精品解析：江苏省江阴高级中学2025-2026学年高三上学期第一次阶段性测试数学试题

2025－2026学年度高三第一学期第一次阶段性测试 数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 设复数的共轭复数为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知函数，则以下最不可能是其图像的是（ ） A. B. C. D. 5. 记，为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设，，，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 3 7. 利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间的三角函数值，右表是部分5°的奇数倍锐角的正切值（用字母代替），则（ ） 5° 15° 25° 35° m n p q A. B. C. D. 8. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 9. 已知平面直角坐标系中，坐标原点为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不可能为单位向量 D. 若，则 10. 如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于中心对称 C. 在上单调递增 D. 的图象向左平移个单位长度后为奇函数 11. 已知是函数的极大值点，则（ ） A. 函数的极小值为0 B. 若，则 C. 若，则有3个相异的零点 D. 若（其中），则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 函数是定义在上的奇函数，且当时，，则______． 13. 已知，，，，则等于______． 14. 若不等式对恒成立，则______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，是边的中点，是边上的点，且．记． （1）用，表示向量； （2）若，且，求的大小． 16. 已知. （1）若的值域为，求实数的取值范围； （2）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 17. 已知． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）设，若函数和在有相同的最大值，求的取值范围． 18. 在中，，且边上的中线长为1. （1）若，求的面积； （2）若，求的长. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度高三第一学期第一次阶段性测试 数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合，再利用并集的定义运算. 【详解】因，， 则. 故选：D 2. 设复数的共轭复数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再根据复数的乘法计算即可. 【详解】由可得，则. 故选：D. 3. 已知，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据函数的单调性判断D. 【详解】对于A：当，，满足，但是，故A错误； 对于B：当，，满足，但是，故B错误； 对于C：若，，满足，但是，故C错误； 对于D：因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 若，则，所以，故D正确. 故选：D 4. 已知函数，则以下最不可能是其图像的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时，，求导确定函数的单调性、最值即可判断B；当时，，求导确定函数的单调性、最值即可判断C；当时，，根据对数函数的性质即可判断C；时，求确定函数的极值点即可判断A. 【详解】已知函数， 当时，，则，令得， 所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 且则选项B是函数的部分图像； 当时，，则，令得， 所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 且则选项C是函数的部分图像； 当时，，则在上单调递增，且，选项D是的部分图像， 对于A选项，显然， ，令得，所以一定有极值点，故A选项不符合. 故选：A. 5. 记，为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，求导，根据函数的单调性可得充分性，进而根据可得必要性. 【详解】令函数，求导得，故在上单调递增， 由，得，即，即充分性成立； 由，得，即，可得，故必要性不成立， 综上可知，甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 6. 设，，，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，，所以 . 当且仅当，即时取等. 故选：C. 7. 利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间的三角函数值，右表是部分5°的奇数倍锐角的正切值（用字母代替），则（ ） 5° 15° 25° 35° m n p q A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式，再利用二倍角公式，接着齐次化转化为正切可求. 【详解】 ， 故选：B. 8. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和与诱导公式将已知条件转化为边角的三角函数关系，利用正弦定理由边化角，使用二倍角公式进行恒等变换以及利用同角的三角函数关系求出的三角函数值，再利用正弦定理和同角的三角函数关系根据的范围求出结果. 【详解】由得，即，即，又，故， 故， 因为，所以，故，得，， 因为， 因为，，所以， 故，所以，所以， 故选D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 9. 已知平面直角坐标系中，坐标原点为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不可能为单位向量 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标形式判断A，利用向量垂直的坐标形式判断B，由特例判断C，由向量模的坐标公式计算后判断D. 【详解】若，则，解得，A正确； 若，则，解得，B错误； 由题设，当时，是单位向量，C错误； 若，则，D正确， 故选：AD. 10. 如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于中心对称 C. 在上单调递增 D. 的图象向左平移个单位长度后为奇函数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据、结合周期可判断A；根据余弦函数的单调性及对称性可判断BC；根据函数图象平移得到函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断D. 【详解】对于A，由得，由得， 由得，故， 化简得， 由图可知该函数的周期，故，解得， 所以，故A正确； 对于B，由，得不是函数的对称中心，故B错误； 对于C，由，可得， 由，得函数在上单调递增，故C正确； 对于D，的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，此时为偶函数，故D错误. 故选：AC. 11. 已知是函数的极大值点，则（ ） A. 函数的极小值为0 B. 若，则 C. 若，则有3个相异的零点 D. 若（其中），则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，求得，得出函数的单调性与极值（点），可判定A正确；当时，得到，结合函数的单调性，可判定B错误；作出函数的图象，结合图象，可得判定C正确；根据题意，转化为证明，构造，利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】对于A中，由函数，可得， 因为是的极大值点，所以，解得， 所以，可得， 当时，，单调递增；当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以函数的极大值点为，极小值点为0，所以A正确； 对于B中，当时，，则， 因为在区间上单调递减，所以，所以B错误； 对于C中，由，且当时，，当时，， 可得的图象，如图所示， 当时，有3个相异零点，所以C正确； 对于D中，因为，要证，只需证明， 由在上单调递增，需证明， 即当时，证明， 构造函数（其中）， 则， 当时，，则在上单调递增， 所以，即当时，， 所以，所以，所以D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 函数是定义在上的奇函数，且当时，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】由求得，再由即可求解． 【详解】由题意可得，解得， 则． 故答案为： 13. 已知，，，，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合同角关系可求，，再由两角差的余弦公式计算即得． 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 所以． 故答案为：． 14. 若不等式对恒成立，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先分析当时，函数的对称轴，零点及函数值的变化情况，再分析二次函数的单调性与对称轴，结合不等式恒成立可得关于，的方程，求解即可． 【详解】当时，函数的对称轴为，零点为，， 且当时，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且对称轴为， 所以要使不等式恒成立， 于是，，，解得，，故. 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，是边的中点，是边上的点，且．记． （1）用，表示向量； （2）若，且，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理结合已知条件求解即可； （2）用，表示出，再由，得化简结合可求得结果. 【小问1详解】 因为在中，是边的中点，是边上的点，且， 所以 ； 【小问2详解】 ， 因为，所以，即， 故， 化简得：， 因为，所以， 代入上式得， 即，所以，即. 16. 已知. （1）若的值域为，求实数的取值范围； （2）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数值域的性质，将问题转化为，从而得解； （2）将问题转化为的值域是的值域的子集，从而利用二次函数与指数函数的性质即可得解. 【小问1详解】 依题意，函数的值域为， 设，可得，解得或， 故的取值范围是. 【小问2详解】 若，则， 因为，其开口向上，对称轴为， 所以当时，的最小值为8， 当时，取得最大值为， 且在定义域内单调递增， 可得在上的最小值为，最大值为， 即函数的值域是. 因为对任意的，总存在，使成立， 所以的值域是的值域的子集. 当时，在上单调递增， 所以，则，解得； 当时，在上单调递减， 所以，则，解得； 当时，，不符合题意； 综上所述，实数的取值范围. 17. 已知． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）设，若函数和在有相同的最大值，求的取值范围． 【答案】（1）最小正周期为，， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换的化简计算可得，利用和整体代换法计算即可求解； （2）根据正弦函数的图象与性质求出在上的最大值，进而得在上的最大值，建立关于的方程，得，即可求解. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期为． 由，， 得，， 所以的单调递增区间为，． 【小问2详解】 当，得， 所以在上的最大值为， 则在上的最大值也是． 由，，得，， 因为，所以，， 又，所以或． 综上,的取值范围为. 18. 在中，，且边上的中线长为1. （1）若，求的面积； （2）若，求的长. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由题可得，利用勾股定理可判断是直角三角形，且又边上中线，运算可得解； （2）方法一，设，在，中，分别由正弦定理两式可得，在和中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，运算可得解；方法二，作的角平分线，交与，在和中，由正弦定理可得，再由可得，计算得，在和中，由余弦定理可求得结果；方法三，延长到，使，由，可得，运算得，在和中，由余弦定理可得结果. 【小问1详解】 由题可知， 由勾股定理得，，所以是直角三角形， 又，所以， 又边上中线， 所以，，， 所以. 【小问2详解】 方法一：由题可知， 设，则， 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 所以，则，① 在和中，由余弦定理得 所以，② 在中，由余弦定理得， 即，即，③ 将代入得，④ 由①④得，即，即， 即，即， 因为，所以，则，所以. 故的长为2. 方法二：作的角平分线，交与， 设，则， 在和中，由正弦定理可得， 又，所以， 所以. 由题可知，所以， 在和中，， 所以，所以， 则，即，即， 所以（舍）或. 在和中，由余弦定理得 所以， 则，解得. 故的长为2. 方法三：延长到，使，连接， 由题可知， 设，则， 在和中，， 所以，所以，则， 所以， 即，即， 所以（舍）或. 在和中，由余弦定理得 所以， 则，解得. 故的长为2. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的减区间为,增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）根据导数即可判断单调区间； （3）构造函数对任意恒成立，据此根据导数求解即可. 【小问1详解】 由，得， 则，又， 所以曲线在点处的切线为； 【小问2详解】 当时，， 所以， 令，则， 所以在单调递增，且， 所以当时，，则，函数单调递减， 当时，，则，函数单调递增， 所以函数的减区间为，增区间为； 【小问3详解】 设， 则， 因为时，所以为增函数， 又在上都是增函数， 所以函数在上单调递增，且， 当即时，， 所以函数在上单调递增，所以， 所以时，符合题意； ②当即时，，又， 当即时，恒成立， 所以函数在上单调递减，所以， 此时不符合题意； 当即时， 存在，使得， 且当时，，当时，， 即函数在上单调递减，此时，不符合题意； 综上所述，的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $