精品解析：江苏省常州市北郊高级中学2026-2027学年高三上学期9月调研数学试卷

2026～2027学年第一学期九月调研高三数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 命题：顾冬生 审卷：张敏 2026年9月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题知，所以. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数. 【详解】设，则，则， 所以，，解得，因此，. 故选：C. 3. 如图，为了测量障碍物两侧，之间的距离，根据以下数据，不能确定长度的是（） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理以及三角形全等的判定条件，逐项分析各选项给出的数据是否能唯一确定三角形的边长. 【详解】对于A项，已知两边及其夹角， 根据余弦定理，可以唯一求出的长度，故A项能确定； 对于B项，已知三个内角，只能确定三角形的形状（即三角形相似）， 无法确定三角形的大小，因此的长度不确定，故B项不能确定； 对于C项，已知，根据三角形内角和定理可得， 再由正弦定理，可得，可以唯一求出的长度，故C项能确定； 对于D项，已知，根据三角形内角和定理可得， 再由正弦定理，可得，可以唯一求出的长度，故D项能确定. 综上所述，不能确定长度的是B项. 4. 已知函数为奇函数，则下列结论不正确的是（ ） A. 的定义域为 B. C. 的单调递减区间为 D. 的值域为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A选项，由，即可求解； 对于B选项，根据函数为奇函数，由即可求解； 对于C选项，利用指数函数的单调性求解； 对于D选项，由时，，得到，再由是奇函数即可求解. 【详解】对于选项A，由，解得，所以的定义域为，故A正确； 对于选项B，因为函数是定义域为的奇函数， 所以，即，解得， 当时，， 所以， 则符合题意，所以B正确； 对于选项C，当时，，且在上递增，则在上递减， 所以在上递减，又是奇函数， 则的单调递减区间为和，故C正确； 对于选项D，由选项B可知，，当时，，则， 所以，又是奇函数，当时，， 所以的值域为，故D错误. 5. 将函数的图象平移得到函数的图象，且点为曲线在轴右侧的首个对称中心，则上述的平移方式可以是（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换以及正弦型函数的性质，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位， 得到的图象， 因为点为在轴右侧的首个对称中心， 则，可得，即， 对于A，将的图象向左平移个单位，得到的图象，符合题意，所以A正确； 对于B，将的图象向右平移个单位，得到的图象，不符合题意，所以B不正确； 对于C，将的图象向左平移个单位，得到的图象，不符合题意，所以C不正确； 对于D，将的图象向右平移个单位，得到的图象，不符合题意，所以D不正确. 6. 若甲盒中有个红球，个黄球，个白球，乙盒中有个红球（），个黄球，个白球，这些球的大小、材质完全相同.现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“两次取到的球颜色相同”的概率不超过，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合全概率公式得，再解不等式即可得答案. 【详解】设从甲盒中取出红球、黄球、白球的事件分别为， 从甲盒中取出的球与乙盒中取出的球的颜色相同为事件， 则，，， 所以，根据全概率公式得： ， 所以，整理得：，解得， 所以满足题意的的最大值为. 7. 已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点在线段上的位置关系得到系数约束，变形后利用基本不等式求最小值． 【详解】因点在线段上（不含端点），，得， 则， 因此 ， 当且仅当，即，且时，等号成立， 即当时，取得最小值为. 8. 在正四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，，均为线段上的动点，，点在线段上，当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对称性和平移法求出取得最小值时的长度，再利用几何法得到直线与底面所成的角为，然后在中即可计算的正切值． 【详解】因为分别为棱的中点，所以， 在棱上取点，使得，连结， 则四边形为平行四边形，故， 又因为关于的对称点为，连结，则， 因此， 当三点共线时，取得最小值，此时， 由于底面，连结，则直线与底面所成的角为， 而此时， 故当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若一组样本数据所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数 B. 设、为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立 C. 若关于的线性回归方程为，则样本点的残差为 D. 线性回归分析可用决定系数判断模型拟合效果，越趋近于1，则拟合效果越好 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据相关系数的概念判定即可；对于B，根据条件概率公式与事件相互独立性的概念判断即可；对于C，根据回归方程计算预测值，再计算残差即可判定；对于D，根据决定系数的意义判断即可. 【详解】选项A，若所有样本点都在斜率为负的直线上，说明两组数据完全负线性相关，线性相关系数，而非直线斜率，故A错误； 选项B，由条件概率公式，若，可推得，符合相互独立事件的定义，故B正确； 选项C，将代入回归方程得预测值，残差为真实值减去预测值，即，故C正确； 选项D，决定系数是判断回归模型拟合效果的指标，越趋近于1，说明残差平方和越小，模型对样本数据的拟合效果越好，故D正确. 10. 在中，，，，为直线上一点，且，则（ ） A. 为钝角 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，已知三边长，求，使用余弦定理求解即可； 选项B，在中，已知直角边，只需求出即可求出，而可在中用余弦定理即可求得； 选项C，是的斜边，目前已知直角边和的余弦值，运用直角三角形中的三角函数公式即可解决问题； 选项D，与互补，所以，而可在中运用直角三角形中的三角函数公式求得． 【详解】 选项A，由余弦定理可得，，所以为钝角； 选项B，由余弦定理可得，，是锐角，，所以， 因为，所以是直角三角形，在中，； 选项C，在中，； 选项D，因为，所以，即． 11. 对严格减函数有如下定义：设函数的定义域为，若，，当时，，则称为区间上的严格减函数．已知函数，的定义域为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当，的图象均关于原点对称时，的图象也关于原点对称 B. 若，，且，则 C. 若，在上均为严格减函数且连续，则没有极值点 D. 若，均存在最大值，则也一定存在最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用奇函数性质，判断是否为奇函数，举特例排除；对于B，利用不等式传递性，可知，又，故它们的较小值；对于C，根据减函数定义，分析单调性，分有无交点进行讨论即可；对于D，举出反例，可排除. 【详解】对于A，若，的图象均关于原点对称，则，为奇函数， 即，，不妨设，， 因为，又，，所以， 同理，，， 即，不满足， 因此，的图象不一定关于原点对称，选项A错误. 对于B，已知，，且， 对任意，，即是和中的较小值. 由于，，故它们的较小值，因此选项B正确. 对于C，若，在上均为严格减函数且连续，需分析的单调性. 即，，当时，，. 分情况讨论若与没有交点，不妨设， 可得与在上严格单调递减，且， 则严格单调递减， 若与有交点，即存在使得， 当时，不论还是， 都有在均单调递减，又， 所以为上的严格减函数，没有极值点，因此选项C正确. 对于D，令，，则与的最大值均为0， 因为，所以，没有最大值，因此选项D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据13，10，14，24，20，15，22，14的上四分位数为_________． 【答案】21 【解析】 【详解】将数据从小到大排序得：， ，所以该组数据的上四分位数为. 13. 已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知使得成立，即，结合函数的单调性求出最值即可． 【详解】因为且定义域为，所以， 又在上存在单调递减区间，等价于使得成立， 即不等式在上有解，即 设，，则 ， 令，解得（负根不符合定义域，舍去）． 所以函数在 单调递减，在单调递增，经计算， ， 所以，所以． 14. 有一个摸球游戏，规则如下：在盒子里放入大小、质地完全相同的5个红球和4个白球，不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时游戏结束，则游戏结束时取球次数恰好为6次的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】游戏结束时取球次数恰好为6次有两种情况，分类讨论求解． 【详解】从9个球中取6个球有种不同的取法， 游戏结束时取球次数恰好为6次有两种情况： ①最后盒子里剩余的全是白球，则第六次摸出的必是红球，且前五次有一次摸出的是白球，四次摸出的是红球有种不同的取法； ②最后盒子里剩余的全是红球，则第六次摸出的必是白球，且前五次中有两次摸出的是红球，三次摸出的是白球有种不同的取法； 所以游戏结束时取球次数恰好为6次的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 肺结节良恶性辅助诊断AI系统DeepFAN可通过影像识别辅助医生判断结节是否为恶性．某医院回顾性抽取枚经病理确诊的肺结节进行系统判读测试，其中实际为恶性枚、实际为良性枚；其中系统正确识别恶性枚、正确识别良性枚，其余识别错误． （1）从枚结节中随机抽取枚，已知该结节被系统判读为“恶性”，求它实际为恶性的概率； （2）为评估系统上线后医生在AI辅助下诊断准确率的提升趋势，统计了上线后前个月医生的平均诊断准确率（%）与月份的数据： 1 2 3 4 5 6 90 91 93 93 95 96 求关于的经验回归方程，并据此预测第8个月的平均诊断准确率来判断是否全院推广DeepFAN系统；（若预测值超过，则建议全院推广） （3）研究团队进一步让名低年资医生在“无AI辅助”与“有AI辅助”两种情形下，各自独立判读枚结节，得到判断正确情况如下： 判断正确 判断错误 合计 无AI辅助 150 50 200 有AI辅助 180 20 200 合计 330 70 400 计算统计量，并判断：能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否使用AI辅助”与“判断是否正确”有关？ （参考数据：①，，，，，； ②，） 【答案】（1） （2），建议全院推广DeepFAN系统 （3），认为“是否使用AI辅助”与“判断是否正确”有关 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出表格，再利用条件概率公式计算即可； （2）根据题意，利用公式得到经验回归方程，然后代入即可求解； （3）根据公式计算统计量，再对比结果即可判断. 【小问1详解】 根据题意，列出如下表格： 实际恶性 实际良性 合计 识别为恶性 识别为良性 合计 记事件“抽中结节被系统识别为恶性”，事件“抽中结节实际为恶性”， 所求为条件概率． 【小问2详解】 由题意得，，，， 故经验回归方程为， 当时，（）． 因为，所以建议全院推广DeepFAN系统． 【小问3详解】 零假设为：“是否使用AI辅助”与“判断是否正确”无关， 由列联表，，，，，， ， 因为， 所以在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否使用AI辅助”与“判断是否正确”有关． 16. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （3）若函数在上的最大值为，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）依题意可得在上恒成立，结合二次不等式的解法即可得解； （3）对进行分类讨论，结合在上的最大值为列式求得. 【小问1详解】 因为当时，，所以， 所以，， 所以切线方程为，整理得； 【小问2详解】 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 又的解为或， 所以当在上恒成立时， ， 即实数的取值范围； 【小问3详解】 由（2）可知，， 当和时，单调递增； 当时，单调递减. 当即时，在上单调递增， 则，解得或（舍去）； 当时，在上单调递增，则， 解得或（舍去）.     当时， 若，则，则在上单调递减，在上单调递增， 故， 又，无解； 若，则，则在上单调递减，故，无解； 若，则，则在上单调递增，在上单调递减， 故，解得，无解.     综上可得，实数的值为或. 17. 某空军基地进行发射炮弹演习训练，分成甲乙两队进行对抗训练，已知无障碍时甲、乙两队发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，甲、乙两队空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗训练．经过数轮对抗训练后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，演习训练结束．假定各轮结果相互独立．记在1轮对抗中，甲队击中乙队目标为事件A，乙队击中甲队目标为事件B． （1）求概率、； （2）设随机变量表示经过1轮对抗后甲队与乙队击中对方目标次数之差，求的分布列和数学期望； （3）求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，甲队多击中乙队目标两次的概率． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）事件A表示甲队攻击乙队且乙队拦截失败；事件B为乙队攻击甲队且甲队拦截失败；而无障碍时甲、乙两队发射炮弹攻击对方目标与对方拦截事件为相互独立事件，根据独立事件的概率计算公式计算即可； （2）经过1轮对抗，甲队与乙队击中对方目标数之差包括随机事件：甲击中乙未击中，甲乙都击中对方，甲乙都未击中对方，以及甲未击中乙击中四种情况，由此取随机变量的取值计算概率即可； （3）根据3轮中，每轮都互不影响，故甲队与乙队击中对方目标次数之差可借助（2）中1轮的概率值进行计算． 【小问1详解】 记无障碍时甲队、乙队发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件，，， 甲队、乙队空中拦截对方炮弹成功分别为事件，，，． ， ． 【小问2详解】 经过1轮对抗，甲队与乙队击中对方目标数之差的可能取值为，，． ， ． ， 的概率分布为： 所以的数学期望． 【小问3详解】 记3轮对抗后训练结束为事件，记甲队比乙队多击中对方目标两次为事件． 记3轮对抗训练结束后甲队与乙队击中对方目标次数之差为， ， ， 所以， ，所以． 在3轮对抗后训练结束的条件下，甲队比乙队多击中对方目标两次的概率为． 18. 如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． （1）若，证明：平面； （2）若，且，证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值的最小值． 【答案】（1）如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线得到线线平行，依据线面平行判定定理完成证明； （2）利用等体积转化由体积比确定点的位置，通过勾股定理证线线垂直，推证线面垂直，进而证面面垂直； （3）建立空间直角坐标系，设出动点坐标，求解平面法向量，得到二面角的余弦表达式，结合三角函数有界性求出二面角余弦的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得，，，， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则解得，， ，令， 因为，所以，令，， 则有，得， 有，得， 即 即二面角的余弦值的最小值为． 19. 定义：设函数在区间上有最大值，最小值，则称为函数在区间上的“最值距”，为在区间上的“中值”． （1）请直接写出和在区间上的“最值距”和“中值”； （2）求证：不存在区间使函数在区间上的“最值距”只与有关； （3）若与在区间上的“最值距”相同，求：在区间上的“中值”． 【答案】（1）的“最值距”为，“中值”为；的“最值距”为2，“中值”为0 （2）假设在区间上有最大值，最小值，存在，使得， 则：， 又只与有关，则 解得：， 这与定义域为矛盾, ∴ 不存在区间使函数在区间上的“最值距”只与有关． （3）2或 【解析】 【分析】（1）求出两个函数的最值，再结合题意求解； （2）利用反证法进行证明； （3）将平方，得到，根据在区间上的符号分3类进行讨论，利用与在区间上的“最值距”相同列方程，求解. 【小问1详解】 在区间上的最大值为，最小值为， 在区间上的最大值为，最小值为， 所以的“最值距”为，“中值”为；的“最值距”为2，“中值”为0． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可得：，即， 设在区间上的最小值为，最大值为，设与的“最值距”分别为， 则的最小值为0，最大值为， ①如果在区间上变号，即， 若，则，解得：， ∵，则，则，这与矛盾，舍去； 同理，若，可得，这与矛盾，舍去； ②如果在区间上恒正，即， 此时，解得：； ③如果在区间上恒负，即， 此时，解得：； 综上：在区间上的“中值”为2或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年第一学期九月调研高三数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 命题：顾冬生 审卷：张敏 2026年9月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为了测量障碍物两侧，之间的距离，根据以下数据，不能确定长度的是（） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 已知函数为奇函数，则下列结论不正确的是（ ） A. 的定义域为 B. C. 的单调递减区间为 D. 的值域为 5. 将函数的图象平移得到函数的图象，且点为曲线在轴右侧的首个对称中心，则上述的平移方式可以是（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6. 若甲盒中有个红球，个黄球，个白球，乙盒中有个红球（），个黄球，个白球，这些球的大小、材质完全相同.现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“两次取到的球颜色相同”的概率不超过，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 8. 在正四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，，均为线段上的动点，，点在线段上，当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若一组样本数据所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数 B. 设、为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立 C. 若关于的线性回归方程为，则样本点的残差为 D. 线性回归分析可用决定系数判断模型拟合效果，越趋近于1，则拟合效果越好 10. 在中，，，，为直线上一点，且，则（ ） A. 为钝角 B. C. D. 11. 对严格减函数有如下定义：设函数的定义域为，若，，当时，，则称为区间上的严格减函数．已知函数，的定义域为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当，的图象均关于原点对称时，的图象也关于原点对称 B. 若，，且，则 C. 若，在上均为严格减函数且连续，则没有极值点 D. 若，均存在最大值，则也一定存在最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据13，10，14，24，20，15，22，14的上四分位数为_________． 13. 已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为__________． 14. 有一个摸球游戏，规则如下：在盒子里放入大小、质地完全相同的5个红球和4个白球，不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时游戏结束，则游戏结束时取球次数恰好为6次的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 肺结节良恶性辅助诊断AI系统DeepFAN可通过影像识别辅助医生判断结节是否为恶性．某医院回顾性抽取枚经病理确诊的肺结节进行系统判读测试，其中实际为恶性枚、实际为良性枚；其中系统正确识别恶性枚、正确识别良性枚，其余识别错误． （1）从枚结节中随机抽取枚，已知该结节被系统判读为“恶性”，求它实际为恶性的概率； （2）为评估系统上线后医生在AI辅助下诊断准确率的提升趋势，统计了上线后前个月医生的平均诊断准确率（%）与月份的数据： 1 2 3 4 5 6 90 91 93 93 95 96 求关于的经验回归方程，并据此预测第8个月的平均诊断准确率来判断是否全院推广DeepFAN系统；（若预测值超过，则建议全院推广） （3）研究团队进一步让名低年资医生在“无AI辅助”与“有AI辅助”两种情形下，各自独立判读枚结节，得到判断正确情况如下： 判断正确 判断错误 合计 无AI辅助 150 50 200 有AI辅助 180 20 200 合计 330 70 400 计算统计量，并判断：能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否使用AI辅助”与“判断是否正确”有关？ （参考数据：①，，，，，； ②，） 16. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （3）若函数在上的最大值为，求实数的值． 17. 某空军基地进行发射炮弹演习训练，分成甲乙两队进行对抗训练，已知无障碍时甲、乙两队发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，甲、乙两队空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗训练．经过数轮对抗训练后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，演习训练结束．假定各轮结果相互独立．记在1轮对抗中，甲队击中乙队目标为事件A，乙队击中甲队目标为事件B． （1）求概率、； （2）设随机变量表示经过1轮对抗后甲队与乙队击中对方目标次数之差，求的分布列和数学期望； （3）求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，甲队多击中乙队目标两次的概率． 18. 如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． （1）若，证明：平面； （2）若，且，证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值的最小值． 19. 定义：设函数在区间上有最大值，最小值，则称为函数在区间上的“最值距”，为在区间上的“中值”． （1）请直接写出和在区间上的“最值距”和“中值”； （2）求证：不存在区间使函数在区间上的“最值距”只与有关； （3）若与在区间上的“最值距”相同，求：在区间上的“中值”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $