第四章 2 认识一次函数-【新课程能力培养】2026-2027学年八年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

数学 八年级上册（北师大版） 认识一次函数（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题 数学兴趣小组通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在 如下关系： 气温t/℃ -20 -10 0 10 20 30 声音在空气中的传播速度vl(ms) 319 325 331 337 343 349 根据上述查阅资料得到的数据，解答下列问题： (1)气温每升高1℃，声音在空气中传播的速度的变化量是相同的吗？请说明理由。 (2)请写出声音在空气中传播的速度，与气温t之间的关系式。 (3)某日的气温为15℃，小莹看到烟花燃放后5s才听到声响，那么小莹距烟花燃放地 多远？ 【分析】(1)由表格知，气温每升高10℃，声音在空气中传播的速度均匀地提高6ms, 据此即可求出气温每升高1℃，声音在空气中传播的速度均匀地提高0.6m/s；(2)根据气 温每升高1℃，声音在空气中传播的速度的增加量及当t=0时，v=331可列出关系式； (3)将=15代入(2)中求得的关系式求出v,再根据路程=速度x时间计算即可。 【解答】(1)从表中数据知，气温每升高10℃，声音在空气中传播的速度均匀地提高 6ms,∴.气温每升高1℃，声音在空气中传播的速度均匀地提高0.6m/s。.气温每升高 1℃，声音在空气中传播的速度的变化量都是相同的。(2)当t=0时，v=331,再由(1)得 v与气温t之间的关系式为v=331+0.6t。(3)当t=15时，v=331+0.6×15=340,.340x5=1700 (m)。答：小莹距烟花燃放地约1700m。 【点拨】本题主要考查对一次函数概念的理解，解题的关键是根据数据的变化规律列出 关系式。 基础巩固)达标闯关 -: 1.一个长为120m、宽为100m的长方形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加xm, 宽增加ym,则y与x的关系式是 自变量的取值范围是 2.小伟某天在健身房的跑步机上跑步，他跑步的时间和路程的变化情况如下表： 时间tmin 10 20 30 40 50 60 路程sm 1.8 3.6 5.4 a 9 b (1)根据表格数据的变化规律可得a= b= (2)小伟跑步的路程怎样随着时间的变化而变化？请直接写出路程s与时间t之间的关系式。 一次函数 第四章 认识一次函数（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题 写出下列问题中y与x之间的关系式，并判断y是不是x的一次函数或正比例 函数。 (1)苹果每千克2.5元，购买苹果的费用y(元)与苹果质量x(kg)之间的关系。 (2)某村耕地面积为10m2,该村人均占有耕地面积y(m)与人数x(人)之间的关系。 (3)商家销售一种商品，当售价为50元/件时，每天可销售500件。经调查，每件售价 每涨价1元，每天销售量减少10件，求该商品每天的销量y(件)与当天售价x(元/件)之 间的关系。 【分析】(1)根据购买苹果的费用=苹果单价×购买质量，即可列出关系式：(2)根据 人均占有耕地面积y=总面积÷总人数，即可列出关系式；(3)根据销量=500-涨价后减少的 销量，即可列出关系式。 【解答】(1)根据题意得出y=2.5x,是正比例函数也是一次函数。 (2)根据题意得出)=1”，不是一次的数。 (3)根据题意得出y=500-10(x-50)=-10x+1000,是一次函数。 【点拨】.此题考查根据实际问题列一次函数表达式，正确得出等量关系是解题的关键。 对于一次函数，自变量每增加1，函数值就增加k,即函数值的变化量是一个定值飞。 基础巩固)达标闯关 1.一个小球由静止开始从一个斜坡上向下滚动，其中速度每秒增加2ms,则小球速度 v(ms)与时间t(s)之间的关系是 ,它是 次函数，也是 函数。 2.如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北 回文 宋进士黄伯思设计。全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、 莞 两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等。七张桌面分开可组合 成不同的图形，如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼 合方式。若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x之间 图1 图2 第2题图 的关系可以表示为 3.下列函数是一次函数的是() A R=+号 C.y=xz D.y=x2+1 49 数学 八年级上册（北师大版） 4.一段导线，在0℃时电阻为22，温度每增加1℃，电阻就增加0.0082，那么电阻 R与温度t之间的关系式是() A.R=0.008t B.R=2.008t C.R=2+0.008t D.R=2t+0.008 5.一支蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,设燃烧时蜡烛剩余的高度为h(cm), 燃烧的时间为t(h)。 (1)请写出h与t之间的关系式。 (2)当燃烧了2.5h时，蜡烛剩余的高度是多少？ (3)这支蜡烛能燃烧多长时间？ 6.某公交车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x(人)与每天的利润（利润= 票款收入-支出费用)y(元)的变化关系如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）： x/人 200 250 300 350 400 /元 … -200 -100 0 100 200 (1)乘车人数每增加10人，公交车每天的利润会增加多少元？ (2)求出y与x之间的关系式，并说明所求关系式中k,b的实际意义。 (3)请你估计某一天乘客人数为800人时，该公交车当天的利润是多少。 中考链接©真题演练 7.(2024淮安)一辆轿车从A地驶向B地，设出发xh后，这辆轿车离B地路程为 ykm。已知y与x之间的关系式为y=200-80x,则轿车从A地到达B地所用时间是 h 8.(2025·福建)弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的。胡克定 律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即F=kx, 其中飞为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体的重力为mg,其中g为常数。一把弹 簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6cm,在其弹性限度内，当所挂物体的质量为0.5kg 时，弹簧长度为6.5cm,那么，当弹簧长度为6.8cm时，所挂物体的质量为 kg。 9.(2025·上海)下列函数中，是正比例函数的是() A.y=3x+1 B.y=3x2 c D. 50 一次函数 第四章 认识一次函数（第3课时） 自主导学Q典例精析 一多多多 例题小丽准备在“双十一”活动期间网购(x>5)本笔记本，甲、乙两商店都在进 行打折促销。已知两商店的标价都是每本20元，甲商店的优惠方案是：若购买不超过5本， 则按标价售卖；若购买5本以上，从第6本开始按标价的七折售卖。乙商店的优惠方案是： 关注店铺即可以成为会员并赠送5元优惠券（凡购买物品超过10元可直接抵用），且对会员 从第一本开始按标价的八折售卖。设在甲商店购买所需要的费用为y,元，在乙商店购买所 需要的费用为y2元。 (1)分别写出，2与x(x>5)之间的关系式。 (2)当购买15本笔记本时，去哪家商店比较划算？为什么？当购买30本呢？ 【分析】(1)根据两个商店的优惠价格，分别求出y1,2与x(x>5)之间的关系式； (2)将15,30分别代入y,y2与x之间的关系式，求出y1,y2的值并比较大小即可得出结论。 【解答】(1)y1=20x5+20x0.7(x-5)=14x+30,y2=20x0.8x-5=16x-5, y1与x之间的关系式为y1=14x+30,y2与x之间的关系式为y2=16x-5。 (2)当购买15本时，去乙商店比较划算。理由： 当x=15时，y=14×15+30=240,y2=16×15-5=235,y>y2,.去乙商店购买比较划算。 当购买30本时，去甲商店比较划算。理由： 当x=30时，y=14×30+30=450,y2=16x30-5=475,y1<y2,.去甲商店购买比较划算。 【点拨】本题考查用一次函数解决生活中的实际问题，解题的关键是根据自变量的值， 讨论相应的函数值的大小关系，最后确定选择在哪家商店购买商品比较划算。 基础巩固飞)达标闯关 1.小李想在果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买 15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打八折。设小李在该果园购买x(x>15)斤苹果， 付款金额为y元，则y与x之间的关系式为 2.某风景区集体门票的收费标准是20人以内（含20人），每人25元；超过20人的， 超过的部分每人10元。 (1)求门票费y(元)与游览人数x(人)之间的关系式。 (2)某班54名学生去该风景区游览时，购买门票共需多少元？ 51 口数学 八年级上册（北师大版） 能力提升睡综合拓展 3.为鼓励居民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费，具体执行方案如下： 类别 每户每月用水量 单价/（元/m3) 第一档 小于或等于9m的部分 a 第二档 大于9m3且小于或等于15m3的部分 b 第三档 大于15m3的部分 5 该市某户居民今年5,6月的用水量分别为7m,12m,分别缴纳水费21元和39元。 (1)求a,b的值。 (2)设用户月用水量为xm3,水费为y元，求y与x之间的关系式。 (3)小张家今年8月缴纳水费66元，求小张家8月的用水量。 4.《中华人民共和国个人所得税法》第二条规定，稿酬所得属于应当缴纳个人所得税的 收入之一。稿酬所得以每种作品的稿酬总收入为纳税基数，定额或定率减除规定费用后的余 额为应纳个人所得税的金额，具体计算方式如下： 若个人稿酬总收入不超过4000元，扣除800元的免税额后，按20%的税率计征，并减 征税款30%，即实际税率为14%，其计算公式为应缴纳个人所得税额=（稿酬总收入额-800） ×20%×(1-30%);若个人稿酬总收入为4000元及以上，则扣除20%的免税额后，按20%的 税率计征，并减征税款30%，即实际税率为11.2%，其计算公式为应缴纳个人所得税额=稿 酬总收入额×(1-20%)×x20%×(1-30%)。 (1)若作者的稿酬总收人为x元，应缴纳的个人所得税为y元，求y与x之间的关系式。 (2)张红2025年5月和10月分别获得某出版社发放的稿酬3000元和20000元，求张 红两次共缴纳个人所得税多少元。 电于点(0，n-1)。99=10-1,.第99s时质点所在位 置的坐标是(9,0)。 5.解：(1)①：点A(-3,1)到x轴、y轴的距 离中的最大值为3，.与点A是“等距点”的点是E, F。②点B到x轴、y轴的距离中至少有一个为3的点 有(3,9)，(-3,3)，(-9，-3)，这些点中与点A 是“等距点”的是(-3,3)。点B的坐标为(-3,3)。 (2)T1(-1,-k-3),T2(4,4-3)两点为“等距点” 则分下列两种情况：①若4k-3引≤4时，则4=-k-3或 -4=-k-3,解得k=1或k=-7(舍去)；②若4h-3>4 时，则4k-3引=-k-3引，解得=2或=0（舍去）。综上 所述，k的值是1或2.6.6 3轴对称与坐标变化 1.(-3,-1)2.关于y轴对称3.平行4.1 55.(3,1)6.B7.解：(1)图形略，A(1,5), B(1,0),C(4,3)。(2)横坐标互为相反数，纵坐 标相等。(3)5.8解：()图形略，A2,5, B(2,3),C(4,1)。(2)图形略，关于x轴对称。 (3)2.9解：（①：直线1过点A且平行于 x轴，交y轴于点D(0,1),AD=5,.点A的坐标为 (-5,1)。(2)△ABC为等腰直角三角形。理由：如 图，设直线1与BC交于点 E,△ABC关于直线1对 称，：BE=CE,AB=AC,BC ⊥AD。.AEB=∠AEC-90°。 点C的坐标为(-2，-2)， 点E的坐标为（-2,1)。 .BE=AE=CE=3。.∠CAE= ∠C=45°，∠BAE=∠B=45°。 ∴.∠BAC=∠BAE+∠CAE= 第9题答图 90°。.△ABC为等腰直角三角形。10.解：(1)一 次反射点为(-1,3)，二次反射点为(3，-1)。 (2)当点A在第三象限时，一次反射点在第四象限， 二次反射点在第二象限，而由条件知点M,N,Q三点 中只有点M在第二象限，∴点M(-4,1)是点A的二 次反射点。·点M(-4,1)关于直线1的反射点为 M(1,-4),而M关于y轴的对称点为(-1，-4)， .点A的坐标为(-1，-4)。(3)点B在第二象限， .点B在第一象限。连接BB,BB2,BB,交y轴正半 轴于点D,BB2交直线1于点E。∠BOD=30°， ∠BOD=∠BOD=30°。..∠BOE=∠BOE=∠DOE ∠B1OD=45°-30°=15°。..∠B0B2=2∠B0E=2×15°= ∠30°。11.(-5，-1)12.113.C 第四章一次函数 1函数 1.①②2.B3.C4.解：(1)铅球行进的高 度y(m)与距小周的水平距离x(m)之间的关系。 (2)y是x的函数，因为由图象可看出当任意取一个x 值时，都有唯一的y值与它对应。自变量x的取值范 围是0≤x≤10。(3)铅球行进的最高点距地面3m, 小周同学投掷铅球的距离是10m。5.解：(1)反 映总袋数m与每袋装的糖果颗数n两个变量之间的关 参考答案与提示 系，其中每袋装的糖果颗数是自变量。(2)这批水 果糖共有10×360=3600（颗）。总袋数随着每袋装的糖 果颗数的增多而减少。(3)：mm=3600,:m=3600 n 6.解：(1)根据图象可知，高度h是时间t的函 数，h的取值范围是0.5≤h≤1.5。(2)①当t=0.7s 时，h的值是0.5m,它的实际意义是摆动时间为0.7s 时，秋千离地面的高度是0.5m。②由图象可知，5.4- 2.8=2.6(s)。答：秋千摆动第二个来回需要的时间为 2.6s。7.解：(1)行驶里程剩余电量(2)当 0时，=80，.该型号电动汽车的电池容量为80kWh (3)由表格可知，行驶里程每增加10km,剩余电 量减少2kWh,∴.行驶里程每增加1km,剩余电量 减少0.2kWh。当x=0时，y=80,则y=80-0.2x。y 与x之间的关系式为y=80-0.2x。(4)80×25%=20, 将y=20代人y=80-0.2x,得80-0.2x=20。解得x=300。 .剩余电量为25%时，电动汽车的行驶里程为300km。 8.C 2认识一次函数（第1课时）】 1.y=x+20x≥02.(1)5.4+1.8=7.29+1.8= 10.8(2)根据数据的变化规律，小伟跑步时间每增 加l0min,跑步的路程均增加l.8km,∴.小伟跑步时 间每增加1min,跑步的路程增加0.18km,s=0.18t。 2认识一次函数（第2课时） 1.v=2t一 正比例2.y=4x3.B4.C 5.(1)h=20-5t。(2)7.5cm。(3)4h。6.解： (1)由表格得，该公交车的乘车人数每增加50人，利 润增加100元，.乘车人数每增加10人，利润增加20 元。(2)由(1)知，该公交车每增加一位乘客， 利润增加2元。又.公交车每天的支出费用为600 元，y=2-600,其中k=2表示每位乘客的乘车票价， b=-600表示公交车每天支出的费用。(3)当x=800 时，y=2x-600=2×800-600=1000。.该公交车当天的利 润是1000元。7.2.58.0.89.D 2认识一次函数（第3课时）】 1.y=4x+15(x>15)2.解：(1)当0≤x≤20 时，y=25x;当x>20时，y=10(x-20)+20x25=10x+300 (其中x是整数)。(2)当x=54时，y=10x+300=840 (元)。答：购买门票共需花840元。3.解：(1)由 题意，得7a=21。解得a=3.9×3+(12-9)b=39,解得 b=4。(2)当0≤x≤9时，y=3x;当9<x≤15时，y= 3x9+4(x-9)=4x-9:当x>15时，y=3x9+4×(15-9)+5(x- 15)=5x-24。(3)当x=15时，=51.51<66，.小张 家8月的用水量大于15m3。当x>15时，y=5x-24, 5x-24=66。解得x=18。答：小张家8月的用水量为 18m3。 4.解：(1)当0≤x≤4000时，y=(x-800)× 20%×(1-30%)=14%(x-800),即y=0.14x-112;当x> 4000时，y=x·(1-20%)×20%×(1-30%)=11.2%x= 0.112x。(2)x=3000<4000,∴y=0.14-112=0.14× 3000-112=308(元)。x=20000>4000,y=0.112x= 0.112×20000=2240(元)。∴.308+2240=2548（元）。 答：张红两次共缴纳个人所得税2548元。 81