江西南昌市第二中学2026～2027学年第一学期高二年级第一阶段考试数学模拟试卷

**基本信息** 结合“将军饮马”文化情境与新定义“共生点”问题，考查空间想象、抽象能力及创新意识，适配高二阶段知识巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线斜率、三棱锥性质等|基础概念辨析，如第1题斜率判断| |多选题|3/18|空间基底、圆与直线位置关系|多维度考查，如第10题圆的弦长与距离| |填空题|3/15|直线截距、外接圆方程|简洁计算，如第12题截距互为相反数的直线| |解答题|5/77|中线方程、折叠问题、新定义“共生点”|综合应用，如18题折叠问题考查空间推理，19题新定义考查创新思维|

2026~2027学年第一学期高二年级第一阶段考试模拟试卷 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A． B． C． D．不存在 2．在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 3．已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 4．已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 6．四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值（    ） A． B． C． D． 7．已知圆，，，，则直线与这四个圆的公共点个数的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 10．已知圆，直线，则（     ） A．直线上存在点，使得 B．直线被圆截得的弦长为4 C．圆上的点到直线的最大距离为 D．过圆心作直线的垂线，垂足坐标为 11．如图，平面，，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与直线夹角的余弦值为 C．平面 D．平面与平面的夹角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 13．在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 14．已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(本小题13分) 已知，，，求（均写出一般式方程）： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 16．(本小题15分) 如图，在多面体中，四边形是直角梯形，，，，均与平面垂直，且． (1)在棱上取一点E，使得平面，证明：E为棱的中点； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 17．(本小题15分) 已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 18．(本小题17分) 如图，在边长为2的正方形中，点、分别是和的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． (1)求证； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 19．(本小题17分) 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随点”，则称G为圆“”的“共生点”．已知圆，P为圆A的“伴随点”． (1)求点P所在曲线的方程； (2)已知圆，P，Q均为圆“”的“共生点”． （i）求直线的方程； （ii）若圆H是以线段为直径的圆，过点且斜率不为0的直线l与圆H交于J、K两点，是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的W点坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第2页（共3页） 试卷 第3页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 2026~2027学年第一学期高二年级第一阶段考试模拟试卷 数学参考答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A C C A B A AB BCD ABD 1．D 解：直线垂直于轴，所以直线的斜率不存在. 2．C 解：由于，故C正确. 3．A 解：两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 4．C 解：作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 5．C 解：如图所示，，，过原点作的对称点为，连接，则的长度即为“将军饮马”的最短总路程，因为，所以“将军饮马”的最短总路程为5. 6．A 解：连接，设交于点，连接， 因为四棱锥的底面是正方形，且每条侧棱的长都是底面边长的倍， 所以四棱锥为正四棱锥，可得平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示，设底面边长为，则， 可得， 则， 假设在侧棱上存在一点，使得平面， 又因为平面，所以是平面的一个法向量， 设，则， 由，可得，解得， 即当时，， 又因为平面，所以平面， 故侧棱上存在一点，使得平面，且. 7．B 解：根据四个圆的方程，在同一平面直角坐标系中，作出图象： 易知这四个圆两两相切，记直线与这四个圆的公共点个数为． 当直线的方程为时，； 当直线的方程为时，； 考虑证明不合题意．注意到圆与直线最多有两个公共点， 故当时，直线必与其中三个圆有两个公共点， 且与另外一个圆有至少一个不同的公共点． 若存在这样的直线，显然其斜率存在，设直线的方程为． 不妨设与，，均有两个公共点，则，，， 此时，， 两式相加得，即，而，解得， 于是，即与相离，矛盾，故的最大值为6． 8．A 解：由题意得：，又，所以， 设，如图所示， 由，所以，所以， 所以，所以四点共圆， 又过点三点的圆的圆心在轴上，所以， 连接，由，所以，解得， 所以过点三点的圆的方程为， 由，令，连接，所以， 又点在圆上，且满足，所以，， 所以. 9．AB 解：空间基底判定：三个向量不共面才能构成空间基底； 若存在不全为 0 实数使，则三向量共面，不能作为基底， A：因为，系数不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底； B：因为，系数全为 1 不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底； C：设，整理：， 不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底； D：设，整理：， 不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底. 10．BCD 解：圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 因为，所以直线上不存在点，使得，故A错误； 因为，所以直线与圆相交，所以弦长为，故B正确； 因为圆上的点到直线的最大距离为，故C正确； 过圆心作直线的垂线，则垂线的斜率为，所以直线方程为，联立，可解得，所以垂足坐标为，故D正确. 11．ABD 解：由题意可知平面为等腰梯形，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，有，， 所以，即，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，，设平面的一个法向量为， 则，则，显然与之不共线，故C错误； 设平面的一个法向量为，则， 令，则，令，，所以， 则平面与平面的夹角的正弦值为，故D正确. 12．或 解：设直线，截距分别为和，因为截距互为相反数，所以. 若，，又过点，所以，直线为. 若，解得，，所以，直线为. 13． 解：设的外接圆的方程为（）， 则，解得，所以的外接圆方程为． 14． 解：因为，，且的夹角为钝角，所以且与不共线，由，则解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数λ的取值范围为． 15．解：（1）因，，，设中点为，则得，即， 则直线的方程为，即； （2）依题意，当截距为时，直线井过原点和点，则其方程为，即； 当截距不为时，依题意，可设直线，代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或； （3）的中点，斜率为，则其垂直平分线的斜率为， 故有，即. 设关于的对称点，则中点在上且， 则，解得，，故. 16．解：（1）证明：因为，平面，则，， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 由，，，底面为直角梯形，解得． 则，，，． 在平面中，，．     设平面的一个法向量为， 则，即，取，解得． 因为点E在上，设，则． 因为平面，所以，解得，故E为线段的中点． （2）在平面中，，． 设平面的一个法向量为，则，即， 取，解得．由（1）知， 记面与面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为 17．解：（1）证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即，故直线过定点； （2）当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大，因为，则； 因为，故，解得； （3）由可得：当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知，当时，取最小值，此时面积取最小值，此时直线方程为，即． 18．解：（1）由折叠的性质，，且两两垂直，以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， ，故，即． （2）平面中，，设平面法向量为， 则，令，则； 平面中，，设平面法向量为 则，令，则， 设二面角为，则． （3）设在线段上，令，则向量， 直线与平面所成角为，由线面角公式： ， 已知，故， 化简整理得，解得或（舍去）， 故点，即为线段的中点． 19．解：（1）易知圆的圆心为，半径为, 因为点为圆的“伴随点”，所以，可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故点所在曲线的方程为. （2）（i）易知圆的圆心为，半径为， 因为点为圆的“伴随点”，所以，可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以点所在曲线的方程为； 可得点为圆与圆的交点； 因为P，Q均为圆“”的“共生点”， 所以直线的方程即为圆与圆的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得， 因此直线的方程为. （ii）存在点为或或时，取定值，理由如下： 易知直线与圆和圆的交点为； 因此线段的中点为，且，因此圆H的方程为； 依题意直线的斜率存在，设其方程为，,如下图： 联立，整理可得， 易知,； 此时 , 令，解得或或 易知时,取定值为4，时,取定值为12， 当时,取定值为3； 综上可知，存在x轴上的定点，使得为定值， 当点的坐标为时，取定值为4； 当点的坐标为时，取定值为12； 当点的坐标为时，取定值为3； 答案第8页（共10页） 答案 第1页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $