第三章 2 平面直角坐标系-【新课程能力培养】2026-2027学年八年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

数学 八年级上册（北师大版） 平面直角坐标系（第1课时） 自主导学Q典例精析 一修色 例题解答下列问题 (1)已知格点四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如 图所示，请写出各个顶点的坐标。 (2)在给出的平面直角坐标系中描出下列各点： E(-4,3),F(3,-4),G(-3,-4),H(-4,-3)。 【分析】(1)根据格点四边形ABCD在平面直角坐标系中 的位置即可解答；(2)先确定各已知点所在的象限，然后在 例题图 平面直角坐标系中描出对应的点。 【解答】(1)A(-3,0),B(1,-2),C(3,1),D(2,3)。 (2)各点的位置如图所示。 【点拨】.本题考查平面直角坐标系中的点与有序实数对，即 点的坐标之间的对应关系。平面直角坐标系中的两条坐标轴将平 面分为四个象限，坐标轴上的点不属于任何象限。第一象限内点 的特征是横、纵坐标都为正，第二象限内点的特征是横坐标为 负、纵坐标为正，第三象限内点的特征是横、纵坐标都为负，第 四象限内点的特征是横坐标为正、纵坐标为负。 例题答图 基础巩固L心达标闯关 1.长方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点A,B,C 的坐标分别是 2.若点M(3a-6,2)在第二象限内，则a的值可以为 (写出一 ol 11 个即可)。 第1题图 3.在平面直角坐标系中，点A(5,4)在第 象限，点B(5,-5)在第 象限，则线段AB与 轴垂直，与 轴平行。 4.若点P在第三象限，且点P到x轴、y轴的距离分别为3,7，那么点P的坐标为 A.(3,7) B.(7,3) C.(-3,-7) D.(-7,-3) 5.已知点A的坐标为(4，-3)，则点A到原点的距离为() A.5 B.4 C.3 D.1 36 位置与坐标 第三章 6.若想在如图的方格纸上沿着网格线画出坐标平面的x轴、y轴并标记原点，且以小方 格边长作为单位长度，那么可以在方格纸的范围内标出(5,3)，(-4，-4)，(-3,4)， (3,-5)四点的画法是() A B 第6题图 C D 7.如图，△AOB是边长为6的等边三角形，分别写出△AOB各顶点 的坐标。 0 第7题图 能力提升坤综合拓展 - 8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC满足AC=4,AB=2V5,点 A,C分别在x轴、y轴上，且OA=OC,点B在第一象限且到x轴的距离 为3V2,请分别求出A,B,C三点的坐标。 0 A 第8题图 中考链接©真题演练 9.(2025·乐山)如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（) A.(-3,-2)》 B.(-3,2) C.(3,2) D.(3,-2) 3-210123x -1 -2外 D -3引 第9题图 第10题图 10.(2025·贵州)如图，在平面直角坐标系中有A,B,C,D四点，根据图中各点的位 置判断在第四象限的点是() A.点A B.点B C点C D.点D 37 数学 八年级上册（北师大版） 平面直角坐标系（第2课时） 自主导学Q典例精析 :。多多 例题在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点： +6 A(0,3),B(1,-3),C(3,-5),D(-3,-5), 5 3 E(3,5),F(5,7),G(-4,4)。 21 (1)点A到原点O的距离是 个单位长度。 754-2-01234567 (2)将点C沿x轴负方向平移6个单位长度，它会与点 重合。 (3)连接CE,判断直线CE与y轴的位置关系。 6 -7 (4)点F到x轴、y轴的距离分别是多少？ 例题图 【分析】(1)利用点A的坐标即可得到：(2)将点C(3,-5)向x轴负方向平移6个单 位长度，横坐标减少6个单位长度，纵坐标不变，其坐标为(-3，-5)，则易得点C平移后 与点D重合；(3)利用点C和点E的坐标特征进行判断；(4)根据点到x轴的距离与纵 坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关求解。 【解答】描点如图所示。(1)3(2)D (3)点C和点E的横坐标相同，所以直线CE平行于y轴。 (4)因为F(5,7),所以点F到x轴的距离为7，到y轴 的距离为5。 101 【点拨】本题考查图形与坐标的关系：利用点的坐标计算 相应线段的长和判断直线与坐标轴的位置关系；同时考查了 坐标平面内点到坐标轴的距离，即点到x轴的距离等于该点 的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于该点的横坐标的绝对值。 例题答图 基础巩固达标闯关 -卡多多 1.已知直线a∥x轴且与x轴的距离等于5，则直线a与y轴交点的坐标为 2.在平面直角坐标系中，已知点A(0,2),B(2,0),C(0,-2),D(-2,0),则以这四 个点为顶点的四边形ABCD是 3.已知在平面直角坐标系中，点A(-1,0),B(5,0),C(2,5),则△ABC的形状是 () A.直角三角形B.等边三角形 C.等腰三角形D.不确定 4.如果MW⊥y轴，且M(2,3),N(a,b),下列结论一定成立的是（) A.a=2 B.b=3 C.a=2且b=3 D.a=3且b=2 38 位置与坐标 第三章 5.如图，将正五边形ABCDE放人某平面直角坐标系后，若顶点A,B, C,D的坐标分别是(0，a),(-3,2),(b,m),(c,m),则点E的坐 标是() A.(2,-3) B.(2,3) C.(3,2) D.(3,-2) 第5题图 6.已知A,B,C三点在平面直角坐标系中的位置如图所示。 (1)请写出A,B,C三点的坐标。 (2)如果以点A,B,C,D为顶点的四边形是轴对称图形，描出点D并写出其坐标。 第6题图 能力提升坤综合拓展 7.在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依 次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如下图所示。 (1)填写下列各点的坐标：A4 ,A8 ,A12 (2)写出点A4n的坐标(n是正整数)。 (3)指出动点从点A1m到点Ao的移动方向。 AA 第7题图 中考链接©真题演练 8.(2024.甘南州)若点P(3m+1,2-m)在x轴上，则点P的坐标是 9.(2025·成都)在平面直角坐标系xOy中，点P(-2,a2+1)所在的象限是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 强 10.(2025·海南)若在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系， 使“少”“年”的坐标分别为(-1,0)，(1,1)，则“强”的坐标为 年 () 少- A.(3,3) B.(2,3) C.(4,3) D.(4,5) 第10题图 39 数学 八年级上册（北师大版） 平面直角坐标系（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题已知四边形ABCD各顶点的坐标分别是A(0,0),B(3, 6),C(6,8),D(8,0)。 (1)请你借助网格，建立平面直角坐标系，描出各点并求四边形 ABCD的面积。 (2)试判断AB,CD是否垂直，并说明理由。 【分析】(1)选取适当的点作为坐标原点，经过原点的两条互相 垂直的直线分别作为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，分别描出点 例题图 A,B,C,D。如确定(3,6)表示的位置，先在x轴上找出表示3的点，再在y轴上找出 表示6的点，过这两个点分别作x轴和y轴的垂线，垂线的交点即为所要表示的位置。 (2)连接AB与CD并延长，观察两条线段所在直线的位置关系。 【解答】(1）如图所示。四边形ABCD的面积=8x8-×2x8-习 ×2x2-×4x8=38。(2)不垂直。如图，连接AB与CD并延长，由 图可知AB,CD所在直线所成的角小于90°，所以AB与CD不垂直。 【点拔】本题主要考查根据点的坐标来确定平面直角坐标系，解 题的关键是对平面直角坐标系中点的坐标与原点、坐标轴之间关系 的深刻理解。 例题答图 基础巩固)达标闯关 1.已知六边形ABCDEF在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)六边形各顶点的坐标分别为 (2)点A与点B、点E与点D的横坐标的关系是 (3)点B与点D、点C与点F坐标的共同特点是 第1题图 (4)线段AB与ED的位置关系为 2.已知等边三角形ABC的顶点A,B的坐标分别为(0,0)，(2,0)，则顶点C的坐标 为() A.(1,V3) B.(1,-V3) C.(1,V3)或(1，-V3) D.(-1,V3)或(-1，-V3) 40 位置与坐标 第三章 3.如图是由边长为1的小正方形组成的网格。 (1)请在网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(3,3)，点B的坐标为 (-1,0)。 (2)在x轴上描出点C,使△ABC成为以AB为腰的等腰三角形 并写出所有满足条件的点C的坐标。（要求标出点C的位置） 第3题图 能力提升睡综合拓展 4.一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第1s,它从原点运 动到(0,1)，然后接着按图中箭头所示方向运动[即(0,0)→(0,1)→ (1,1)→(1,0)→…]，且每秒移动1个单位长度，那么第99s时质点所 在位置的坐标是多少？请写出推理过程。 0 12 3 第4题图 5.在平面直角坐标系中，对于P,Q两点给出如下定义：若点P到x轴、y轴的距离中 的最大值等于点Q到x轴、y轴的距离中的最大值，则称P,Q两点为“等距点”。如图中的 P,Q两点即为“等距点”。 (1)已知点A的坐标为(-3,1)。 ①在点E(0,3),F(3,-3),G(2,-5)中，判断点A的“等 距点”有哪些点； ②若点B的坐标为B(m,m+6),且A,B两点为“等距点”， 求点B的坐标。 (2)若T(-1,-k-3),T2(4,4k-3)两点为“等距点”，求k的值。 第5题图 中考链接©真题演练 y 6.(2025·广元)如图，在平面直角坐标系x0y中，已知点 A(-3,3) A(-3,3),点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动 B 点，∠BAC=90°，则OB-OC= _o 第6题图 41数学 八年级上册（北师大版） V(4V5)2-4=8。.AB=AE+BE=10。在△ABC中， 第三章位置与坐标 AB=10,AC=6,BC=8,AB=AC+BC。.△ABC是 1确定位置 直角三角形。设△ABC的AB边上的高为五，则宁AB 1.(2,1)F2.B3.D4.D5.C6.C 7.解：(1)球、明、国、活。(2)我爱数学。中 h=ACBC,即10h-6x8。h=48。△MBC的边AB 国的明天更好。(3)B4,A3,C1,A1,A2。 (4)略。8.解：(1)黑棋3记为(G,3),黑棋⑤ 上的高为4.8.12.解：(1)根据题意，得BP=2t, PC=16-2t。当t=3时，16-2×3=10。在Rt△APC中， 记为(H,4),黑棋⑨记为(D,6)。(2)白棋⑧， 黑棋⑦，白棋⑥。9.解：B(6,2),C(5,3),D(7, AC=8,PC=10,.由勾股定理，得AP=VAC4PC= 5),E(2,4):用方位角+距离的方法表示：图中点B V164=2V4I。.AP的长为2V4T。(2)在Rt△ABC 在点A的正东方向的2cm处；图中点C在点A的东 中，AC=8,BC=16,由勾股定理，得AB=V64+256= 北方向（或北偏东45°方向）的V2cm处：图中点D V320=8V5。若PA=PB,则(2t)2=(16-2t)2+82,解 在点A的东北方向（或北偏东45°方向）的3V2cm 得t=5;若BA=BP,则2t=8V5,解得t=4V5;若 处；图中点E在点A的西北方向（或北偏西45°方向） AB=AP,则BP=2BC=32,2t=32,解得t=16。答：当 的2V2cm处。10.(3,30°) △ABP为等腰三角形时，t的值为5或4V5或16。 2平面直角坐标系（第1课时） 13.解：(1)(V5+V6)2=5+2xV5×V6+6=11+ 1.(0,2)(4,2)(4,0) 2V30。(2)①△4BC是直角三角形。理由：.(V54 2.13.-四xy4.D 5.A6.D7.0(0,0),A(3 (V6)2=(VΠ)2，.△ABC是直角三角形。②.三角 3V3),B(6,0)。8.解：如图 形任意两边之和大于第三边，∴V5+V6>V。 过点B作BE⊥x轴于点E,作BDI (3)(2V3+V6)-18+12V2,(3V3)-27,V2> y轴于点D,则OD=BE=3V2, OE A 1,.18+12V2>30.2V3+V6>3V3。 BD=OE。.'∠C0A=90°，OA=0C, 第8题答图 14.2V615.B16.A AC=4,.△OAC是等腰直角三角 3二次根式（第3课时） 形。由勾股定理，得20A2=AC,即0A=0C=2V2。 1.-V349V52.3V3-14V23.13- AB=2V5,由勾股定理，得AE=VAB-BE=V2。 5 ..BD=OE=0A-AE=V2..A(2V2,0),B(V2, 242=(V7-V6)24.D5.A6.B7.(1) 3V2),C(0,2V2)。9.C10.D 10V2-2V10(2)3(3)5V2(4)15-2V3 2平面直角坐标系（第2课时)】 (5)V7-V6(6)3-2V58.解：直角三 1.(0,5)或(0，-5)2.正方形3.C4.B 角形的面积=(V3+1(V了-1)=[(V了户-1 5.C6.(1)A,B,C三点的坐标分别为(2,4)， (5,2),(3,-1)。(2)D(0,1)。7.(1)(2, (cm);直角三角形的斜边长=2V2cm,直角三角形 0)(4,0)(6,0)(2)当n=1时，A4(2,0): 的周长=2(V3+V2)cm。答：直角三角形的面积是 当n=2时，As(4,0)；当n=3时，An(6,0),A4的 1cm,周长是2(V3+V2)cm。9.解：都成立。规 坐标为(2n,0)。(3)动点从点Am到点Ao的移动 律：当带分数的整数部分与分数部分的分子相等，且 方向是向上。100：4=25，.Am在x轴上，.到A0 分母为分子的平方减1时，这个带分数的算术平方根 的移动方向是向上。8.(7,0)9.B10.B 等于带分数的整数部分与这个带分数的分数部分的算 2,平面直角坐标系（第3课时）】 术平方根的积，用代数式表示其基本规律是：对于一 1.(1)A(-4,3),B(-4,0),C(0,-2),D(5, 般的被开方数为+沿（加≥2的二次根式可推出： 0),E(5,3),F(0,5)(2)相等(3)点B与点 D的纵坐标都是O,点C与点F的横坐标都是0 Vmn√m≥2。知，若取n5,有V5 (4)平行2.C3.解：(1)略。(2)以AB为腰的 等腰三角形有△ABC,△ABC2,△ABC3,其中点C 5V景。10.)52)558)55④555 的坐标分别为C(-6,0),C2(4,0),C3(7,0)。 4.解：坐标为(9,0)。理由：用表格列出质点的运 (5)555…5511.解：(1)V5,2+V3(2)原 动规律： 2026个5 式=V2025-1=45-1=44。(3)Vn+Π-Vn= 运动时间/s 3=22-1 8=32-1 15=42-1 24=52-1 VmTiVr Vi-Vn-T- Vn +Vn VnT 1 所在位置坐标 (1,0) (0,2) (3,0) (0,4) >Vn-I,..Vn+I-Vn<Vn-Vn-I,12.0 13.D 由表格可知，当运动时间为(n2-1)(n≥2)s时， 14.B15.C16.解：原式=2V3-V3=V3。 若n为偶数，则位于点(n-1,0);若n为奇数，则位 参考答案与提示 于点(0，n-1)。99=10-1,.第99s时质点所在位 系，其中每袋装的糖果颗数是自变量。(2)这批水 置的坐标是(9,0)。 果糖共有10x360=3600(颗)。总袋数随着每袋装的糖 5.解：(1)①.点A(-3,1)到x轴、y轴的距 离中的最大值为3，.与点A是“等距点”的点是E, 果颗数的增多而减少。(3)：mn=3600,m=3600 n F。②点B到x轴、y轴的距离中至少有一个为3的点 6.解：(1)根据图象可知，高度h是时间t的函 有(3,9)，(-3,3)，(-9，-3)，这些点中与点A 数，h的取值范围是0.5≤h≤1.5。(2)①当t=0.7s 是“等距点”的是(-3,3)。点B的坐标为(-3,3)。 时，h的值是0.5m,它的实际意义是摆动时间为0.7s (2)T(-1,-k-3),T2(4,4h-3)两点为“等距点” 时，秋千离地面的高度是0.5m。②由图象可知，5.4 则分下列两种情况：①若4k-3引≤4时，则4=-k-3或 2.8=2.6(s)。答：秋千摆动第二个来回需要的时间为 -4=-k-3,解得k=1或k=-7(舍去)；②若4h-3>4 2.6s。7.解：(1)行驶里程剩余电量(2)当 时，则14k-31=-k-3引，解得k=2或k=0（舍去)。综上 0时，=80，.该型号电动汽车的电池容量为80kWh。 所述，k的值是1或2。，6.6 (3)由表格可知，行驶里程每增加10km,剩余电 3轴对称与坐标变化 量减少2kWh,.行驶里程每增加1km,剩余电量 1.(-3,-1)2.关于y轴对称3.平行4.1 减少0.2kWh。:当x=0时，y=80,则y=80-0.2x。∴y 55.(3,1)6.B7.解：(1)图形略，A(1,5), 与x之间的关系式为y=80-0.2x。(4)80x25%=20, B1(1,0),C(4,3)。(2)横坐标互为相反数，纵坐 将y=20代人y=80-0.2x,得80-0.2x=20。解得x=300。 .剩余电量为25%时，电动汽车的行驶里程为300km。 标相等。(3)5.8解：()图形略，A2,5), 8.C B(2,3),C(4,1)。(2)图形略，关于x轴对称。 2认识一次函数（第1课时） (3)25.9.解：(1)直线1过点A且平行于● 1.y=x+20x≥02.(1）5.4+1.8=7.29+1.8= 10.8(2)根据数据的变化规律，小伟跑步时间每增 x轴，交y轴于点D(0,1),AD=5,.点A的坐标为 加10min,跑步的路程均增加1.8km,.小伟跑步时 (-5,1)。(2)△ABC为等腰直角三角形。理由：如 间每增加1min,跑步的路程增加0.18km,s=0.18t。 图，设直线1与BC交于点 2认识一次函数（第2课时）】 E,,△ABC关于直线1对 1.v=2t- 正比例2.y=4x3.B4.C 称，BE=CE,AB=AC,BC 5.(1)h=20-5t。(2)7.5cm。(3)4h。6.解： ⊥AD。∴.∠AEB=∠AEC=90°。 (1)由表格得，该公交车的乘车人数每增加50人，利 :点C的坐标为(-2，-2)， 润增加100元，.乘车人数每增加10人，利润增加20 点E的坐标为(-2,1)。 元。(2)由(1)知，该公交车每增加一位乘客， .BE=AE=CE=3。∴.∠CAE= 利润增加2元。又：公交车每天的支出费用为600 ∠C=45°，∠BAE=∠B=45°。 元，y=2x-600,其中k=2表示每位乘客的乘车票价， .∠BAC=∠BAE+∠CAE= 第9题答图 b=-600表示公交车每天支出的费用。(3)当x=800 90°。∴.△ABC为等腰直角三角形。10.解：(1)一 时，y=2-600=2×800-600=1000。.该公交车当天的利 次反射点为(-1,3)，二次反射点为(3，-1)。 润是1000元。7.2.58.0.89.D (2)当点A在第三象限时，一次反射点在第四象限， 2认识一次函数（第3课时）】 二次反射点在第二象限，而由条件知点M,N,Q三点 1.y=4x+15(x>15)2.解：(1)当0≤x≤20 中只有点M在第二象限，·点M(-4,1)是点A的二 时，y=25x;当x>20时，y=10(x-20)+20x25=10x+300 次反射点。点M(-4,1)关于直线1的反射点为 (其中x是整数)。(2)当x=54时，y=10x+300=840 M1(1,-4),而M1关于y轴的对称点为(-1，-4)， (元)。答：购买门票共需花840元。3.解：(1)由 ∴.点A的坐标为(-1，-4)。(3).点B在第二象限， 题意，得7a=21。解得a=3.9×3+(12-9)b=39,解得 .∴点B,在第一象限。连接BB,BB2,BB,交y轴正半 轴于点D,BB2交直线l于点E。∠BOD=30°， b=4。(2)当0≤x≤9时，y=3x;当9<x≤15时，y= 3x9+4(x-9)=4x-9:当x>15时，y=3x9+4×(15-9)+5(x- ∠BOD=∠B0D=30°。∴.∠BOE=∠B,0E=∠D0E- 15)=5x-24。(3)当x=15时，y=51。:51<66,.小张 ∠B1OD=45°-30°=15°。..∠B0B2=2∠B10E=2×15°= 家8月的用水量大于15m3。:当x>15时，y=5x-24, ∠30°。11.(-5，-1)12.113.C 5x-24=66。解得x=18。答：小张家8月的用水量为 第四章一次函数 18m3.4.解：(1)当0≤x≤4000时，y=(x-800)× 1函数 20%×(1-30%)=14%(x-800),即y=0.14x-112;当x> 1.①②2.B3.C4.解：(1)铅球行进的高：4000时，y=x·(1-20%)×20%×(1-30%)=11.2%x= 度y(m)与距小周的水平距离x(m)之间的关系。 0.112x。(2)x=3000<4000,∴y=0.14x-112=0.14× (2)y是x的函数，因为由图象可看出当任意取一个x 3000-112=308(元)。x=20000>4000,y=0.112x= 值时，都有唯一的y值与它对应。自变量x的取值范 0.112×20000=2240(元)。..308+2240=2548（元）。 围是0≤x≤10。(3)铅球行进的最高点距地面3m, 答：张红两次共缴纳个人所得税2548元。 小周同学投掷铅球的距离是10m。5.解：(1)反 映总袋数m与每袋装的糖果颗数n两个变量之间的关