2.3 二次根式 同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以“基础巩固-能力提升-综合应用”为梯度，覆盖二次根式全知识点，通过概念辨析、运算训练及实际应用，培养数学抽象、运算能力和模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次根式识别、有意义条件及基本性质|单选题1-5直接考查概念辨析，夯实基础| |进阶层|化简、运算及同类二次根式|填空题14-15结合平方差公式，提升运算能力| |拓展层|实际应用与规律探究|解答题18-20联系物理情境与规律归纳，发展模型意识|

2.3 二次根式 同步练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列各式中，不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各数中，可使式子有意义的的值是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 5．化简的结果为（   ） A． B． C．7 D． 6．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 7．计算的结果是（     ） A． B．3 C．6 D． 8．若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形，正方形的面积为50，，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（    ） A． B．2 C．3 D．4 10．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．当__________时，二次根式的值为0． 12．若，为实数，且，则的值______． 13．现对实数，定义一种运算：．则的值为______． 14．已知，，则______． 15．观察并分析下列数据，按规律填空：，，，，，第n个数的值为______ ． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)写出第四个等式： ． (2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． (3)计算： 18．用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？ 19．已知最简二次根式与能合并． (1)求 的值； (2)若，化简：． 20．在跨海大桥的建设工程中，工程师需要进行高空坠物的实验．如果空气阻力忽略不计，物体的下落高度h（单位：）与它的入水速度v（单位：）满足：．实验中，测试物体从距离海平面的桥面下落． (1)求该物体的入水速度；（结果保留根号） (2)若物体的入水速度超过会触发红色警报，请判断本次实验是否会触发红色警报，并说明理由．（参考数据：） 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C C D A B B C 1．【答案】C 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，二次根式的根指数为2，可省略不写． 【详解】解：选项A，，根指数为2，符合二次根式形式，是二次根式． 选项B，，根指数为2，被开方数，是二次根式． 选项C，，根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 选项D，，，可得，且根指数为2，是二次根式． 2．【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题思路是根据二次根式被开方数为非负数列出不等式，求出的取值范围，再结合选项判断正确结果． 【详解】解：依题意，． 解得． 四个选项中只有，满足条件． 3．【答案】B 【知识点】二次根式的乘法 【分析】根据二次根式的乘法法则求解． 【详解】解：． 4．【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【详解】解：A、的被开方数含分母，不是最简二次根式； B、的被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； C、的被开方数为整数，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D、的被开方数含分母，不是最简二次根式． 5．【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的平方运算，掌握积的乘方规则以及二次根式的平方等于其被开方数是解题的关键． 平方运算会使负号消失，因为负数的平方是正数，且平方根平方后得到原数． 【详解】解：∵， ∴结果为7． 故选：C． 6．【答案】D 【知识点】同类二次根式 【详解】解：A选项：是最简二次根式，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； B选项：，化简后被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； C选项：，化简后不是二次根式，不是同类二次根式； D选项：，化简后被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式. 7．【答案】A 【知识点】二次根式的混合运算 【详解】解：原式 ． 8．【答案】B 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出，进而即可判断求解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， ， 故选：． 9．【答案】B 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．由正方形的面积为50，解得正方形的边长，即一个小长方形的长与宽的和，减去，得到宽的值，据此解得小长方形的长，再解出小正方形的边长即可解题． 【详解】解：根据题意得， 小正方形的边长为： 这个小正方形的面积为， 故选：B． 10．【答案】C 【知识点】求二次根式的值 【分析】将给定的x值代入二次根式，化简计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴． 11．【答案】2 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题主要考查的求二次根式中的参数，属于基础题型．理解二次根式的概念是解题的关键．当二次根式的被开方数为零时，则二次根式的值为零． 【详解】解：根据题意可得：，解得：． 故答案为：2． 12．【答案】12 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、二次根式的乘除混合运算 【分析】根据平方的非负性及算术平方根的非负性求出a及b的值，代入计算即可． 【详解】， ， ， ， 故答案为：12 13．【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查新定义运算的理解与应用，算术平方根、立方根的计算，掌握新定义的运算规则是解题关键． 先计算算术平方根和立方根，再根据新定义运算规则进行计算． 【详解】解：，， 则． 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、已知条件式，化简求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】先把所求代数式通分，再把x、y的值代入进行计算即可． 【详解】解：， 将，代入 得：原式=， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，结合平方差公式以及完全平方公式是解题的关键． 15．【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、与实数运算相关的规律题、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了实数运算的规律探究．先分别计算前5个数的结果，再总结归纳即可． 【详解】解：∵，，，，，， ∴第n个数为， 故答案为： 16．【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】运用平方差公式进行运算、负整数指数幂、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的化简等知识点，解题的关键是掌握各运算法则． （1）先对二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可； （2）利用二次根式的乘除进行运算即可； （3）利用二次根式的化简，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的化简等运算法则进行计算即可； （4）利用平方差公式和完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查了数字的变化类，解题的关键是得出第n个等式为：． （1）根据前三个式子写出第4个式子即可； （2）根据前三个式子猜想、归纳出该类式子的规律即可； （3）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第4个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第n个等式为：， 故答案为：； （3）解： ． 18．【答案】甲 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】根据，得到，分别求出甲乙的电压，故可求解． 【详解】∵ ∴ ∴，，该用电器是甲． 【点睛】此题主要考查了实数的运算在实际问题中的应用，锻炼了学生估计无理数大小的能力，本题还用到物理中的电功率的知识． 19．【答案】(1) (2)5 【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简、带有字母的绝对值化简问题、已知最简二次根式求参数 【分析】（1）根据同类二次根式的定义进行计算即可； （2）先推导出，得到，再进行绝对值与二次根式的化简，最后合并即可． 【详解】（1）解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 20．【答案】(1) (2)本次实验不会触发红色警报． 理由如下： ∵，， ∴本次实验不会触发红色警报． 【知识点】二次根式的应用、利用平方根解方程 【分析】（1）先把代入公式即可得出v的值． （2）先计算出，然后再和30比较即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得：，负值舍去． 答：该物体的入水速度为． （2）解：略； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $