第二章 2 平方根与立方根-【新课程能力培养】2026-2027学年八年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

实 数 第二章 平方根与立方根（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题已知一个正方体的表面积为96dm?,求这个正方体的棱长。 【分析】根据正方体的表面积等于96dm求棱长的平方，再由算术平方根的定义求出棱长。 【解答】设正方体的棱长为adm,则由正方体的表面积S=6a2,得6a2=96。 解得a2=16。所以a=V16=4(dm)。 所以这个正方体的棱长为4dm。 【点拨】此题实质是考查运用平方运算求一个数的算术平方根。 基础巩固（达标闯关 1.一个数的算术平方根是它本身，则这个数是() A.-1,1或0 B.1 C.-1或1 D.0或1 2.一个数的算术平方根是a,比这个数大2的数为() A.a+2 B.Va-2 C.Va +2 D.a2+2 3.下列说法正确的是() A.4的算术平方根是±2 B.-2一定没有算术平方根 C.-V5表示5的算术平方根的相反数 D.0.9的算术平方根是0.3 4.估算V17+1的值在（) A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 5.求下列各数的算术平方根： 0& (2)2500: (3)0: (4)0.25; (5) 121 169 (6)62。 数学 八年级上册（北师大版） 能力提升螂综合拓展 6.计算下列各式的值： (1)(-V11)2; (2)V6+8: (3)V252-152: 144 (4)1V225 (5)V2x18; (6)V(-3)×(-27)。 7.图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①②③ ④⑤…，则第n个等腰直角三角形的斜边长为多少？ ④ ⑤ 第7题图 8.如图，把两个面积为450cm的正方形沿对角线裁成4个三角形，并将其拼成一个大 正方形。 (1)求大正方形的边长。 (2)若沿着大正方形边的方向剪裁，能否裁出一个面积为600cm,长与宽之比为3：2 的长方形？ 第8题图 中考链接©真题演练 .s多多色多 9.(2025.青海)4的算术平方根是 10.(2025广元)V4的相反数是（） A.-4 B.-2 C.2 D.4 11.(2025·资阳)已知数轴上点A所表示的数是V2,则与点A相距2个单位长度的点 表示的数是() A.V2+2或V2-2 B.2+V2或2-V2 C.V2+2 D.V2-2 18 实数 第二章 平方根与立方根（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题已知lal=6,b2=16,求a+b的平方根。 【分析】根据1ad=6,b2=16,求出a,b的值，再分类讨论，求出每种情况下a+b的平方根。 【解答】因为lal=6,b2=16,所以a=±6，b=±4。 ①当a=6,b=4时，a+b=10,其平方根是±V10: ②当a=6,b=-4时，a+b=2,其平方根是±V2; ③当a=-6,b=4时，a+b=-2,a+b没有平方根； ④当a=-6,b=-4时，a+b=-10,a+b没有平方根。 【点拔】本题考查用平方运算求一个数的平方根。解题的关键是理解平方根的概念，即 一个正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根Va,另一个是-Va,它们互为相反数。 基础巩固)达标闯关 1.若一个数的平方根等于它本身，则这个数是 若一个数的算术平方根等于它 本身，则这个数是 2.一个数的平方根是2x-4和3x-1,则x的值为 3.V16的平方根是() A.4 B.-4 C.±4 D.±2 4.下列说法正确的是（) A.49的平方根是7 B.V36的平方根是±6 C.(-2)2的平方根是±2 D.-5的平方根是-V5 5.求下列各数的平方根： (1)625: 2 (3)1.69; (4)17: (5)3600: (6)0.0049。 西 数学 八年级上册（北师大版） 6.求满足下列各式的x的值： (1)8x2-2=0: (2)25(x-1)2=4。 能力提升睡综合拓展 一s多多多 7.已知2m+2的平方根是±4,3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的算术平方根。 8.实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简：V2-Vb2-V(a-b)2。 -1-0.500.51 第8题图 9.观察下列算式的特征及运算结果：V12-2x1x1+1P=V0=0;V22-2x2x1+1P=V1=1; V32-2x3x1+1P=V4=2;V42-2x4x1+1P=V9=3;V52-2x5×1+1P=V16=4;… (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①V62-2x6x1+12= ;②V1012-2x101x1+12= (2)用含n(n为正整数)的代数式表示出第n个等式： (3)计算：V12-2×1×1+12-V22-2×2×1+12+V32-2×3×1+12-V42-2×4×1+12+…+ V20252-2x2025×1+12-V20262-2×2026x1+1下。 中考链接©真题演练 一k多多 10.(2025·南通)若Vx-3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 11.(2024.内江)16的平方根是（) A.2 B.-4 C.4 D.±4 20 实数 第二章 平方根与立方根（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题已知64x2=1,求x的立方根。 【分析】由64x2=1可求出x的值，进而求出x的立方根。 【解答】因为641，即产4所以=±日。 因为分=名，片名，所以x的立方根是±号 【点拨】此题考查运用平方运算与立方运算求一个数的平方根与立方根。应该注意的是， 任何数都有立方根，一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0。 基础巩固U达标闯关 1.立方根等于它本身的数是 2.8的立方根为() A.2 B.±2 C.4 D.±4 3.设=2，b=(-3只，c=V9,d上号，则a,,c,d按由小到大的顺序排列正确的是 ( A.c<a<d<b B.b<d<a<c C.a<c<d<b D.b<c<a<d 4.下列说法正确的是() A.27的立方根是±3 B.0没有立方根 C.-2是-8的立方根 D.-64的立方根是4 5.求下列各数的立方根： (1)0.216; (2)-0.008: (3) 125 1000: (4)729 6.求下列各式的值： (1)V1000;(2)V(-2); 3)-V品4(s 口数学 八年级上册（北师大版） 7.求下列各式中x的值： (1)3x3=81; (2)(x+3)3=8: (3)8-125x3=0。 能力提升脚综合拓展 一kB 8.已知144x2-49=0,27y3+1000=0,且y<0,求x+y,y的值。 9.一个正数b的两个平方根分别是2a-3与5-，求10a-b+5的立方根。 10.如图是一块体积为343cm3的立方体铁块。 (1)求这个铁块的棱长。 (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个小立方体铁块，其中一个的体积为 218cm,求另一个小立方体铁块的棱长。 第10题图 中考链接©真题演练 11.(2025·江西)化简：/8= 12.(2025·安徽)下列计算正确的是() A.V(-a)2=-a B./(-a)=-a C.a3.(-a)2=d D.(-a2)3=a5 2② 实 数 第二章 平方根与立方根（第4课时） 自主导学Q典例精析 例题 估算V5的大小。（结果精确到0.01） 【分析】运用算术平方根的概念，可找到与5接近的两个完全平方数，即4<5<9，由此可 估算V√5的整数部分是2。又因为5和4比较接近，所以V5的小数部分小于0.5，再分别计算 2.32,2.22,判断与V5之间的大小关系，同理可再取小数点后两位数，即可估算出V5的值。 【解答】因为4<5<9，所以2<V5<3。又因为5<6.25=2.52，所以V5小于2.5。 因为2.22-4.84,2.32=5.29，所以2.2<V5<2.3。 因为2.232=4.9729,2.242=5.0176，所以2.23<V5<2.24。 因为5.0176更接近于5，所以V5约为2.24。 【点拨】此题主要考查估算无理数大致范围的能力。此题的解法实质上给出了估算一个 正无理数大小的一般方法，即用两个有理数逼近的方法。特别说明有两点：第一，逼近的次 数是由估算要求的精确度决定的，本例要求精度是0.01，所以作了三次有理数逼近，即整数 部分、十分位和百分位；第二，两个逼近的有理数的平方数中，哪个与估算的无理数平方数 的误差小，那么这个有理数就是无理数估算值。 基础巩固飞)达标闯关 :修多色多 1.请估算下列各无理数的大小： (1)V56(结果精确到0.1)= (2)V21.2(结果精确到0.1)= (3)√200（结果精确到1）= 2.比较大小：(1)-4 -V17:(2)V16 V7。 3.将实数-V3,-√2，-π按由小到大的顺序排列： 0 4.若正方形ABCD的面积为57，则边AB的长介于连续整数 和 之间。 5.下列各组数不能作为一个三角形的三边长的是() A.1,V3,2B.V3,V4,V5C.3,4,5 D.32,42,5 6.估计12的负的平方根介于() A.-5和-4之间B.-4与-3之间 C.-3与-2之间 D.-2与-1之间 7.用计算器求下列各式的近似值，你发现了什么规律？ V0.198= ;1V19.8= ;V1980= ;V198000= 规律： 23 数学 八年级上册（北师大版） 能力提升螂综合拓展 8.小张同学家的客厅是面积为28的正方形，那么请你判断一下这个正方形客厅的边 长x是有理数还是无理数。如果结果精确到0.1，那么边长x的取值是多少？ *9.某科技园占地是一个面积为12x10?的长方形，且这个长方形的长是宽的3倍。请你 用估算的方法解决下列问题。 (1)如果结果精确到100m,它的宽大约是多少米？ (2)在科技园内建设一个占地面积为87002的正方形体育馆，如果要求结果精确到 1m,请你估算一下它的边长是多少。 中考链接©真题演练 10.(2025·陕西)满足V2<a<5的整数a可以是 (写出一个符合题意的数即可) 11.(2025·重庆)若n为正整数，且满足n<V26<n+1,则n= 12.(2024.安徽)我国古代数学家张衡将圆周率取值为10，祖冲之给出圆周率的一种 分数形式的近似值为号。比较大小：V10 (填或“<)号。 13.(2025·湖南)下列四个数中，最大的数是() A.3.5 B.V2 C.0 D.-1 14.(2025·天津)估计1+V6的值在() A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 24参考答案与提示 1认识实数（第2课时） 又0,0,0，y0。=7y=-9。+ 12.323232…，-号，3.14，器 2 -T, 。 9.解：由题意，得2a-3+5-a=0. 0.1010010001·(相邻两个1之间0的个数逐次加1) 2A3C4C5解：)03,0，-5， 解得a=-2,则b=49。.10a-b+5=-64。-64=-4, .10a-b+5的立方根为-4.10.解：(1)设立方体的 0.728,3.14,…}(2){r,0.3030030003…(相 棱长为a,则根据题意，得d=343.7=343,∴a= 邻两个3之间0的个数逐次加1)，} 3)品 V343=7(cm)。答：这个铁块的棱长为7cm。(2) 设另一个小立方体铁块的棱长为bcm,则b=343-218= -5,…} (④)-5，b,0.03,030303003 125.5=125,b=5。答：另一个小立方体铁块的棱 (相邻两个3之间0的个数逐次加1)，0.728,3.14，T 长为5cm。11.212.B 6略。7解：①号②片③8④2240240024 2平方根与立方根（第4课时） 1.(1)7.5(2)4.6(3)62.(1)> (相邻两个24之间0的个数逐次加1) ⑤-7⑥3-π (2)<3.-m<-V3<-V24.785.D6.B 8.略。 7.0.4454.4544.5445规律：被开方数的小数 2平方根与立方根（第1课时）】 点每向左（或向右）移动两位，其算术平方根的小数 1D2.D3.C4D5子(2)50 点就相应地向左（或向右）移动一位8.解：由题意， 得x2=28。又>0，x=V28。这个正方形客厅的边 (3)0(405(5)吕(6)名6()1 长x是无理数。5<V28<6,5.2<V28<5.3,5.29< (2)10 6)204)号 (5)6(6)97.解： V28<5.30。∴x≈5.3。∴.这个正方形客厅的边长x约 为5.3m。9.解：(1)设开发区占地的宽为xm, :直角三角形①②③④⑤的斜边依次为V2,V2,: 则长为3xm,3x2-12×107,x2=4×10。解得x=V40x10。 V2,V2,V2,.第n个等腰直角三角形的斜边 又，6300<V40x10<6350,且结果精确到100m, 长为V2.8.解：(I)设大正方形的边长为acm, V40x10的整数部分为6300。∴.x≈6300m。(2)设 小正方形的面积为450cm2,.拼成的大正方形的面 正方形的边长为ym,则y2=8700。解得y=V8700。 积a2=2×450=900(cm2)。a>0,.a=V900=30。.大 又.93<V8700<94,93.1<V8700<93.5,且结果精 正方形的边长是30cm。(2)设裁出的长方形的长为 确到1m,V8700≈93。.要建设的体育馆的边长约 3xcm,宽为2xcm,根据题意，得6x2-600。∴x2=100。 为93m。10.3(答案不唯一)11.512.>13. x>0,x=10.3×10=30(cm),2×10=20(cm)。 A14.C 这个长方形的长与宽都没有超过30cm,∴.能裁出一个 面积为600cm,长与宽之比为3：2的长方形。9.2 3二次根式（第1课时）】 10.B11.A 1.252.V7232V304.6 2平方根与立方根（第2课时） 1.00或12.13.D4.C5.(1)±25 5.3+V256.V24-V37.C8.A9.C 10.D1.(1)5(2)3(3)812.(1)94V5 (2)±8(3)1.3(4)±V7 (5)±60 (2)1(3)2+V2(4)13-V2613.V10 (6)±0076D±号2)子或号 7.m=7,n= 14.6015.B16.B 3二次根式（第2课时）】 3,Vm+2n=V3.8.解：-1<a<-0.5,0.5<b<1, .原式=--b-(b-a)=-a-b-b+a=-2b。9.(1)①V25 1.3V75V2Y652.2V6 3 5 5②V100100(2)Vn2-2xx1+1P= 2W3312名440V35.3Y弩6.C V(n-1)7=n-1(3)原式=-0-1+2-3+4-5+…+2024- 10 2025=(0-1)+(2-3)+(4-5)+…+(2024-2025)=-1+ 7.D8.C9.解：最简二次根式有Vx4I,VI, (-1)+(-1)++(-1)=-1013.10.x≥311.D 其余都不是最简二次根式。V(-7)?=7,V28=2V7, 2平方根与立方根（第3课时）】 1.0或±12.A3.A4.C5.(1)0.6 v0-号，V嘉-.-V厚 2 (2)023)05④号6)10(2)2 10.(1)22V2(2)V12×(3244)=60(3)60 (4)子V31.解：DE是AB边上的高， (3)-号(4)87.(1)x=3 (2)x=-1(3)= ∠AED=∠BED=90°。在Rt△ADE中，由勾股定理，得 2 8解：将已知等式变形，得品190 27 AE=V(2V5)2-4=2。同理，在Rt△BDE中，BE=