江西省南昌市第二中学2025-2026学年高二上学期月考（二）数学试题

高二数学月考 一单选题： 1.如果AB<0,BC>0,那么直线Ax+By+C=0不经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.抛物线C:x2=7y的准线方程为() A.x=- B.y=- C.y= 28 D.x=-站 3.已知椭圆C的方程为x2+2y2=2,点P是椭圆上一点，点F是椭圆左焦点，则下列选 项正确的是() A.焦点在y轴上 B.长轴长为2 C.离心率e=月 D.IPFl最大值为V2+1 4若方程二-1表示双曲线，则实数m的取省范国是（） A.(-1,1) B.(-,-1)C.(1,+o)D.(-∞，-1)U(1,+∞) 5.盒子中有5个大小相同编号不同的小球，其中白球2个，黑球3个，从中随机取出2 个，则至少有1个黑球的取球种数是() A.9 B.8 C.7 D.6 6已知椭圆C兰+兰=1的右焦点为P,P为C上任意一点，点A(-,), 则IPAI+IPFI的 最大值为() A.4 B.5 C.6 D.号 7.若直线y=k(x-3)-1与曲线C:y=V2-x2有两个不同的公共点，则k的取值范围 是( ) A.(-1,月) B.(-1,力 c.（1,-9 D.1,-9 8.己知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点且PF1引<|PF2,PF的 垂直平分线经过点F2若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2则号-二取值范围为() A.(-2,+∞) B.（) c.(2-) D.(-1,+0) 二.多选题： 9.已知直线l1:3x+ay+1=0,2:(a+2)x+y+a=0,则() A.当a=V3时，直线l的倾斜角为60°B.当a=-时，lh12 C.若l1Il2,则a=-3 D.直线l2始终过定点(-1,2) 10.己知直线l:ax+by-2=0,圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,则结论正确的有() A.若b=a+1,则直线恒过定点(-2,2) B.若a2+b2=4,则直线l与圆C相切 C.若圆C关于直线l对称，则a2+b2=2 D.若直线与圆C相交于两点，则a2+b2>4 1.已知椭圆c:号+号=1的左、右焦点分别为R,,抛物线r以5为焦点，过F,的直线 交抛物线T于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，下列说法正确的是() A.若x1+x2=8,则|AB|=10 B.当BF2=4F2A时，直线的倾斜角为45 C.若M(4,2),P为抛物线T上一点，则PM+|PF2的最小值为V13 D.4AF2l+IBF2I的最小值为9 三.填空题： 12.直线l1:2x+y+2=0与直线l2:4x+2y-1=0之间的距离为 13.己知圆C:(x-1)2+y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,直 线l被圆C截得的弦长最短时，实数m的值为 14.。过双曲线E器-若-1Q>0,b>0)的右焦点P的直线分别在第一、第二象限交E的两 条渐近线于M,N两点，且OM1MN.若1OM+IMW川-IOW川=二a,则双曲线E的离心率为 四.解答题： 15.(1)求3Cg+3A品的值 (2)解关于n的不等式：C63<C62. 16.圆M与y轴相切，其圆心在x轴的负半轴上，且圆M被直线x-y=0截得弦长为2V2 (1)求圆M的标准方程； (2)若过点P(0,3)的直线1与圆M相切，求直线1的方程. 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PDI底面ABCD,底面ABCD为菱形， 且AB=2,∠DAB=60°，点M为棱DP的中点 M (I)在棱BC上是否存在一点N,使得CMI平面ANW?如果存在，确定点N的位置，如果不 存在，请并说明理由： (②)若二面角B-CM一D的余弦值为时，求棱DP的长度， 18已知椭圆c:若+=1(a>b>0)过点(，-V),离心率为得 (1)求椭圆C的方程 (2)过点Q(2,0)的直线l(与x轴不重合)交椭圆C于M,N两点. (①)若MM=5,求的方程： (ii)已知A,B分别是C的左、右J顶点，直线AM,BN分别交直线x=4于D,E两点， 证明：△AQD与△BQE的面积之比为定值. 19.已知双曲线若-片=1a>0,b>0)的左、右顶点分别为A,B,左、右焦点分别为 F,F,且焦点到渐近线的距离为2V3.点P是双曲线上不同于A,B的任意一点，过点F 作LFPF2的平分线的垂线（垂足为M0交直线PF2于点Q,IFF2l=4OM(O为坐标原 点).过右焦点F2的直线交双曲线的右支于C,D两点，记△CFF2,△DFF2的内切圆的 圆心分别为01,02 (1)求双曲线的标准方程，并求出直线CD的倾斜角8的取值范围. (2)求01,02到右顶点B的距离之差的取值范围， 高二数学月考 1.如果AB<0,BC>0,那么直线Ax+By+C=0不经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【详解】因为AB<0,故B≠0，故直线的斜截式方程为：y=一合x-台 因为AB<0,BC>0,放-合>0，-台<0，故直线经过第一象限第三象限.第四象限， B 故选：B 2.抛物线C:x2=7y的准线方程为() A.x=-7 B.y=子C.y=-a D.X= 【答案】B 【详解】由抛物线C:x2=7y可得准线方程为：y=一子 故选：B 3.己知椭圆C的方程为x2+2y2=2,点P是椭圆上一点，点F1是椭圆左焦点，则下列选 项正确的是() A.焦点在y轴上 B.长轴长为2 C.离心率e=2 1 D.IPF1最大值为2+1 【答案】D 【详解】由椭圆标准方程为号+y2=1,则a=V2,b=1,c=1, 所以焦点在x轴上，长轴长为2V2。离心率为后=号，且PR引最大值为a+c=V2+1 故选：D 4.若方程 y2 =1表示双曲线，则实数m的取值范围是() m+1 m-1 A.(-1,1) B.(-∞，-1)C.(1,+∞)D.(-0,-1)U(1,+o) 【答案】D 【详解】方程兰-兰=1表示双曲线(m+1)(m-1)>0,解得m<-1或m>1. tm+1-m-1 ∴m的取值范围是(-∞，-1)U(1,+o). 故选：D 5.盒子中有5个大小相同编号不同的小球，其中白球2个，黑球3个，从中随机取出2 个，则至少有1个黑球的取球种数是() A.9 B.8 C.7 D.6 【答案】A 【详解】总的取法数减去没有黑球的取法数，即C-C子=10-1=9种， 所以至少有1个黑球的取球种数是9种 故选：A 6.己知椭圆C若+苦=1的右焦点为F,P为C上任意一点，点A(-,): 则IPA+IPF的 3 最大值为() A.4 B.5 C.6 D.号 【答案】B 【详解】由题意，椭圆C的左焦点为F(-1,0),由椭圆定义可得PF引+1PF=4, 4 所以PF=4-PF,因为产+三<1，故A()在椭圆内， 所以IPA+IPF=IPA+4-IPF1l≤IAFl+4= (-+1)+(+4=5. 当F在线段AP上时，等号成立. 故选：B. 7.若直线y=k(x-3)-1与曲线C:y=V2-x2有两个不同的公共点，则k的取值范围 是( A.(-1,月) B.(-1, D.(1,-49 【答案】C 【详解】由y=V2-x2得x2+y2=2(y≥0)，所以曲线是以原点为圆心，√2为半径的圆 的x轴的上半部分（含x轴），直线y=k(x-3)-1过定点P(3,-1), 当直线y=k(x-3)-1与圆x2+y2=2(y≥0)相切时， 圆心到直线的距离d=0--3-=V2,解得k=-1或k=号（舍去）， √1+kz 当直线y=k(x-3)-1过点A(2,0)时，直线斜率为k=--=-2+3, √2-3 结合图形可得实数k的取值范围是(-1，-3+图 7 故选：C 8.己知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点且PF引<|PF2引，PF的 垂直平分线经过点F2,若椭圆的离心率为1，双曲线的离心率为2则哈-子取值范国为() A.(-2,+∞) B.（) c.(-2-引 D.(-1,+o) 【答案】B 【详解】不妨设设双曲线的实轴为x轴，中心为原点， 根据题意，可得椭圆和双曲线在同一直角坐标系中的大致位置，如图. VA 因为PF1的垂直平分线经过点F2,所以PF2引=|F1F2引=2c,记椭圆长半轴长为a1, 双曲线实半轴长为a2,由椭圆的定义得1PF1l+|PF2l=2a1,所以PFl=2a1-2c; 由双曲线的定义得|PF2l-1PFl=2a2,所以川PF|=2c-2a2.所以2a1-2c=2c-2a2, 所以2a,=4-2a,所以号云岳婴=总20=云+2-4-号+号4 所以号-号=(e+)4,IPrl<IPF2,所以2a-2c<2c,a1<2c,e∈(G,1) 由函数)=x+在（传，）单调递减，可得e+号∈(5，)所以(%+)-4(-) 所以鸣-品=兰+子-4() 故选：B. 二.多选题： 9.己知直线l1:3x+ay+1=0,l2:(a+2)x+y+a=0,则() A.当a=V3时，直线l1的倾斜角为60°B.当a=-时，112 C.若l1‖l2,则a=-3 D.直线2始终过定点(-1,2) 【答案】BCD 【详解】对于A,当a=√3时，直线l1:3x+V3y+1=0,故斜率k=-V3,则倾斜角为 120,A错误，对于B,412等价于3(a+2)+a=0,解得a=-,故B正确， 对于C,若l1ll2,3=a(a+2)且3a≠a+2,故a=-3,故C正确， 对于D,2:(a+2)x+y+Q=0变形为l2:(x+1)a+2x+y=0,令x+1=0且2x+ y=0,解得x=-1,y=2,故恒过(-1,2)，D正确， 故选：BCD 10.己知直线l:ax+by-2=0,圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,则结论正确的有() A.若b=a+1,则直线恒过定点(-2,2) B.若a2+b2=4,则直线l与圆C相切 C.若圆C关于直线对称，则a2+b2=2 D.若直线l与圆C相交于两点，则a2+b2>4 【答案】ABC 【详解】对于A中，若b=a+1,代入直线l方程可得ax+(a+1)y-2=0, 即ax1)+0-2)=0,此？0解得x=-2y=2,所以自线过点(2， 所以A正确： 对于B中，由圆C:(x-a)2+y-b)2=1,可得圆心C(a,b),半径为r=1, 则圆心c到直线l的距离为d=l2+w2-2, a2+b2 当a2+b2=4时，可得d=4-2-1=T,所以直线1与圆c相切，所以B正确： 对于C中，若圆C关于直线对称，可得直线经过圆心C(a,b) 将圆心C(a,b)代入直线的方程，可得a2+b2-2=0,即a2+b2=2,所以C正确： 对于D中，若直线与圆c相交于两点，则满足d=+2-2<1, Va2+b2 解得1<a2+b2<4,所以D错误. 故选：ABC. 1山.已知椭圆C苦+苦=1的左、右焦点分别为瓜，F2,抛物线r以为焦点，过r的直线L 3 交抛物线T于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，下列说法正确的是() A.若x1+X2=8,则|AB|=10 B.当BF=4F2A时，直线的倾斜角为45° C.若M(4,2),P为抛物线T上一点，则PM+IPF2的最小值为V13 D.4纠AF2l+|BF2的最小值为9 【答案】AD 【详解】A选项，由题意得F2(1,0),故抛物线方程为y2=4x, 由抛物线定义得|AB1=x1+x2+2=8+2=10,A正确： B选项，由于直线的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去， 设直线AB:x=my+1,联立y2=4x,得y2-4y-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y2=-4y1由韦达定理得y1+y2=4m,y1y2=-4,故-3y1=4m,-4y?=-4, 解得y1=士1，m=-y1=土子故直线的斜率为±，倾斜角不为45°，B错误： C选项，由题意得，准线方程为x=-1,过点P作PG1x=-1于点G, 由抛物线定义得IPM|=IPG,故1PM川+IPF2I=IPG+IPF2, 要想求得|PM+IPF2I的最小值，则过点M作MQ1x=-1于点Q, 故PM+IPF2I的最小值为MQl,最小值为4+1=5，C错误： D选项，由题意得1AF2=名+1，BF2=x2+1,由于2=-4，故x12-=1, 16 4纠AF2l+BF2l=4x1+4+x2+1=4x1+x2+5,因为x1,x2>0,由基本不等式得 4AF2l+BF2|=4x1+x2+5≥2√4x1x2+5=9,当且仅当4x1=x2时，等号成立， 故4纠AF2I+|BF2的最小值为9，D正确. 故选：AD 三.填空题： 12.直线l1:2x+y+2=0与直线l2:4x+2y-1=0之间的距离为 【答案】号 【详解】直线l1:2x+y+2=0化为：l1:4x+2y+4=0,所以直线l1:4x+2y+4=0与 直线2：4+2)-1=0之间的距离为d===号 √42+22 13.已知圆C:(x-1)2+y-2)2=25,直线：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,直线 l被圆c截得的弦长最短时，实数m的值为 【答案】- 【详解】直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0可化为m(2x+y-7)+x+y-4= 0,y-4-0n形=子教直线过定点B8-1P+1-2=5<25 P(3,1)在圆C:(x-1)2+y-2)2=25内，故当直线被圆C截得的弦长最短时，PC1l, 又C,2,kpc·k-(←钓=-1，解得m=-至 14.过双曲线E:兰-=1a>0,b>0)的右焦点F的直线分别在第一、第二象限交E的两 条渐近线于M,N两点，且0M1MN若1OM+MN-ION=子Q,则双曲线E的离心率为_ 【答案】√5 【详解】由题意可知该双曲线的渐近线方程为y=±x,如图所示：令LMOF=日， 于是有tan0=:,由双曲线和两条浙近线的对称性可得：∠MON=-28, 因为0M1MN,所以0<∠MoN<→0<m-20<→<6<即tan0=:>1÷ b>,在直角三角形M0F中，tan9==色且lMF2+1OMP=1OFP=c2 IOMI OMI a 即川MF列=b,IOM=a,在直角三角形MON中， 2 tan/MON tan(nt-20)=-tan20=- 2ab 1、b2 b2-a2 =M=lWM今wMl=2ab lOMI b2-a21 2 由勾股定理可知：1ON|=V1NM2+1OM2= (2a2b12 +a2= ac2 N\b2-02 b2-a2 因10M1+lM-1oN-号a,所以a+a器-二-号a→b2-a2+6b-3c2=0→ ac2