第五章 1 认识二元一次方程组-【新课程能力培养】2026-2027学年八年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

数学 八年级上册（北师大版） 第五章 二元一次方程组 知识网络 二元一次方程及二元一次方程的解 概念 二元一次方程组及二元一次方程组的解 一元一次方程 代入消元法 糖 →解法 加减消元法 二元一次方程组 图象法]一→二元一次方程与一次函数的关系 丰富的 确定一次函数表达式中k,b的值 →应用 现实情境 二元一次方程组的应用 相关概念 三元一次方程组 解法（代入消元法、加减消元法） 认识二元一次方程组 自主导学Q典例精析 例题科学研究表明，植物在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物， 具有滞尘、净化空气的作用。已知一棵白皮松树一年的平均滞尘量比一棵柏树一年的平均滞 尘量的2倍少4mg,两棵白皮松树与三棵柏树一年的平均滞尘总量为146mg。如果设一棵 白皮松树一年的平均滞尘量为xmg,一棵柏树一年的平均滞尘量为ymg,清你列出关于x, y的二元一次方程组。 【分析】根据“一棵白皮松树一年的平均滞尘量比一棵柏树一年的平均滞尘量的2倍少 4mg”“两棵白皮松树与三棵柏树一年的平均滞尘总量为146mg”两个等量关系列出二元 一次方程组。 x=2y-4, 【解答】 2x+3y=146。 【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找到题目中存在 的两个等量关系，并用含未知数x,y的代数式表示问题中其他的未知量，进而将相关的量 68 二元一次方程组 第五章 代入两个等量关系中，列出方程组，特别要注意方程组中每个未知数表示的数学对象是相同 的。同一元一次方程一样，二元一次方程组也是刻画现实世界的重要数学模型，一些生活中 的实际问题用二元一次方程组解决要比用一元一次方程解决更为简单。 基础巩固L)达标闯关 1.小李和她的同学到超市为班级购买奖品。她们买了单价为3元的水性笔和单价为2元 的笔记本，共花了75元。如果设她们买了x支水性笔、y本笔记本，则可列出关于x,y的 二元一次方程为 。 若小李她们买了15支水性笔，那么购买了 本笔记本。 2.二元一次方程3x+2y=7的一组解为 (只写出一组解即可)。 -3,是关于x,y的二元一次方程2x+4+2a=3的一个解，则a= 3.若 y=2 4.下列方程组中，是二元一次方程组的是() x+y=-7, 3x+y=7, |2x-y=12, 2x-y=12, A. B C D. x=12 =12 y y=3-x x2-2y+1=0 2x-y=3, 5.方程组 的解是（ 3x+2y=1 [x=0, x=0, x=0.5, A. B. C. D y=0.5 y=-3 y=-2 y=-1 6.把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某 种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（) A.3种 B.4种 C.5种 D.9种 7.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然 之气。”某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得“茅盾文学奖”的甲、乙两种书籍。已 知每本甲种书比每本乙种书少5元，购买3本甲种书和4本乙种书共花费230元。请你根据 题意列出方程组。 69 数学 八年级上册（北师大版） 能力提升螂综合拓展 一卡多多 8.“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部数学经典著作中，该书“方程”一章中 介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组问题的方法。如图1，从左向右的符号中，前两个 符号分别代表未知数x,y的系数，因此，根据图1可以列出方程：x+3=18。分析图1所表 示的方程的例子，请你列出图2所表示的方程组。 立算筹（个位、百位、万位）： 一二三四五六七八 卧算筹（十位、千位、十万位） 二三四五六七入九 图1 图2 第8题图 中考链接©真题演练 9.(2025·南通)把一根长10m的钢管截成3m长和1m长两种规格的钢管。为了不造 成浪费，可能截得钢管的总根数为 (写出一种情况即可)。 10.(2025·泸州)《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载 了求不定方程（组）解的问题。例如，方程x+2y=3恰有一个正整数解x=1,y=1。类似地， 方程2x+3=21的正整数解的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 11.(2025·南充)我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法， 大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五 数之剩三，…，问物几何。意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个，每5个 一数，剩余3个，…，问这些物体共有多少个。设3个一数共数了x次，5个一数共数了y 次，其中x,y为正整数，依题意可列方程() A.3x+2=5y+3 B.5x+2=3y+3 C.3x-2=5y-3 D.5x-2=3y-3 12.(2025山东)明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题， 大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个 头，108只手。问哪吒、夜又各有多少。设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程 组为() x+3y=36, x+3y=36, 3x+y=36, 3x+y=36, A. B. D 8x+6y=108 6x+8y=108 8x+6y=108 6x+8y=108 70参考答案与提示 乙组停工后，设y=k2x+b,由题意，得甲组单独挖掘的 达式为y=k'x+20%,把(6,100%)代人表达式中，得 效率为(300-210)：(60-30)=3(m/天)，k2=3。y= 3x+b。将x=60,y=300代入y=3x+b,得300=3×60+b。 100%=6420%。解得=名。∴线段AC对应的函数 b=120。y=3x+120。(3)由(2)知，甲组单独挖 表达式为后+02。当1时，后×102=分在 掘30天时挖掘长度为90m,甲的工作效率为3m/天。 y=0.8x+0.2中，当y= 时，0.80.2= 1 前30天甲、乙两组合作挖掘了210m,则乙挖掘的长 3 3,解得x=6。 度为210-90=120(m)。当甲挖掘长度为120m时， 1-15 工作天数为120：3=40（天），此时乙组停工天数为 6-6 (h),乙车还需三h充满电。3.解： 6 40-30=10(天)。6.解：(1)每分钟加水量为 (1)由函数图象得大巴速度为(60-20)：1=40(km/h), 16080-40(L),y=40x+80。当40x+80=20时，解 s=20+40t。当s=100时，100=20+40t。解得t=2。.a= 2。.大巴离营地的路程s与所用时间t之间的关系式 得x=3。y与x之间的关系式为y=40x+80,自变量x 为s=20+40t,a的值为2。（2)由函数图象可得军车 的取值范围为0≤x≤3。(2)当x=3时，t=203+100 速度为60：1=60(kmh)。设部队官兵在仓库领取物资所 3+2 32。..储水机中的水加满时，储水机内水的温度为32℃。 用的时间为xh,由题意，得60(2-x)=100。解得x= 3 7.解：(1)203800【解析】从函数图象可知，从 答：部队官兵在仓库领取物资所用的时间为20min 40min到60min,这段时间只有乙机器人工作，.甲 4.解：(1)由题意，得机器人的速度为800：8=100 机器人停工保养的时间为60-40=20(min)。甲、乙机 (m/min)。由题意，得运动员在t=2min时追上机器 器人一起工作时分拣的速度为2200=-55（件min)。 人，此时机器人跑了100x2=200(m),山，2的交点 40 为(2,200)。设（对应的函数表达式为y=kt+b,代入 .m=2700+55×(80-60)=3800(件)。(2)设AB所在 点L,0)，2,200,则000解 直线对应的函数表达式为y=x+b,由(1)知k=55。 每得伦20 将点A(60,2700)的坐标代人y=55x+b,得2700= :3y=200t-200。当y=800时，则200t-200=800,解得左 60×55+b。解得b=-600。∴y=55x-600,即AB所在直 5。..l对应的函数表达式为y=200t-200(1≤t≤5)。 线对应的函数表达式为y=55x-600。(3)设乙机器人 (2)对于y=200t-200,当y=800时，则200t-200=800 的工作时间为nmin,由题意，得5450=2700+55×(n- 解得t=5。.800-100x5=300(m)。.当运动员到达终 60)。解得n=110,即乙机器人的工作时间为110min。 点时，机器人距终点的距离为300m。5.(1)1205 提示：由题图2知小李从家到商店的时间为30min, 8.解：(1)①0.10.61.8②0.12③小华离 小李的速度为60m/min,妈妈从出发到返回店里所用 家的距离y关于时间x的函数表达式y= 时间为35min。由题图1可知妈妈的速度为(1800- 0.1x(0≤x≤6)， 0.6(6<x≤18) (2)x的取值范围是12<x< 10x60)÷60=120(mmim),∴妈妈往返所用时间为3600 120 0.1x-1.2(18<x≤30)。 =30(min),.妈妈在家装载货物所用时间为5min。 24。【解析】妈妈从家到公园所用的时间为1.80.05= 120t(0≤t<15), (20.1200) 36(min),则小华的妈妈离家的距离为2与x之间的 (2)2=1800(15≤t20), -120t+4200(20≤t≤35)。 函数图象如图所示。y2与x之间的函数关系式为y= 图象略。(3)由题意可知，小李的速度为60mmin 0.05x(0≤x≤36)，当6≤x≤18时，若y=y2,即0.05x= 妈妈的速度为120m/min。①相遇前，依题意有60t+ 0.6。x=12。当18<x≤30时，若y=2, 即0.05x=0.1x 120t+360=1800。解得t=8。②相遇后，依题意有60t+ 12。x=24。由图象可得，当y<2时，12<x<24。 120t-360=1800。解得t=12。..小李到达商店之前，出 y/km 发8min或12min时两人相距360m。6.解：(1) 1.8------------- 2407.5(2)机器人乙到达B区时所用时间为90： 10=9(min),.E(9,O)。机器人乙从B区返回C区过 程中的速度为90：(15-9)=15(m/min),则y=15(x-9)= 15x-135。∴.线段EF所在直线的函数表达式为y=15x- 135(9≤x≤15)。(3)当0≤x≤7.5时，当机器人甲 18 3036 55 70 x/min 乙相距30m时，得20x+10x+30=240。解得x=7。当 第8题答图 9≤x≤12时，当机器人甲、乙相距30m时，得15x 4一次函数的应用（第3课时） 135=30。解得x=11。当12<x≤15时，机器人甲的速 1.解：(1)图象反映了赛跑的距离s与赛跑所 度为90：(15-12)=30(m/mi),则y=30(x-12)=30x- 花时间t之间的关系。(2)他们进行的是200m赛 360,当机器人甲、乙相距30m时，得15x-135 (30x-360)=30。解得x=13。.∴.机器人乙行进的时间为 跑。(3)甲是冠军。(4)乙在这次比赛中的速度是 7min或11min或13min时，机器人甲、乙相距30m。 8ms。2.解：(1)设线段AB对应的函数表达式为 y=kx+20%,把(1,100%)代人表达式中，得100%= 第五章二元一次方程组 k+20%。解得k=0.8。.线段AB对应的函数表达式为 1认识二元一次方程组 y=0.8x+0.2(0≤x≤1)。(2)设线段AC对应的函数表 3x+275522,（答案不唯 数学 八年级上册（北师大版） 3.2 4.C5.D6.B7.解：设每本甲种书x元， m=10, ·m-n=6,.A(9,13)是“和谐点”。(2)解 ln=4 每本乙种书y元，则列方程组为x+5, 8.解： 2 3x+4y=230 13x+2y=19, 方程组得点号，号是“和 2x-y=t, 4-t x+4y=23。 9.8或6或410.C11.A12.D 39 2二元一次方程组的解法（第1课时） /m1=42 , mH5 3 1①②-142含4=号号 谐点”， 3n+1=4 m-n=6,.451t 39 3 9 3.A4.D5.B6.(1) x=2, 2 6。解得t=10。 9C10.=L, y=2 o y=4. 7第05。 3二元一次方程组的应用（第1课时） 由方程①，得x+y=7③，把③代人②，得4×7-y=25, 1.解：设租大船x只、小船y只。根据题意，得 解得y=3。把y=3代人③，得x=4。所以方程组的解是 x+y=10, 12x+5y=99。 解得7， 2.解：设模型A每小时 2)26出由方程2.得6a-1 y=3。 处理xGB数据，模型B每小时处理yGB数据。根据 16,即3(2x+3y)-14y=16③，把①代人③，得3×(-4) 题意， 得3740，解得=20.答：模型A每小 -14y=16,解得y=-2。把y=-2代人①，得x=1。所以 x+2y=310。 v=95。 时处理120GB数据，模型B每小时处理95GB数据。 方程组的解是=L, y-2。 8.19.解：43=-10②。 2x-y=5① 3.解：由题意知，1顷=100亩。设好田买了x亩， 由方程①，得y=2-5③，把③代人②中，得4x+3(2x- 坏田买了y亩。根据题意，得100， 300x+50=10000。 解 5=-10。解得=了将号代入③，得)=-4。所以 =20,答：有好田20亩、坏田80亩。4.解：有 得 y=80。 方程组的解是 设x只饭碗、y只羹碗，则+y364,解得=208， y=-4。 3x=4y。 156。 2二元一次方程组的解法（第2课时）】 有僧3×208=624（人）。5.解：(1)设每个灯笼的 1.C2.D3.(1) [x=-63, fx=0.5, 价格为x元，每副春联的价格为y元。根据题意，得 (2) ly=46 y=-2 5x+4=255, 3x+8=265。 解得35答：略。(2)设购买灯笼a (4)5, y=20。 (3) =4 4.(1)a=-3,b=10。 v=l y=7 个，花费为w元，根据题意，得w=35a+20(100-a)= 15a+2000。k=15>0,.w的值随着a的增大而增大。 -4, (2) 5.解：两个方程中，x和y的系数和与差 0≤a≤30,2000≤w≤2450。答：略。6.解：设 设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒。根据 相等或互为相反数。将方程①+②后整理，得+=3③， 题意，得+=10， 解得6，答：游客购买甲 将方程①-②后整理，得x-y=1④，由方程③④解得 25x+20y=230。 y=4。 1=2, 6解：(1)①， ②/2， ③/4， 种商品6盒，购买乙种商品4盒。7.解：设每千克 ly=1。 1=1 1=2 【0=4 A等级农产品的销售价为x元，每千克B等级农产品 (2)x=y (3)答案不唯一，如3+22的解为 的销售价为y元。根据题意，得62，解得 2+3y=25 14x+2=68。 [x=5, 7.解：方程组324，与2-3019 l=5。 mx+ny=7 2,答：每千克A等级农产品的销售价为12元， y=10。 有相同的解，∴.这个解就是两个方程组中每一个二元 每千克B等级农产品的销售价为10元。8.解： 一次方程的解。这个解也是方程组3x-24,的解。 (1)由题意，得8+6366；解得：14 5y-x=3 130a+15b=705。 b=19a=14, 3x-24①.将方程②x3+①，得13y=13,解得1。 b=19。(2)当50≤x≤80时，y=(22-14)x+(25-19) 5y-=3②。 (150-x)=2x+900。k=2>0,y的值随着x值的增大而 将y=1代人②，得x=2。.已知两个方程组的解都为 增大。.当x=80时，y取最大值，y最大值=2×80+900= 由题意知，是方程组记9 1060(元)。当80<x≤120时，y=(22-14)×80+(22 2max-3y=19 的 14-5)(x-80)+(25-19)(150-x)=-3x+1300,.k=-3<0, 原指代入，符 y的值随着x值的增大而减小。.当=80时，y最大做= 解得m=4,n=-1。 -3x80+1300=1060(元)。此时，150-=70(kg)。答：略。 8.解：(1)点A(9,13),令m-19, 3二元一次方程组的应用（第2课时） 解得 3n+1=13 1.解：设甲、乙两种商品原销售价分别为x元、