函数，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 则，由有解得， 所以的最大值为. 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，根据指数与对数的互化可得，均为方程的根，进而得到，，进而求解即可. 【详解】令，则， 由， 得， 则， 则，均为方程的根， 则，即， 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于任意实数，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，举反例即可判断；对于BCD，由作差法或者不等式的基本性质即可判断. 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，若，显然，即，则，故B正确； 对于C，因为，则，又，即，所以，故C错误； 对于D，若，则，即，故D正确. 故选：BD. 10. 已知，，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. C. ，，使得 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用和、差的正弦公式将转化为，然后利用和、差的正切公式以及二倍角公式依次判断即可. 【详解】已知，，， 由于，， 所以， 化简得，即， 对于A，若，则，， 由于，所以，解得，故A正确； 对于B，由前面的推导可知，故B正确； 对于C，假设存在，使得，代入等式，即， 由于， 所以，解得，由于，，矛盾， 因此不存在，使得，故C错误； 对于D，由于，所以， 由于，，所以， 根据基本不等式，，当且仅当，即时取等号， 所以，即的最大值为，故D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于中心对称 B. 若函数有4个零点，则 C. 函数是偶函数 D. 设函数有两个零点，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，举例说明判断AB；构造函数利用奇偶性求解判断CD. 【详解】函数，当时，，则， 因此函数， 对于A，，即点在函数的图象上，而点关于对称点不在的图象上，因此函数的图象关于不成中心对称，A错误； 对于B，当时，由，解得或； 当时，由，解得或， 因此当时，函数有4个零点，B错误； 对于C，令函数， 当时，，； 当时，，， 即，都有，因此函数是偶函数，C正确； 对于D，，函数在R上都是增函数， 因此函数在都单调递增，显然0不是此函数的零点， 令函数， 当时，，； 当时，，， 即，都有， 即函数是奇函数，而，即在上有唯一零点， 在上有唯一零点，又函数与函数有相同零点， 即是函数的两个零点，由奇函数性质得，且， 因此，，D正确. 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助与的关系计算即可得. 【详解】， 由，则，故， 故. 13. 若函数为偶函数，是奇函数，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数的奇偶性、对称性、周期性计算即可. 【详解】由题意可知关于轴对称，关于中心对称， ， 所以，故， 所以， 即是的一个正周期，则 由，且，则， 故答案为： 14. 若对，恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意有，分和两种情况讨论，再利用导数研究单调性进而求解. 【详解】原式整理得，当时，在上恒成立， 令，则， 所以单调递增，故， 所以时，原不等式恒成立； 当时，易知函数在上单调递增，令得， 若原不等式在恒成立，则，解得， 此时，令，得， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增；因为， 故当时，，所以当时，原不等式在恒成立， 综上实数的取值范围为 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）先利用三角函数诱导公式化简解析式，再代入求值即可； （2）以正余弦函数齐次化切法求值即可解决. 【小问1详解】 【小问2详解】 由， 可知． 16. 已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． （1）解不等式； （2）当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 【答案】（1） （2）当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0 【解析】 【分析】（1）先根据已知区间上的最大值与最小值之差确定对数的底数及单调性，再利用对数函数的单调性解不等式； （2）将所求函数化为关于新变量的二次函数，在闭区间上求最值． 【小问1详解】 由题意得所给区间的右端点大于左端点，所以，，， 所以，所以在上单调递增， 所以，解之得，所以解集为． 【小问2详解】 因为在上单调递增， 所以，， 即，所以. 所以，所以. 令，因为，所以， 所以. 该二次函数图象开口向上，所以在闭区间上的最小值在顶点处取得，最大值在端点处取得； 比较两个端点的函数值，右端点处的函数值较大． 所以，. 即，， 所以当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0． 17. 已知，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得的值； （2）利用二倍角的余弦公式可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得结果. 【小问1详解】 解：因为，， 又，所以， 所以. 【小问2详解】 解：因为， ， 又因为，所以， 由（1）知，， 所以． 因为，，则，所以． 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）讨论在区间上的零点个数； （3）若，其中，求证：. 【答案】（1） （2）1 （3） 设，即， 所以， 设，， 因为时，，，所以， 所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 故，所以在区间上单调递增. 故，所以. 因为，所以， 又，所以. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义分别求切点坐标与切线斜率，再根据直线的点斜式方程化简转化可得所求； （2）分当和两段分别确定函数的单调性与取值情况，从而判断每段函数零点个数，从而得结论； （3）设，求导确定函数的单调性与取值情况，从而可得结论. 【小问1详解】 由，得且，所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 ①当时，，，所以. 所以在区间上无零点； ②当时，，，所以， 所以在区间上单调递增， 又，， 所以在区间上仅有一个零点， 综上，在区间上的零点个数为1. 【小问3详解】 略 19. 已知函数与的图象相交于点为坐标原点． （1）求函数图象在处的切线方程； （2）若直线与图象相切于点，求的值； （3）若直线与图象交于另一点，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求解； （2）设，根据条件可得，再利用点是两函数图象的交点，即可求解； （3）设，根据条件可得，进而可得，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而可得，利用，求出的取值范围，即可求解. 【小问1详解】 易知，所以， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 设，由题知， 所以，解得， 又点在函数与的图象上， 则，，，则. 【小问3详解】 设，因为直线与图象交于另一点，且，则， 令，由，，即，得， 所以，整理得到， 令，则， 令，则对任意的恒成立， 故函数在上为减函数， 对任意的，， 所以在区间上恒成立， 所以在上单调递减，则，所以， 由（2）知， 令，则在区间上恒成立， 所以在上单调递增，则， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学诊断练习 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 若全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，正数满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 6. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若曲线上存在点P，使得点P关于y轴的对称点在曲线上，则a的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于任意实数，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 10. 已知，，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. C. ，，使得 D. 的最大值为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于中心对称 B. 若函数有4个零点，则 C. 函数是偶函数 D. 设函数有两个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则__________. 13. 若函数为偶函数，是奇函数，且，则__________. 14. 若对，恒成立，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求值； （2）若，求的值． 16. 已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． （1）解不等式； （2）当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 17. 已知，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）讨论在区间上的零点个数； （3）若，其中，求证：. 19. 已知函数与的图象相交于点为坐标原点． （1）求函数图象在处的切线方程； （2）若直线与图象相切于点，求的值； （3）若直线与图象交于另一点，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $