第一章 2 一定是直角三角形吗-【新课程能力培养】2026-2027学年八年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

数学 八年级上册（北师大版） 一定是直角三角形吗 自主导学Q典例精析 例题如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2,CD=3,DA=1,且 ∠B=90°，求∠DAB的度数。 【分析】利用勾股定理、等腰三角形的性质和三角形内角和定理，可 求得AC及∠BAC=45°，进而得AC+DA2=CD2,故∠CAD=90°，再由 例题图 ∠DAC+∠BAC求得∠DAB的度数。 【解答】如图，连接AC,在△ABC中，由∠B=90°，AB=BC=2,得 AC=AB2+BC=22+22=8,∠BAC=∠ACB=45°。在△ACD中，AC2+DA2=8+ 1=9=CD2,所以△ACD是直角三角形。所以∠CAD=90°。所以∠DAB= ∠BAC+∠CAD=45°+90°=135°. 例题答图 【点拨】本题主要考查勾股定理、勾股定理的逆定理以及等腰三角形的性质。应用勾股 定理的前提是已知直角三角形两条边长，求第三条边；应用勾股定理逆定理的前提是已知三 角形的三边长，如果较短的两条边长的平方和等于较长一条边长的平方，那么就可以判定这 个三角形是直角三角形。 基础巩固达标闯关 1.如图，在由小正方形组成的3x2网格中，每个小正方形的顶点称为 格点。点A,B,C,D,M,N均在格点上，其中A,B,C,D四个点中能 与点M,N构成一个直角三角形的是点 2.《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作。现有勾股数a, 第1题图 b,c,其中a,b均小于c,2a=m2-1,2c=m2+1,m是大于1的奇数，则b= (用含m的式子表示)。 3.已知M,N是线段AB上的两点，AM=MN=2,NB=1,以点A 为圆心、AN长为半径画弧；再以点B为圆心、BM长为半径画弧， N 两弧交于点C。连接AC,BC,则△ABC一定是() 第3题图 A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4.下列结论不正确的是（) A.若正整数a,b,c的比为5：4：3，则以a,b,c作为边长的三角形是直角三角形 B.若正整数a,b,c满足a2=(b+c)(b-c),则以a,b,c作为边长的三角形是直角三角形 C.△ABC中，若∠A:∠B:∠C=3:4:5,则△ABC是直角三角形 D.△ABC中，若∠B=∠C-∠A,则△ABC是直角三角形 勾股定理 第一章 5.如图，在四边形ABCD中，AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,且∠A= 90°。求四边形ABCD的面积。 第5题图 能力提升螂综合拓展 6.如图，在△ABC中，AB=10,BC=12,AD为BC边上的中线，且AD=8,过点D作 DELAC于点E。求线段DE的长。 D 第6题图 7.已知△ABP在正方形网格中的位置如图所示（点A,B,P是网格线交点)，求 ∠PAB+∠PBA的度数。（要求说明理由） 第7题图 中考链接©真题演练 -,B多 8.(2025·广东)《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数 组的方法对研究直角三角形具有重要意义。若直角三角形的三边长a,b,c都是正整数，则 a,b,c为一组“勾股数”。下表中的每一组数都是勾股数。 3,4,5 7,24,25 11,60,61 15,112,113 19,180,181 4,3,5 8,15,17 12,35,37 16,63,65 20,21,29 5,12,13 9,12,15 13,84,85 17,144,145 21,28,35 6,8,10 10, ,26 14,48,50 18,80,82 22,120,122 第8题图 (1)请补全上表中的勾股数。 (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a,b,c,使该 组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明。 (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直 角三角形组成。种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相 邻两株花之间的距离均为1。如果每个三角形的最短边都种21株花，那么这块绿地最少 需要种植多少株花？参考答案与提示 参考答案与提示 第一章勾股定理 勾股定理逆定理得△BCD是直角三角形，·∵S四边形AB 1探索勾股定理（第1课时） SA1m+S△=36cm2.6.解：.BC=12,AD为BC边上 1.(1)15(2)12(3)62.4.83.x2+(x- 的中线，BD=DC=号BC=6。在△ABD中，BMD 6.8)2=1004.175.20.C7.D8.解：由题意 6+8=100=AB2,.△ABD为直角三角形。∠ADB= 可知∠A0B=90°，OA=32m,OB=24m。由勾股定理 90°。∠ADC=∠ADB=90°。又：BD=DC,AD=AD, 可得AB2=0A2+0B2=1600。.AB=40m。9.解：由已 知得BD+AD=BC+AC,BC=10m,AC=20m。设BD= △ABD≌△1CD。1C=AB=I0。Sa=AD-DC= xm,则AD=(30-x)m,CD=(10+x)m。在Rt△ACD 中，CD+AC=AD2,即(10+x)2+20=(30-x)2,解得=5。 号4C-DE,即×8x6=×10xDE,DE=4.8。 .10+x=15,即这棵树的高度为15m。10.B 7.解：如图，延长AP交格点于 D 1探索勾股定理（第2课时） 点D,连接BD,则PD2=BD2=12+ 1.682.5或133.494.B5.C6.解：设 22=5,PB=12+32=10。∴.PD=BD AE=xkm,DE=EC,.由勾股定理，得x2+152=10+ PD+DB2=PB2。.∠PDB=90°。. 第7题答图 (25-x)2,解得x=10,即收购站E应建在离A点10km ∠DPB=45°。.∠APB=180°-∠DPB 处。7.解：如图，作AF⊥ =135°。.∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=180°-135°=45°。 BO于点F,CG⊥BO于点 8.解：(1)24(2)①根据表中数据(3,4,5)， G,AD⊥DB,OB⊥DE, (4,3,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15, ∠ADB=∠DBO=∠OBE=90°。 17),(11,60,61),(12,35,37),(13,84,85), 'AD∥OB。.∠AFO=∠DAF= 、F (15,112,113),(16,63,65),(17,144,145), 90°。.∠ADB=∠DBF=∠AFB= (19,180,181),(20,21,29)的规律，能用含字 ∠DAF=90°。..四边形ADBF 第7题答图 母m,n(m>n,且m,n均为正整数)的代数式表示 为长方形。同理，四边形BECG为长方形。：∠AOC= 三角形的三边，设a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2。证明： ∠AOF+∠COG=90°，∠A0F+∠OAF=90°，.∴.∠COG= 2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m-2m2n2+n+4mn2=m+2mn2+ ∠0AF。.:∠CG0=∠AF0=90°，A0=C0,∴.△A0F≌ n4=(m2+n2)2-c2,a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2能够成为 △OCG(AAS)。.OG=AF=BD=4m。设AO=xm,在 直角三角形的边长。②根据表中数据可知(6,8,10)， Rt△AF0中，AFP+0F=A0,即4+(x-1)2=x2,解得x= (9,12,15),(21,28,35)分别是(3,4,5)的2 8.5。则CE=GB=0B-0G=8.5-4=4.5(m)。8.解： 倍、3倍、7倍，(10,24,26)，(14,48,50)， (1)S=S2+S3。理由：设Rt△ABC的三边BC,AC,AB (18,80,82),(22,120,122)分别是 的长分别为a,b,c,由勾股定理得c2=+b2。又S= (5,12,13),(7,24,25),(9,40,41), c2,S2=d,S=b2,.S=S2+S3。(2)S1=S2+S3。理由： (11,60,61)的2倍，经验算(9,40,41)满足m2 n2,2mn,m2+n2,∴.表中数据能用含字母m,n,k s=,s=4,s=4,s+4+=4d (m>n,且n,m,k均为正整数)的代数式表示三角形 +b)=c=S。9.解：R△ACD'≌R△ACD≌ 的三边，设a=(m2-n2)k,b=2mmk,c=(m2+n2)k。证明： .d+b2=[(m2-n2)k P+(2mnk)=m'k2-2m'n'k+n'k2+4m'n'k2= Rt ACAB,..C'A=AC=c,AD'=AD=CB=b,C'D'=CD= mk2+2m2nk2+n2=[(m2+n2)k]2=c2。根据勾股定理的逆 AB=a,∠ACD'=∠CAB。∠AC'D'+∠D'AC'=90°， 定理，得a=(m2-n2)k,b=2mnk,c=(m2+n2)k能够成为 .∠BAC+∠DAC'=90°。.∠CAC=180°-90°=90°。. 直角三角形的三边长。.利用a=(m2-n2)k,b=2mnk, △CAC是一个等腰直角三角形，Sec=)c2。又：四 c=(m4n2)k能够表示出表中所有的勾股数组。(3)由 2 于该图案是由四个全等的直角三角形组成，所以只需 边形BCCD是一个直角梯形.号(ab2x号d+, 要计算其中一个直角三角形边上的种花数量即可，不 2 妨设这个三角形为Rt△ABC,∠ACB=90°，AC<BC,: .a2+b2=c2.10.4811.D12.C 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各 2一定是直角三角形吗 边上相邻两株花之间的距离均为1m,三角形最短边 1.C2.m3.B4.C A 种21株花，.AC=20m。由题中表格中的规律，当最 5.解：如图，连接BD,由勾 短边为20时，b=2mn=2×5×2,∴.a=52-22=21,c=52+22= 股定理得BD=5cm。又，BC= 29,即BC边上种植22株花，AB边上种植27株花。 13 cm,CD=12 cm,..BD2+ ∴.每个三角形上种花21+20+29=70（株）。.70×4=280 CD=25+144=169=132=BC2,由 第5题答图 (株)。答：这块绿地最少需要种植280株花。