第十二章三角形全等专题2026——2027学年八年级数学人教版上册

**基本信息** 以几何辅助线与模型为核心，系统提炼14类全等构造方法，覆盖角平分线、中点、三垂直等高频模型，形成“模型-方法-应用”递进逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角平分线与中点|2专题6考点|截长补短、倍长中线、作垂线|从基础对称构造到中点多策略应用| |三垂直与一线三等角|2专题6考点|内外三垂分类、动态分类讨论|从静态模型到动态综合应用| |手拉手与对角互补|2专题4考点|旋转全等、补形转化|从特殊到一般的全等迁移| |格点作图|1专题8考点|SSS构造、8字全等|模型在作图中的实践应用|

目录 专题 01几何辅助线与模型（1）———利用角平分线构造全等 2 专题02几何辅助线与模型（2）——角平分线与垂直得等腰 3 专题03几何辅助线与模型（3）——利用中点构造全等（1）——倍长中线 4 核心考点一将过中点的线段延长一倍构造全等 4 核心考点二有平行线时，将过中点的线段延长即可得“8”字型全等 4 核心考点三有多个过中点的线段时，将中点的线段选择一个延长 4 专题04几何辅助线与模型（4）——利用中点构造全等（2）——作垂线 5 专题05几何辅助线与模型(5)——三垂直 6 专题06几何辅助线与模型（6）—一线三等角 8 专题07几何辅助线与模型（7）——截长补短与夹半角 9 专题08几何辅助线与模型（8）——手拉手 10 专题09几何辅助线与模型（9）—等腰张等角 11 专题10几何辅助线与模型（10）——对角互补 12 专题11几何辅助线与模型（11）——婆罗摩笈多 13 专题12几何辅助线与模型（12）——一线两等角 14 专题13几何辅助线与模型（13）——内心与旁心 15 专题14无刻度直尺格点作图——利用全等处理 16 核心考点一做全等：利用SSS构造全等三角形 16 核心考点二作中线：构造8字型全等可得线段的中点 16 核心考点三作高：构造三垂直全等，作垂直且相等的线段，可得三角形一边上的高 16 核心考点四作45°:构造三垂直全等得等腰直角三角形后得45° 16 核心考点五作等角（1）：构造对称型全等得等角 17 名校考题实战演练——全等三角形 18 参考答案 20 数学八年级上册 全等三角形模型 第1页 学科网（北京）股份有限公司 专题 01几何辅助线与模型（1）———利用角平分线构造全等 核心考点一利用角平分线截长补短构造对称型全等 1.如图，已知AB∥CD,∠ABC、∠BCD的平分线恰好交于AD上一点E，求证：BC=AB+CD. 2.如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CD=AC. 核心考点二利用角平分线的性质定理，放垂构造对称型全等 3.如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于C，∠1+∠2=180°180°，求证：AO+BO=2CO. 核心考点三利用角平分线+垂直，延长垂线构造对称型全等 4.如图，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，∠1=∠2，CE垂直于BD的延长线于E，求证：BD=2CE. ( B ) 专题02几何辅助线与模型（2）——角平分线与垂直得等腰 方法：角平分线与垂线结合得等腰三角形 1.如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为5cm²，则△PBC的 面积为 C 2.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，△BCD的面积为10，△ACD的面积为6，则△ABD的面积是 3.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=点D在AC上，CE⊥BD于E，当BD平分∠ABC时。 （1）求∠ECD的度数；（2）求证：BD=2EC. 4.如图，△ABC中，∠C=90°=90°，CA点M在线段AB上，,BG⊥MG，垂足为 G,MG与BC相交于点H.若MH=8cm,则BG=cm. 5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，BE与CF交于点D.作MD⊥BE 交AB于点M,求证：DM=DE. ( C ) 数学八年级上册 全等三角形模型 第2页 学科网（北京）股份有限公司 专题03几何辅助线与模型（3）——利用中点构造全等（1）——倍长中线 核心考点一将过中点的线段延长一倍构造全等 1.如图，已知AM是△ABC的中线，且AB>AC,求证： 2.如图，AD为△ABC的中线，AB=6,AC=3,则AD的长可能是（） A.1 B.1.5 C.2.7 D.5 C 核心考点二有平行线时，将过中点的线段延长即可得“8”字型全等 3.如图，∠B=∠C=90°,M是BC的中点，且∠AMD=90°,DM平分∠ADC.求证：AD=DC+AB. 数学八年级上册 全等三角形模型 第3页 学科网（北京）股份有限公司 核心考点三有多个过中点的线段时，将中点的线段选择一个延长 4.如图，△ABC中，BD=DC,ED⊥DF,求证：BE+CF>EF. 5.如 图，D是△ABC 的 边 BC 上的一点，且CD= AB, ∠ADB =∠BAD，AE=AC=2AE. 是△ABD的中线。求证： 专题04几何辅助线与模型（4）——利用中点构造全等（2）——作垂线 方法：过线段的两端点向过中点的线段作垂线构造全等三角形 1.如图，D为CE的中点，F为AD上一点，且EF=AC,求证：∠DFE=∠DAC. 2.如图，∠ACB=90°,AC=BC,E点在BC上，AF⊥AE且AF=AE,连接BF交AC于点M.求证：点M为BF的中点。 B 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°90°，将Rt△ABC绕C点顺时针旋转一个角度得到Rt△CDE，直线BD交AE于点M，求证：M为AE的中点。 4.如图，△ABC中，∠C=90°,BE⊥AB且BE=AB,BD⊥BC且BD=BC,B的延长线交DE于F. （1）求证：点F是ED的中点；（2）求证：S△ABC=2S△BEF. 数学八年级上册 全等三角形模型 第4页 学科网（北京）股份有限公司 专题05几何辅助线与模型(5)——三垂直 核心考点一外三垂构造全等 1.如图，AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,按照图中所标注的数据，图中实线所围成的 阴影部分面积是 核心考点二内三垂构造全等 2.如图，△ABC中，AH⊥BC于点H,AH=BH,CH=2,S△AHc=6,过点C作CD⊥CA且CD=CA,DE⊥BC于点E,则EH=· 3.如图，四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=90°,AB=AD,BC=2,AC=6,则四边形ABCD的面积为 核心考点三分类讨论 4.过等腰Rt△ABC的直角顶点C作直线1，过A,B分别作AD⊥1于D,BE⊥1于E,已知AD=5,BE=3,则DE的长为· 核心考点四内三垂或者构造手拉手 5.如图，已知点D是△ABC的边BC上一动点，且AB=AC,DA=DE,∠BAC=∠ADE=90°,求 ∠BCE的度数。 数学八年级上册 全等三角形模型 第5页 学科网（北京）股份有限公司 核心考点五内三垂综合题 6.如图1，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°,点P在线段BC上（不与B,C重合），以AP为腰长作 等腰Rt△PAQ,QE⊥AB于E. （1）求证：△PAB≌△AQE; （2）如图2，连接CQ交AB于M,若PC=2PB,求的值. C 图1图2 核心考点六内、外三垂综合题 7.等腰Rt△ACB,∠ACB=90°,AC=BC,点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上。 (1）如图1，求证：∠BCO=∠CAO; （2）如图2，若OA=5,OC=2,求B点的坐标； （3）如图3，点C(0,3),Q,A两点均在x轴上，且S△CQA=18，分别以AC,CQ为腰在第一，第二象限作等腰Rt△CAN,等腰Rt△QCM,连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生 改变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围。 数学八年级上册 全等三角形模型 第6页 学科网（北京）股份有限公司 图1 图2 图3 专题06几何辅助线与模型（6）—一线三等角 核心考点一外三等角 1.如图，D,A,E三点在一条直线上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC,AB=AC,求证：DE=CE+BD. 核心考点二内三等角 2.如图，AB=BC,N是BM上一点，∠ABC=∠ANM,且∠M+∠ANM=180°,求证：MN+MC=AN. 核心考点三内、外三等角综合与进阶 3.如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB,E,F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α. （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E,F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图1，若∠BCA=∠α=90°,则BE CF ， EF BE - AF（填“=”或“≠”）; ②如图2，若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立。 （2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠a=∠BCA，直接写出EF、BE、AF之间的数量关系。 数学八年级上册 全等三角形模型 第7页 学科网（北京）股份有限公司 系. 图1 图2 图3 专题07几何辅助线与模型（7）——截长补短与夹半角 1.如图，已知AB=AC,∠BAC=90°,∠MAN=45°,过点C作NC⊥AC交AN于点N,过点B作BM⊥AB 交AM于点M，连接MN，当∠MAN在∠BAC内部时，求证：BM+CN=MN. 2.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°,∠D=60°,AB=BC,E,F分别在AD,CDCD上，且∠EBF=60°, 求证：EF=AE+CF. 数学八年级上册 全等三角形模型 第8页 学科网（北京）股份有限公司 3.如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°, 五边形ABCDE的面积为· 4.如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D = 90°, E, F AB=AE,且CD=3,AE=4,则五 分别是边BC,CD上的点，且 (1）求证：EF=BE+FD; （2）如图2，四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°180°,分别是边BC,CD上的点，且 ,(1）中的结论是否仍然成立？ 图1 图2 专题08几何辅助线与模型（8）——手拉手 1.如图，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°=90°,在同一条直线上。 求证：（1)BD=CE;(2)BD⊥CE. ( D ) 2.如图，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,AD,BE交于点H，连CH。 （1）求证：△ACD≌△BCE;(2)求证：CH平分∠AHE; （3）求∠CHE的度数（用含α的式子表示）。 3.如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=a,直线BD,CE交于点F， 连接AF. (1）求证：BD=CE; （2）求∠BFC; （3）求证：AF平分∠BFE; （4）求证： 数学八年级上册 全等三角形模型 第9页 学科网（北京）股份有限公司 专题09几何辅助线与模型（9）—等腰张等角 1.如图，在△ABC中，AB=AC，过点B的射线与过点C的射线CF交于点D，且∠ABD=∠ACF， 过点A作AM⊥BD于点M.求证：BM=DM+DC. 2.如图，△DBC中，DB=DC,A为△DBC外一点，且∠BAC=∠BDC,DM⊥AC于M，求 的值。 ( C ) 3.如图，∠ACB=90°,CA=CB,D为BC上一点，BM⊥AD于M,CN⊥AD于N，求证：BM+CN=AN. ( B ) 4.如图，已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB=AC=AD=6,BC=9,DE=DF,∠BAC=∠EDF,点E在AB上，BE=2，点F在射线AC上，则AF长为 ( F ) 数学八年级上册 全等三角形模型 第10页 学科网（北京）股份有限公司 专题10几何辅助线与模型（10）——对角互补 1.如图，在四边形ABCD中，CE⊥AB，已知CB=CD,AC平分∠BAD.求证（1)∠B+∠ADC=180°;(2)AD+AB=2AE. 2.如图，四边形ABCD中，CA平分∠BAD,CB=CD,CF⊥AD于F。 ((1）求证：∠ABC+∠ADC=180°; (2)若AF=5,DF=2,求AB的长。 3.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°,AB=AD,若这个四边形面积为49，则BC+CD= 4.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α,∠BCD=180°-a,BD平分∠ABC。 （1）如图1，若α=90°,根据教材中一个重要性质直接可得DA=CD,这个性质是。 （2）问题解决：如图2，求证：AD=CD. 数学八年级上册 全等三角形模型 第11页 学科网（北京）股份有限公司 图1 ( C ) 图2 专题11几何辅助线与模型（11）——婆罗摩笈多 1.如图，已知等腰△ABC和等腰△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°,求证：S△ACD=S△ABE。 2.如图，AB⊥AE,AB=AE,AC⊥AD,AC=AD,DE交CA的延长线于点M,M是DE的中点。 ((1）求证：AC⊥BC; （2）若BC=6,求AM的长。 3.如图，AB⊥AE,AB=AE,AC⊥AD,AC=AD,AH⊥DE于点H,延长AH交BC于点M. 求证：（1)M是BC的中点；(2)DE=2AM. 4.如图，在△ABC中，AE,CD为△ABC的角平分线，AE,CD交于点F,∠B=90°,求证：S△ACF=S△AFD+S△CEF+S△DEF. C 数学八年级上册 全等三角形模型 第12页 学科网（北京）股份有限公司 专题12几何辅助线与模型（12）——一线两等角 方法：一线两角等，直接给出两边相等时，可构造一线三等角型全等；没有直接给出两边相等时，可截长得等腰三角形构造补角型全等，也可构造手拉手型全等 1.已知四边形ABCD中，AD//BC,AB=AD,∠ABC=2∠C=2α,点E在AD上，点F在DC上. (1）如图1，若α=45°,∠BDC的度数为; (2）如图2，当α=45°,∠BEF=90°时，求证：EB=EF; （3）如图3，若α=30°，则当∠BEF=时，使得EB=EF成立？（请直接写出结果） 数学八年级上册 全等三角形模型 第13页 学科网（北京）股份有限公司 ( C ) 图1 图2 图3 2.如图，已知AC=BC,点D是BC上一点，∠ADE=∠C. (1）如图1，若∠C=90°,∠DBE=135°,求证：①∠EDB=∠CAD;②DA=DE; (2）如图2，若∠C=40°,DA=DE,求∠DBE的度数； （3）如图3，请直接写出∠DBE与∠C之间满足什么数量关系时，总有DA=DE成立。 图1 图2 图3 专题13几何辅助线与模型（13）——内心与旁心 1.如图，在△ABC中，∠C=90°,点O是∠CAB,∠ABC平分线的交点，且BC=8cm,AC=6cm,AB=10cm,则点O到边AB的距离为cm. 2.如图，BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的平分线，若∠CEB=46°,则∠BAE=o. 3.如图，已知在△ABC中，AB=AC,∠ACB和∠BAC的平分线交于点O,过点A作AD⊥AO交CO的延长线于点D,若∠ACD=α,则∠BDC度数为（) A.45°-α C.90-2α 4.三条笔直的公路两两相交，若要建一座仓库，使它到三条公路的距离相等，则可供选择的点有 5.如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC,∠ACD=136°,∠BCD=44°,则∠ADB的度数 为°. 数学八年级上册 全等三角形模型 第14页 学科网（北京）股份有限公司 专题14无刻度直尺格点作图——利用全等处理 核心考点一做全等：利用SSS构造全等三角形 1.如图，△ABC的三个顶点A,B,C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示。在图中取格点P,使得△BPC≌△CAB(P不 与A重合）. 核心考点二作中线：构造8字型全等可得线段的中点 2.如图，△ABC的三个顶点A,B,C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画 图。在图中画△ABC的中线BE. 核心考点三作高：构造三垂直全等，作垂直且相等的线段，可得三角形一边上的高 3.如图，△ABC的三个顶点A,B,C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图.在图中AB,AC上分别取一点M,N,使CM,BN是△ABC的高。 核心考点四作45°:构造三垂直全等得等腰直角三角形后得45° 4.如图，△ABC的三个顶点A,B,C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画 图.在图中AC上取一点K,使得∠ABK=45°. 数学八年级上册 全等三角形模型 第15页 学科网（北京）股份有限公司 数学八年级上册 全等三角形模型 核心考点五作等角（1）：构造对称型全等得等角 6.如图，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图。在图中画出△ABC的高AF,中线CE；在△ABC的高AF上画点P,连接BP,EP,使∠APE=∠BPF。 核心考点六作等角（2）：利用三角形内角和得等角 7.如图，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图。在图中AC上取一点G，使得∠AGB=∠ABC。 核心考点七作角平分线：分割外角作三角形的外角平分线 8.用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹：如图，AD是∠BAC的角平分线，作△ABC的∠BCA相 邻的外角的角平分线。 核心考点八综合题 9.如图，在7×7的正方形网格中，点A,B,C都在格点上，点D是AB与网格线的交点，且AB=5,仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示。 (1）作AB边上高CE; （2）画出点D关于AC的对称点F; （3）在AB上画点M,使BM=BC; (4）在△ABC内画点P,使S△ABP=S△ACP=S△BCP. 第16页 学科网（北京）股份有限公司 名校考题实战演练——全等三角形 1.如图，已知△ABC≌△ADE，∠DEB=20°，则∠AED的度数为（)A.60°B.70°C.80°90° 2.下列条件中一定能判定△ABC≌△DEF的是() A.∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠FB.∠A=∠D,AB=DE,BC=EF C.AB=FE,∠A=∠E，∠B=∠FD.AB=DE,AC=DF,BC=EF 3.如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC,木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD。这个实验说明（） A.三角形具有稳定性B.面积相等的两个三角形不一定全等 C.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 C 第1题图 第3题图 第5题图 第6题图 4.根据下列已知条件，能画出唯一△ABC的是() A.AB=3,BC=4,CA=8B.AB=4,BC=3,∠A=30° C.∠A=60°,∠B=45°,AB=4D.∠C=90°，AB=6 5.如图，已知AB=AC,∠BAO=∠CAO,则图中有（）对全等三角形。 A.1B.2C.3D.4 6.在如图所示的6×6网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（） A.3个B.4个C.6个D.7个 7.如图，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm,则CF=cm。 ( F ) ( B ) 第7题图第8题图第9题图第10题图 8.如图，点B,C,D共线，AC=BE,AC⊥BE,∠ABC=∠D=90°，AB=12,DE=5,则CD=· 9.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2， ∠GEF=90°，则GF的长为· 10.如图，在△ABD中，∠BAD=80°，C为BD延长线上一点，∠BAC=130°，△ABD的角平分线BE与AC交于点E，连接DE，则∠DEB= 数学八年级上册 全等三角形模型 第17页 学科网（北京）股份有限公司 数学八年级上册 全等三角形模型 第17页 学科网（北京）股份有限公司 11.如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D 若AE=4，BF=9，求EF的长。 为AB边上的一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F， 12.如图，AC//BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上，求证：AB=AC+BD。 ( D ) 13.如图，CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,AB (1）求证：AB=DE； (2)连MC，求证：MC平分∠BMD。 与DE交于点M. 14.如图，已知A(-2,0)。 （1）如图1，以A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若B(0,-4),求C点坐标； (2)如图2，P为y轴负半轴上一动点，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点。当P点沿y轴负半轴向下运动时，试问OP-DE的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由。 参考答案 专题01几何辅助线与模型（1）——利用角平分线构造全等 核心考点一利用角平分线截长补短构造对称型全等 1.如图，已知AB//CD，∠ABC、∠BCD的平分线恰好交于AD上一点E，求证：BC=AB+CD。 证明：在BC上取一点F，使BF=AB。 证△EAB≌△EFB，再证∠EFC=∠D。 ∴△EFC≌△EDC,∴CF=CD,∴BC=AB+CD. 2.如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CD=AC。 证明：在AC上取一点M，作AM=AE，连接OM。 易证△EAO≌△MAO，再证∠AOC=120°，∴∠AOE=∠COD=60°， ∴∠MOC=∠COD=60°，∴△CMO≌△CDO，∴CD=CM。 又AE=AM,∴AE+CD=AC. 核心考点二利用角平分线的性质定理，放垂构造对称型全等 3.如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于C，∠1+∠2=180°，求证：AO+BO=2CO。 证明：作DE⊥OB于E，由AAS得△OCD≌△OED，OC=OE，CD=ED。 再由AAS得△ACD≌△BED，得AC=BE。 ∴AO+BO=OC+AC+BO=OC+BE+BO=OC+OE=2CO. 核心考点三利用角平分线+垂直，延长垂线构造对称型全等 4.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE垂直BD的延长线于E，求证：BD=2CE。 证明：分别延长BA、CE交于F，∵BE⊥CE，∴∠BEF=∠BEC=90°， ∵易证△BEF≌△BEC。 专题02几何辅助线与模型（2）——角平分线与垂直得等腰 方法：角平分线与垂线结合得等腰三角形 1.如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为5cm²，则△PBC的面积为2.5cm²。 2.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，△BCD的面积为10，△ACD的面积为6， 则△ABD的面积是16 3.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在AC上，CE⊥BD于E，当BD平分∠ABC时。 （1）求∠ECD的度数；（2）求证：BD=2EC。 解：（1)∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠CBA=45°。 ∵BD平分∠ABC,∴∠DBA=22.5°. ∵CE⊥BD,∴∠ECD+∠CDE=90°,∠DBA+∠BDA=90°. ∵∠CDE=∠BDA,∴∠ECD=∠DBA=22.5°. （2）延长CE交BA的延长线于点G。 ∵BD平分∠ABC,CE⊥BD,∴CE=GE. 易证△ABD≌△ACG(ASA)，∴BD=CG=2CE。 4.如图，△ABC中，∠C=90°,CA=CB,点M在线段AB上，BG⊥MG,垂足为G,MG与BC相交于点H.若MH=8cm,则BG=4cm. 解：延长BG至E使得GE=BG,连接ME交BC于N, 易求∠BMG=∠GMN=∠EBC=22.5°，易证△EBN≌△HMN(ASA), 则BE=MH=2BG=8,∴BG=4. 5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°,BE平分∠ABC,CF平分∠ACB,BE与CF交于点D.作MD⊥BE 交AB于点M,求证：DM=DE. 解：延长MD交BC于点N,∵BE平分∠ABC,MD⊥BE,∴MD=ND, ∴∠CDE=45°,∴∠CDN=90°-45°=45°=∠CDE. ∵CF平分∠ACB,∴∠DCE=∠DCN. 又CD=CD,∴△CDE≌△CDN,∴DE=DN,∴MD=ED. ( 第十二章 ) 第40页 学科网（北京）股份有限公司 专题03几何辅助线与模型（3）——利用中点构造全等（1）——倍长 核心考点一将过中点的线段延长一倍构造全等 1.如图，已知AM是△ABC的中线，且AB>AC,求证： 证明：延长AM并在AM延长线上截取MP=AM,连接BP.证明△ACM≌△PBM,∴AC=PB. 2.如图，AD为△ABC的中线，AB=6,AC=3,则AD的长可能是(C) A.1B.1.5 C.2.7D.5 解：延长AD至点T,使DT=AD,连CT,证△ADB≌△TDC, ∴CT=AB,AB-AC<2AD<AB+AC,1.5<AD<4.5. 核心考点二有平行线时，将过中点的线段延长即得8字型全等 3.如图，∠B=∠C=90°,M是BC的中点，且∠AMD=90°,DM平分∠ADC.求证：AD=DC+AB. 证明：延长DM交AB的延长线于点T, 证△DMC≌△TMB,∴DC=TB, 证△AMD≌△AMT,∴AT=AD=AB+BT=AB+CD. 核心考点三有多个过中点的线段时，将中点的线段选择一个延长 4.如图，△ABC中，BD=DC,ED⊥DF,求证：BE+CF>EF. 证明：延长FD到G,使DG=DF,连接BG,连接EG, ∵∠BDG=∠CDF,BD=DC,∴△BDG≌△CDF,∴BG=CF, ∵ED⊥DF,DG=DF,∴EG=EF, ∵在△EBG中，BE+BG>EG,∴BE+CF>EF. 5.如图，D是△ABC的边BC上的一点，且CD=AB,∠ADB=∠BAD,AE是△ABD的中线。求证： AC=2AE. 证明：延长AE到点F,使EF=AE,连接DF, 易证△ABE≌△FDE,∴∠B=∠EDF, ∵∠ADF=∠ADB+∠EDF,∵∠ADC=∠BAD+∠B,∵∠ADB=∠BAD, ∴∠ADF=∠ADC,∴AB=DF,AB=CD,∴DF=DC. 易证△ADF≌△ADC,∴AF=AC. ∵AF=2AE,∴AC=2AE. 数学八年级上册、 第41页 学科网（北京）股份有限公司 专题04几何辅助线与模型（4）——利用中点构造全等（2）——作垂 方法：过线段的两端点向过中点的线段作垂线构造全等三角形 1.如图，D为CE的中点，F为AD上一点，且EF=AC,求证：∠DFE=∠DAC. 证明：过C作CM⊥AD于M,过E作EN⊥AD于N, ∴△DEN≌△DCM,△ACM≌△FEN. 2.如图，∠ACB=90°,AC=BC,E点在BC上，AF⊥AE且AF=AE,连接BF交AC于点M. 求证：点M为BF的中点。 证明：过点F作FD⊥AC于点D, 由一线三垂直模型易证：△ADF≌△ECA,∴FD=AC=BC, 易证：△FDM≌△BCM,∴MF=BF,∴M为BF中点。 3.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°,将Rt△ABC绕C点顺时针旋转一个角度得到Rt△CDE,直线 BD交AE于点M,求证：M为AE的中点。 证明：作AH⊥BM于H,EG⊥BM于G, 设∠GDE=x,则∠CDB=∠CBD=90°-x,∴∠ABH=x=∠EDG, 则△ABH≌△EDG,△AMH≌△EMG,∴AM=EM; 4.如图，△ABC中，∠C=90°,BE⊥AB且BE=AB,BD⊥BC且BD=BC,CB的延长线交DE于F. （1）求证：点F是ED的中点；（2）求证：S△ABC=2S△BEF. 证明：（1）作EM⊥CF于M,先证△EMB≌△BCA,EM=BC=BD, 再证△EMF≌△DBF. (2）证S△ABC=S△BEM=S△BED=2S△BEF. ( 第十二章 ) 第42页 学科网（北京）股份有限公司 数学八年级上册 专题05几何辅助线与模型（5）——三垂直 核心考点一外三垂构造全等 1.如图，AE⊥AB，且AE=AB；BC⊥CD且BC=CD,按照图中所标注的数据，图中实线所围成的 阴影部分面积是50 解：由三垂直模型易证：△AEF≌△BAG(AAS), △BCG≌△CDH(AAS)，∴AF=BG=CH=3,EF=AG=8,GC=DH=2, 核心考点二内三垂构造全等 2.如图，△ABC中，AH⊥BC于点H，AH=BH，CH=2，S△AHC=6，过点 C作CD⊥CA且CD=CA，DE⊥BC于点E，则EH=4解：△DEC≌△CHA,AH=CE=6,∴EH=6-2=4. 3.如图，四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=90°，AB=AD，BC=2，AC=6，则四边形ABCD的面积= 24· 解：作DE⊥AC于E,则△ACB≌△DEA,∴DE=AC=6, 第43页 学科网（北京）股份有限公司 核心考点三分类讨论 4.过等腰Rt△ABC的直角顶点C作直线l，过A、BBE=3，则DE的长为2或8。 解：如图1,△CEB≌△ADC, ∴AD=CE=5,CD=BE=3,∴DE=8. 如图2,△CEB≌△ADC, ∴CE=AD=5,DC=BE=3,∴DE=5-3=2. 分别作AD⊥l于D，BE⊥l 图1 于E,已知AD=5， 图2 核心考点四内三垂或者构造手拉手 5.如图，已知点D是△ABC的边BC上一动点，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=90°，求 ∠BCE的度数。 解：作DF⊥BC交CA延长线于F点。∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ACB=∠B=∠F=45°，∴DF=DC，可证△DAF≌△DEC(SAS)， ∴∠DCE=∠F=45°，即∠BCE=45°。 核心考点五内三垂综合题 6.如图1，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，点P在线段BC上（不与B、C重合），以AP为腰长作 等腰Rt△PAQ,QE⊥AB于E. （1）求证：△PAB≌△AQE； （2）如图2，连接CQ交AB于M，若PC=2PB，求的值。 ( 图2 )图1 (1）证明：∵∠AQE+∠QAE=∠QAE+∠BAP=90°，∴∠AQE=∠BAP，易证△ (2）解：∵△AQE≌△PAB，∴QE=AB=BC，AE=BP， ∵QE⊥AB,AB⊥BC,∴QE//BC,∴∠EQM=∠BCM,易证△QEM≌△CBM(AAS), ∴EM=BM,∵AB=BC,AE=BP,∴PC=BE=2MB,即 核心考点六内、外三垂综合题 7.等腰Rt△ACB，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上。 (1）如图1，求证：∠BCO=∠CAO； （2）如图2，若OA=5，OC=2，求B点的坐标； （3）如图3，点C(0,3)，Q、A两点均在x轴上，且S△CQa=18，分别以AC、CQ为腰在第一、 第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生 改变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围。 ( 第十二章 ) 第44页 学科网（北京）股份有限公司 图1 图2 图3 (1）证明：∠BCO+∠ACO=90°,∠CAO+∠ACO=90°,∴∠BCO=∠CAO. （2）解：三垂直模型，B(-2,-3). （3）解： 三垂直全等△MRC≌△COQ,∴MR=OC,△NSC≌△COA,∴SN=OC,∴MR=NS. 证△NSP≌△MRP,∴设PS=PR=a,CR=b,∴PC=a+b,AQ=QO+OA=CR+CS=b+b+2a=2(a+b), ∴AQ=2PC,∴PC=6,OP=6+3=9,是定值。 数学八年级上册 专题06几何辅助线与模型（6）——一线三等角 核心考点一外三等角 1.如图，D,A,E三点在一条直线上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC,AB=AC,求证：DE=CE+BD. 证明：∵∠BAE=∠D+∠ABD=∠BAC+∠CAE, 且∠ADB=∠AEC=∠BAC,∴∠ABD=∠CAE. 在△ABD和△CAE中， ∴△ABD≌△CAE(AAS),∴AD=CE,BD=AE.∵DE=AD+AE,∴DE=CE+BD. 核心考点二内三等角 2.如图，AB=BC,N是BM上一点，∠ABC=∠ANM,且∠M+∠ANM=180°,求证：MN+MC=AN. ( 证明：∵∠1+∠2=∠ ANM= ∠ ABC= ∠ 3+ ∠ 2, ∴∠1=∠3,∠A NB=180°- ∠ ANM= ∠ M, 且 AB=BC, ∴△ ABN ≌△ BCM(AAS), ∴ BN=CM,AN=BM, ∴ AN=BM=MN+BN=MN+MC. ) ( C ) 核心考点三内、外三等角综合与进阶 3.如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB,E,F分别是直线CD上两点，且 ∠BEC=∠CFA=∠α. （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E,F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图1，若∠BCA=∠α=90°,则BE_=CF;EF三BE-AF（填“=”或“≠”）; ②如图2，若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件∠BCA+∠α=180°, 使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立。 （2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠a=∠BCA,直接写出EF,BE,AF之间的数量关 第45页 学科网（北京）股份有限公司 系。 图1 图2 图3 解：（1)②∵∠BCA+∠α=180°,即∠BCE+∠ACE+∠α=180°,又∠CAF+∠ACE+∠α=180°, ∴∠BCE=∠CAF,可证：△BCE≌△CAF(AAS),∴BE=CF,CE=AF,∴EF=CF-CE=BE-AF. (2)EF=BE+AF.可证：△BCE≌△CAF,∴BE=CF,CE=AF,∴EF=BE+AF. 专题07几何辅助线与模型（7）——截长补短与夹半角 1.如图，已知AB=AC,∠BAC=90°,∠MAN=45°,过点C作NC⊥AC交AN于点N,过点B作BM⊥AB 交AM于点M,连接MN,当∠MAN在∠BAC内部时，求证：BM+CN=MN. 证明：延长MB到点G,使BG=CN,连接AG,∵CN⊥AC,BM⊥AB, ∴∠C=∠ABG=90°,易证△ACN≌△ABG(SAS),∴AN=AG, ZCAN=∠BAG,∵∠BAC=90°,∴∠GAN=∠BAC=90°. ∵∠MAN=45°,∴∠GAM=∠MAN=45°,易证△AMG≌△AMN(SAS), ∴MG=MN,∴BM+CN=BM+BG=MN. 2.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°,∠D=60°,AB=BC,E,F分别在AD,CD上，且∠EBF=60°, 求证：EF=AE+CF. 证明：延长DC至点M,使CM=AE,连接BM,∵∠A=∠BCD=90°, ∴∠A=∠BCM=90°,易证△ABE≌△CBM(SAS),∴BE=BM, ∠ABE=∠CBM,∵∠D=60°,∴∠ABC=360°-∠A-∠BCD-∠D=120°,∴∠EBM=∠ABC=120°.∵∠EBF=60°,∴∠MBF=∠EBF=60°, 易证△EBF≌△MBF(SAS),∴EF=MF,∴EF=AE+CF. 3.如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°,AB=AE,且CD=3,AE=4,则五 边形ABCDE的面积为12· 解：延长DE至F点，使EF=BC,连接AF,则△AEF≌△ABC, ∴∠FAE=∠BAC,AF=AC,∴∠FAD=∠CAD,∴△FAD≌△CAD, ∴DF=CD,∴五边形的面积=2×SADF:=12. 4.如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°,E,F分别是边BC,CD上的点，且 (1）求证：EF=BE+FD; （2）如图2，四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD上的点，且 ( 第十二章 ) 第46页 学科网（北京）股份有限公司 解：（1）延长CB至点G,使得BG=DF,连接AG. ∵∠D=∠ABC=90°,∴∠ABG=∠D=90°, 易证△ABG≌△ADF(SAS), ∴AG=AF,∠BAG=∠DAF,∴∠FAG=∠DAB. ∴∠EAF=∠EAG, 图1 图2 易证△EAF≌△EAG(SAS),∴EF=EG,∵EG=BE+BG=BE+DF,∴EF=BE+DF. （2）(1）的结论成立，理由如下：延长CB至点G,使得BG=DF,连接AG. ∵∠ABE+∠D=180°,∠ABE+∠ABG=180°,∴∠D=∠ABG,易证△ABG≌△ADF(SAS), ∴AG=AF,∠BAG=∠DAF,∴∠FAG=∠DAB,∠EAF=∠EAG, 易证△EAF≌△EAG(SAS),∴EF=EG,∵EG=BE+BG=BE+DF,∴EF=BE+DF. 数学八年级上册 专题08几何辅助线与模型（8）——手拉手 1.如图，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°,B,C,D在同一条直线上。 求证：(1)BD=CE;(2)BD⊥CE. 证明：（1)∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴AB=AC,AD=AE. ∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,∴∠BAD=∠CAE, 易证△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE. (2)由(1)知△ABD≌△ACE,∴∠ADB=∠AEC. ∵∠ADB+∠ECD=∠AEC+∠EAD,∴∠ECD=∠EAD=90°,∴BD⊥CE. 2.如图，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,AD,BE交于点H,连CH. (1)求证：△ACD≌△BCE;(2)求证：CH平分∠AHE; （3）求∠CHE的度数。（用含α的式子表示） (1）证明：∵∠ACB=∠DCE,∴∠ACD=∠BCE. 又CA=CB,CD=CE,∴△ACD≌△BCE(SAS). （2）证明：作CM⊥AD,CN⊥BE,垂足为M,N, 由（1）知△ACD≌△BCE,∴S△ACD=S△BCE,AD=BE, ∴CM=CN,∴CH平分∠AHE. (3）解：∵△ACD≌△BCE,∴∠CAD=∠CBE. 3.如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=a,直线BD,CE交于点F, 连接AF. (1）求证：BD=CE; （2）求∠BFC; （3）求证：AF平分∠BFE; （4）求证： (1）证明：∵∠DAE=∠BAC,∴∠BAD=∠CAE,易证△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE. (2）由（1）知△BAD≌△CAE,∴∠ABD=∠ACE, ∴∠BAC+∠BFC=360°-(∠ABD+∠ACF)=180°,∴∠BFC=180°-∠BAC=180°-a. （3）证明：过A作AM⊥BF于M,ANLCG于N, 由（2）知∠ABD=∠ACE,易证△ABM≌△ACN(AAS),∴AM=AN, 又AM⊥BF,AN⊥FG,∴AF平分∠BFE. (4）证明：由（2）知∠BFC=180°-α，由(3)知AF平分∠BFE, 第47页 学科网（北京）股份有限公司 ( 第十二章 ) 专题09几何辅助线与模型（9）——等腰张等角 1.如图，在△ABC中，AB=AC,过点B的射线与过点C的射线CF交于点D,且∠ABD=∠ACF, 过点A作AM⊥BD于点M.求证：BM=DM+DC. 证明：过点A作AN⊥CF,垂足为点N,连接AD,∴∠ANC=90°. ∵AM⊥BD,∴∠AMB=∠AMD=90°,∴∠AMB=∠AMD=∠ANC, 又∵∠ABD=∠ACF,AB=AC,∴△AMB≌△ANC(AAS), ∴BM=CN,AM=AN. ∵AD=AD,Rt△AMD≌Rt△AND(HL),∴DN=DM. ∵CN=DN+DC,∴BM=DM+DC. 2.如图，△DBC中，DB=DC,A为△DBC外一点，且∠BAC=∠BDC,DM⊥AC于M,求 的值。 解法1：在AC上截取CF=AB,证△DCF≌△DBA, DF=DA,AM=MF,AC-AB=2AM. 解法2：作DN⊥AB于N,证△DCM≌△DBN,DM=DN, 证CM=BN,AM=AN,AC=AM+CM, AB=BN-AN,AC-AB=AM+AN=AM. 解法3：延长BA至E,使BE=AC, 证△DCA≌△DBE(SAS),DE=DA,∠DAC=∠E=∠DAE. 作DN⊥AE于N,∴EN=AN=AM,∴AC-AB=2AM. 3.如图，∠ACB=90°,CA=CB,D为BC上一点，BM⊥AD于M,CN⊥AD于N.求证：BM+CN=AN. 证明：在AD上取一点E,使AE=BM,连接CE,CM. ∵BM⊥AM,∠ACB=90°,∴∠AMB=∠ACB=90°. ∵∠CAD+∠ACB=∠CBM+∠AMB,∴∠CAD=∠CBM, 易证△CAE≌△CBM(SAS),∴CE=CM,∠ACE=∠BCM, ∴∠ECM=∠ACB=90°,∴∠CEM=∠CME=45°. ∵CN⊥AM,∴∠CNE=90°,∴∠CEN=∠ECN=45°,∴CN=EN,∴BM+CN=AE+EN=AN. 4.如图，已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB=AC=AD=6,BC=9,DE=DF,∠BAC=∠EDF, 点E在AB上，BE=2,点F在射线AC上，则AF长为13● 解：在AF上取一点G,使GF=AE,连DG. 由∠BAC=∠EDF,得∠AED=∠AFD. ∵AE=GF,∠AED=∠GFD,ED=FD,∴△AED≌△GFD(SAS), ∴AD=GD,∠ADE=∠GDF,∴∠ADG=∠EDF=∠BAC. ∵AB=AC=AD=GD,∴△ABC≌△DAG(SAS),∴BC=AG, ∴AF=AG+GF=BC+AE=BC+AB-BE=13. 第48页 学科网（北京）股份有限公司 专题10几何辅助线与模型（10）——对角互补 1.如图，在四边形ABCD中，CE⊥AB,已知CB=CD,AC平分∠BAD. 求证：（1)∠B+∠ADC=180°;(2)AD+AB=2AE. 证明：（1）过点C作CF⊥射线AD于点F. ∵AC平分∠BAD,CF⊥AF,CE⊥AB,∴CF=CE, 易证Rt△CDF≌Rt△CBE(HL),∴∠CDF=∠B. ∵∠CDF+∠ADC=180°,∴∠B+∠ADC=180°. (2）易证Rt△ACF≌Rt△ACE(HL),∴AF=AE. 由(1)Rt△CDF≌Rt△CBE,∴DF=EB, ∴AD+AB=AD+AE+EB=AD+DF+AE=AF+AE=2AE. 2.如图，四边形ABCD中，CA平分∠BAD,CB=CD,CF⊥AD于F. (1）求证：∠ABC+∠ADC=180°; (2)若AF=5,DF=2,求AB的长. (1）证明：过C作CHLAB于H,∵CA平分∠BAD,CH⊥AB,CF⊥AD, ∴CH=CF,易证Rt△CBH≌Rt△CDF(HL),∴∠CBH=∠D. ∵∠CBH+∠CBA=180°,∴∠ABC+∠ADC=180°. (2）解：由（1）得Rt△CBH≌Rt△CDF,∴BH=DF=2, 易证Rt△CHA≌Rt△CFA(HL),∴AH=AF=5,∴AB=AH-BH=3. 3.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°,AB=AD,若这个四边形面积为49，则BC+CD=14· 解：延长CD至点E,使DE=BC,连AC,AE. ∵∠A=∠C=90°,∴∠B+∠ADC=180°,∠B=∠ADE. ∵AB=AD,BC=DE,∴△ABC≌△ADE(SAS), ∴AC=AE,∠BAC=∠DAE,∴△ACE为等腰直角三角形。 过点A作AH⊥CE于点H,则AH=CH=EH, ∴CE=14,∴BC+CD=14. 4.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α,∠BCD=180°-a,BD平分∠ABC. （1）如图1，若α=90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA=CD,这个性质是角平分线上的 点到角的两边距离相等; (2）问题解决：如图2，求证：AD=CD; 证明：（2）作DE⊥BA交BA延长线于E,DF⊥BC于F, ∵BD平分∠EBF,DE⊥BE,DF⊥BF,∴DE=DF. ∵∠BAD+∠C=180°,∠BAD+∠EAD=180°, ∴∠EAD=∠C,易证△DEA≌△DFC(AAS),∴DA=DC.图1图2 数学八年级上册 第49页 学科网（北京）股份有限公司 专题11几何辅助线与模型（11）——婆罗摩笈多 1.如图，已知等腰△ABC和等腰△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°,求证：S△ACD=S△ABE· 证明：过点C作CM⊥AD交于M,过点B作BN⊥EA交于N, ∴∠N=∠AMC=∠NAM=∠BAC=90°,∴∠BAN=∠CAM, 易证△BAN≌△CAM(AAS),∴BN=CM, 2.如图，AB⊥AE,AB=AE,AC⊥AD,AC=AD,DE交CA的延长线于点M,M是DE的中点。 （1）求证：AC⊥BC; (2)若BC=6,求AM的长。 (1）证明：过点E作EH⊥AM交AM的延长线于点H,则∠H=∠DAM=90°. ∵M为DE的中点，∴EM=DM,易证△EMH≌△DMA(AAS), ∴HE=AD=AC,HM=AM ∵∠EAB=90°,∴∠HAE+∠CAB=∠HAE+∠AEH=90°,∴∠CAB=∠HEA, 易证△HEA≌△CAB(SAS),∴∠H=∠C=90°,BC=AH,∴AC⊥BC. (2）解：由（1）知AH=2AM,BC=AH, 3.如图，AB⊥AE,AB=AE,AC⊥AD,AC=AD,AH⊥DE于点H,延长AH交BC于点M. 求证：（1)M是BC的中点；（2)DE=2AM. 证明：过点B作BN//AC交AM的延长线于点N,则∠ABN+∠BAC=180°. ∵AB⊥AE,AC⊥AD,∴∠BAE=∠DAC=90°, ∴∠DAE+∠BAC=180°,∴∠ABN=∠DAE. ∵AH⊥DE,∴∠AEH+∠HAE=∠HAE+∠BAN=90°,∴∠AEH=∠BAN, 易证△ABN≌△EAD(ASA),∴AN=ED,AD=BN,∠N=∠D. ∵AD=AC,∴AC=BN,∵∠D+∠DAH=∠DAH+∠NAC=90°,∴∠D=∠NAC=∠N. 易证△BMN≌△CMA(ASA),∴BM=CM,MA=MN,∴M为BC中点，DE=AN=2AM. 4.如图，在△ABC中，AE,CD为△ABC的角平分线，AE,CD交于点F,∠B=90°,求证： S△ACF=S△AFD+S△CEF+S△DEF. 证明：在AC上取两点M,N,使AM=AD,CN=CE,连FM,FN. ∵AF平分∠BAC,∴∠DAF=∠MAF,易证△DAF≌△MAF(SAS),∴DF=MF,∠DFA=∠MFA,同理：FE=FN,∠EFC=∠NFC. ∵∠B=90°,∴∠BAC+∠BCA=90°,∴∠FAC+∠FCA=45°, ∴∠DFA=∠EFC=45°,∴∠DFM=∠EFN=90°,∴∠MFN=45°. 过点D作DP⊥AE于点P,过点M作MQ⊥FN于点Q,则∠DPF=∠MQF=90°. MQF(AAS),∴DP=MQ, △AME+S△CFN+S△MNF=S△ADF+S△CEF+S△DEF. 第十二章 第50页 学科网（北京）股份有限公司 数学八年级上册 专题12几何辅助线与模型（12）—一线两角等 方法：一线两角等，直接给出两边相等时，可构造一线三等角型全等；没有直接给出两边相等时， 可截长的等腰三角形构造补角型全等，也可构造手拉手型全等 1.已知四边形ABCD中，AD//BC,AB=AD,∠ABC=2∠C=2α,点E在AD上，点F在DC上。 （1）如图1，若α=45°,∠BDC的度数为90°; (2）如图2，当α=45°,∠BEF=90°时，求证：EB=EF; （3）如图3，若α=30°，则当∠BEF=120°时，使得EB=EF成立？（请直接写出结果） 第51页 学科网（北京）股份有限公司 ( C ) 图1 图2 图3 解：（2）连BD,由(1)知∠BDC=90°，作EM//AB交BD于M, 易证△EMD为等腰直角三角形，△EDF≌△EMB,故EB=EF. （3）连BD,过E作EM//AB交BD于点M,可证△EMD为等腰三角形， 且∠MED=120°=∠BEF,EM=ED,可证△EMB≌△EDF(ASA),∴EB=EF. 2.如图，已知AC=BC,点D是BC上一点，∠ADE=∠C. (1）如图1，若∠C=90°，∠DBE=135°，求证：①∠EDB=∠CAD；②DA=DE； (2）如图2，若∠C=40°，DA=DE，求∠DBE的度数； （3）如图3，请直接写出∠DBE与∠C之间满足什么数量关系时，总有DA=DE成立。 图1 图2 图3 解：（1)①∵∠ADE=∠C,且∠ADB=∠A+∠C,∴∠A=∠ADB-∠C,∴∠CAD=∠EDB. ②在AC上截取CF=CD,连接FD(或在AC上截取AF=BD,连接FD) ∵∠C=90°,∴∠CFD=∠CDF=45°,∴∠AFD=135°=∠DBE. ∵AC=BC,∴AC-CF=BC-CD,即AF=BD,∴△AFD≌△DBE,∴DA=DE. (2)在AC上截取AG=DB，连接GD（在AC上截取CG=CD，连接GD）。 ∵DA=DE,∠CAD=∠EDB(已证）,AG=DB,∴△AGD≌△DBE,∴∠AGD=∠DBE=110°. ( 第十二章 ) 专题13几何辅助线与模型（13）——内心与旁心 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，点O是∠CAB、∠ABC平分线的交点，且BC=8cm，AC=6cm， AB=10cm,则点O到边AB的距离为2cm. 解：设O到AB的距离为h,则 2.如图，BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的平分线，若∠CEB=46°，则∠BAE=44°。 ( 解： CE,BE 为角平分线可得 且 AE 平分∠ CAB 的邻补角. ) ( E ) 3.如图，已知在△ABC中，AB=AC,∠ACB和∠BAC的平分线交于点O,过点A作AD⊥AO交 CO的延长线于点D,若∠ACD=α,则∠BDC度数为（C) ( D )A.45°-αC.90°-2α 解：隐含角平分线 ①导角，可证：AD平分△ABC的外角； ②三角形ABC中，三条角平分线交于一点，可证BD平分△ABC的外角； ③一内一外模型， 4.三条笔直的公路两两相交，若要建一座仓库，使它到三条公路的距离相等，则可供选择的点有 5.如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD=136°，∠BCD=44°，则∠ADB的度数 为46°。 解：过点D作DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F,DH⊥BC于点H, ∵∠ACD=136°,∴∠DCE=44°,∴∠BCD=∠DCE,∠ACB=92°, 易证：DE=DF=DH,∴BD平分∠CBF 根据双角平分线模型： 第52页 学科网（北京）股份有限公司 第十二章 核心考点五作等角（1）：构造对称型全等得等角 6.如图，△ABC的三个顶点A,B,C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画 图.在图中画出△ABC的高AF,中线CE,在△ABC的高AF上画点P,连接BP,EP,使 ∠APE=∠BPF. 解：如图所示。 核心考点六作等角（2）：利用三角形内角和得等角 第54页 学科网（北京）股份有限公司 7.如图，△ABC的三个顶点A,B, 图.在图中AC上取一点G,使 解：如图所示。 C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画 得∠AGB=∠ABC. 核心考点七作角平分线：分割外角作三角形的外角平分线 8.用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹：如图，AD是∠BAC的角平分线，作△ABC的∠BCA相 邻的外角的角平分线。 解：如图，射线CD即为∠ACB的外角的平分线。 核心考点八综合题 9.如图，在7×7的正方形网格中，点A,B,C都在格点上，点D是AB与网格线的交点，且AB=5, 仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示。 (1)作AB边上高CE; （2）画出点D关于AC的对称点F; (3)在AB上画点M,使BM=BC; (4）在△ABC内画点P，使S△ABP=S△ACP=S△BCP。 解：（1）如图所示。 （2）如图所示。 （3）如图所示，△ABQ为等腰三角形，CM∥AQ，得BM=BC. （4）如图所示，点P为重心。 数学八年级上册 名校考题实战演练——全等三角形 1.如图，已知△ABC≌△ADE，∠DEB=20°，则∠AED的度数为(C) A.60°B.70°C.80°D.90° 2.下列条件中一定能判定△ABC≌△DEF的是（D） A.∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠FB.∠A=∠D,AB=DE,BC=EF C.AB=FE,∠A=∠E,∠B=∠FD.AB=DE,AC=DF,BC=EF 3.如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明(D) A.三角形具有稳定性B.面积相等的两个三角形不一定全等 C.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 第55页 学科网（北京）股份有限公司 第1题图 第3题图 第5题图 第6题图 4.根据下列已知条件，能画出唯一△ABC的是（C） A.AB=3,BC=4,CA=8B.AB=4,BC=3,∠A=30° C.∠A=60°,∠B=45°,AB=4D.∠C=90°,AB=6 5.如图，已知AB=AC,∠BAO=∠CAO,则图中有(D)对全等三角形。A.1B.2C.3D.4 6.在如图所示的6×6网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（D） A.3个B.4个C.6个D.7个 7.如图，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于 3cm,则CF=3cm. 第7题图第8题图第9题图第10题图 8.如图，点B、C、D共线，AC=BE，AC⊥BE，∠ABC=∠D=90°，AB=12，DE=5，则CD= 9.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为3· 10.如图，在△ABD中，∠BAD=80°，C为BD延长线上一点，∠BAC=130°，△ABD的角平分线BE 与AC交于点E,连接DE,则∠DEB=40° 11.如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°,D为AB边上的一点，AE⊥CD于E,BF⊥CD于F, 若AE=4,BF=9,求EF的长. 解：证△ACD≌△CBF,可得EF=EC-CF=BF-AE=9-4=5. 12.如图，AC//BD,EA,EB分别平分∠CAB和∠DBA,点E在线段CD上，求证：AB=AC+BD. 证明：在AB上截取AF=AC,△CAE≌△FAE(SAS),∠C=∠EFA. ∵AC//BD,∴∠C+∠D=180°,∴∠D=∠EFB,△DEB≌△FEB(AAS), ∴BF=BD,AB=AF+BF=AC+BD. 13.如图，CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,AB与DE交于点M. (1）求证：AB=DE; (2)连MC,求证：MC平分∠BMD 证明：（1)∵∠ACD=∠BCE, ∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE,∴∠BCA=∠ECD, 易证△ABC≌△DEC(SAS),∴AB=DE. (2)过C作CG⊥AB于G,CH⊥DE于H, ∵△ABC≌△DEC,∴∠A=∠D,AC=DC. 又∵∠AGC=∠DHC=90°,∴△AGC≌△DHC(AAS), ∴CG=CH,∴CM平分∠BMD. 14.如图，已知A(-2,0). (1)如图1,以A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC,若B(0,-4),求C点坐标； (2)如图2,P为y轴负半轴上一动点，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD,过D作DE⊥x 轴于E点.当P点沿y轴负半轴向下运动时，试问OP-DE的值是否发生变化？若不变，求 其值；若变化，请说明理由。 解：（1）作CD⊥x轴于D,∴∠ACD+∠CAD=90°. ∵∠CAB=90°,∴∠BAO+∠CAD=90°,∴∠BAO=∠ACD. 在△ACD和△BAO中，∠ADC=∠BOA=90°, ∠ACD=∠BAO,AC=BA,∴△ACD≌△BAO, ∴DC=OA=2,AD=OB=4,∴OD=6, ∴C点的坐标为（-6,-2）. （2）OP-DE的值不变，值为2. ( 图2 )理由如下：作DF⊥y轴于F,∴∠PDF+∠DPF=90°.图1 ∵∠APD=90°,∴∠APO+∠DPF=90°,∴∠APO=∠PDF. 在△APO和△DPF中，∠APO=∠PDF,∠AOP=∠PFD,PA=DP, ∴△APO≌△PDF,∴PF=OA=2,DF=OP,∴OP-DE=OP-OF=PF=2. $