第一章 3 勾股定理的应用-【新课程能力培养】2026-2027学年八年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

数学 八年级上册（北师大版） 3勾股定理的应用 物需要爬行的最短路程。由勾股定理，得16+122= 1.172.53.B4.解：(1)A0⊥B0, 400=202,∴.蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为20cm。 ∠AOB=90°。∴.△AOB为直角三角形。在Rt△AOB中， 5.解：蚂蚁爬行的路线有3条。①当蚂蚁爬行经过 由勾股定理，可得AB2-A02+B02=2.42+0.72=6.25。.AB= 长方体的右侧表面与前面 B SC 2.5m。.梯子AB的长度为2.5m。 这两个侧面时，我们将这 (2)如图，由题意可知，AE=0.9m 两个侧面展开所得到的平 :A0=2.4m,E0=A0-AE=1.5(m), 面图形如图1所示。长 ED=AB=2.5m。在Rt△DOE中， 方体的宽为10，高为20， 10 由勾股定理，可得0D=ED2-E0= 点B到点C的距离是5， 图1 2.52-1.52=4。∴.0D=2。∴BD=0D B D .BD=CD+BC=10+5=15 0B=2-0.7=1.3(m)。答：梯子的底 第4题答图 AD=20。在Rt△ABD中， 10 端向外移动的距离为1.3m。5.解：BC=6,D是 由勾股定理，可得AB2=BD+ B5C 20 BC的中点，.CD=)BC=3。在R△ACD中，AD= 4D2=152+202=625。②当蚂 图2 蚁爬行经过长方体的右侧 AC2+CD=42+32=25。.AD=5。将△CDE沿DE翻折， 表面与上底面这两个侧面 点C落在AD上的点F处，∴DF=CD=3,EF=CE, 时，我们将这两个侧面展 ∠EFD=∠ECD=90°。∴AF=AD-DF=2,∠AFE=90°。设 开所得到的平面图形如图 5 CE=x,则EF=x,AE=AC-CE=4-x。在Rt△AFE中，由 2所示，则BE=CE+BC=20+ 20 D10 勾股定理，可得(4-P-22,解得=子。C=15。 5=25,AE=10。在Rt△ABE 图3 中，由勾股定理，可得 第5题答图 6.2.47.B AB=BE+AE=252+10°=725。③当蚂蚁爬行经过长方体 ☆ 问题解决策略：反思 的后面与上表面这两个侧面时，我们将这两个侧面展 1.解：如图，将圆柱侧面沿AB展开成长方形， 开所得到的平面图形如图3所示，则BC=5,AC=CD+ 则螳螂爬行的最短路程就是长方形对角线AB的长。 AD=20+10=30。在Rt△ABC中，由勾股定理，可得 ,AA1=2r×10=20m≈60(cm),BA1=45cm,根据勾股 AB=BC+AC=5+30=925。.625<725<925,AB>0, 定理，可得AB2=AA+BA=60+45-5625=752。故AB= 蚂蚁爬行的路线经过长方体的右侧表面与前面这两个 75cm。答：螳螂爬行的最短距离为75cm。 侧面时，蚂蚁爬行的路程最短，最短路程为25。 20 第二章实数 1认识实数（第1课时）】 1.不是不是不是2.D3.D4.解：AB2= 32+42=25,.AB=5;BC2=32+32=18,CD2=22+32=13, AD=2+4=20;AC=7,BD=5。.AB,AC,BD的长度 第1题答图 第2题答图 第3题答图 是有理数，BC,CD,AD的长度不是有理数。 5.(1)105。(2)b2=105,不是。(3)10.2，验证 2.解：如图，将长方体包装盒侧面沿棱AB展开， 略。6.解：(1)BC边的长不是整数，BC边的长的 得到如图所示的长方形AABB,连接AB,由两点之 整数部分是2。理由：在△ABC中，∠ABC=90°，AB= 间线段最短，AB:长就是所用麻绳的最短长度。在 3,AC=4,由勾股定理，可得BC=AC2-AB2=16-9=7。 Rt△AAB,中，AA=4×1=4(dm),AB=3dm。由勾股 4<BC<9,2<BC<3。BC边的长不是整数，BC边 定理，得AB=AA2+AB2=4+32=25。AB1=5dm。答： 的长的整数部分是2。(2)用无限過近的方法可得 所用麻绳的最短长度为5dm。3.解：如图，三级台 BC≈2.64575。（无限逼近的过程略）7.解：(1) 阶平面展开图为长方形，则BC=20dm,AC=(2+3)×3= 是有理数。设绣布的长为4xcm,宽为3xcm,根据题 15(dm),则蚂蚁沿台阶面爬行到点B处的最短路程 意，得4x3x=588,即12x2=588。x2=49。x>0,x= 是该长方形对角线AB的长。在Rt△ACB中，由勾股 7.4x=28,3x=21。∴.绣布的长为28cm,宽为21cm。 定理，得AB2=AC2+BC=202+15=625=252。.AB=25dm。 .这块绣布的长和宽都是有理数。2×(28+21)=98 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点B处的最短路程是25dm。 (cm)。答：这块绣布的周长为98cm。(2)能够裁出 4.解：·：圆柱形食品盒高10cm、底面圆周长为 来完整的圆形绣布。理由：设完整的圆形绣布的半径 32cm,且蚂蚁从盒外表面距下底面3cm的C处，爬 行到盒内表面对侧中点B处，∴相当于蚂蚁从一个高为 为rcm,根据题意，得m=340。=340≈108.225。 (7+5)cm、底面圆周长为32cm的圆柱形食品盒的下 100<2<121,.10<11。.108.162<110.25,.10.4< 底面上的点C处，爬行到对侧上底面上的点B处。将 r<10.5。.2r<21,.能够裁出来完整的圆形绣布。m 转化得到的圆柱体侧面展开，得到一个长为32cm、 是无限不循环小数，..2一-340：π=10822536·一定是无 宽为12cm的长方形，则这个长方形的一半，即长为 限不循环小数。r不是分数，也不是整数，了不是 16cm、宽为12cm的长方形的对角线就是蚂蚁吃到食 有理数。8.2（答案不唯一）9.B数学 八年级上册（北师大版） 勾股定理的应用 自主导学Q、典例精析 一卡多 例题如图是一架秋千的截面图，当秋千静止在AD的位置时，踏板离 地面的垂直高度DE为0.7m,将秋千AD往前推送3m(即BC为3m),到 达AB的位置时秋千的踏板离地的垂直高度BF为1.7m,秋千的绳索始终保 持拉直的状态。求秋千的长度。 【分析】设秋千AD的长度为xm,则AC=(x-1)m,利用Rt△ACB中三 边之间的关系列出方程求解即可。 例题图 【解答】由题意知DE=0.7m,CE=BF=1.7m,所以CD=CE-DE=1.7-0.7=1(m)。设AB= AD=xm,则AC=(-1)m。在Rt△ACB中，由勾股定理，得AC+BC2=AB2,即(x-1)2+32=x2。解 得=5。答：秋千AD的长度为5m。 【点拨】本题考查应用勾股定理解决实际问题。在直角三角形中，如果一条边长为已知 量，另两边长为未知量时，一般解题策略是用设元的方法，即设其中一条未知边的长为x (任意小写字母均可)，另一条未知边用含有未知数x的代数式表示，然后根据勾股定理 列方程求解。 基础巩固L达标闯关 一卡多 1.在一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图及高度、长度如图所示，则地毯的长度至少为 13m 第1题图 第2题图 2.如图，一台笔记本电脑平放在桌面上，屏幕宽BC为25cm,当电脑张角为∠ABC 时，顶部边缘C处离桌面的距离CE为20cm,调整电脑的张角，当张角为∠ABD(点C与 点D为笔记本顶部边缘同一点)时，顶部边缘D处到桌面的距离DF为15cm,则E处与F 处之间的距离EF长为 cm。 3.如图，一个圆柱形水杯盖子的中心处插有吸管，水杯底面直径为10cm, 高度为12cm,吸管长为25cm(底端在杯子底上)，露在水杯外面的长度为acm, 则a的最小值为() A.11 B.12 C.13 D.14 第3题图 8 勾股定理 第一章 4.如图，一架梯子AB斜靠在一竖直的墙OC上，AO=2.4m,B0=0.7m,A0L0B。 (1)求梯子AB的长度。 (2)当梯子的顶端A下滑0.9m时，求梯子的底端向外移动的距离。 06 B 第4题图 能力提升蹄综合拓展 。多多 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=6,D是BC的中点，E是AC边上一点， 连接DA,DE。将△DCE沿直线DE翻折，点C恰好落在DA上的点F处。求AD,CE的长。 C---- D 第5题图 中考链接©真题演练 6.(2025·连云港)如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离 墙脚线的距离为1.8m,则梯子顶端的高度h为 m 7.(2025·遂宁)如图，圆柱的底面直径为AB,高为AC,一只蚂蚁 在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿AC剪开，在侧 1.8m 面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是() 第6题图 B 0 第7题图