第一章 问题解决策略：反思-【新课程能力培养】2026-2027学年八年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

数学 八年级上册（北师大版） 问题解决策略：反思 自主导学Q典例精析 例题我国古代有这样一个数学问题：枯木一根直立地上，高二丈， 周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何。题意是： 如图所示，把枯木看作一个圆柱，因一丈是十尺，则该圆柱的高为二十尺， 底面周长为三尺，有葛藤自点A处而上，绕五周后其末端恰好到达点B处。 求问题中葛藤的最短长度是多少尺。 例题图 【分析】这是立体图形求最短路径的问题。观察图形特征，葛藤恰好将枯木缠绕五周， 相当于将高为20尺、周长为15尺的圆柱绕一周，则求葛藤的最短长度问题就转化为求圆柱 的侧面展开图（长方形）的对角线长的问题，而求长方形对角线长实质就是求直角三角形 的斜边长。 【解答】如图，由题意知，葛藤的最短长度即为Rt△ABC的斜边长。因为 BC=20,AC=5×3=15,由勾股定理得AB2=AC+BC2,即AB2=152+202=252,所以 AB=25。因此，葛藤的最短长度是25尺。 【点拨】本例“葛藤缠树”需最短长度问题的本质就是“蚂蚁爬行”问题， 例题答图 即“蚂蚁”在立体图形的表面爬行的最短路径问题。它涉及空间想象能力和几 何图形性质的综合运用。解决这类问题的关键思路是将立体图形按照一定方式展开为平面图 形，把蚂蚁的爬行路径转化为平面图形上的线段，即“化曲为直”，再依据“两点之间线段 最短”或“两边之和大于第三边”，准确找出最短路径，然后利用勾股定理计算最短路径的 长度。在立体图形中，要考虑多种平面展开方式，并比较不同展开方式下得到的路径长度， 从而确定最短路径。 能力提升螂综合拓展 -多 1.一只螳螂在粗细均匀的树干A处，发现它的正上方点B处有一只虫子，螳螂想捕到 这只虫子但又怕被虫子发现，于是就绕到虫子后面吃掉它。已知树干的半径为10cm,AB 两点的距离为45cm,那么螳螂爬行的最短路程是多少？（π取3） 第1题图 勾股定理 第一章 2.如图是一个高为3dm,底面是边长为1dm的正方形的长方体包装盒。如果用一根麻 绳从点A开始经过4个侧面绕一圈到达点B,请计算所用麻绳的最短长度。 3 dm A 1 dm 第2题图 3.如图，三级台阶的每一级的长、宽、高分别为20dm,3dm,2dm,点A和点B分 别是台阶两个相对的端点。点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，求蚂蚁爬行 的最短路程。 20 dm dm 第3题图 4.如图，这是一个高为10cm、底面圆周长为32cm、没有上盖的圆柱形食品盒。一只 蚂蚁在盒外表面距下底面3c的点C处，想吃到盒内表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁 需要爬行的最短路程是多少？ 第4题图 5.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B与点C的距离为5。一只蚂蚁要沿 着长方体的表面从点A爬行到点B,问蚂蚁爬行的路线有多少条。请通过计算说明哪一条路 线最短。 B 5 AD 20 10 15 第5题图数学 八年级上册（北师大版） 3勾股定理的应用 物需要爬行的最短路程。由勾股定理，得16+122= 1.172.53.B4.解：(1)A0⊥B0, 400=202,∴.蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为20cm。 ∠AOB=90°。∴.△AOB为直角三角形。在Rt△AOB中， 5.解：蚂蚁爬行的路线有3条。①当蚂蚁爬行经过 由勾股定理，可得AB2-A02+B02=2.42+0.72=6.25。.AB= 长方体的右侧表面与前面 B SC 2.5m。.梯子AB的长度为2.5m。 这两个侧面时，我们将这 (2)如图，由题意可知，AE=0.9m 两个侧面展开所得到的平 :A0=2.4m,E0=A0-AE=1.5(m), 面图形如图1所示。长 ED=AB=2.5m。在Rt△DOE中， 方体的宽为10，高为20， 10 由勾股定理，可得0D=ED2-E0= 点B到点C的距离是5， 图1 2.52-1.52=4。∴.0D=2。∴BD=0D B D .BD=CD+BC=10+5=15 0B=2-0.7=1.3(m)。答：梯子的底 第4题答图 AD=20。在Rt△ABD中， 10 端向外移动的距离为1.3m。5.解：BC=6,D是 由勾股定理，可得AB2=BD+ B5C 20 BC的中点，.CD=)BC=3。在R△ACD中，AD= 4D2=152+202=625。②当蚂 图2 蚁爬行经过长方体的右侧 AC2+CD=42+32=25。.AD=5。将△CDE沿DE翻折， 表面与上底面这两个侧面 点C落在AD上的点F处，∴DF=CD=3,EF=CE, 时，我们将这两个侧面展 ∠EFD=∠ECD=90°。∴AF=AD-DF=2,∠AFE=90°。设 开所得到的平面图形如图 5 CE=x,则EF=x,AE=AC-CE=4-x。在Rt△AFE中，由 2所示，则BE=CE+BC=20+ 20 D10 勾股定理，可得(4-P-22,解得=子。C=15。 5=25,AE=10。在Rt△ABE 图3 中，由勾股定理，可得 第5题答图 6.2.47.B AB=BE+AE=252+10°=725。③当蚂蚁爬行经过长方体 ☆ 问题解决策略：反思 的后面与上表面这两个侧面时，我们将这两个侧面展 1.解：如图，将圆柱侧面沿AB展开成长方形， 开所得到的平面图形如图3所示，则BC=5,AC=CD+ 则螳螂爬行的最短路程就是长方形对角线AB的长。 AD=20+10=30。在Rt△ABC中，由勾股定理，可得 ,AA1=2r×10=20m≈60(cm),BA1=45cm,根据勾股 AB=BC+AC=5+30=925。.625<725<925,AB>0, 定理，可得AB2=AA+BA=60+45-5625=752。故AB= 蚂蚁爬行的路线经过长方体的右侧表面与前面这两个 75cm。答：螳螂爬行的最短距离为75cm。 侧面时，蚂蚁爬行的路程最短，最短路程为25。 20 第二章实数 1认识实数（第1课时）】 1.不是不是不是2.D3.D4.解：AB2= 32+42=25,.AB=5;BC2=32+32=18,CD2=22+32=13, AD=2+4=20;AC=7,BD=5。.AB,AC,BD的长度 第1题答图 第2题答图 第3题答图 是有理数，BC,CD,AD的长度不是有理数。 5.(1)105。(2)b2=105,不是。(3)10.2，验证 2.解：如图，将长方体包装盒侧面沿棱AB展开， 略。6.解：(1)BC边的长不是整数，BC边的长的 得到如图所示的长方形AABB,连接AB,由两点之 整数部分是2。理由：在△ABC中，∠ABC=90°，AB= 间线段最短，AB:长就是所用麻绳的最短长度。在 3,AC=4,由勾股定理，可得BC=AC2-AB2=16-9=7。 Rt△AAB,中，AA=4×1=4(dm),AB=3dm。由勾股 4<BC<9,2<BC<3。BC边的长不是整数，BC边 定理，得AB=AA2+AB2=4+32=25。AB1=5dm。答： 的长的整数部分是2。(2)用无限過近的方法可得 所用麻绳的最短长度为5dm。3.解：如图，三级台 BC≈2.64575。（无限逼近的过程略）7.解：(1) 阶平面展开图为长方形，则BC=20dm,AC=(2+3)×3= 是有理数。设绣布的长为4xcm,宽为3xcm,根据题 15(dm),则蚂蚁沿台阶面爬行到点B处的最短路程 意，得4x3x=588,即12x2=588。x2=49。x>0,x= 是该长方形对角线AB的长。在Rt△ACB中，由勾股 7.4x=28,3x=21。∴.绣布的长为28cm,宽为21cm。 定理，得AB2=AC2+BC=202+15=625=252。.AB=25dm。 .这块绣布的长和宽都是有理数。2×(28+21)=98 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点B处的最短路程是25dm。 (cm)。答：这块绣布的周长为98cm。(2)能够裁出 4.解：·：圆柱形食品盒高10cm、底面圆周长为 来完整的圆形绣布。理由：设完整的圆形绣布的半径 32cm,且蚂蚁从盒外表面距下底面3cm的C处，爬 行到盒内表面对侧中点B处，∴相当于蚂蚁从一个高为 为rcm,根据题意，得m=340。=340≈108.225。 (7+5)cm、底面圆周长为32cm的圆柱形食品盒的下 100<2<121,.10<11。.108.162<110.25,.10.4< 底面上的点C处，爬行到对侧上底面上的点B处。将 r<10.5。.2r<21,.能够裁出来完整的圆形绣布。m 转化得到的圆柱体侧面展开，得到一个长为32cm、 是无限不循环小数，..2一-340：π=10822536·一定是无 宽为12cm的长方形，则这个长方形的一半，即长为 限不循环小数。r不是分数，也不是整数，了不是 16cm、宽为12cm的长方形的对角线就是蚂蚁吃到食 有理数。8.2（答案不唯一）9.B