6.3 三角形的中位线-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

口数学 八年级下册（北师大版） 三角形的中位线 自主导学Q典例精析 例题如图，在△ABC中，AB=4,AC=3,AD,AE分别是其角 平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F,交AB于点G,连接EF, 求线段EF的长。 【分析】由已知可证得△AGF与△ACF全等，进而得出AG=AC, ED GF=CF。再由已知条件可得EF为△CBG的中位线，利用中位线的性 例题图 质即可求出线段EF的长。 【解答】AD是△ABC的角平分线，.∠GAF=∠CAF。.CG⊥AD,∠AFG=∠AFC=90°。 又.AF=AF,∴.△AGF≌△ACF。.AG=AC=3,GF=CF。AB=4,.BG=1。.AE是△ABC的中 线，B6=CR。BF为△CBC的中位线。EF号AG=号 【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质、三角形的中位线性质定理。解题的关键 是证出EF是△CBG的中位线。类似于本例这类已知一边上的中点问题，常用的解题策略是 取另一边的中点，并连接两中点，从而运用中位线定理证明有关线段的倍分问题、直线平行 问题以及角相等的问题。三角形的中位线是解有关中点问题常用的辅助线。 基础巩固L)达标闯关 1.如图，在口ABCD中，AC,BD相交于点O,点E是AB的中点，OE=3cm,则AD的 长是 cm。 2.如图，在△ABC中，AB=AC=6,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AB的 中点，连接DE,则△BDE的周长是 0 出C 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点， AD=BC,∠PEF=18°，则∠EPF的度数是 0 4.如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC,已知点E,F分别是边AB,AC的中 点，量得EF-5,他想把四边形BCFE用篱爸围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是() A.30m B.25m C.20m D.15m 134 平行四边形 第六章 5.如图，在△ABC中，BD,CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点 O,点F,G分别是BO,CO的中点，连接AO。若AO=6cm,BC=8cm,则 四边形DGFE的周长是() A.14 cm B.18 cm B C.24 cm D.28 cm 第5题图 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D,E分别为AC,AB的中点，点F在BC的 延长线上，且∠CDF=∠A。求证：四边形DECF为平行四边形。 第6题图 7.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥CD,垂足为点E,过点E作EF∥BC,交 AC于点E,G为BC的中点，连接G。求证：FG=)AB, 第7题图 能力提升螂综合拓展 -多 8.如图，在△ABC中，E,F分别是AB,BC的中点，G,H把AC三等分，EG,FH的延 长线交于点D,连接AD,CD,BG,BH。求证：四边形BHDG和ABCD都是平行四边形。 第8题图 9.如图，已知△ABC,AD平分∠BAC交BC于点D,BC的中点为M,ME∥AD,交BA 的延长线于点E,交AC于点F。求证： (1)AE=AF。 (2)BE=】(AB+AC). D M 第9题图 ® 数学 八年级下册（北师大版） *10.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=CD,E,F分别是AD,BC的中点，连接EF 并延长，分别与BA,CD的延长线交于点M,N,求证：∠BME=∠CNE。 (2)如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O,AB=CD,E,F分别是BC,AD 中点，连接EF,分别交DC,AB于点M,N,请判断△OMW的形状，并给出证明。 图1 图2 第10题图 中考链接©真题演练 11.(2025山西)如图，在口ABCD中，点O是对角线AC的中点， 点E是边AD的中点，连接OE。下列两条线段的数量关系中一定成立 的是（) 第11题图 A.OE-2AD B.OE-RC C.OF-LAR D.OE-TAC 12.(2025·广东)如图，点D,E,F分别是△ABC各边上的中点，∠A= 70°，则∠EDF=() A.20° B.40° C.70° D.110° 第12题图 13.(2025·黑龙江)如图，在△ABC中，∠B=90°，点D,E分别在边AB 和BC上，AD=4,CE=3,连接DE,M,N分别是AC,DE的中点，连接MN, 则MN的长度为() A昌 B号 C.2 D.号 第13题图 14.(2025·青海)如图，在△ABC中，点O,D分别是边AB,BC的中点，过点A作 AE∥BC交DO的延长线于点E,连接AD,BE。 求证：四边形AEBD是平行四边形。 第14题图 @参考答案与提示 2平行四边形的判定（第2课时） O,A0=C0。E,F,H,G分别是AB,BC,AD, 1.AD=BC或AB∥DC或∠BAD+∠ADC=180°或 CD的中点，∴AE=BE,BF=CF,AH=DH,CG=DG。∴点 ∠BAD=∠BCD M,N在BDL。:S△im=SN,S4 FSACOD,.S△orS△4o= 2.B SAB-SAN。:∵.S△iDN=S△DCO同理，可证S△C=S△NCO 3.证明：AC∥DB,∠D=∠C。又A0=B0, :Sam=Saa=SAw=了Sar。又AC是平行四边形 ∠A0C=∠B0D,.△AOC≌△B0D。.OC=OD。E,F 分别是0C,0D的中点，0E=号0C,0F=号0D, AMCN和平行四边形ABCD的对角线，SDAMCN=4, 5-cw-2,Som-35m-6.SoM-26w-12, .OE=OF。又AO=BO,.四边形AEBF是平行四边形。 H 4.解：EF∥HG,EFHG。证明：连接HE,GF。: 四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,AD∥BC。 ∠DAO=∠BC0,∠AH0=∠CF0。∴.△AHO≌△CF0。 .0H=0F。又E,G分别是0A,0C的中点，.0E-0G F ∴.四边形EFGH是平行四边形。∴EF∥HG,EF=HG。 第7题答图 5.(1)证明：在△AOE和△C0D中，：∠EA0= ∠DC0,A0=C0,∠AOE=∠C0D,.△AOE≌△C0D 3三角形的中位线 (ASA)。OD=OE。又AO=C0,.四边形AECD是 1.62.103.144°4.B5.A 平行四边形。(2)解：AB=BC,AO=C0,.0B1 6.证明：D,E分别为AC,AB的中点，DE为 AC,即DB⊥AC。AC=8,C0=)AC=4。在R△C0D △ABC的中位线。DE∥BC,即DE∥CF。又，∠ACB= 90°，∴.∠ADE=∠ACB=90°。：ED⊥AD。又AD=CD, 中，由勾股定理，得0D=VCD-C0=V5-4=3。 AE=CE。.∠A=∠ACE。又.∠CDF=∠A,..∠CDF= 0E-0D-3。7AC~D0+7AC~E0-2x× ∠ACE。∴.DF∥CE。又DE∥CF,.四边形DECF为 平行四边形。 8×3=24。 7.证明：CD平分∠ACB,.∠ACD=∠BCD。 6.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .EF∥BC,.∠FEC=∠BCD。.∴.∠ACD=∠FEC。.∴EF= AO=C0,B0=D0。BE=DF,E0=FO。.四边形 CF。.AE⊥CD,.∠AEC=90°。.∠EAC+∠ACD=90° AECF是平行四边形。(2)解：BE=EF,S△= ∠AEF+∠FEC=90°。∴.∠EAC=∠AEF。·AF=EF。 S△B=2。四边形AECF是平行四边形，SA4=SAB= AF=CF。F是AC的中点。G是BC的中点，.GF 2。E0=F0。∴.△CF0的面积等于1。 2平行四边形的判定（第3课时） 是△ABC的中位线。FGAB。 1.答案不唯一，如AB=BF2.(1)15 (2)15 8.证明：如图，连接BD,交AC于点O。E是 3.B4.C AB的中点，G,H是AC的三等分点，.G是AH的中 5.图2结论：PD+PE+PF=AB 点。EG是△ABH的中位线。∴.EG∥BH,即GD∥ 证明：如图，过点P作MW∥BC分 BH。同理HD∥BG,∴.四边形BHDG是平行四边形。 别交AB,AC于M,N两点。 .0B=0D,OG=0H。又AG=HC,∴.OA=0C。∴.四边 PE∥AC,PF∥AB,∴.四边形AEPF 形ABCD是平行四边形， 是平行四边形，∠EPM=∠ANM, G AE=PF。MN∥BC,PF∥AB, 四边形BDPM是平行四边形。 第5题答图 ∠EPM=∠ANM=∠C,∠EMP=∠B。AB=AC,.∠B= ∠C。∴.∠EMP=∠EPM。.∴PE=EM。PE+PF=AE+EM= AM。四边形BDPM是平行四边形，MB=PD。PD+ PE+PF=MB+AM=AB,即PD+PE+PF=AB。图3结论： 第8题答图 第9题答图 PE+PF-PD=AB。 6.C 9.证明：(1)DA平分∠BAC,.∠BAD= 7.(I)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∠CAD。AD∥EM,∴.∠BAD=∠AEF,∠CAD=∠AFE AD∥BC,AD=BC。E,F,G,H分别是平行四边 .∠AEF=∠AFE。AE=AF。(2)如图，延长BE至 形ABCD各边的中点，AH∥CF,AH=CF。.四边形 点G,使EG=BE,连接GC。BM=CM,EM∥CG。 AFCH是平行四边形。AM∥CN。同理可证，四边形 ∠G=∠AEF,∠ACG=∠AFE。∠AEF=∠AFE,.∠G AECG是平行四边形。∴AN∥CM。∴四边形AMCN是 平行四边形。(2)解：如图，连接AC,BD交于点 ∠ACc。AG=AC。BE=BG=(BMMG)=MB+ 2 数学 八年级下册（北师大版） AC) 10.(1)证明：如图1，连接BD,取BD的中点 百分比为高×10%=50%。：人年级A等级的数据有 H,连接HE,HF,E,F分别是AD,BC的中点， 09,09,:A等级所占百分比为品×100%=20%。 HF,HE分别是△BCD,△ABD的中位线。HF∥ 任务2：七、八年级的平均餐厨垃圾质量都是 CN,HE∥BM,HF=CD,HE=AB。AB=CD, 13kg,∴两个年级的餐厨垃圾产生量相同。七、八年 HF=HE。∴.∠HEF=∠HFE。HF∥CN,HE∥BM,. 级的餐厨垃圾数据的中位数都是1.0,1.0，说明七、 ∠HEF-∠BME,∠HFE=∠CNE。∴.∠BME=∠CNE。 八年级一半以上的班级产生的餐厨垃圾不超过1.0kg; M 七、八年级的数据的众数分别是0.8,1.0，.七年级 的众数较低，说明七年级有更多的班级餐厨垃圾质量 集中在0.8kg。s=0288,s元=022，s>s元。.八年 级的餐厨垃圾质量分布较为集中。七、八年级的A等 级所占的百分比分别是50%，20%，说明七年级有更 多的班级餐厨垃圾量低于1kg。综上所述，八年级的 图1 图2 整体餐厨垃圾产生量较少，且分布比较集中，但七年 第10题答图 级的A等级所占百分比更高，说明更多的班级达到较 低的餐厨垃圾质量标准，所以七年级的“光盘行动” (2)解：△OMN是等腰三角形。证明：如图2， 落实得更好。 取BD的中点H,连接HE,HF,E,F分别是BC, 2.解：(1)从统计图可得甲、乙两名运动员10 AD的中点，HF,HE分别是△ABD,△BCD的中位 次测试成绩：甲：12.9,12.1,12.5,12.7,12.1,12.5， 线。/AB,E/CD,IF=分AB,IE=CD, 12.7,12.5,12.5,12.5,乙：12.6,12.6,12.3,12.5， :AB=CD,HF=HE。.∠HFE=∠HEF。HF∥AB, 125,127,125,127,124,122。=0×129+ HE∥CD,∴.∠HFE=∠ONM,∠HEF=∠OMN。. 12.1+12.5+12.7+12.1+12.5+12.7+12.5+12.5+12.5)=12.5, ∠ONM=∠OMN。.OM=ON。∴.△OMN是等腰三角形。 11.C12.C13.A xz=10×12.6+12.6+12.3+12.5+125+12.7+12.5+12.7+ 14.证明：：点O,D分别是边AB,BC的中点， .OD是△ABC的中位线。.OD∥AC,即OE∥AC 124+122)=l25,=0×24+124+125+127+128+ AE∥BC,∴.四边形AEDC是平行四边形。∴AE=CD。 12.8+12.8+12.8+12.9+12.9)=12.7。将甲运动员10次测 点D是边BC的中点，BD=CD。AE=BD。AE∥ 试成绩从小到大排列：12.1,12.1,12.5,12.5,12.5 BC,AE∥BD。∴四边形AEBD是平行四边形。 12.5,12.5,12.7,12.7,12.9,将乙运动员10次测试 综合与实践一 成绩从小到大排列：122,12.3,12.4,12.5,12.5 1.解：任务1：=0×08+09408+0.8+09+18+ 12.5,12.6,12.6,12.7,12.7,将丙运动员10次测试 成绩从小到大排列：12.4,12.4,12.5,12.7,12.8 1 2.3+1.1+1.9+1.7)=13。=10×(1.0+0.9+13+1.0+1.9+ 12.8,12.8,12.8,12.9,12.9。.甲运动员测试成绩的 1.0+0.9+1.7+2.3+1.0)=1.3。将七年级餐厨垃圾质量由 中位数为7×(12.5+12.5)=125，乙运动员测试成绩的 小到大排列：0.8,0.8,0.8,0.9,0.9,1.1,1.7,1.8， 1.9,2.3,将八年级餐厨垃圾质量由小到大排列： 中位数为号×(12.5+125)=125，丙运动员测试成绩的 0.9,0.91.0,1.0,1.0,1.0,1.3,1.7,1.9,2.3, 中位数为2×(12.8+128)=128。s=0×[21-125x 七年级餐厨垃圾数据的中位数为宁×0941.1)-10，人 2+(12.5-12.5)2×5+(12.7-12.5)2x2+(12.9-12.5)2]=0.056, 年级餐厨垃圾数据的中位数为7×10+10)-10。七年 s2=0×[122-25+123-125°+124-12-5+ 级出现次数最多的数据为0.8，∴七年级数据的众数为 (12.5-12.5)2×3+(12.6-12.5×2+(12.7-12.5)2×2]=0.024, 0.8；八年级出现次数最多的数据为1.0，∴八年级数 s=0x[(24-1272+(125-27P+127-127+ 据的众数为1.0，s=×灯(08-13×3+(09-13P2+ (12.8-12.7)2×4+(12.9-12.7)2×2]=0.034。 (1.1-1.3)2+(1.7-1.3)2+(1.8-1.3)2+(1.9-1.3)2+(2.3-1.3)2]= (2)由(1)知，丙的平均数最大，则实力最弱。 028,s城0×[09-13x2+(10-13Px4+13-134 s=0.056,s2=0.024,s病=0.034，s号=0.056，即0.024< 0.034<0.056,.乙实力最强。：丁的测试成绩的中位 （1.7-1.32+(1.9-1.3)2+(2.3-1.3)2]=0.22。七年级A 数为12.45，.第5,6次成绩和为24.9。前5次测 等级的数据有0.8.0.8,0.8,0.9,09，.A等级所占 试成绩小于平均数12.45，甲测试成绩小于平均数12.5