1.2 一定是直角三角形吗 一课一练2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学八年级上册“1.2一定是直角三角形吗”同步练，以“基础巩固-综合应用-规律探究”分层设计，通过多样化题型培养几何直观、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股数判断、直角三角形判定|单选题1-3直接考查勾股定理逆定理，填空题9结合历史情境强化概念| |提升|网格与图形综合应用|解答题14结合三角形面积与勾股定理，培养运算能力；填空题11通过四边形模型发展空间观念| |拓展|规律探究与实际应用|解答题17分析勾股数生成规律，解答题16结合方向角问题，体现模型意识与创新思维|

1.2 一定是直角三角形吗 一课一练2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产生活．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 2．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（   ） A．1,2,3 B．3,4,5 C．6,8,10 D．5,12,13 3．已知△ABC的三边长分别是3cm、4cm、5cm，则△ABC的面积是（    ） A．6cm2 B．15cm2 C．24cm2 D．10cm2 4．如图，四边形中，，，，，．则（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小 5．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 6．下列四个说法：①若，，是勾股数，且最大，则一定有；②以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；③0.3，0.4，0.5不是勾股数，以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；④若三个整数，，是直角三角形的三边长，则，，一定是勾股数，其中正确的是（   ） A．③④ B．②③ C．①② D．①④ 7．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 8．在正方形网格中画格点，如图，若网格中每个小正方形的边长均为，则下列说法错误的是（） A． B． C． D． 二、填空题 9．观察下列几组勾股数，①，，；②，，；③，，；④，，；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：________，第组勾股数是________． 10．如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，那么∠ABC的度数是_____． 11．如图，，，，，，则________．    12．下列说法： ①因为0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形 ②若a，b，c是勾股数，且，，则必有 ③因以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数 ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三条边，则，，必是勾股数 其中正确的是___________（填序号）． 13．若的三边满足为奇数，且能被3整除，则__________，是__________． 三、解答题 14．如图，在中，，D是线段AB上一点，，连接CD，． (1)求证：． (2)若，求的周长． 15．如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点，按下列要求作图： ①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点； ②使其中任意两点不在同一格线上； ③连接三个格点，使之构成直角三角形． 请你按照要求，在下面的三个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等． 16．甲、乙、丙三人分别在操场上的点，，处，其两两之间的距离如图所示．若乙在甲的西偏北方向，则丙在甲的什么方向？    17．【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数，称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如 等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如 等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数才能满足关系式．设为一组勾股数，观察下表回答问题： 表1 表2 a b c a b c 3 4 5 6 8 10 5 12 13 8 15 17 7 24 25 10 24 26 9 40 41 12 35 37 (1)根据表1的规律写出勾股数（11，________，________）； 观察可得：表1中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (2)根据表2的规律写出勾股数（16，________，________）； 观察可得：表2中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (3)老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗？（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如） 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A B A D B C 1．【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，三个正整数满足两较小数的平方和等于最大数的平方，这样的三个数是勾股数． 根据勾股数的定义逐项验证即可解答． 【详解】解：A．，不符合勾股数的定义，不符合题意； B．，不符合勾股数的定义，不符合题意； C．，符合勾股数的定义，符合题意； D．，不符合勾股数的定义，不符合题意． 故选C． 2．【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，判断三边能否构成直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先判断能否构成三角形，再验证是否为直角三角形． 【详解】解：∵三角形任意两边之和需大于第三边， ∴在选项A中，， 不满足三边关系， 无法构成三角形， 更不能构成直角三角形； 选项B中，∵， 符合勾股定理逆定理， ∴能构成直角三角形； 选项C中，∵， 符合勾股定理逆定理， ∴能构成直角三角形； 选项D中，∵， 符合勾股定理逆定理， ∴能构成直角三角形， 故选：A． 3．【答案】A 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵△ABC的三边分别是3cm，4cm，5cm， 又∵， ∴△ABC是直角三角形，且边长为3cm和4cm的边为两条直角边， ∴． 故选A． 【点睛】此题考查的是直角三角形的判定和求三角形的面积．掌握利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解决此题的关键． 4．【答案】B 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 直接利用勾股定理可得的长；再根据勾股定理逆定理判定即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 5．【答案】A 【知识点】在网格中判断直角三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 6．【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数，根据勾股数的定义：满足两个较小的数的平方和等于较大数的平方的三个正整数，叫做勾股数，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，，是勾股数，且最大，则一定有；故①正确； 以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是正整数，不是勾股数；故②错误； 0.3，0.4，0.5不是勾股数，但以0.3，0.4，0.5为边长的三角形是直角三角形，故③错误； 若三个整数，，是直角三角形的三边长，则，，一定是勾股数，故④正确； 故选：D． 7．【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，若三角形中，两较小边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此判断出对应图形中直角三角形的个数即可得到答案． 【详解】解：A、，， ∴图中只有一个直角三角形，不符合题意； B、，， ∴图中有两个直角三角形，符合题意； C、，， ∴图中没有直角三角形，不符合题意； D、，， ∴图中没有直角三角形，不符合题意； 故选：B． 8．【答案】C 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】根据图中每条线段的位置，分别利用勾股定理求出相关线段长，用勾股定理逆定理判断即可得出正确的选项． 【详解】解：由图知：，， ∵, ∴是直角三角形，且 ∴A、B、D选项正确 故选：C 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，根据定理内容解题是关键． 9．【答案】 11，60，61 ，， 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】根据所给的几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第五组勾股数． 【详解】解：①，，， ②，，， ③，，， ， 第组勾股数为： ，，， 第⑤组勾股数为，，，即11，60，61． 故答案为：11，60，61；，，． 【点睛】本题考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答． 10．【答案】45° 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】根据题意可求出AB、AC、BC的长，发现正好满足勾股定理，即可求解． 【详解】由图可知：，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理解三角形，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 11．【答案】/度 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理即可解答． 【详解】解：，，， ， ， ，， ， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 12．【答案】②④/④② 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：①虽然0.6，0.8，1不是勾股数，但是，所以以0.6，0.8，1为边的三角形是直角三角形，故①说法错误； ②若a，b，c是勾股数，且，，则必有，故②说法正确； ③因为0.5，1.2，1.3都不是正整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故③说法错误； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则，，一定是勾股数，故④说法正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数． 13．【答案】 13 直角三角形 【知识点】三角形三边关系的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据三角形的三边关系，先求出c得取值范围，再根据c为奇数且能被3整除可得c得值，从而确定的形状． 【详解】解：∵是的三边，， ∴， 又∵c为奇数， ∴， 又∵能被3整除， ∴能被3整除， 设 ∴， ∴c除以3的余数是1， ∵，这四个数中只有13除以3的余数是1， ∴． ∵， ∴ ∴是直角三角形． 故答案为：13，直角三角形． 【点睛】本题考查三角形的三边关系和勾股定理的逆定理，根据三角形的三边关系结合c为奇数且能被3整除得出c的值是解题的关键． 14．【答案】(1) 证明：在△BDC中，BC＝15，BD＝9，CD＝12， ∵BD2＋CD2＝92＋122＝152＝BC2， ∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°， ∴CD⊥AB； (2)42 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据三角形面积公式得出AB，再利用勾股定理得出AC，进而解答即可． 【详解】（1） 略 （2）解：∵CD⊥AB， ∴△ADC是直角三角形， ∵S△ABC＝84，CD＝12， ∴AB＝14， ∴AD＝AB−BD＝14−9＝5， 在Rt△ADC中，AD2＋CD2＝AC2，即52＋122＝AC2， 解得AC＝13， ∴△ABC的周长是13＋14＋15＝42． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明△BDC是直角三角形． 15．【答案】 如下图所示： 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】根据勾股定理及其逆定理即可得到结论． 【详解】解：AB2=12+22=5，BC2=42+22=20，AB2=32+42=25， ∴AB2+ BC2= AB2， ∴△ABC是直角三角形； DE2=12+12=2，EF2=32+32=18，DF2=22+42=20， ∴DE2+ EF2= DF2， ∴△DEF是直角三角形； GH2=12+32=10，HI2=12+32=10，GI2=22+42=20， ∴GH2+ HI2= GI2， ∴△GHI是直角三角形． 【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，正确的作出图形是解题的关键． 16．【答案】丙在甲的西偏南（或南偏西）方向 【知识点】方向角的表示、与方向角有关的计算题、判断三边能否构成直角三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查方位角，涉及勾股定理的逆定理，由题中所给的线段长，利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，且，再结合题中所给方位角即可得到答案，熟记方位角定义及勾股定理的逆定理的运用是解决问题的关键． 【详解】解：，，， ，，， ， 是直角三角形，且， ， 丙在甲的西偏南（或南偏西）方向． 17．【答案】(1)60；61； (2)63；65； (3)或 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数，数字的变化类-规律型． （1）观察表1中的数据，可得，，先将代入得，再根据，可求得b、c的值； （2）观察表1中的数据，可得，，先将代入得，再根据，可求得b、c的值； （3）利用表1与表2的规律分别计算验证即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：当a为大于1的奇数，b、c的数量关系，b、c与之间的关系是：， ∴当时，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：60，61，； （2）解：根据表格中的数据可知：当a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是， b、c与之间的关系是， ∵， ∴， ∵， ∴，， 故答案为：63，65，； （3）解：由题意得， 如果满足表1的规律，那么，， ∴， ∴，符合题意； 如果满足表2的规律，那么，， ∴， ∴，符合题意； 综上所述，这组勾股数可能为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 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