广东广州市第六中学2027届高三上学期9月小题限时训练数学试题

**基本信息** 广州六中2027届高三数学九月限时训练（50分钟/78分），聚焦复数、数列、函数等高频考点，通过基础辨析、综合应用与创新情境设计，分层考查数学抽象、逻辑推理与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数几何意义、等差性质、函数奇偶性与单调性|基础概念辨析，如第3题结合奇函数单调性判断充要条件| |多选|3/18|复数性质、等差数列前n项和、导函数综合|综合应用能力，如第10题整合Sn与公差d的关系判断| |填空|3/15|数列求和、向量投影、差分数列新定义|新情境迁移，如第14题以差分数列性质求可能值| |附加题|1/5|数阵规律探究|创新思维，通过递推关系与对数运算分析数阵项|

广州六中2027届高三数学九月小题限时训练 2026.09.09 命题人：刘旭升 试卷共3页，满分78分，训练用时50分钟。 一、选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若（，，为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知数列为等差数列，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．3 3．已知奇函数在上单调递增，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 5．如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（     ） A． B． C． D． 6．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（   ） A．62 B．63 C．64 D．65 8．已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于，，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则是纯虚数 C． D． 10．设等差数列的前项的和为，公差为，已知，，，则（    ） A． B． C． D．时，的最小值为14 11．已知函数和它的导函数的定义域均为，满足，且是奇函数，，则下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则数列的前项和______． 13．已知向量与的夹角为，且，则在上的投影向量为______． 14．给定有穷数列，定义数列的绝对差分数列，，…，，其中．若数列是单调不减的，即，则称数列是数列．已知各项均为整数的数列，，…，满足，并且其差分数列是等差数列，若，，则的所有可能值为________． 15．【附加题】（第一空2分，第二空3分）已知一个数阵排列如下： 记第行第个数为，其排列规律为：第行的数列是在第行的每两个相邻的数之间插入这两个数的乘积构成的新数列.设第行有个数，，则______，______. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《广州六中2027届高三数学九月小题限时训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C D D D B A AC AC 题号 11 答案 BCD 1．D 【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求. 【详解】因为 ∴，解得 ∴复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题. 2．B 【分析】根据题意，利用等差数列的性质和对数的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】由等差数列的性质，可得，解得， 所以. 故选：B. 3．C 【分析】根据函数是奇函数的性质结合单调性，最后应用充分必要的定义判断即可. 【详解】当时，因为函数是奇函数,可得, 又因为在上单调递增，所以,即得； 当时，,因为在上单调递增，所以, 因为函数是奇函数,可得,所以； 则“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 4．D 【详解】已知，，整理，得， 则，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 5．D 【详解】由题知，， 又， 则， ， 所以. 6．D 【分析】结合函数性质可将转化为，由函数单调性计算即可得. 【详解】， 则， 由，故， 故， 又，随增大而增大， 故在上单调递减，又， 故可转化为， 则有，即，即，故. 故选：D. 7．B 【分析】由题意可知数列的相邻两项之差严格递增，要使得正整数最大，则需要让相邻两项差值尽可能小，即相邻两项差值构成公差为1的等差数列，由此得到构造的增长最缓慢的“速增数列”的递推关系，利用累加法可求得其通项公式，令，解出代入验证即可得出答案. 【详解】由题干条件，即， 也即数列的相邻两项之差严格递增，要使得正整数最大，则数列增长尽可能缓慢， 需要让相邻两项差值尽可能小，即相邻两项差值构成公差为1的等差数列， 因为，则， ，，所以， 采用累加法， 令，即，解得， 当时，，符合题意； 当时，，无法构造“速增数列”满足题意， 故选：B. 8．A 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解. 9．AC 【分析】由共轭复数概念、复数相等判断A；特殊值判断B；令且，且，利用复数乘法、模的概率判断C、D； 【详解】A：，则的虚部为0，故，正确； B：当时，成立，而不是纯虚数，错误； C：令且，则，则，正确； D：令且，且，则可能为虚数，而为实数，错误. 故选：AC 10．AC 【分析】根据题意，由等差数列的性质以及等差数列前n项和公式依次分析选项，结合基本量的运算即可得到答案. 【详解】由题意，，而，可以判断是递减数列，所以，C正确， 而，D错误； 又，所以，B错误； 而，A正确. 故选：AC 11．BCD 【分析】由奇函数的性质及恒等关系，令得对任意恒成立，结合已知判断A，令，研究函数的性质得到恒成立，进而依次判断B、C、D即可. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以， 在中，令，得， 即，得对任意恒成立， 因为，说明不恒为 0，所以必满足，得，A错误， 令，求导， 因为是奇函数（即），代入上式得， 因为恒成立，所以是一个常数函数， 因为，所以恒成立，即（为偶函数）， 在原方程中，令，则， 代入，及，得， 即，即恒成立， B：由上得，所以， 又，且函数连续，所以恒大于 0， 因此对所有成立，当然也成立，B正确， C：由，可知，即， 由于，所以， 因此恒成立，C正确， D：在原方程中，令，得， 把代入上式：， 作差， 因式分解得， 因为，所以且， 故恒成立， 即，所以，D正确. 12． 【详解】由，得，解得， 由等比数列求和公式得． 13． 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的定义及运算律，结合投影向量的定义求解. 【详解】由向量与的夹角为，且， 得， 则， 所以在上的投影向量为. 14．12或39 【分析】根据差分数列定义和数列的性质可得数列的公差为，且，结合累加法利用等差数列的性质计算可求得的所有可能值. 【详解】因为，所以其差分数列； 又因为数列的各项均为整数，所以数列的各项均为整数； 易知数列的公差为，且，易知, 累加可得； 当时，，即，所以；且； 因此当时，，此时, 因此； 当时，，此时, 因此； 综上可知，的所有可能值为12或39. 15． 【分析】由题意可得，构造等比数列可求得；由题意可得，进而可得，两边取对数，构造等比数列可求得. 【详解】由题意可得，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； 因为，所以， 根据插入的各项为， 所以， 又，所以， 所以， 两边取对数，所以， 所以， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $