1.3 勾股定理的应用 一课一练2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册“勾股定理的应用”同步练，分层设计梯度清晰，从基础应用到综合实践，覆盖定理应用全场景，培养空间观念与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|勾股定理直接应用（网格、梯子滑落、河宽）|单选1-4题、填空12题，通过网格计算、梯子问题等具体情境，强化运算能力与几何直观| |能力提升|多知识点结合（折叠、最短路径、圆柱问题）|单选5-7题、填空13-14题，如折叠中点问题、蚂蚁爬长方体，培养推理意识与空间观念| |综合拓展|复杂情境应用（航海、立体图形最短路径）|解答题18-20题，“鸟儿捉鱼”“探险路线”等问题，融合方位角、立体展开，发展应用意识与创新思维|

1.3 勾股定理的应用 一课一练2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（   ）．    A．2 B． C．3 D． 2．如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是（   ） A．13米 B．10米 C．米 D．米 3．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（    ） A．直角三角形两个锐角互余 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和等于 D．勾股定理 4．一架长的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离为．若梯子顶端下滑，那么梯子底端在水平方向上滑动了（    ） A． B．小于 C．大于 D．无法确定 5．如图，在中，，．将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 6．如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是，一支铅笔长为，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长度为．若这支铅笔斜放入圆柱体笔筒中，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口1.5小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，则乙轮船每小时航行（    ） A．30海里 B．24海里 C．18海里 D．12海里 8．如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知楼梯长，高，现计划在楼梯的表面铺地毯，则地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 10．如图，高速公路上有,两点相距，,为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得,两村庄到站的距离相等，则的长是　　．    A．4 B．5 C．6 D． 二、填空题 11．如图，在甲、乙两个大小不同的的正方形网格中，正方形，分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形，的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为，，则______． 12．一旗杆在离地面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，那么这根旗杆原来有_____m高． 13．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是_____________． 14．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 15．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm 三、解答题 16．如图，一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与点重合，求折痕的长． 17．如图，某沿海城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市到的距离，那么台风中心经过多长时间从点移到点？ 18．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”问题：小溪边长着两课棕榈树，恰好隔岸相望，一棵棕榈树CD高是6米，另外一棵AB高4米；AB与CD树干间的距离是10米．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标E．问：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根C有多远？ 19．如图，在一次户外探险活动中，小亮从营地点出发沿北偏东方向行到达点，然后再沿北偏西方向行到达到目的地点，求出两点之间的距离． 20．综合与实践：如图，某校园有一尊孔子雕像． (1)如图，孔子雕像底座正面是四边形，现提供一足够长的卷尺，请你设计一个方案检测雕像底座正面的边是否垂直于边． (2)若孔子雕像底座是个长方体，量得边，边，一只蚂蚁从顶部点沿长方体的表面爬到底部点，蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B A B A D C D A 1．【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用等积法即可求出的长． 本题考查勾股定理与网格问题．熟练掌握勾股定理，以及等积法求线段的长度，是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理得： ， ， 又， ， ， ． 故选：A． 2．【答案】D 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，解题的关键是将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将木条展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为米；宽为6米， 于是最短路径为：（米）． 故选：D． 3．【答案】B 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为、、， ∵， ∴以、、为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单． 4．【答案】A 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】根据题意作图，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意作图如下， 由题意知，，， ， ， ， ， 梯子底端在水平方向上滑动的距离是． 故选A． 【点睛】本题主要考查勾股定理，解题的关键是根据题意作图分析求解． 5．【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，根据题意得出，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 设， ∵将折叠，使点与边的中点重合，折痕为， ∴， ∵， 在中，，即 解得： 即线段的长为 故选：B． 6．【答案】A 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先根据勾股定理求出，可知铅笔在外面部分的取值范围，再判断答案即可． 【详解】解：如图所示，根据题意，得，， 根据勾股定理，得， 此时铅笔外面得长度为． ∵斜放得铅笔底端放的位置不同， ∴， ∴铅笔在外面部分的取值范围为， ∵， ∴这支铅笔在笔筒外面的部分长度不可能是4cm． 故选：A． 7．【答案】D 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据题目提供的方位角判定，然后根据甲轮船的速度和行驶时间求得的长，利用勾股定理求得的长，除以时间即得到乙轮船的行驶速度． 【详解】 （海里/小时） 故选：D 8．【答案】C 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度． 【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：． ∴该河流的宽度为． 故选：C． 9．【答案】D 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的基本应用，能够正确计算是解题关键． 先通过勾股定理算出楼梯的水平宽度，再通过“地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和”即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是． 故选：D． 10．【答案】A 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设km，则， 在中， ， 在中， ， 由题意可知：， ∴， 解得：． 所以，=． 故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据题意构造方程，是本题的关键． 11．【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】设甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b，分别求出，，和，根据，再由正方形，的面积相等，得出． 【详解】解：设甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b， 则，，，， ∴，S正方形EFGH＝， ∵正方形，的面积相等， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解题关键在于设出甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b． 12．【答案】16 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．根据勾股定理求出，则即为旗杆的高． 【详解】解：根据题意，在中，，， ， ， 即旗杆原来有高． 故答案为：16． 13．【答案】/3厘米 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：，， ∵点是边的中点， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，过点作，上取点，，使， 通过勾股定理求出，，则受噪音影响共有，然后求出时间即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：，， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为， 故答案为：． 15．【答案】16 【知识点】最短路径问题、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可． 【详解】 如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形， ∴，，，， 此时最小， ∵点是中点， ∴cm， ∴cm，cm， 在中，cm， ∴cm， 故答案为：16． 【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算． 16．【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．勾股定理求出的长，折叠得到，，设，利用三线合一和勾股定理进行求解即可．掌握勾股定理和折叠的性质，是解题的关键． 【详解】解：在中，， 由折叠可知，，，， 设，则． 在中，， ． 解得， ， 在中，． 17．【答案】台风中心经过小时从点移到点． 【知识点】用勾股定理解三角形、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，首先根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算，解题的关键是掌握勾股定理的应用． 【详解】在直角三角形中，根据勾股定理，得 ， 时，， 答：台风中心经过小时从点移到点． 18．【答案】4米 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】设EC为x米，BE为（10﹣x）米，利用勾股定理建立方程，求出x的值即可． 【详解】解：∵AB=4，DC=6，BC=10， 设EC为x米，则BE为（10﹣x）米， 在Rt△ABE和Rt△DEC中， AE2=AB2+BE2=42+（10﹣x）2，DE2=DC2+EC2=62+x2， 又∵AE=DE， ∴x2+62=（10﹣x）2+42， x=4， 答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根4米． 【点睛】本题考查了勾股定理的正确运用；善于挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键． 19．【答案】 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据所走的方向可判断出是直角三角形，根据勾股定理可求出解． 【详解】解：根据题意得：， ， 在中，，， ， 、C两点之间的距离为． 20．【答案】(1) 解：分别测量、和的长度， 若，则是直角三角形，，即； (2)蚂蚁爬行的最短路程是． 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）分别测量、和的长度，利用勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）将长方体展开，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：将长方体展开，如图，    由勾股定理，得：， ∴． 答：蚂蚁爬行的最短路程是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $