第二章 3 二次根式-【新课程能力培养】2026-2027学年八年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

实 数 第二章 二次根式（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题计算： )-子v24x-号v6: 2)v0xV号÷V5。 【分析】利用二次根式的乘除运算法则进行运算，乘除是同级运算。 1解答】(1)子V24x-号V6--子x-号V24x6=2×12=6. 2vyv-Vmv--y零vs=2v7 【点拔】此题主要考查二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键。进行二 次根式乘除运算时，根号外面的系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除。特别要注 意的是有理数的运算律在实数的乘法运算或二次根式的乘法运算中完全适用。 基础巩固飞U达标闯关 - 1.计算：V0.4V10= ;V2×V12.5= 2.计算：V7xV3= ;V48xV3= 3.计算：V12 V6而 ； V3 v2 4v0V停—：V停v5 5.计算：V27+V6 :V32+V72 V3 V8 6计算：V1sV3xV写 :V2xV8-V停= 7.下列计算结果正确的是() A.V48=16 B.V48=3 V3 V12 cVxW号-1 D.-V75-5 V5 8.计算V5xV15×V12的结果是() A.30 B.25 C.20 D.15 9.下列计算结果不正确的是() A.2V2×V18=12 B.V14xV3=V42 数学 八年级上册（北师大版） C.3V5xV5=15V5 D.V6(V6+V5)=6+V30 1计算3v45Vg 的结果是（) A B.4 c￥ D.36 11.化简： (v2xx:(2)V3xVSxV:(6(VBV) V56 V3 能力提升坤综合拓展 12.计算： (1)(2-V5)2; (2)(2V3+V1I)(2V3-V1I); (3)(V48+V6-V12)÷V3: (4)(V52-V13-V2)xV13。 中考链接⊙©真题演练 -多 13.(2025·广西)V2×V5= 14.(2025·天津)计算(V6I+1)(V61-1)的结果是 15.(2025·广东)计算V12xV3的结果是() A.3 B.6 C.V6 D.2V6 16.(2024,南通)计算V27xV写 的结果是() A.9 B.3 C.3V3 D.V3 26 实 数 第二章 二次根式（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题 判衡断下列二次根式V3,V8,V ，V2.4中，哪些是最简二次根式，哪些 不是最简二次根式。如果不是最简二次根式，请将它化为最简二次根式。 【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是判断二次根式的被开方数 是否满足定义中的两个条件。 【解答】√3的被开方数不含分母也不含能开得尽方的因数或因式，所以它是最简二次 根式；V8的被开方数8含有能开得尽方的因数4，即V8=V4x2=2V2,所以它不是最 简二次根式，化为最简二次根式为2V2;1√2 的被开方数含分母，它不是最简二次根式， 化为最简二次根式为Y?；V2.4的被开方数是小数，它不是最简二次根式，化为最简二次 2 根式为2V15 5 【点拨】本题考查最简二次根式的概念，判断一个二次根式是否为最简二次根式要满足 两个条件：第一，被开方数不含分母；第二，被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 基础巩固U达标闯关 1.化简：V63= V50= 2.化简：V52-1= ;V3+(V3)2= 3.化简：V4x36= :4g 4.化简：V0.16x10000x3= 5.化简： 99 100 2-1 6.下列各式成立的是( A.V(-4)×(-6)=V-4×V-6 B渴 C.V125=V25xV5 D.V52-32=V3+5.V3-5 7.化简V4号的正确结果是( 2 口数学 八年级上册（北师大版） A2号 B.2V10 C.6V10 D.2V10 9 3 8.下列式子是最简二次根式的是() AV份 B.2 C.V26 D.0.I V2 9.判断下列根式哪些是最简二次根式，哪些不是。请将不是最简二次根式的式子化为最 简二次根式。 V-7,V2s,Vo.0s,V+I,V5,V22,V2。 10.化简下列各式： (1)V8x112; (2)V36+482: (3)V(-9)×(-8)×50; 4V1g-号。 能力提升螂综合拓展 11.如图，在四边形ACBD中，AC=6,BC=8,AD=2V5,BD=4V5,DE是△ABD的 边AB上的高，且DE=4,求△ABC的边AB上的高。 第11题图 西 实 数 第二章 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=16,点P从点B出发沿射线BC方 向以每秒2个单位长度的速度运动。设点P的运动时间为t,连接AP。 (1)当t=3s时，求AP的长度（结果保留根号）。 (2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值。 第12题图 13.请仔细阅读下面两个小组“比较V5+V6与V11的大小”的思考过程，并完成相 应的解答任务。 “善思小组”的思路：将V5+V6,V11两个式子分别平方后，再进行比较。 “智慧小组”的思路：以V5,V6,V1I为三边构造一个△ABC,再利用三角形的三 边关系进行比较。 解答任务： (1)计算：(V5+V6)2。 (2)①判断△ABC的形状，并说明理由；②直接判断V5+V6与V1I的大小。 (3)延伸拓展：判断2V3+V6与3V3的大小。 中考链接©真题演练 -DD 14.(2024南京)计算：V6×V8 V2 15.(2025·河北)计算：(V10+V6)(V10-V6)=() A.2 B.4 C.6 D.8 16.(2025·徐州)下列计算错误的是() A.V2+V3=V5 B.V2xV3=V6 C.1V8÷V2=2 D.(-V3)2=3 2四 数学 八年级上册（北师大版） 二次根式（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题计算：(V2+V√3)2V24。 【分析】这是一个二次根式的混合运算，先利用完全平方公式计算，再把二次根式化为 最简二次根式，最后合并同类二次根式。 【解答】原式=2+2V6+3-2V6=5。 【点拨】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，掌握运算法则和运算 顺序是解题的关键。先运用完全平方公式，再将不是最简二次根式的根式化为最简二次根 式，然后进行加减运算。 基础巩固达标闯关 1.计算：V12-V27= ;-V0.6+5V60= 2.计算：9V3+7V12-4V75= ;5V2+V8-7V18= 0 3.观察下列等式：①3-2V2=(V2-1)2,②5-2V6=(V3-V2)2,③7-2V12= (V4-V3)2,…,请你根据以上规律，写出第6个等式： 4.下列各式计算正确的是( A.V5+V3=V8 B.2+3V3=5V3 C.V5 a-V3 a=V2 a D.VVv2 5.下列各式：①V2+V8=V10,②V2+V8=3V2,③5V2-2V2=3, ④3V5+?V5-子V5,其中运算不正确的有（ ) A.①③ B.③④ C.①②③ D.①②④ 6.下列计算不正确的是（) A.(2V3+3V3)xV2=5V6 B.3V3x(2V3+V5)=6V3+3V15 C.2V3×3V2=6V6 D.(V5-V3)xV5=5-V15 7.化简下列各式： (1)(V10-V2)x2V5; 2)V2-V3: 30 实数 第二章 3)3V8+号V50-4VF:4)(3VI25-V60)xVF (5)(V7-V6)2x(V7+V6);(6)V32-3V18-V40V2。 能力提升螂综合拓展 8.一个直角三角形的两条直角边长分别是(V3+1)cm和(V3-1)cm,求这个直角 三角形的面积和周长。 9.判断下列各式是否成立：V2号-2V?,V3g=3V食，V4告=4V5。你能 否由此归纳出什么结论？你还能找到其他类似的例子吗？ 10.借助计算器求下列二次根式的值。 (1)V32+4= (2)V332+442= (3)V3332+444= (4)V33332+44442= (5)仔细观察上面各式的计算结果，试猜想V333…332+444…44的值为多少。 2026个3 2026个4 的 数学 八年级上册（北师大版） 11.两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个 代数式互为有理化因式。例如：V2×V2=2,(V3+1)x(V3-1)=2,我们称V2和V2 互为有理化因式，V3+1和V3-1互为有理化因式。如果一个代数式的分母中含有二次根 式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有 理化。如，2=V2,2，=V3+1。与分母有理化类似，如果一个代数式的分子中含 V2 V3-1 有二次根式，通常可将分子、分母同乘分子的有理化因式，使分子中不含根号，这种变形叫 作分子有理化。如V3-V2=1 V3+V2 (1)分别写出V5,2-V3的有理化因式。（写出一个即可） (2)利用分母有理化化简： 1 1 十…十 V2+1V3+V2VW4+V3 V2025+V/2024 (3)利用分子有理化比较Vn+1-Vn和Vn-Vn-1(n≥2)的大小。 中考链接©真题演练 12.(2025·自贡)计算：V18-3V2= 13.(2025·广州)下列运算正确的是() A.a.=a'5 B.(-2ab)=8ab3 C.Va-V/b=Va-b(a≥b≥0) D.2Va+5Va=7Va(a≥0) 14.(2024·重庆)已知m=V27-V3,则实数m的取值范围是（) A.2<m<3 B.3<m<4 C.4<m<5 D.5<m<6 15.(2024.德阳)将一组数V2,2,V6,2V2,V10,第-行 V2 第二行 2V3,…,V2,…,按如图所示方式进行排列，则第八行左 21V6 第三行 2V2V102V3 起第1个数是() A.7V2 B.8V2 第15题图 C.V58 D.4V7 16.(2024·兰州)计算：V12-V6×1 2参考答案与提示 1认识实数（第2课时） 又0,0,0，y0。=7y=-9。+ 12.323232…，-号，3.14，器 2 -T, 。 9.解：由题意，得2a-3+5-a=0. 0.1010010001·(相邻两个1之间0的个数逐次加1) 2A3C4C5解：)03,0，-5， 解得a=-2,则b=49。.10a-b+5=-64。-64=-4, .10a-b+5的立方根为-4.10.解：(1)设立方体的 0.728,3.14,…}(2){r,0.3030030003…(相 棱长为a,则根据题意，得d=343.7=343,∴a= 邻两个3之间0的个数逐次加1)，} 3)品 V343=7(cm)。答：这个铁块的棱长为7cm。(2) 设另一个小立方体铁块的棱长为bcm,则b=343-218= -5,…} (④)-5，b,0.03,030303003 125.5=125,b=5。答：另一个小立方体铁块的棱 (相邻两个3之间0的个数逐次加1)，0.728,3.14，T 长为5cm。11.212.B 6略。7解：①号②片③8④2240240024 2平方根与立方根（第4课时） 1.(1)7.5(2)4.6(3)62.(1)> (相邻两个24之间0的个数逐次加1) ⑤-7⑥3-π (2)<3.-m<-V3<-V24.785.D6.B 8.略。 7.0.4454.4544.5445规律：被开方数的小数 2平方根与立方根（第1课时）】 点每向左（或向右）移动两位，其算术平方根的小数 1D2.D3.C4D5子(2)50 点就相应地向左（或向右）移动一位8.解：由题意， 得x2=28。又>0，x=V28。这个正方形客厅的边 (3)0(405(5)吕(6)名6()1 长x是无理数。5<V28<6,5.2<V28<5.3,5.29< (2)10 6)204)号 (5)6(6)97.解： V28<5.30。∴x≈5.3。∴.这个正方形客厅的边长x约 为5.3m。9.解：(1)设开发区占地的宽为xm, :直角三角形①②③④⑤的斜边依次为V2,V2,: 则长为3xm,3x2-12×107,x2=4×10。解得x=V40x10。 V2,V2,V2,.第n个等腰直角三角形的斜边 又，6300<V40x10<6350,且结果精确到100m, 长为V2.8.解：(I)设大正方形的边长为acm, V40x10的整数部分为6300。∴.x≈6300m。(2)设 小正方形的面积为450cm2,.拼成的大正方形的面 正方形的边长为ym,则y2=8700。解得y=V8700。 积a2=2×450=900(cm2)。a>0,.a=V900=30。.大 又.93<V8700<94,93.1<V8700<93.5,且结果精 正方形的边长是30cm。(2)设裁出的长方形的长为 确到1m,V8700≈93。.要建设的体育馆的边长约 3xcm,宽为2xcm,根据题意，得6x2-600。∴x2=100。 为93m。10.3(答案不唯一)11.512.>13. x>0,x=10.3×10=30(cm),2×10=20(cm)。 A14.C 这个长方形的长与宽都没有超过30cm,∴.能裁出一个 面积为600cm,长与宽之比为3：2的长方形。9.2 3二次根式（第1课时）】 10.B11.A 1.252.V7232V304.6 2平方根与立方根（第2课时） 1.00或12.13.D4.C5.(1)±25 5.3+V256.V24-V37.C8.A9.C 10.D1.(1)5(2)3(3)812.(1)94V5 (2)±8(3)1.3(4)±V7 (5)±60 (2)1(3)2+V2(4)13-V2613.V10 (6)±0076D±号2)子或号 7.m=7,n= 14.6015.B16.B 3二次根式（第2课时）】 3,Vm+2n=V3.8.解：-1<a<-0.5,0.5<b<1, .原式=--b-(b-a)=-a-b-b+a=-2b。9.(1)①V25 1.3V75V2Y652.2V6 3 5 5②V100100(2)Vn2-2xx1+1P= 2W3312名440V35.3Y弩6.C V(n-1)7=n-1(3)原式=-0-1+2-3+4-5+…+2024- 10 2025=(0-1)+(2-3)+(4-5)+…+(2024-2025)=-1+ 7.D8.C9.解：最简二次根式有Vx4I,VI, (-1)+(-1)++(-1)=-1013.10.x≥311.D 其余都不是最简二次根式。V(-7)?=7,V28=2V7, 2平方根与立方根（第3课时）】 1.0或±12.A3.A4.C5.(1)0.6 v0-号，V嘉-.-V厚 2 (2)023)05④号6)10(2)2 10.(1)22V2(2)V12×(3244)=60(3)60 (4)子V31.解：DE是AB边上的高， (3)-号(4)87.(1)x=3 (2)x=-1(3)= ∠AED=∠BED=90°。在Rt△ADE中，由勾股定理，得 2 8解：将已知等式变形，得品190 27 AE=V(2V5)2-4=2。同理，在Rt△BDE中，BE= 数学 八年级上册（北师大版） V(4V5)2-4=8。.AB=AE+BE=10。在△ABC中， 第三章位置与坐标 AB=10,AC=6,BC=8,AB=AC+BC。.△ABC是 1确定位置 直角三角形。设△ABC的AB边上的高为五，则宁AB 1.(2,1)F2.B3.D4.D5.C6.C 7.解：(1)球、明、国、活。(2)我爱数学。中 h=ACBC,即10h-6x8。h=48。△MBC的边AB 国的明天更好。(3)B4,A3,C1,A1,A2。 (4)略。8.解：(1)黑棋3记为(G,3),黑棋⑤ 上的高为4.8.12.解：(1)根据题意，得BP=2t, PC=16-2t。当t=3时，16-2×3=10。在Rt△APC中， 记为(H,4),黑棋⑨记为(D,6)。(2)白棋⑧， 黑棋⑦，白棋⑥。9.解：B(6,2),C(5,3),D(7, AC=8,PC=10,.由勾股定理，得AP=VAC4PC= 5),E(2,4):用方位角+距离的方法表示：图中点B V164=2V4I。.AP的长为2V4T。(2)在Rt△ABC 在点A的正东方向的2cm处；图中点C在点A的东 中，AC=8,BC=16,由勾股定理，得AB=V64+256= 北方向（或北偏东45°方向）的V2cm处：图中点D V320=8V5。若PA=PB,则(2t)2=(16-2t)2+82,解 在点A的东北方向（或北偏东45°方向）的3V2cm 得t=5;若BA=BP,则2t=8V5,解得t=4V5;若 处；图中点E在点A的西北方向（或北偏西45°方向） AB=AP,则BP=2BC=32,2t=32,解得t=16。答：当 的2V2cm处。10.(3,30°) △ABP为等腰三角形时，t的值为5或4V5或16。 2平面直角坐标系（第1课时） 13.解：(1)(V5+V6)2=5+2xV5×V6+6=11+ 1.(0,2)(4,2)(4,0) 2V30。(2)①△4BC是直角三角形。理由：.(V54 2.13.-四xy4.D 5.A6.D7.0(0,0),A(3 (V6)2=(VΠ)2，.△ABC是直角三角形。②.三角 3V3),B(6,0)。8.解：如图 形任意两边之和大于第三边，∴V5+V6>V。 过点B作BE⊥x轴于点E,作BDI (3)(2V3+V6)-18+12V2,(3V3)-27,V2> y轴于点D,则OD=BE=3V2, OE A 1,.18+12V2>30.2V3+V6>3V3。 BD=OE。.'∠C0A=90°，OA=0C, 第8题答图 14.2V615.B16.A AC=4,.△OAC是等腰直角三角 3二次根式（第3课时） 形。由勾股定理，得20A2=AC,即0A=0C=2V2。 1.-V349V52.3V3-14V23.13- AB=2V5,由勾股定理，得AE=VAB-BE=V2。 5 ..BD=OE=0A-AE=V2..A(2V2,0),B(V2, 242=(V7-V6)24.D5.A6.B7.(1) 3V2),C(0,2V2)。9.C10.D 10V2-2V10(2)3(3)5V2(4)15-2V3 2平面直角坐标系（第2课时)】 (5)V7-V6(6)3-2V58.解：直角三 1.(0,5)或(0，-5)2.正方形3.C4.B 角形的面积=(V3+1(V了-1)=[(V了户-1 5.C6.(1)A,B,C三点的坐标分别为(2,4)， (5,2),(3,-1)。(2)D(0,1)。7.(1)(2, (cm);直角三角形的斜边长=2V2cm,直角三角形 0)(4,0)(6,0)(2)当n=1时，A4(2,0): 的周长=2(V3+V2)cm。答：直角三角形的面积是 当n=2时，As(4,0)；当n=3时，An(6,0),A4的 1cm,周长是2(V3+V2)cm。9.解：都成立。规 坐标为(2n,0)。(3)动点从点Am到点Ao的移动 律：当带分数的整数部分与分数部分的分子相等，且 方向是向上。100：4=25，.Am在x轴上，.到A0 分母为分子的平方减1时，这个带分数的算术平方根 的移动方向是向上。8.(7,0)9.B10.B 等于带分数的整数部分与这个带分数的分数部分的算 2,平面直角坐标系（第3课时）】 术平方根的积，用代数式表示其基本规律是：对于一 1.(1)A(-4,3),B(-4,0),C(0,-2),D(5, 般的被开方数为+沿（加≥2的二次根式可推出： 0),E(5,3),F(0,5)(2)相等(3)点B与点 D的纵坐标都是O,点C与点F的横坐标都是0 Vmn√m≥2。知，若取n5,有V5 (4)平行2.C3.解：(1)略。(2)以AB为腰的 等腰三角形有△ABC,△ABC2,△ABC3,其中点C 5V景。10.)52)558)55④555 的坐标分别为C(-6,0),C2(4,0),C3(7,0)。 4.解：坐标为(9,0)。理由：用表格列出质点的运 (5)555…5511.解：(1)V5,2+V3(2)原 动规律： 2026个5 式=V2025-1=45-1=44。(3)Vn+Π-Vn= 运动时间/s 3=22-1 8=32-1 15=42-1 24=52-1 VmTiVr Vi-Vn-T- Vn +Vn VnT 1 所在位置坐标 (1,0) (0,2) (3,0) (0,4) >Vn-I,..Vn+I-Vn<Vn-Vn-I,12.0 13.D 由表格可知，当运动时间为(n2-1)(n≥2)s时， 14.B15.C16.解：原式=2V3-V3=V3。 若n为偶数，则位于点(n-1,0);若n为奇数，则位