2.2 平方根与立方根 一课一练2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学北师大版八年级上册“平方根与立方根”同步练，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层设计，覆盖概念理解、运算技能及实际应用，培养抽象能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|平方根/立方根概念、基本计算|单选题1-3直接考查概念辨析，填空题11-12强化基础运算，夯实抽象能力| |提升层|非负性、估算、规律探索|单选题5-7结合无理数估算，填空题13-14融合平方根与立方根综合计算，发展推理意识| |综合层|实际问题解决|解答题19-20通过彩泥球体积、长方形剪纸等生活情境，体现数学建模与应用意识，衔接课时目标|

2.2 平方根与立方根 一课一练2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．的平方根是（     ） A．3 B． C． D． 2．如图，该二阶魔方为正方体结构，若该二阶魔方的体积为，则该二阶魔方的棱长为（   ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知实数满足，则的值为（    ） A．3 B． C．0 D．1 5．估计的值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 6．若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（   ） A．1 B．5 C． D． 7．已知，，可得的值大约是（     ） A．22.36 B．70.71 C．223.6 D．707.1 8．一个物体自由下落时，它所经过的距离和时间之间的关系可以用来估计．若一个物体从的高度自由下落，则它到地面的时间约为（     ） A． B． C． D． 9．以下说法正确的是（    ） A．是的一个平方根 B． C．±3是27的立方根 D． 10．已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．49 B． C． D．4 二、填空题 11．平方根与立方根相同的数是_________． 12．利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出的结果是______． 13．已知某个数的平方根为和，且的立方根为，则______. 14．小明编写了一个程序，如图．若输入，则输出的数为___________． 15．有一组按规律排列的数：，这组数的前1000个数中，有理数有_____个． 三、解答题 16．求的值： (1)； (2)； (3)． 17．已知1的算术平方根是a，b的立方根是3，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 18．在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 19．手工课上，同学们将两个半径分别是，的实心彩泥球揉捏融合做成了一个更大的实心球（不计损耗，球的体积公式是，其中r是球的半径）． (1)求融合后大球的半径（结果保留根号）； (2)判断融合后大球的半径能否达到，并说明理由． 20．广东剪纸有着区别于其他地域剪纸的独特气质，兼具细腻灵动的技法与浓郁的岭南特色，为学习剪纸艺术，王芳要把一张面积为，长、宽比为的长方形彩纸剪成如图形状． (1)请帮王芳求出长方形彩纸的长和宽； (2)王芳想从中裁出面积为的完整圆形纸胚，她能够裁出来吗？试说明理由．（取3） 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C D C A C A A 1．【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【详解】解：的平方根是． 2．【答案】B 【知识点】立方根的实际应用 【分析】根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵二阶魔方的体积为， ∴它的棱长为． 3．【答案】B 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解决此题的关键是正确的理解立方根的定义； 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 4．【答案】C 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】先根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”求出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ，， 解得，． ∴． 5．【答案】D 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【分析】根据夹逼法估计无理数的取值范围，先找到和31相邻的两个完全平方数，确定的范围，再推导的范围即可得到结果． 【详解】解：∵，，且 ∴，即 对不等式三边同时加1，得 即 ∴的值在6和7之间． 6．【答案】C 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查无理数估值，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵的整数部分为，小数部分为， ∴，， 故选：C． 7．【答案】A 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】根据被开方数的小数点向右移动两位，其算术平 方根的小数点就向右移动一位解答即可． 【详解】解：， ∴． 8．【答案】C 【知识点】算术平方根的实际应用 【详解】解：将代入， ∴它到地面的时间约为． 9．【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、立方根概念理解、平方根概念理解 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根的定义，根据相关定义逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：对于选项A，，是的一个平方根，该选项说法正确． 对于选项B，表示的算术平方根，，原计算错误，该选项不符合题意． 对于选项C，，的立方根是，原说法错误，该选项不符合题意． 对于选项D，，原计算错误，该选项不符合题意． 10．【答案】A 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，利用该性质列方程求出的值，再计算得到这个正数即可． 【详解】解：∵该正数的两个平方根为和， ，解得． 将代入得其中一个平方根为， 这个正数为． 11．【答案】0 【知识点】立方根概念理解、平方根概念理解 【分析】本题主要考查了平方根和立方根， 根据平方根和立方根的定义解答即可. 【详解】解：因为正数的平方根有两个，互为相反数，任何实数都有一个立方根， 所以正数的平方根和立方根不能相同. 因为负数没有平方根， 所以负数的平方根和立方根不能相同. 只有0的平方根是0，立方根是0. 故答案为：0. 12．【答案】16 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】本题考查的是计算器的使用，熟练掌握计算器的使用是关键．求一个数的立方根的平方，根据计算器的按键代表的运算，列出算式可得答案． 【详解】解：根据按键顺序可知：， 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】根据平方根的性质，得出，根据立方根的定义得出，继而求得的值，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵某个数的平方根为和， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根与立方根综合，掌握平方根与立方根的定义是解题的关键． 14．【答案】 【知识点】程序设计与实数运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】根据流程图和实数运算法则即可求解． 【详解】解：输入， 则， 然后， 4的倒数为， 然后得到， ∴输出的数为． 15．【答案】6 【知识点】无理数、有理数的定义、求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】由再结合其他数可以得到规律：是一组数的立方根，被开方数是从2开始的偶数，据此可完成第一空；根据，，可确定前1000项中的有理数． 【详解】解：∵， ∴， ∴第n个数是； ∵且为正整数，，， ∴前1000个数中是有理数的有，，，，，共6个，其余的数都是无理数． 16．【答案】(1)或 (2) (3)或 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【详解】（1）解：， 整理得， 解得或； （2）解：， 整理得， 解得； （3）解：， 整理得， 开方得， ∴或， 解得或． 17．【答案】(1)，， (2) 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据算术平方根，立方根和无理数的估算方法，求解即可； （2）根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵1的算术平方根是a，b的立方根是3， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）可知：，，， ∴的平方根为． 18．【答案】（1）①左，1；②右，1（2）①2.828，0.2828；②（3） 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查算术平方根、立方根及规律探索问题，由题意总结出规律是解此题的关键． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】解：（1）①被开方数的小数点每向左移动两位，其算术平方根的小数点向左移动1位， ②被开方数的小数点每向右移动三位，其立方根的小数点向右移动1位， （2）①根据总结的规律可得：，， ②根据总结的规律可得：， ， （3），， ， ． 19．【答案】(1)融合后大球的半径为 (2)融合后大球的半径不能达到． 理由如下： 因为，，， 所以，即融合后大球的半径不能达到． 【知识点】实数的大小比较、立方根的实际应用 【分析】（1）融合后大球的体积等于半径为的球与半径为的球的体积之和，根据球的体积公式求出，再开立方求出r； （2）判断融合后大球的半径能否达到，就是比较无理数与6的大小关系，可将和6分别立方，立方大的，立方根也大． 【详解】（1）解：融合后大球的体积V= 设融合后大球的半径为． 根据题意，得， 所以． 所以 答：融合后大球的半径为． （2）略． 20．【答案】(1)长方形彩纸的长为，宽为； (2)解：能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为，由题意得：，解得：， ∵圆形纸胚的直径为，长方形彩纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来. 【知识点】实数的大小比较、算术平方根的实际应用 【分析】（1）设长方形彩纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设长方形彩纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴长方形彩纸的长为，宽为； （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $