第二章 1 认识实数-【新课程能力培养】2026-2027学年八年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

数学 八年级上册（北师大版） 第二章 实多 数 知识网络 分类 按定义分类 实数概念 有理数 生活中产生 无理数 不可表示数 按正负分类 开立方 相反数 立方根 轰 实数性质 绝对值 开平方 平方根 正 倒数 互逆运算 方根 实数表示 实数与数轴上的点一一对应 算术平方根 运算法则 实数的混合运算 乘方 实数运算 入 运算律 实数的大小比较 用法则 用数轴 估算 借助计算器 积的算术平方根 性质 非负性 商的算术平方根 最简二次根式 二次根式 乘法法则 运算法则 除法法则 二次根式的运算（加、减、乘、除混合运算） 实 数 第二章 认识实数（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，网格图中小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四个 顶点都在格点上，请找出四条边中长度不是有理数的线段。 【分析】根据勾股定理求出各边的平方值，再根据有理数的定义判断即可。 【解答】因为四边形ABCD的四个顶点都在格点上，所以AB,BC,AD 都可以看成是某个直角三角形的斜边。 例题图 由勾股定理，得AB=32+42=25,所以AB=5。所以AB的长度是有理数。 由勾股定理，得BC=1+32=10。因为32<10<42，所以3<BC<4。所以没有一个有理数的平 方为10，所以BC的长度不是有理数。因为CD=3,所以CD的长度是有理数。 由勾股定理，得AD2=32+52=34。因为52<34<62，所以5<AD<6。所以没有一个有理数的 平方为34，所以AD的长度不是有理数。综上所述，四条边中长度不是有理数的线段是BC 和AD: 【点拨】此题考查判断一条线段的长度是不是有理数。对于不能直接求出长度的线段， 常用的方法是以此线段为斜边构造直角三角形，并运用勾股定理求出此线段长的平方，然后 看能不能找到一个有理数，使这个有理数的平方与之相等，如果能找到这样的有理数，则说 明此线段的长是有理数，否则就不是有理数。 基础巩固飞)达标闯关 1.长、宽分别是3,2的长方形，它的对角线长 整数， 分数， 有理数。（均填“是”或“不是”) 2.在等式x2=5中，下列说法正确的是() A.x可能是整数B.x可能是分数C.x可能是有理数D.x不是有理数 3.面积为40的正方形的边长() A.是整数 B.是分数 C.是有理数 D.不是有理数 能力提升螂综合拓展 4.如图，网格中每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点O。请通过计算说明边长AB,BC,CD,AD和对角线AC,BD 的长度哪些是有理数，哪些不是有理数。 第4题图 13 数学 八年级上册（北师大版） 5.如图，以直角三角形的三条边为边长分别作正方形，依据图中所给条件，回答下列问题： (1)正方形B的面积是多少？ (2)设正方形B的边长为b,则b满足什么条件？b是有理数吗？ (3)估计b的值（结果精确到0.1），并用计算器验证你的估计。 169 第5题图 6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,AC=4。 (1)△ABC的边BC的长是整数吗？如果不是整数，那么它的整数部分是多少？请说明 理由。 (2)请你借助计算器仿照教材中求面积为2的正方形边长的方法，估计BC边的长是多 少。（精确到0.00001）》 第6题图 7.《清秘藏》是明代所著的工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发 展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类。现有一块长方形绣布，长、宽之比为 4:3,面积为588cm2。 (1)这块绣布的长和宽是有理数吗？如果是有理数，请求出它的周长；如果不是，请说 明理由。 (2)刺绣师傅想利用这块绣布裁出一块面积为340cm的完整圆形绣布用来绣花鸟图， 她能够裁出来吗？如果能够裁出来，那么这块完整的圆形绣布的半径是有理数吗？请说明 理由。 中考链接©真题演练 8.(2024深圳)如图，A,B,C均为正方形，若A的面积为10， C的面积为1，则B的边长可以是 (写出一个即可)。 A B 9.(2024.广东)完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方 形的边长是（) 第8题图 A.2 B.5 C.10 D.20 14 实 数 第二章 1 认识实数（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题若一个正实数x满足x2=3,在数轴上画出实数x的对应点A。 【分析】若要在数轴上找到表示实数x的对应点，需在数轴上构造一个其中一条边长为x 的直角三角形。为此找到两个正整数，使它们的平方差等于3,22-1？=3，则由勾股定理知， 要构造一个斜边和其中一条直角边长分别为2,1的直角三角形，那么另一条直角边长就是x。 【解答】如图，在数轴上取表示1的点B,过点B作射线 BM⊥OB于点B,再以点O为圆心，以2个单位长度为半径 画弧交射线BM于点C,再以点O为圆心，以BC长为半径画 弧交射线OB于点A,则OA的长度就是x,此时点A对应的 -2-10B1A23 例题答图 实数就是x。 【点拨】此题考查在数轴上表示无理数的点的画法，其实质是考查灵活运用勾股定理和 数形结合的思想解决实际问题的能力。数轴上的点和实数是一一对应的，即每一个实数都可 以用数轴上的一个点表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。在数轴上画表示类 似于例题中无理数的点时，通常是在数轴上构造直角三角形找到等于这个无理数绝对值的线 段，然后在数轴上画出以原点O为线段起点的对应线段。 基础巩固)达标闯关 1.下列名数中：2323232，号，34，器，-，0.1010101（相邻两个1 之间0的个数逐次加1)，有理数有 无理数有 2.下列说法正确的是( A.无理数是无限不循环小数 B.有理数是有限小数 C.正数、0、负数统称为有理数 D.无限小数是无理数 3.π-3.14的值是（) A.0 B.负数 C.无理数 D.有理数 4.数轴上的点A,B,C,D如图所示，若一个正实数a2=6, 。脑1音9名丹 那么数轴上表示实数a的点所在位置在（) 第4题图 A.点A与点B之间 B.点A与点C之间 C.点B与点C之间 D.点C与点D之间 15 数学 八年级上册（北师大版） 5.已知实数：}，03，，0，-5,0.728,314,0303003003…（相邻两个3之间 0的个数逐次加1)。请根据下面要求解答问题： (1)有理数集合：{ …}; (2)无理数集合：{ …} (3)负实数集合：{ …}; (4)由小到大排列各实数： 能力提升螂综合拓展 6.请在5×5的正方形网格中作出满足下列条件的直角三角形。 (1)三条边的长都是有理数。 (2)两条边的长是有理数，另一条边的长是无理数。 (3)一条边的长是有理数，另两条边的长是无理数。 第6题图 (4)三条边的长都是无理数。 7.聪聪在学完实数后，对实数进行分类时，发现实数、整数、正数和无理数有如图所示 的关系，请你分别写出图中横线上序号所对应的数。（各写出一个数即可） ① 实数 正数 ① ② ② ③ 整数 ③ ④ 无理数 ⑤) ⑥ ④ ⑤ 第7题图 ⑥ 8.在数轴上作出满足下列条件的实数x所对应的点： (1)一个负实数x2=2: (2)实数x2=10: (3)一个正实数x2=7; (4)一个负实数x2=11。 西数学 八年级上册（北师大版） 3勾股定理的应用 物需要爬行的最短路程。由勾股定理，得16+122= 1.172.53.B4.解：(1)A0⊥B0, 400=202,∴.蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为20cm。 ∠AOB=90°。∴.△AOB为直角三角形。在Rt△AOB中， 5.解：蚂蚁爬行的路线有3条。①当蚂蚁爬行经过 由勾股定理，可得AB2-A02+B02=2.42+0.72=6.25。.AB= 长方体的右侧表面与前面 B SC 2.5m。.梯子AB的长度为2.5m。 这两个侧面时，我们将这 (2)如图，由题意可知，AE=0.9m 两个侧面展开所得到的平 :A0=2.4m,E0=A0-AE=1.5(m), 面图形如图1所示。长 ED=AB=2.5m。在Rt△DOE中， 方体的宽为10，高为20， 10 由勾股定理，可得0D=ED2-E0= 点B到点C的距离是5， 图1 2.52-1.52=4。∴.0D=2。∴BD=0D B D .BD=CD+BC=10+5=15 0B=2-0.7=1.3(m)。答：梯子的底 第4题答图 AD=20。在Rt△ABD中， 10 端向外移动的距离为1.3m。5.解：BC=6,D是 由勾股定理，可得AB2=BD+ B5C 20 BC的中点，.CD=)BC=3。在R△ACD中，AD= 4D2=152+202=625。②当蚂 图2 蚁爬行经过长方体的右侧 AC2+CD=42+32=25。.AD=5。将△CDE沿DE翻折， 表面与上底面这两个侧面 点C落在AD上的点F处，∴DF=CD=3,EF=CE, 时，我们将这两个侧面展 ∠EFD=∠ECD=90°。∴AF=AD-DF=2,∠AFE=90°。设 开所得到的平面图形如图 5 CE=x,则EF=x,AE=AC-CE=4-x。在Rt△AFE中，由 2所示，则BE=CE+BC=20+ 20 D10 勾股定理，可得(4-P-22,解得=子。C=15。 5=25,AE=10。在Rt△ABE 图3 中，由勾股定理，可得 第5题答图 6.2.47.B AB=BE+AE=252+10°=725。③当蚂蚁爬行经过长方体 ☆ 问题解决策略：反思 的后面与上表面这两个侧面时，我们将这两个侧面展 1.解：如图，将圆柱侧面沿AB展开成长方形， 开所得到的平面图形如图3所示，则BC=5,AC=CD+ 则螳螂爬行的最短路程就是长方形对角线AB的长。 AD=20+10=30。在Rt△ABC中，由勾股定理，可得 ,AA1=2r×10=20m≈60(cm),BA1=45cm,根据勾股 AB=BC+AC=5+30=925。.625<725<925,AB>0, 定理，可得AB2=AA+BA=60+45-5625=752。故AB= 蚂蚁爬行的路线经过长方体的右侧表面与前面这两个 75cm。答：螳螂爬行的最短距离为75cm。 侧面时，蚂蚁爬行的路程最短，最短路程为25。 20 第二章实数 1认识实数（第1课时）】 1.不是不是不是2.D3.D4.解：AB2= 32+42=25,.AB=5;BC2=32+32=18,CD2=22+32=13, AD=2+4=20;AC=7,BD=5。.AB,AC,BD的长度 第1题答图 第2题答图 第3题答图 是有理数，BC,CD,AD的长度不是有理数。 5.(1)105。(2)b2=105,不是。(3)10.2，验证 2.解：如图，将长方体包装盒侧面沿棱AB展开， 略。6.解：(1)BC边的长不是整数，BC边的长的 得到如图所示的长方形AABB,连接AB,由两点之 整数部分是2。理由：在△ABC中，∠ABC=90°，AB= 间线段最短，AB:长就是所用麻绳的最短长度。在 3,AC=4,由勾股定理，可得BC=AC2-AB2=16-9=7。 Rt△AAB,中，AA=4×1=4(dm),AB=3dm。由勾股 4<BC<9,2<BC<3。BC边的长不是整数，BC边 定理，得AB=AA2+AB2=4+32=25。AB1=5dm。答： 的长的整数部分是2。(2)用无限過近的方法可得 所用麻绳的最短长度为5dm。3.解：如图，三级台 BC≈2.64575。（无限逼近的过程略）7.解：(1) 阶平面展开图为长方形，则BC=20dm,AC=(2+3)×3= 是有理数。设绣布的长为4xcm,宽为3xcm,根据题 15(dm),则蚂蚁沿台阶面爬行到点B处的最短路程 意，得4x3x=588,即12x2=588。x2=49。x>0,x= 是该长方形对角线AB的长。在Rt△ACB中，由勾股 7.4x=28,3x=21。∴.绣布的长为28cm,宽为21cm。 定理，得AB2=AC2+BC=202+15=625=252。.AB=25dm。 .这块绣布的长和宽都是有理数。2×(28+21)=98 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点B处的最短路程是25dm。 (cm)。答：这块绣布的周长为98cm。(2)能够裁出 4.解：·：圆柱形食品盒高10cm、底面圆周长为 来完整的圆形绣布。理由：设完整的圆形绣布的半径 32cm,且蚂蚁从盒外表面距下底面3cm的C处，爬 行到盒内表面对侧中点B处，∴相当于蚂蚁从一个高为 为rcm,根据题意，得m=340。=340≈108.225。 (7+5)cm、底面圆周长为32cm的圆柱形食品盒的下 100<2<121,.10<11。.108.162<110.25,.10.4< 底面上的点C处，爬行到对侧上底面上的点B处。将 r<10.5。.2r<21,.能够裁出来完整的圆形绣布。m 转化得到的圆柱体侧面展开，得到一个长为32cm、 是无限不循环小数，..2一-340：π=10822536·一定是无 宽为12cm的长方形，则这个长方形的一半，即长为 限不循环小数。r不是分数，也不是整数，了不是 16cm、宽为12cm的长方形的对角线就是蚂蚁吃到食 有理数。8.2（答案不唯一）9.B 参考答案与提示 1认识实数（第2课时） 又0,0,0，y0。=7y=-9。+ 12.323232…，-号，3.14，器 2 -T, 。 9.解：由题意，得2a-3+5-a=0. 0.1010010001·(相邻两个1之间0的个数逐次加1) 2A3C4C5解：)03,0，-5， 解得a=-2,则b=49。.10a-b+5=-64。-64=-4, .10a-b+5的立方根为-4.10.解：(1)设立方体的 0.728,3.14,…}(2){r,0.3030030003…(相 棱长为a,则根据题意，得d=343.7=343,∴a= 邻两个3之间0的个数逐次加1)，} 3)品 V343=7(cm)。答：这个铁块的棱长为7cm。(2) 设另一个小立方体铁块的棱长为bcm,则b=343-218= -5,…} (④)-5，b,0.03,030303003 125.5=125,b=5。答：另一个小立方体铁块的棱 (相邻两个3之间0的个数逐次加1)，0.728,3.14，T 长为5cm。11.212.B 6略。7解：①号②片③8④2240240024 2平方根与立方根（第4课时） 1.(1)7.5(2)4.6(3)62.(1)> (相邻两个24之间0的个数逐次加1) ⑤-7⑥3-π (2)<3.-m<-V3<-V24.785.D6.B 8.略。 7.0.4454.4544.5445规律：被开方数的小数 2平方根与立方根（第1课时）】 点每向左（或向右）移动两位，其算术平方根的小数 1D2.D3.C4D5子(2)50 点就相应地向左（或向右）移动一位8.解：由题意， 得x2=28。又>0，x=V28。这个正方形客厅的边 (3)0(405(5)吕(6)名6()1 长x是无理数。5<V28<6,5.2<V28<5.3,5.29< (2)10 6)204)号 (5)6(6)97.解： V28<5.30。∴x≈5.3。∴.这个正方形客厅的边长x约 为5.3m。9.解：(1)设开发区占地的宽为xm, :直角三角形①②③④⑤的斜边依次为V2,V2,: 则长为3xm,3x2-12×107,x2=4×10。解得x=V40x10。 V2,V2,V2,.第n个等腰直角三角形的斜边 又，6300<V40x10<6350,且结果精确到100m, 长为V2.8.解：(I)设大正方形的边长为acm, V40x10的整数部分为6300。∴.x≈6300m。(2)设 小正方形的面积为450cm2,.拼成的大正方形的面 正方形的边长为ym,则y2=8700。解得y=V8700。 积a2=2×450=900(cm2)。a>0,.a=V900=30。.大 又.93<V8700<94,93.1<V8700<93.5,且结果精 正方形的边长是30cm。(2)设裁出的长方形的长为 确到1m,V8700≈93。.要建设的体育馆的边长约 3xcm,宽为2xcm,根据题意，得6x2-600。∴x2=100。 为93m。10.3(答案不唯一)11.512.>13. x>0,x=10.3×10=30(cm),2×10=20(cm)。 A14.C 这个长方形的长与宽都没有超过30cm,∴.能裁出一个 面积为600cm,长与宽之比为3：2的长方形。9.2 3二次根式（第1课时）】 10.B11.A 1.252.V7232V304.6 2平方根与立方根（第2课时） 1.00或12.13.D4.C5.(1)±25 5.3+V256.V24-V37.C8.A9.C 10.D1.(1)5(2)3(3)812.(1)94V5 (2)±8(3)1.3(4)±V7 (5)±60 (2)1(3)2+V2(4)13-V2613.V10 (6)±0076D±号2)子或号 7.m=7,n= 14.6015.B16.B 3二次根式（第2课时）】 3,Vm+2n=V3.8.解：-1<a<-0.5,0.5<b<1, .原式=--b-(b-a)=-a-b-b+a=-2b。9.(1)①V25 1.3V75V2Y652.2V6 3 5 5②V100100(2)Vn2-2xx1+1P= 2W3312名440V35.3Y弩6.C V(n-1)7=n-1(3)原式=-0-1+2-3+4-5+…+2024- 10 2025=(0-1)+(2-3)+(4-5)+…+(2024-2025)=-1+ 7.D8.C9.解：最简二次根式有Vx4I,VI, (-1)+(-1)++(-1)=-1013.10.x≥311.D 其余都不是最简二次根式。V(-7)?=7,V28=2V7, 2平方根与立方根（第3课时）】 1.0或±12.A3.A4.C5.(1)0.6 v0-号，V嘉-.-V厚 2 (2)023)05④号6)10(2)2 10.(1)22V2(2)V12×(3244)=60(3)60 (4)子V31.解：DE是AB边上的高， (3)-号(4)87.(1)x=3 (2)x=-1(3)= ∠AED=∠BED=90°。在Rt△ADE中，由勾股定理，得 2 8解：将已知等式变形，得品190 27 AE=V(2V5)2-4=2。同理，在Rt△BDE中，BE=