2.1 认识实数 同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，覆盖实数概念、性质及运算，从单一知识点到综合探究，适配新授课分层教学需求，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|无理数概念、绝对值、相反数|单选题1-5题辨析概念，填空题11-13题巩固分类与估算| |能力提升|实数与数轴、大小比较|单选题6-10题结合数轴与勾股定理，填空题14-15题强化数形结合| |综合应用|勾股定理应用、探究推理|解答题18-20题含作图与阅读探究，发展几何直观与创新意识|

2.1 认识实数 同步练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．在下列实数中，属于无理数的是（    ） A．2 B． C． D． 2．的绝对值是（   ） A．2 B． C． D． 3．若有一个实数为，则它的相反数为（    ） A． B． C． D． 4．有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．这个小数不能在数轴上表示出来 C．它大于 D．它是一个实数 6．在实数2，0，，中，最小的数是（    ） A．2 B．0 C． D． 7．下列无理数中，在与之间的是（  ） A． B． C． D． 8．数轴上点和点表示的数如图所示，且点与点关于点对称，则点表示的数是（　　） A． B． C． D． 9．如图，根据尺规作图痕迹，可以判断弧线与数轴的交点C表示的数是（    ） A． B． C． D． 10．已知x是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．满足的整数可以是______（写一个符合题意的数即可）． 12．“若a是实数，则”这一事件是______．（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”） 13．在实数：，，，，，，中整数有________，分数有________，无理数有________． 14．若将，，这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是________． 15．如图，在数轴上点A表示原点，点C表示的数是， 且．以点A为圆心、长为半径画弧，交数轴原点左边于点 D，则点D表示的数是___________． 三、解答题 16．在数轴上作出对应的点，记为． 17．把下列各数分别填在相应的横线上． 整数：_______________； 无理数：_______________； 负实数：_______________； 正分数：_______________． 18．如图所示，已知，． (1)说出数轴上点A所表示的数为 ； (2)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） (3)比较点A所表示的数与的大小，要求写出具体过程； 19．阅读下列材料，并回答问题，事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动： （1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为______． （2）如图，于，，，，，求的长度． （3）如图，点在数轴上表示的数是多少？请用类似的方法在图数轴上画出表示数的点（保留作图痕迹） 20．阅读材料：，求，的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)若，则________，________； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长，，，且满足，求的周长． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C A D D A A D D 1．【答案】C 【知识点】无理数 【详解】解：∵整数和分数都属于有理数，无限不循环小数是无理数； ∴A选项中2是整数，属于有理数，不符合要求； B选项中0.3是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合要求； C选项中是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合要求； D选项中是分数，属于有理数，不符合要求． 2．【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、实数的性质 【分析】根据正数的绝对值等于本身解答即可． 本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵是正数， ∴的绝对值是， 故选：C． 3．【答案】C 【知识点】相反数的定义、实数概念理解 【分析】根据相反数的定义化简即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的相反数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了实数，相反数，掌握一个数a的相反数是是解题的关键． 4．【答案】A 【知识点】实数概念理解 【分析】根据无理数、分数的概念判断． 【详解】解：无限不循环小数是无理数， 错误． 是有理数， 错误． 是有理数， 错误． 也是无理数，不含根号， 错误． 是一个无理数，不是分数， 错误． 故选：． 【点睛】本题考查实数的概念，掌握无理数是无限不循环小数是求解本题的关键． 5．【答案】D 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较、实数概念理解、实数的分类 【分析】本题考查了圆周率的基本性质、有理数与实数的定义、数轴与实数的对应关系以及实数的大小比较，解题的关键是熟记无理数、实数的概念及数轴的性质，通过逐一验证每个选项的正确性得出答案． 先明确圆周率是无限不循环小数，属于无理数；再根据有理数、实数的定义判断选项A和D；依据“实数与数轴上的点一一对应”判断选项B；通过计算的近似值（约）与的近似值（约）比较，判断选项C． 【详解】解：A、∵是无限不循环小数，属于无理数，而有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，   ∴此选项不符合题意；   B、∵实数与数轴上的点一一对应，是实数，   ∴能在数轴上表示出来，此选项不符合题意；   C、∵，，且，   ∴，此选项不符合题意；   D、∵实数包括有理数和无理数，是无理数，   ∴是实数，此选项符合题意；   故选：D． 6．【答案】D 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：， ∴所给的实数中，最小的数是， 故选：D． 7．【答案】A 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题考查了实数的大小比较方法，掌握实数的大小比较方法是解题的关键．根据实数的大小比较方法逐项判断即可求解； 【详解】解：、∵， ∴， ∴， ∴在与之间，该选项符合题意； 、∵， ∴不在与之间，该选项不合题意； 、∵， ∴不在与之间，该选项不合题意； 、∵， ∴， ∴不在与之间，该选项不合题意； 故选：． 8．【答案】A 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，设点表示的数是，利用对称点到对称中心的距离相等得到． 【详解】解：点与点关于点对称， ， 设点表示的数是， ， ， 故选：A． 9．【答案】D 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴． 根据勾股定理可求出点到原点的距离，进而求出点到原点的距离，再根据点的位置确定点所表示的数． 【详解】∵点表示的数为3， 点到原点的距离为3， 由图可得， 点到原点的距离． ∵点到原点的距离和点到原点的距离相等， 点到原点的距离为， 点表示的数为． 故选：D． 10．【答案】D 【知识点】无理数、（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题主要考查多项式的运算，理解有理数加或减有理数结果为有理数是解题的关键． 由是有理数，则为有理数，再判断选项即可． 【详解】解：由是有理数，则为有理数， A、，又是有理数，x是无理数 所以是无理数，不符合题意； B、， 同理是无理数，不符合题意； C、，又是有理数，x是无理数 所以为无理数，即是无理数，不符合题意； D、，又是有理数， 所以是有理数，即是有理数，符合题意． 故选：D． 11．【答案】（答案不唯一） 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算． 先估算的取值范围，再找出满足的整数即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，且为整数， ∴可以是、或． 故答案为：（答案不唯一）． 12．【答案】随机事件 【知识点】实数概念理解、事件的分类 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断判断即可． 【详解】解：∵a是实数， ∴， ∴“若a是实数，则”这一事件是随机事件， 故答案为：随机事件． 13．【答案】 ，， ， ， 【知识点】实数的分类 【分析】先化简题目中的算术平方根，再根据整数、分数、无理数的定义对各数进行分类即可. 【详解】解：， 整数是正整数、零、负整数的统称， 整数有：，，； 分数包括有限小数与无限循环小数， 分数有：，； 无理数是无限不循环小数， 无理数有：，. 14．【答案】 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】首先利用算术平方根的性质估算出分别在哪两个连续整数之间，然后观察数轴确定墨迹覆盖的数值范围，最后找出位于该范围内的数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 由图可知，墨迹覆盖的范围是2到3之间， 能被墨迹覆盖的数是． 15．【答案】 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】先根据题意，用勾股定理计算出的长度，利用圆的半径相等得到，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，， ， ， 则点表示的数是． 16．【答案】如图，点即为对应的点． 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理．如图点B对应的数为，点D对应的数为，作轴，截取，根据勾股定理可得，再以点D为圆心，以为半径画弧与数轴的交点即为所求． 【详解】解：略． 17．【答案】 整数：，；无理数：，；负实数：，；正分数：， 【知识点】有理数的分类、无理数、实数的分类 【分析】根据有理数的分类将整数、分数、负实数、正分数填入即可求解． 【详解】∵， 是整数．故答案为：，； ∵，是无理数，故答案为： ，； ∵，是负实数，故答案为：， ； ∵ ，是正分数，故答案为： ，． 【点睛】本题考查了实数的分类，有理数的分类，无理数的定义，掌握实数的分类是解题的关键，无理数的定义：“无限不循环的小数是无理数”． 18．【答案】(1) (2) 点所表示的数为，如图所示： (3)，理由如下： ，， 又， ， ． 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数大小比较，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）在中，根据勾股定理求出，进而得，再根据点在轴的负半轴上即可得出点所表示的数； （2）在数轴上，过数2的点作数轴的垂线，垂足为，且，以点为圆心，以为半径画弧交轴正半轴于点，则点所表示的数为； （3）先计算，，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：， ， 点在轴的负半轴上， 点所表示的数为， 故答案为：； （2）解：在数轴上，过数2的点作数轴的垂线，垂足为，且，以点为圆心，以为半径画弧交轴正半轴于点，则点所表示的数为， 理由如下： 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 故点表示的数为； （3）略 19．【答案】（1）10； （2）； （3）， 点B即为所求 【知识点】勾股定理与无理数 【分析】（1）依据勾股定理进行计算，即可得到这个直角三角形斜边长； （2）依据勾股定理得AD=，进而得出BD=AD=； （3）依据勾股定理，即可得到点A表示的数以及点B的位置． 【详解】解：（1）由勾股定理可得，这个直角三角形斜边长为10 故答案为：10 （2）∵ ∴∠ADC=90° 在中， （3）点在数轴上表示的数是： 在Rt△OBC中，OB=OC= 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方是解题的关键． 20．【答案】(1)2，0 (2)25 (3)12或 【知识点】实数的性质、通过对完全平方公式变形求值、用勾股定理解三角形 【分析】（1）变形为，仿照题干方法计算即可． （2）变形为，仿照题干方法计算即可． （3）变形为，仿照题干方法计算得到a=3，b=4，分c最大边和直角边两种情形计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴m=2，n=0， 故答案为：2，0． （2）∵， ∴， ∴x=y，y= -5， ∴xy=（-5）×（-5）=25． （3）∵， ∴， ∴a=3，b=4， 当c最大时，c=， 此时三角形的周长为：3+4+5=12； 当b最大时，c=， 此时三角形的周长为：3+4+=7+； 故的周长12或． 【点睛】本题考查了实数的非负性，勾股定理，熟练掌握实数的非负性，勾股定理是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $