精品解析：江西上饶市民校考试联盟2025-2026学年高二上学期阶段测试（二）数学试题

上饶市民校考试联盟 2025-2026学年上学期阶段测试（二） 高二数学试卷 命题人：鄱阳县饶州中学 审题人：鄱阳县饶州中学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2、回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3、回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效. 4、本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 顶点在坐标原点，焦点坐标为的抛物线的标准方程为（　　） A. B. C. D. 2. 若，，三点共线，则实数a=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数的值是（ ） A. 1 B. 5 C. D. 4. 某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片､2部文艺片､3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（ ） A. 18 B. 9 C. 8 D. 7 5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线a的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆C方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线C：，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则C是焦点在x轴上的椭圆 B. 若，则C是圆 C. 若，则C的焦点为和 D. 若，则C的长半轴长为 10. 下列结论正确的是（ ） A. 过点，的直线的倾斜角为 B. 若直线与直线垂直，则 C. 直线与直线之间距离是 D. 已知，，点在轴上，则最小值是5 11. 倾斜角为的直线与抛物线相交于不同两点，且，则（　　） A. 的准线方程为 B. 当时， C. 存在，使（为坐标原点） D. 对任意，总存在点，使（为坐标原点） 第Ⅱ卷（选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间单位向量满足，则___________． 13. 从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是______.（用数字作答） 14. 设直线l与椭圆相交于A，B两点，且的中点为，则直线l的斜率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的曲线的标准方程 （1）渐近线方程为，且经过点的双曲线方程 （2）已知椭圆的焦距为8，离心率为0.8，求椭圆的标准方程 （3）顶点在原点，关于x轴对称且过点的抛物线方程 16. 如图，在平行六面体中，，，，. （1）以，，为基底向量，表示向量、； （2）求证：； （3）求的长. 17. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． （1）求抛物线的方程； （2）当点为弦的中点时，求直线的方程； （3）求的最小值． 18. 在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，若，，，求： （1）异面直线与所成角的大小的余弦值； （2）直线与平面所成角大小的正弦值； （3）二面角的大小的余弦值. 19. 已知椭圆（）的一个焦点为，其短轴长为 （1）求椭圆E的方程； （2）过坐标原点O的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B. （i）当直线l的斜率为1时，求的周长； （ii）若直线，分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上饶市民校考试联盟 2025-2026学年上学期阶段测试（二） 高二数学试卷 命题人：鄱阳县饶州中学 审题人：鄱阳县饶州中学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2、回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3、回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效. 4、本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 顶点在坐标原点，焦点坐标为的抛物线的标准方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程与焦点的关系求解即可. 【详解】焦点坐标为在轴正半轴上，可设抛物线方程为， 又，则，故抛物线的标准方程为. 故选：C 2. 若，，三点共线，则实数a=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的斜率公式进行求解即可. 【详解】由三点共线得，即，解得． 故选：A. 3. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数的值是（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，列出方程，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，则，所以，解得. 故选：C. 4. 某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片､2部文艺片､3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（ ） A. 18 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】由分类加法计数原理，得不同的选法种数为. 故选：C 5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 6. 已知双曲线a的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知双曲线a的一个焦点为，可知焦点位于x轴上，半焦距.设双曲线方程为：，渐近线方程为.根据圆的方程可知圆心为焦点，半径为. 圆心到渐近线的距离d等于半径r，根据点到直线距离公式得到b，根据得到a，从而计算出离心率. 【详解】已知双曲线a的一个焦点为，故焦点位于x轴上，半焦距.设双曲线方程为：，渐近线方程为. 已知圆得方程：，圆心即为焦点，半径为. 圆心到渐近线的距离d等于半径r，由点到直线的距离公式可得： ，代入得：. 由. 所以离心率. 故选：C. 7. 点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知当时，点到直线的距离取最大值，且最大值为，结合平面内两点间的距离公式求解即可. 【详解】直线过定点， 当时，即当时，即当时， 点到直线的距离取最大值，且最大值为. 故选：D. 8. 已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，即，所以动点P的轨迹为椭圆，再设椭圆的标准方程，求出其中的参数即可得到动点P的轨迹方程． 【详解】如图，分别过点作直线l的垂线，垂足分别为， 则，，切点为， ∵，，∴O是AB中点， ∴是梯形的中位线， ∴， 又∵圆C的方程为，半径， ∴，∴，即， ∴动点P的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设该椭圆的方程为，则，， ∴，，， ∴动点P的轨迹方程为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线C：，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则C是焦点在x轴上的椭圆 B. 若，则C是圆 C. 若，则C的焦点为和 D. 若，则C的长半轴长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆、椭圆的标准方程，可得答案. 【详解】对于A，若，则C是焦点在x轴上椭圆，故A正确； 对于B，若，则曲线C：，所以C是圆，故B正确； 对于C，若，则C：，为焦点在轴上的椭圆，焦点为和，故C错误； 对于D，若，则C：，所以C的长半轴长为，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 过点，的直线的倾斜角为 B. 若直线与直线垂直，则 C. 直线与直线之间的距离是 D. 已知，，点在轴上，则的最小值是5 【答案】BD 【解析】 【分析】求出直线倾斜角判断A；利用垂直关系求出判断B；求出两条平行线间距离判断C；利用对称求出最小值判断D. 【详解】对于A，直线倾斜角为，斜率，，A不正确； 对于B，直线与直线垂直，则，解得，B正确； 对于C，平行线间的距离，C不正确； 对于D，令点关于轴的对称点为， 连结交轴与，为轴上任一点，连接， 如图，则， 当且仅当点为线段与轴的交点时取等号， ， 因此，的最小值为5，D正确. 故选：BD 11. 倾斜角为直线与抛物线相交于不同两点，且，则（　　） A. 的准线方程为 B. 当时， C. 存在，使（为坐标原点） D. 对任意，总存在点，使（为坐标原点） 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积以及角平分线的性质逐一分析. 【详解】对于选项A，抛物线中，，准线方程为，故A正确. 对于选项B，当时，直线的斜率为，设直线的方程为， 联立直线与抛物线，得， 由韦达定理可知，，， 当，方程，此时判别式，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意，舍去， 当，方程，由韦达定理可知， 根据抛物线的焦点弦长公式，故B正确. 对于选项C， 设直线的方程为，联立直线与抛物线，得， 由韦达定理可知， ，且，，即，则 若，则，，， 当时，；当时，， 不存在，使（为坐标原点）故C错误. 对于选项D，设，若（为坐标原点），则直线与直线的斜率之和为，即, ，则， 即，将代入，得，化简得，即， 不一定为，，即， 由以上可知，则， 对任意的，总存在点，使（为坐标原点），故D正确. 故选：. 第Ⅱ卷（选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间单位向量满足，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】将平方，展开，由已知可得，再开方即可. 【详解】因为是空间单位向量，所以， 又， 则， 所以， 故答案为：2. 13. 从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是______.（用数字作答） 【答案】18 【解析】 【分析】先确定百位数字，再从剩余3个数字中选2个分别作为十位和个位，最后用乘法计算总和即可. 【详解】根据题意，该三位数的百位数字不能为0，所以只能从1，2，3中任取1个数字，有种选择； 而十位数字和个位数字可从剩余的3个数字中任选2个即可，有种选择， 所以从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为种选择. 故答案为：18. 14. 设直线l与椭圆相交于A，B两点，且的中点为，则直线l的斜率为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法求解即可. 【详解】设，由的中点为，有， 直线l与椭圆相交于A，B两点，则， 两式作差变形得， 即，得， 所以直线l的斜率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的曲线的标准方程 （1）渐近线方程为，且经过点的双曲线方程 （2）已知椭圆的焦距为8，离心率为0.8，求椭圆的标准方程 （3）顶点在原点，关于x轴对称且过点的抛物线方程 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先设双曲线方程为（），代点求出参数即可； （2）由焦距和离心率定义求出即可求解； （3）设所求抛物线方程，代点求出m即可求解. 【小问1详解】 由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为（）. 因为在双曲线上，所以，即解得， 所以双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 由题意，， 解得，，所以， 所以椭圆的标准方程为或； 【小问3详解】 由题可设所求抛物线方程，代入点得， 故抛物线方程为. 16. 如图，在平行六面体中，，，，. （1）以，，为基底向量，表示向量、； （2）求证：； （3）求的长. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合图形利用空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用空间向量的数量积的运算律计算即得. 【小问1详解】 在中，根据空间向量的减法运算可得， ； 小问2详解】 因，，，， 则，， 由（1）得 ， 所以，即； 【小问3详解】 由（1）知， 所以 ， 所以. 17. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． （1）求抛物线的方程； （2）当点为弦的中点时，求直线的方程； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的焦点求得，即得抛物线的方程； （2）设的方程为，与抛物线C联立方程组，利用根与系数的关系结合中点，求得，即可求解直线的方程． （3）由抛物线定义可知根据题意得到，结合根与系数的关系代入即可求解. 【小问1详解】 ∵抛物线的焦点为，∴，即. ∴抛物线的方程为. 【小问2详解】 设，显然直线斜率存在. 设的方程为， 联立方程，消去，整理得，， 因为点是的中点，由，解得. 所以直线AB的方程为．即． 【小问3详解】 由抛物线定义可知 所以， 由（2）知， ∴， 所以 所以当时，取得最小值为． 18. 在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，若，，，求： （1）异面直线与所成角的大小的余弦值； （2）直线与平面所成角的大小的正弦值； （3）二面角的大小的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量法求解. （2）求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解. （3）求出平面的法向量，利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 因此， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 由（1）得， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设与面所成角为，因此， 所以直线与平面所成角的大小的正弦值为. 【小问3详解】 设平面法向量为， 则，令，得， 因此， 由图知二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 19. 已知椭圆（）的一个焦点为，其短轴长为 （1）求椭圆E的方程； （2）过坐标原点O的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B. （i）当直线l的斜率为1时，求的周长； （ii）若直线，分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）（i）（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，即可得到椭圆的标准方程； （2）（i）联立直线与椭圆方程即可得到坐标，再结合椭圆性质即可得到三角形的周长；（ii）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，然后分别联立直线，与椭圆方程，表示出的纵坐标，再由代入计算，即可得到的关系，即可得到结果. 【小问1详解】 由题知，，， ∴椭圆E的方程为； 【小问2详解】 （i）联立知 ∴， 设椭圆的左焦点为，由椭圆的性质可得， 所以， ∴周长为； （ii）设，， 当直线的斜率不为0时，设直线， 联立与得， ∴，， 设直线与联立得， 设，， 故， 又，所以， 同理， 由题知A、B关于原点对称，故， 所以， 所以， 即 整理得， 即， 又，所以整理并化简得：， 解得，故过， 当直线的斜率为0时，由题意知直线即是轴， 所以直线亦过， 综上所述，直线恒过. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $