专题2.6 用一元二次方程解决问题（6大题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦“用一元二次方程解决问题”核心知识点，系统梳理列方程基本步骤（审设列解验答），重点覆盖面积、增长率、利润等实际问题类型，搭建从方程解法到实际应用的完整学习支架。 资料通过生活实例（如矩形花圃面积计算、商品利润问题）培养模型意识，复杂图形转化（平移割补）提升几何直观，动态几何题发展空间观念。课中例题与变式助教师教学，课后练习题含中考题帮学生查漏补缺。

专题2.6 用一元二次方程解决问题 教学目标 1. 掌握列一元二次方程解决实际问题的基本步骤（审、设、列、解、验、答）。 2. 能分析实际问题中的数量关系，建立一元二次方程模型，重点解决面积问题、增长率问题和利润问题。 3. 通过实际问题的解决，体会方程是刻画现实世界的有效模型，培养数学建模意识和应用能力。 教学重难点 重点： 1. 审清题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程。 2. 根据实际意义对方程的根进行合理取舍（如边长、增长率不能为负）。 教学难点： 1. 准确分析“增长率”和“利润”问题中多次变化与平均变化率的数量关系。 2. 在复杂图形问题中，通过“平移”或“割补”法将不规则图形转化为规则图形建立方程。 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点02 一元二次方程应用题的主要类型 1.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题：平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题：平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 2.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 3.利息问题 (1)概念： 本金：顾客存入银行的钱叫本金. 利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和. 期数：存入银行的时间叫期数. 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式:利息=本金×利率×期数 利息税=利息×税率 本金×(1+利率×期数)=本息和 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 4.利润(销售)问题 利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数 5.形积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 【即学即练】 1.如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． (1)求此时花圃边的长； (2)花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 2.某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情滞销该店采取了降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若该商品经过两次降价后，每件可以获得的利润是元，求这两次降价的平均降价率是多少？ (2)经调查，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．若该商店每天预期销售利润为1232元，则每件商品应降价多少元？ 题型01 用一元二次方程解决数字问题 【典例1】已知两个连续正奇数的积是，设其中较小的正奇数是x，可列方程 ． 【变式1】淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是 ． 【变式2】2024年11月22日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如图是2024年11月的月历表，在月历表中用方框圈出9个数字，若圈出的9个数字中，最大数与最小数的乘积为297，则最小的数为 ． 【变式3】第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 题型02 用一元二次方程解决传播问题 【典例1】近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【变式1】某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数． 【变式2】某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 【变式3】鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同． (1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？ (2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？ 题型03 用一元二次方程解决增长率问题 【典例1】某电冰箱生产企业原生产一台电冰箱的能耗为，为了响应国家关于生产总值能源消耗降低的号召，该企业自2022年开始进行技术改革，到2024年，该企业生产一台电冰箱的能耗降低到． (1)求该企业从2022年到2024年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率； (2)若2025年该企业生产一台电冰箱能耗的平均降低率与前两年相同，请计算2025年该企业生产一台电冰箱的能耗是多少？ 【变式1】习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．实验中学为了给学生更加良好的阅读体验，决定加大图书购置经费的投入．前年投入图书购置经费2万元，今年投入图书购置经费2.42万元．求该校这两年投入图书购置经费的年平均增长率． 【变式2】某海岛位于北纬 ，全年气候温暖湿润，光照充足，非常适合种植柑橘． 年某合作社种植“红美人”柑橘平均亩产量为，为了提高“红美人”柑橘产量，引进先进的种植技术，到 年平均亩产量达到． (1)若 年到年种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率相同，求种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率． (2) 年该合作社计划种植“红美人”柑橘面积亩，每亩种植成本为万元，为了扩大产量，决定增加“红美人”柑橘种植面积．经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少万元，求该合作社应增加种植面积多少亩才保持种植总成本不变． 【变式3】习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．湘江新区积极响应，着力打造的“十分钟阅读圈”，让近万持证读者在新区步行十五分钟内必遇书香．据统计，某智慧图书馆第一个周进馆人次，进馆人次逐周增加，到第三个周末累计进馆人次，若进馆人次的周平均增长率相同． (1)求进馆人次的周平均增长率； (2)因条件限制，该智慧图书馆每周接纳能力不超过人次，在进馆人次的每周平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四周的进馆人次，并说明理由． 题型04 用一元二次方程解决营销问题 【典例1】某公司2月份销售新上市的产品25套，由于该产品的经济适用性，销售量快速上升，4月份该公司销售产品达到36套． (1)求该公司这两个月销售产品的月均增长率； (2)若销售产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽快减少库存，该公司决定采用适当的降价措施．调查发现，如果产品每套每降价0．1万元，那么公司平均每月可多售出4套．若该公司想在5月份获利70万元，则每套产品应降价多少万元？ 【变式1】银川市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出75个，六月份售出108个，且从四月份到六月份的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，该品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【变式2】今年11月份，某商场购进了一批T恤和衬衣，商家用16000元购买T恤，12000元购买衬衣，每件T恤和每件衬衣进价之和为100元，且购进T恤的数量是衬衣的2倍． (1)求商场购买T恤和衬衣的进货单价； (2)商场在销售过程中发现，当T恤的销售单价为每件80元，衬衣的销售单价为每件120元时，平均每天可卖出50件T恤，30件衬衣，据统计，衬衣的销售单价每降低5元，平均每天可以多卖出5件．为减少库存，商家在保证T恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使T恤和衬衣平均每天的总获利为4000元，则每件衬衣的售价为多少元？ 【变式3】某商场在去年年底以每台2500元的进价购进一批某品牌洗衣机，今年1月份以每台2900元的售价销售，1月份销售量为200台，二、三月份该品牌洗衣机销量持续走高，在售价不变的情况下，三月份的销售量达到了288台． (1)求二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率； (2)从四月份起商场要进行内部的装修，现对已有的库存进行降价处理，经调查发现，当该品牌洗衣机售价为2900元时，平均每天售出8台；而当售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种洗衣机的销售利润平均每天达到5000元，每台洗衣机的售价应为多少元？ 题型05 用一元二次方程解决与图形有关的问题 【典例1】某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为米的墙，另三边用总长为59米的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形，并在边上留有一扇1米宽的门． (1)若围成的花圃面积为400平方米，求的长； (2)能否使得围成的花圃面积为500平方米？请说明你的理由． 【变式1】综合与实践 项目主题： 劳动基地扩建方案 项目背景： 学校计划扩建一校园花坛，综合实践活动小组以设计“花园扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取：（如图所示） 信息1：原花坛为矩形； 信息2：扩建后的新花坛仍为矩形的长度不能超过的长度不能超过． 问题解决： (1)若扩建后花园的面积为，且，求和的长； (2)当时，扩建后花园的面积可以为吗？请说明理由． 【变式2】在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由． (2)你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，并写出你的设计方案． 【变式3】现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计） (1)每个矩形硬纸板的四个角分别去掉2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形后，可以折叠成一个有盖的长方体盒子（如图），已知该长方体盒子的底面积是，求出该盒子的高； (2)工厂将这些硬纸板全部做成有盖盒子出售．已知每块矩形纸板的成本为12元，若有盖盒子的售价为24元/个，则每天可售出18个．在销售过程中发现，有盖盒子价格每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利208元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 题型06 用一元二次方程解决动态几何问题 【典例1】如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ (2)若，当时，直接写出经过______秒后，． 【变式1】如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为． (2)设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 【变式2】如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． (1)问当t为多少时，？ (2)连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. (1)当 时，平分四边形的面积. (2)当与四边形的某一边平行时，求的值. (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由. 一、单选题 1．（2026·湖北·中考真题）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 2．（山东淄博市高新区025～2026学年度第二学期期末学业质量检测八年级数学试题（五四制））某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为200杯，随着气温不断回升，若连续两个月的销量逐月匀速上涨，预计五月份的销量能达到338杯．设四、五这两个月每月销量的平均增长率均为，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·云南昭通·模拟预测）某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长，宽的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为．设粘贴区宽度为，则可列方程（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26八年级下·江苏南通·期末）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．设阔步，根据题意可列方程为___________． 6．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，一个养殖户用米长的围栏围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积为平方米，那么每个鸡舍的长为______． 7．（2026·山西长治·三模）山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为________元． 8．（浙江湖州市2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷）“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 三、解答题 9．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）某超市3月份的利润为20000元，5月份的利润为24200元．若3月份到5月份利润的月平均增长率相同． (1)求该超市这两个月的月平均增长率； (2)在（1）的条件下，请通过计算预测该超市7月份的利润能否超过30000元？ 10．（25-26八年级下·福建漳州·期末）漳浦县自发布渔业生态保护相关通告后，本地养殖的黄翅鱼（黄鳍鲷）和石斑鱼在市场上热销，成为不少游客喜爱的伴手礼．2026年端午假期，小福同学旅游到此，并购买了若干黄翅鱼和石斑鱼，他用元买的黄翅鱼的数量比用同样价钱买石斑鱼的数量多斤，且石斑鱼的单价是黄翅鱼的倍． (1)求黄翅鱼、石斑鱼两种鱼的单价分别为多少元/斤； (2)两种鱼在得到一致好评后，小福决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中黄翅鱼按照原单价购买，石斑鱼的单价每斤降低元，则购买的数量会比第一次购买石斑鱼的数量增加斤，第二次一共购买斤鱼共用了元．求的值． 11．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． (1)当时，求长． (2)当的面积为时，求t的值． (3)当时，求t的值． 12．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为米，左右两条纵向道路宽度都为x米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过6米，且不小于米． 素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天． 问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． (1)若中间部分种植面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润=总销售额-收购总成本-冷库总费用） (2)该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ 一、单选题 1．（2026·云南昆明·二模）旅居云南，从“游”到“居”，是身心的安放；由“居”而“创”，是梦想的扎根，2023年，云南全省接待旅居人数约200万；2025年，云南全省接待旅居人数约550万．设云南全省接待旅居人数的年平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）中国（安庆）黄梅戏艺术节是中国首个以黄梅戏为主题的全国综合性艺术节，安庆市某校八（1）班同学互赠黄梅戏主题书签，共赠主题书签2450张，若八（1）班共有n名学生，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东深圳·二模）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为7米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块12平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，．点从点出发向终点以的速度移动，点从点出发向终点以的速度移动，，两点同时出发，其中一点到达终点则两点同时停止运动．当的面积等于时，两点运动了（    ） A． B． C． D．或 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，其中一面靠现有墙（墙的长度为16米），另外三面及中间用围栏隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门，已知计划中的围栏材料（不包括门）总长为33米，则能建成的饲养室面积最大为（   ）平方米． A．54 B． C．108 D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）为了积极响应“中央关于增强国民健康基础，促进健康中国战略发展”，东西湖区五环体育中心暑假期间（每日上午9：00—12：00）向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场1000人次，第三周进场1440人次．若进场人次的周平均增长率相同，为求进场人次的周平均增长率．设进场人次的周平均增长率x，依题意可列方程为__________________． 7．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）如果一个直角三角形三边的长为连续整数，求它的斜边长．若设这个直角三角形的斜边长为，则可列方程______． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园、为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块、则小路的宽度为______． 9．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）将一些半径相同的小圆按如图所示摆放成一组不仅具有艺术美感，还存在数学规律的图案，请仔细观察，按此规律，如果某个图中小圆的个数恰好为60个，那么它应该是第______________个图． 10．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）问题背景：我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例：首先将方程变形为，然后构造如图1所示图形，利用面积关系得新方程，从而求出原方程的一个正根． 【拓展应用】：一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为54的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为9，那么此方程的正根为_____． 三、解答题 11．（25-26九年级上·山西长治·期末）中国书法是中华文化的独特表现艺术．被誉为：无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐、而“三分画，七分裱”．书画装裱技艺同时也为书画内容服务．现要装裱一幅竖式布局的《七律·长征》书法作品，装裱时四周加上一定宽度的绫边、上、下绫边的宽度之比为．左、右绫边的宽度相等、下绫边的宽度是左、右绫边宽度的2倍．若装裱成品的面积为，求装裱成品的长与宽． 12．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）长鑫存储是合肥市政府重大招商引资项目，也是国内专注于存储芯片研发、生产与销售的龙头企业，坐落于合肥经开区，实现了存储芯片自主化突破，旗下内存产品广泛应用于电脑、服务器等设备．随着技术不断成熟与市场需求增长，企业经营业绩稳步攀升．请结合以下信息解答问题． (1)长鑫存储2023年全年营收为90亿元，2025年全年营收达到608.4亿元，求2023年至2025年这两年营收的年平均增长率． (2)某经销商主营长鑫内存条，该内存条进价为240元/条．经市场调研：当售价定为300元/条时，每月可售出200条；若售价每降低5元，每月销量可增加25条．为减少库存，若该经销商每月想要获得12375元的销售利润，求此时内存条的实际售价． 13．（25-26九年级上·广东深圳·期末）第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”以中华白海豚为原型，吉祥物玩偶一经发售，深受大家喜爱．玩偶进价为每个45元，当售价为65元时，平均每周可售出200个．经调查发现，该玩偶单个售价每降低1元，每周可多售出20个． (1)若每个玩偶售价降低2元，则销售一个该玩偶获得的利润为______元；若每个玩偶售价降低元，则每周的销售量为______个（用含的代数式表示）； (2)商店希望通过销售该玩偶实现平均每周4500元的盈利，则每个玩偶售价应降价多少元? 14．（25-26九年级上·山西吕梁·阶段检测）综合与探究 问题情境： 如图，在中，，，，动点D从点A出发，以的速度向点C移动，同时动点E从点C出发，以的速度向点B移动，设它们的运动时间为． 猜想证明： （1）当点D，E都运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值；如果不可以，请说明理由． 拓展延伸： （2）当时，求四边形的面积． （3）直接写出当t为何值时，的面积等于四边形的面积的． 15．（25-26八年级下·广西梧州·期中）综合与实践 【问题情境】小豪毕业后决定从事农业养殖，他计划在老家建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一面墙（如图），另三边用铁丝网围成，已知铁丝网的长为． (1)若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为多少米？ 【方案设计】 (2)若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为多少米？ 【方案预测】 (3)小豪经过实地考察，希望能在未来扩大养殖．其他条件不变，且墙足够长，你认为将长方形养鸡场的面积扩建为是否可行？若可行，则请给出符合条件的方案；若不可行，则请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 用一元二次方程解决问题 教学目标 1. 掌握列一元二次方程解决实际问题的基本步骤（审、设、列、解、验、答）。 2. 能分析实际问题中的数量关系，建立一元二次方程模型，重点解决面积问题、增长率问题和利润问题。 3. 通过实际问题的解决，体会方程是刻画现实世界的有效模型，培养数学建模意识和应用能力。 教学重难点 重点： 1. 审清题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程。 2. 根据实际意义对方程的根进行合理取舍（如边长、增长率不能为负）。 教学难点： 1. 准确分析“增长率”和“利润”问题中多次变化与平均变化率的数量关系。 2. 在复杂图形问题中，通过“平移”或“割补”法将不规则图形转化为规则图形建立方程。 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点02 一元二次方程应用题的主要类型 1.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题：平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题：平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 2.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 3.利息问题 (1)概念： 本金：顾客存入银行的钱叫本金. 利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和. 期数：存入银行的时间叫期数. 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式:利息=本金×利率×期数 利息税=利息×税率 本金×(1+利率×期数)=本息和 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 4.利润(销售)问题 利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数 5.形积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 【即学即练】 1.如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． (1)求此时花圃边的长； (2)花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)花圃边的长为4米． (2)花圃的面积不能达到，理由见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题成为解题的关键． （1）设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米，由墙的最大可用长度为，可知，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）令，再运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可解答． 【详解】（1）解：设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米， ∵墙的最大可用长度为， ∴，解得： 由题意可得：， 整理得：，解得：或（舍弃）． 答：花圃边的长为4米． （2）解：花圃的面积不能达到，理由如下： 令， 整理得：， 因为， 所以方程无解，即花圃的面积不能达到． 2.某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情滞销该店采取了降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若该商品经过两次降价后，每件可以获得的利润是元，求这两次降价的平均降价率是多少？ (2)经调查，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．若该商店每天预期销售利润为1232元，则每件商品应降价多少元？ 【答案】(1) (2)若该商店每天销售利润为1232元，每件商品可降价12元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设这两次平均降价率是，再根据题意列式计算即可； （2）设每件商品降价x元，则每件盈利元，平均每天可售出件，再根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设这两次平均降价率是， 根据题意可得：， 解得：或（舍）， 答：这两次降价的平均降价率是． （2）解：设每件商品降价x元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 解得：， ∵， ∴， 答：若该商店每天销售利润为1232元，每件商品可降价12元． 题型01 用一元二次方程解决数字问题 【典例1】已知两个连续正奇数的积是，设其中较小的正奇数是x，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键． 首先，设其中一个奇数为，则另一个奇数为，列式即可求解； 【详解】解：设其中一个奇数为，则另一个奇数为， 根据两个连续正奇数的积是， 可得：， 故答案为：； 【变式1】淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设其中一个正数为，则另一个正数为，根据两个数的积是15，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设其中一个正数为，则另一个正数为， 由题意得， 整理得，即， 解得，， ∴较大的正数是5， 故答案为：5． 【变式2】2024年11月22日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如图是2024年11月的月历表，在月历表中用方框圈出9个数字，若圈出的9个数字中，最大数与最小数的乘积为297，则最小的数为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 设最小数为x，可知最大数为，根据题意得出，再求出解即可． 【详解】解：最小数为x，可知最大数为，根据题意，得 ， 解得． ∴最小的数为11． 故答案为：11． 【变式3】第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于的一元二次方程是解题的关键． （）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （）根据进制换算成十进制的方法可列出关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 题型02 用一元二次方程解决传播问题 【典例1】近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人； （2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信． 【变式1】某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数． 【答案】这种植物每个支干长出的小分支个数是7． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这种植物每个支干长出的小分支个数是7． 【变式2】某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 【答案】(1)每轮平均1人会传染8人 (2)三轮传染后，患病的人数会超过700 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． （1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论． 【详解】（1）解：由题意，得，解得（不合题意，舍去）． 故每轮平均1人会传染8人． （2）解：三轮传染后的人数为． ， ∴三轮传染后，患病的人数会超过700． 【变式3】鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同． (1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？ (2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？ 【答案】(1)12只 (2)2197只 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式． （1）平均每只病鸡传染了x只健康鸡，则第一天有x只鸡被传染，第二天有只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可； （2）根据经过三轮传染后患病的鸡＝经过两轮传染后患病的鸡数+经过两轮传染后患病的鸡数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每只病鸡传染了x只健康鸡，由题意得： ， 解，得，，(不符合题意舍去)， 答：每只病鸡传染健康鸡12只； （2）解：， 答：三轮传染后，患病的鸡共有2197只． 题型03 用一元二次方程解决增长率问题 【典例1】某电冰箱生产企业原生产一台电冰箱的能耗为，为了响应国家关于生产总值能源消耗降低的号召，该企业自2022年开始进行技术改革，到2024年，该企业生产一台电冰箱的能耗降低到． (1)求该企业从2022年到2024年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率； (2)若2025年该企业生产一台电冰箱能耗的平均降低率与前两年相同，请计算2025年该企业生产一台电冰箱的能耗是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设该企业从2022年到2024年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为x，根据题意列一元二次方程求解即可； （2）根据2024年能耗及（1）中求出的平均降低率，即可求解． 【详解】（1）解：设该企业从2022年到2024年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为x， ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该企业从2022年到2024年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为； （2）解： 答：2025年该企业生产一台电冰箱的能耗是． 【变式1】习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．实验中学为了给学生更加良好的阅读体验，决定加大图书购置经费的投入．前年投入图书购置经费2万元，今年投入图书购置经费2.42万元．求该校这两年投入图书购置经费的年平均增长率． 【答案】该校这两年投入图书购置经费的平均增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该校这两年投入图书购置经费的平均增长率为x，利用该校今年投入图书购置经费该校前年投入图书购置经费（该校这两年投入图书购置经费的平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该校这两年投入图书购置经费的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该校这两年投入图书购置经费的平均增长率为． 【变式2】某海岛位于北纬 ，全年气候温暖湿润，光照充足，非常适合种植柑橘． 年某合作社种植“红美人”柑橘平均亩产量为，为了提高“红美人”柑橘产量，引进先进的种植技术，到 年平均亩产量达到． (1)若 年到年种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率相同，求种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率． (2) 年该合作社计划种植“红美人”柑橘面积亩，每亩种植成本为万元，为了扩大产量，决定增加“红美人”柑橘种植面积．经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少万元，求该合作社应增加种植面积多少亩才保持种植总成本不变． 【答案】(1)“红美人”平均亩产量的年增长率为 (2)年该合作社应增加种植面积亩 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，如增长率问题等，解题中需掌握不同类型应用题的对应方法． （1）增长率问题，可根据（其中为基数，为最终值，为增长率，为年份间隔），即可求解； （2）设增加种植面积亩，根据两种成本相同列方程即可． 【详解】（1）解：设种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率为，可得： ， 解得，（舍去） 答：种植“红美人”平均亩产量的年增长率为； （2）解：设2025年该合作社应增加种植面积m亩，可得： ， 解得，（舍去），， 答：2025年该合作社应增加种植面积20亩． 【变式3】习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．湘江新区积极响应，着力打造的“十分钟阅读圈”，让近万持证读者在新区步行十五分钟内必遇书香．据统计，某智慧图书馆第一个周进馆人次，进馆人次逐周增加，到第三个周末累计进馆人次，若进馆人次的周平均增长率相同． (1)求进馆人次的周平均增长率； (2)因条件限制，该智慧图书馆每周接纳能力不超过人次，在进馆人次的每周平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四周的进馆人次，并说明理由． 【答案】(1)进馆人次的周平均增长率为； (2)校图书馆能接纳第四周的进馆人次，理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数乘方运算，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设进馆人次的周平均增长率为，然后根据题意列方程，再解方程并检验即可； （）根据（）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与比较大小即可． 【详解】（1）解：设进馆人次的周平均增长率为， 根据题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：进馆人次的周平均增长率为； （2）解：校图书馆能接纳第四周的进馆人次，理由， ∵进馆人次的周平均增长率为， ∴第四周的进馆人次为， ∴校图书馆能接纳第四周的进馆人次． 题型04 用一元二次方程解决营销问题 【典例1】某公司2月份销售新上市的产品25套，由于该产品的经济适用性，销售量快速上升，4月份该公司销售产品达到36套． (1)求该公司这两个月销售产品的月均增长率； (2)若销售产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽快减少库存，该公司决定采用适当的降价措施．调查发现，如果产品每套每降价0．1万元，那么公司平均每月可多售出4套．若该公司想在5月份获利70万元，则每套产品应降价多少万元？ 【答案】(1) (2)1万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该公司这两个月销售A产品的月均增长率，根据2月份及4月份该公司产品的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每套A产品应降价万元，则平均每月可售出套，根据总利润，可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】（1）设该公司这两个月销售A产品的月均增长率，依题意得： ， 解得：(舍去)，， 该公司这两个月销售A产品的月均增长率 ． （2）设每套A产品应降价万元，依题意得： ， 整理得， 解得：，， 为了尽快减少库存，取， 答：每套A产品应降价万元． 【变式1】银川市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出75个，六月份售出108个，且从四月份到六月份的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，该品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】(1) (2)5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价m元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于m的一元二次方程求解，根据“尽可能让顾客得到实惠”取舍即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得， 解得，（舍）， 该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设头盔每个涨价m元， 由题意得， 整理得， 解得，， 要尽可能让顾客得到实惠， 该品牌头盔每个应涨价5元． 【变式2】今年11月份，某商场购进了一批T恤和衬衣，商家用16000元购买T恤，12000元购买衬衣，每件T恤和每件衬衣进价之和为100元，且购进T恤的数量是衬衣的2倍． (1)求商场购买T恤和衬衣的进货单价； (2)商场在销售过程中发现，当T恤的销售单价为每件80元，衬衣的销售单价为每件120元时，平均每天可卖出50件T恤，30件衬衣，据统计，衬衣的销售单价每降低5元，平均每天可以多卖出5件．为减少库存，商家在保证T恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使T恤和衬衣平均每天的总获利为4000元，则每件衬衣的售价为多少元？ 【答案】(1)每件T恤的进货单价为60元，每件衬衣的进货单价为40元 (2)衬衣的销售单价为100元 【分析】本题考查分式方程的实际应用、一元二次方程的实际应用， （1）设每件T恤的进货单价为x元，则每件衬衣的进货单价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设衬衣的销售单价为a元，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件T恤的进货单价为x元，则每件衬衣的进货单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，符合题意，是原方程的解， 元， 答：每件T恤的进货单价为40元，每件衬衣的进货单价为60元； （2）解：设衬衣的销售单价为a元， 由题意得，， 解得，（舍）， 答：衬衣的销售单价为100元． 【变式3】某商场在去年年底以每台2500元的进价购进一批某品牌洗衣机，今年1月份以每台2900元的售价销售，1月份销售量为200台，二、三月份该品牌洗衣机销量持续走高，在售价不变的情况下，三月份的销售量达到了288台． (1)求二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率； (2)从四月份起商场要进行内部的装修，现对已有的库存进行降价处理，经调查发现，当该品牌洗衣机售价为2900元时，平均每天售出8台；而当售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种洗衣机的销售利润平均每天达到5000元，每台洗衣机的售价应为多少元？ 【答案】(1) (2)2750元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率为，根据1月份销售量为200台，二、三月份该品牌洗衣机销量持续走高，三月份的销售量达到了288台，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每台洗衣机的售价降低y元，则每台洗衣机的售价应为元，根据以每台2500元的进价购进一批某品牌洗衣机，当该品牌洗衣机售价为2900元时，平均每天售出8台；而当售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种洗衣机的销售利润平均每天达到5000元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率为， 由题意，得， 解得，（舍）， 答：二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率为； （2）解：设每台电器降了元，由题意， 得， 整理得，， 解得，， ， 答：每台电器的售价应为2750元． 题型05 用一元二次方程解决与图形有关的问题 【典例1】某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为米的墙，另三边用总长为59米的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形，并在边上留有一扇1米宽的门． (1)若围成的花圃面积为400平方米，求的长； (2)能否使得围成的花圃面积为500平方米？请说明你的理由． 【答案】(1)20米 (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式等知识点，根据题意正确列出关于x的方程成为解题的关键． （1）设边的长为x米，则米，然后利用矩形的面积公式列二元一次方程求解，然后再求出验证即可解答； （2）先根据题意列一元二次方程求解，然后运用根的判别式判定方程根的情况即可解答． 【详解】（1）解：设边的长为x米，则米， 根据题意得：，     解得：或． 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 答：的长为20米． （2）解：不能，理由如下： 由题意可得：， 整理得：， ∵， ∴方程不存在实数根． ∴不能使得围成的花圃面积为500平方米． 【变式1】综合与实践 项目主题： 劳动基地扩建方案 项目背景： 学校计划扩建一校园花坛，综合实践活动小组以设计“花园扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取：（如图所示） 信息1：原花坛为矩形； 信息2：扩建后的新花坛仍为矩形的长度不能超过的长度不能超过． 问题解决： (1)若扩建后花园的面积为，且，求和的长； (2)当时，扩建后花园的面积可以为吗？请说明理由． 【答案】(1)和的长分别为和； (2)不能，理由见解析 【分析】此题重点考查矩形的性质、一元二次方程的应用等知识，正确地用代数式表示扩建后的新花坛的长和宽是解题的关键． （1）设，则扩建后花园的长为，宽为，于是得，求得符合题意的值为5，则，； （2）设，则，假设扩建后花园的面积为，则，求得，此时，不符合要求，说明扩建后花园的面积不可以为． 【详解】（1）解：设， 根据题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， ， ，， ，， 和的长分别为和； （2）解：扩建后花园的面积不可以为， 理由：设，则， 若扩建后花园的面积为，则， 解得，（不符合题意，舍去）， 当时，， ，不符合要求， 扩建后花园的面积不可以为． 【变式2】在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由． (2)你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，并写出你的设计方案． 【答案】(1)小芳的方案不符合条件，见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住等量关系花园的面积等于荒地面积的一半是解决问题的关键． （1）利用等量关系花园的长花园的宽荒地面积的一半得到路的宽度，跟小芳所给的道路比较即可； （2）利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，可得另一方案；保证阴影部分的面积等于荒地面积的一半即可． 【详解】（1）解：不符合． 设小路宽度均为， 根据题意得： 解这个方程得：，． 但不符合题意，应舍去， ∴小芳的方案不符合条件； （2）解：答案不唯一． 例如： 左边的图形，取上边长得中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半； 右图横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4米时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半． 【变式3】现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计） (1)每个矩形硬纸板的四个角分别去掉2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形后，可以折叠成一个有盖的长方体盒子（如图），已知该长方体盒子的底面积是，求出该盒子的高； (2)工厂将这些硬纸板全部做成有盖盒子出售．已知每块矩形纸板的成本为12元，若有盖盒子的售价为24元/个，则每天可售出18个．在销售过程中发现，有盖盒子价格每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利208元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 【答案】(1)该长方体盒子的高为 (2)每个有盖盒子应降价4元 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，正确读懂题意，列出方程是解题的关键． （1）设该长方体盒子的高为，根据长方体盒子的底面积是，结合图形得：，求解即可； （2）设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子售价为元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设该长方体盒子的高为， 由题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该长方体盒子的高为； （2）解：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子售价为元， 由题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：每个有盖盒子应降价4元． 题型06 用一元二次方程解决动态几何问题 【典例1】如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ (2)若，当时，直接写出经过______秒后，． 【答案】(1)8或10 (2)8或12 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质和判定， 对于（1），设运动时间为t秒，表示出，即可得再根据两种情况得出方程，求出解即可； 对于（2），根据题意作出图形，再根据勾股定理求出，并表示出，然后结合得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒，可知，则 当时，四边形是平行四边形，即， 解得； 当时，四边形是平行四边形，即， 解得． 所以当时间为8秒或10秒时，其中一个四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，过点D作，交于点E， 根据题意可知四边形是矩形， ∴， ∴． 在中，， 解得． 如图所示四边形是等腰梯形或平行四边形，即，此时， 即， 解得或， 所以当或时，． 故答案为：8或12． 【变式1】如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为． (2)设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 【答案】(1)当移动2秒或4秒时，的面积为； (2)当移动3秒时，四边形的面积为，理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积． （1）求运动时间为t秒时、的长度，根据三角形的面积公式列一元二次方程计算即可； （2）令的面积减去的面积等于108即可得出关于t的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：运动时间为t秒时（），，， ∴， 解得：，． 答：当移动2秒或4秒时，的面积为； （2）解： ， 解得：． 答：当移动3秒时，四边形的面积为． 【变式2】如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． (1)问当t为多少时，？ (2)连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)t的值为1 (2)存在，t的值为2 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程，正方形的性质，三角形的面积，掌握以上知识点是解本题的关键． （1）根据题意得，，根据勾股定理可得，整理得，解出方程即可． （2）根据正方形的性质，可得，，再利用三角形面积得出，代入数值列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ． ，即， ， ， ． 当时，，舍去， 的值为1． （2）存在． 理由：四边形是正方形， ，， ， ， 即， ，解得． 当t的值为2时，． 【变式3】如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. (1)当 时，平分四边形的面积. (2)当与四边形的某一边平行时，求的值. (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或. (3)存在为等腰三角形，值为或或. 【分析】（1）根据题意可得，，解方程即可求出答案； （2）分和两种情况，根据平行四边形的判定和性质进行列方程解答即可； （3）连接，作于点E，，，分三种情况分别列方程，解方程进行解答即可. 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵ ∴四边形是直角梯形， 由题意可得，， 解得， 故答案为： （2）当时， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， 解得， 当时， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， 解得， 综上可知，当与四边形的某一边平行时，求的值为或. （3）如图，连接，作于点E，则 ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， 当时，，解得（不合题意的值的解已舍去） 当时， ，解得（不合题意的值的解已舍去） 当时，，解得（不合题意的值的解已舍去） 综上可知，值为或或. 一、单选题 1．（2026·湖北·中考真题）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，即可列出对应方程． 【详解】解：∵共有支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛场， ∴每支球队需要和除自身外的支球队各比赛场， 又∵每一场比赛会被两支球队重复计算次，需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 2．（山东淄博市高新区025～2026学年度第二学期期末学业质量检测八年级数学试题（五四制））某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为200杯，随着气温不断回升，若连续两个月的销量逐月匀速上涨，预计五月份的销量能达到338杯．设四、五这两个月每月销量的平均增长率均为，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平均增长率问题，从三月份到五月份，销量经过两次匀速增长，根据初始销量和五月份的最终销量列方程即可． 【详解】解：∵三月份销量为杯，每月销量的平均增长率为， ∴四月份销量为杯， ∴五月份销量在四月份基础上增长，可得五月份销量为， 又∵已知五月份销量为杯， ∴可列方程为． 3．（2026·云南昭通·模拟预测）某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际利润问题，解题核心是利用“总盈利等于每枚徽章盈利乘以销售量”的关系，根据降价情况分别表示出降价后的每枚盈利和销售量，即可列出方程． 【详解】解：∵设每件商品降价元， ∴降价后每枚徽章的盈利为元， ∵每降价元平均每天可多售出枚， ∴降价元后，每天的销售量为枚， 又∵平均日盈利为元， ∴可列方程为． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长，宽的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为．设粘贴区宽度为，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设粘贴区宽度为，则中间空白部分的长为，宽为， 则． 二、填空题 5．（25-26八年级下·江苏南通·期末）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．设阔步，根据题意可列方程为___________． 【答案】 【分析】先根据宽与长的数量关系表示出矩形的长，再利用矩形面积公式即可列出方程． 【详解】解：设矩形的阔为步，则矩形的长为步， 由题意得，． 6．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，一个养殖户用米长的围栏围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积为平方米，那么每个鸡舍的长为______． 【答案】米或米 【分析】设每个鸡舍垂直于墙面的一边为米，则平行于墙面的一边为米，根据题意得，然后解方程即可． 【详解】解：设每个鸡舍垂直于墙面的一边为米，则平行于墙面的一边为米， 根据题意得， 解得，， 当时，，则每个鸡舍的长为米； 当时，，则每个鸡舍的长为米； 综上可得：每个鸡舍的长为米或米． 7．（2026·山西长治·三模）山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为________元． 【答案】60或80 【分析】每瓶售价定为元，则每瓶利润为元，销售量减少瓶，则日销售量为瓶，再由总利润=每瓶利润销量建立一元二次方程求解． 【详解】解：每瓶售价定为元， 由题意得，， 整理得， 解得， ∴每瓶售价定为60或80元． 8．（浙江湖州市2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷）“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 【答案】16 【分析】根据题意，得到，整理得，再根据解一元二次方程的方法解方程，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，可得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 解得，， ∵个小方格中的正整数互不相等， ∴，即的值是16． 三、解答题 9．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）某超市3月份的利润为20000元，5月份的利润为24200元．若3月份到5月份利润的月平均增长率相同． (1)求该超市这两个月的月平均增长率； (2)在（1）的条件下，请通过计算预测该超市7月份的利润能否超过30000元？ 【答案】(1) (2)该超市7月份的利润不能超过30000元． 【分析】（1）设该超市这两个月的月平均增长率为，根据题意列方程，据此求解即可； （2）求得该超市7月份的利润，据此判断即可． 【详解】（1）解：设该超市这两个月的月平均增长率为， 根据题意得， 解得或（舍去）， 答：该超市这两个月的月平均增长率为； （2）解：∵5月份的利润为24200元，月平均增长率为， ∴， 答：该超市7月份的利润不能超过30000元． 10．（25-26八年级下·福建漳州·期末）漳浦县自发布渔业生态保护相关通告后，本地养殖的黄翅鱼（黄鳍鲷）和石斑鱼在市场上热销，成为不少游客喜爱的伴手礼．2026年端午假期，小福同学旅游到此，并购买了若干黄翅鱼和石斑鱼，他用元买的黄翅鱼的数量比用同样价钱买石斑鱼的数量多斤，且石斑鱼的单价是黄翅鱼的倍． (1)求黄翅鱼、石斑鱼两种鱼的单价分别为多少元/斤； (2)两种鱼在得到一致好评后，小福决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中黄翅鱼按照原单价购买，石斑鱼的单价每斤降低元，则购买的数量会比第一次购买石斑鱼的数量增加斤，第二次一共购买斤鱼共用了元．求的值． 【答案】(1)黄翅鱼单价为元/斤，石斑鱼单价为元/斤 (2) 【分析】（1）设黄翅鱼的单价为元/斤，则石斑鱼的单价为元/斤，根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据题意得出第二次购买时，石斑鱼的数量为斤，黄翅鱼的数量为 斤，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设黄翅鱼的单价为元/斤，则石斑鱼的单价为元/斤． 根据题意，， 解得， 检验：当时，， 所以是原方程的解， 则石斑鱼的单价为：（元/斤）． 答：黄翅鱼单价为元/斤，石斑鱼单价为元/斤； （2）解：第一次购买石斑鱼的数量：（斤）， 第二次购买时，石斑鱼的数量为斤，黄翅鱼的数量为 斤； 石斑鱼的单价变为元/斤，黄翅鱼单价仍为元/斤． 根据题意，， 解得（不合题意，舍去）或． 答：的值为． 11．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． (1)当时，求长． (2)当的面积为时，求t的值． (3)当时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，，，根据勾股定理求解即可； （2）根据题意，，由列方程求解即可； （3）根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， ， ； （2）解：，，， ，， ， ； （3）解：由勾股定理，可得， 解得或， ， ． 12．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为米，左右两条纵向道路宽度都为x米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过6米，且不小于米． 素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天． 问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． (1)若中间部分种植面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润=总销售额-收购总成本-冷库总费用） (2)该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ 【答案】(1)符合要求 (2)在第10天出售 【分析】（1）由中间部分种植面积是，列出一元二次方程，求解方程得的值，再进行取值即可； （2）设草莓存放了天，根据利润=总销售额一收购成本-冷库费用，且利润为800元列一元二次方程并求解即可. 【详解】（1）解：当中间部分种植面积是时，则有： 整理得：， 解得，，， ∵， ∴不符合题意， ∴， 答：小路的宽为3米符合要求； （2）解：设草莓存放了天，根据题意得： ， 整理得： 解得，（超出最大保存期限，舍去） 答：在第10天出售． 一、单选题 1．（2026·云南昆明·二模）旅居云南，从“游”到“居”，是身心的安放；由“居”而“创”，是梦想的扎根，2023年，云南全省接待旅居人数约200万；2025年，云南全省接待旅居人数约550万．设云南全省接待旅居人数的年平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均增长率的增长规律推导两年后的旅居人数，即可列出正确方程． 【详解】解：2023年接待旅居人数约为万，年平均增长率为， 2024年接待旅居人数为， 2025年接待旅居人数为， 又2025年接待旅居人数约为万， 可列方程． 2．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）中国（安庆）黄梅戏艺术节是中国首个以黄梅戏为主题的全国综合性艺术节，安庆市某校八（1）班同学互赠黄梅戏主题书签，共赠主题书签2450张，若八（1）班共有n名学生，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题关键是理解互赠的含义． 计算总赠出书签的数量，从而列出方程． 【详解】解：∵八（1）班共有名学生，同学之间互赠书签，即每名同学需要向除自己以外的其他同学各赠送1张书签， ∴每名同学送出张书签，名同学送出书签的总张数为， 又已知共赠主题书签2450张， ∴可列方程． 3．（2026·广东深圳·二模）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为7米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块12平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出矩形的另一条边长，根据矩形的面积公式列出方程即可. 【详解】解：设矩形的一边长为米，则另一条边长为米，由题意，得： . 4．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，．点从点出发向终点以的速度移动，点从点出发向终点以的速度移动，，两点同时出发，其中一点到达终点则两点同时停止运动．当的面积等于时，两点运动了（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设后，的面积等于，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设后，的面积等于． 由题意，得，，则． ， ， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 故当的面积等于时，两点运动了． 故选：A． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，其中一面靠现有墙（墙的长度为16米），另外三面及中间用围栏隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门，已知计划中的围栏材料（不包括门）总长为33米，则能建成的饲养室面积最大为（   ）平方米． A．54 B． C．108 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．根据题意，设中间隔开的墙长为，能建成的饲养室总占地的面积为，先根据墙的长度为16米，求出，再求出，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设中间隔开的墙长为，能建成的饲养室总占地的面积为， ∵， ∴， 根据题意得，， ∵，且， ∴当时，取得最大值，最大值为， 则能建成的饲养室面积最大为平方米． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）为了积极响应“中央关于增强国民健康基础，促进健康中国战略发展”，东西湖区五环体育中心暑假期间（每日上午9：00—12：00）向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场1000人次，第三周进场1440人次．若进场人次的周平均增长率相同，为求进场人次的周平均增长率．设进场人次的周平均增长率x，依题意可列方程为__________________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设周平均增长率为x，第一周进场1000人次，第三周进场1440人次，从第一周到第三周经过两周增长，故列方程． 【详解】解：根据增长率问题，第一周为基础值，经过两周增长后达到第三周的值， 因此第三周人次为，等于1440， 故列方程为． 故答案为： 7．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）如果一个直角三角形三边的长为连续整数，求它的斜边长．若设这个直角三角形的斜边长为，则可列方程______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理和一元二次方程的应用，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 由于直角三角形三边为连续整数且斜边最长，设斜边长为，则两直角边分别为和，根据勾股定理列出方程． 【详解】解：设斜边长为，则两条直角边长分别为和． 由勾股定理，得． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园、为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块、则小路的宽度为______． 【答案】 【分析】本题考查了与图形有关的一元二次方程的应用，理解题意列出一元二次方程是关键；设小路的宽度为，则可表示出一个小长方形的长与宽，根据其面积为建立方程即可求解． 【详解】解：设小路的宽度为，则一个小长方形的长为，宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）将一些半径相同的小圆按如图所示摆放成一组不仅具有艺术美感，还存在数学规律的图案，请仔细观察，按此规律，如果某个图中小圆的个数恰好为60个，那么它应该是第______________个图． 【答案】7 【分析】本题考查了图形规律的探究和一元二次方程的解法，第1个图形中小圆的个数为；第2个图形中小圆的个数为；第3个图形中小圆的个数为；…；则知第n个图形中小圆的个数为；假设存在第x个图的小圆个数为60，列方程为，再解方程即可． 【详解】解：由题意可知第1个图形有小圆个； 第2个图形有小圆个； 第3个图形有小圆个； 第4个图形有小圆个； ∴第n个图形有小圆个， 设第x个图中小圆的个数恰好为60个，根据题意得 解得（不符题意，舍去） 所以，第7个图中小圆的个数恰好为60个． 故答案为：7． 10．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）问题背景：我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例：首先将方程变形为，然后构造如图1所示图形，利用面积关系得新方程，从而求出原方程的一个正根． 【拓展应用】：一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为54的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为9，那么此方程的正根为_____． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程，读懂题意，理解材料中的方法，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可求出答案． 【详解】∵ ∴， ∴四个小矩形的面积为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图2是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为9， ∴， 解得， 当时，， ∴， 解得，即方程的一个正根为； 当时，， ∴， 解得，，即方程的一个正根为； 综上所述，方程的一个正根为或， 故答案为： 或． 三、解答题 11．（25-26九年级上·山西长治·期末）中国书法是中华文化的独特表现艺术．被誉为：无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐、而“三分画，七分裱”．书画装裱技艺同时也为书画内容服务．现要装裱一幅竖式布局的《七律·长征》书法作品，装裱时四周加上一定宽度的绫边、上、下绫边的宽度之比为．左、右绫边的宽度相等、下绫边的宽度是左、右绫边宽度的2倍．若装裱成品的面积为，求装裱成品的长与宽． 【答案】装裱成品的长与宽分别为， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设左、右绫边的宽度为，则上绫边的宽度为，下绫边的宽度为，根据题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设左、右绫边的宽度为，则上绫边的宽度为，下绫边的宽度为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴，， 答：装裱成品的长为，宽为． 12．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）长鑫存储是合肥市政府重大招商引资项目，也是国内专注于存储芯片研发、生产与销售的龙头企业，坐落于合肥经开区，实现了存储芯片自主化突破，旗下内存产品广泛应用于电脑、服务器等设备．随着技术不断成熟与市场需求增长，企业经营业绩稳步攀升．请结合以下信息解答问题． (1)长鑫存储2023年全年营收为90亿元，2025年全年营收达到608.4亿元，求2023年至2025年这两年营收的年平均增长率． (2)某经销商主营长鑫内存条，该内存条进价为240元/条．经市场调研：当售价定为300元/条时，每月可售出200条；若售价每降低5元，每月销量可增加25条．为减少库存，若该经销商每月想要获得12375元的销售利润，求此时内存条的实际售价． 【答案】(1)年平均增长率为 (2)内存条实际售价为元 【分析】（1）设至年平均增长率为，结合2025年全年营收达到608.4亿元，再建立方程求解即可； （2）设每条内存条降价元，可得单件利润：，月销量：，进一步列方程求解即可. 【详解】（1）解：设至年平均增长率为， ∴， ， 开平方，得， 增长率不能为负，故舍去， 所以， 即， 答：年平均增长率为． （2）解：设每条内存条降价元，则 单件利润：， 月销量：， ∴， 化简得：， ， 解得，． 越大，销售量越大，库存越少，所以舍去， 当时，售价：元， 答：内存条实际售价为元． 13．（25-26九年级上·广东深圳·期末）第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”以中华白海豚为原型，吉祥物玩偶一经发售，深受大家喜爱．玩偶进价为每个45元，当售价为65元时，平均每周可售出200个．经调查发现，该玩偶单个售价每降低1元，每周可多售出20个． (1)若每个玩偶售价降低2元，则销售一个该玩偶获得的利润为______元；若每个玩偶售价降低元，则每周的销售量为______个（用含的代数式表示）； (2)商店希望通过销售该玩偶实现平均每周4500元的盈利，则每个玩偶售价应降价多少元? 【答案】(1)18； (2)5元 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用： （1）当前售价减去降低金额再减去进价即为利润；降低元，周销量增加个，由此列代数式； （2）用含x的式子表示出单个利润及周销量，相乘即为周利润，由此列一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：若每个玩偶售价降低2元，则销售一个该玩偶获得的利润为：（元）； 若每个玩偶售价降低元，则每周的销售量为：个， 故答案为：18，； （2）解：每个玩偶售价应降价元，由题意得： ， 整理得， 解得， 即每个玩偶售价应降价5元． 14．（25-26九年级上·山西吕梁·阶段检测）综合与探究 问题情境： 如图，在中，，，，动点D从点A出发，以的速度向点C移动，同时动点E从点C出发，以的速度向点B移动，设它们的运动时间为． 猜想证明： （1）当点D，E都运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值；如果不可以，请说明理由． 拓展延伸： （2）当时，求四边形的面积． （3）直接写出当t为何值时，的面积等于四边形的面积的． 【答案】（1）不可以，理由见解析；（2）；（3）或 【分析】本题考查一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）根据路程速度时间，结合勾股定理列方程，再根据一元二次方程解的情况可求解； （2）先根据路程速度时间求得，，然后利用求解即可； （3）根据题意可得面积等于面积的，进而列方程求解即可． 【详解】解：（1）当点D，E都运动时，的长不可以是，理由： 由题意，，，则 在中，由勾股定理得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数根， 故当点D，E都运动时，的长不可以是； （2）当时，，， ∴， ∵， ∴； （3）∵的面积等于四边形的面积的， ∴面积等于面积的， ∴， 即， 整理，得， 解得，． 答：当t为或时，的面积等于四边形的面积的． 15．（25-26八年级下·广西梧州·期中）综合与实践 【问题情境】小豪毕业后决定从事农业养殖，他计划在老家建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一面墙（如图），另三边用铁丝网围成，已知铁丝网的长为． (1)若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为多少米？ 【方案设计】 (2)若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为多少米？ 【方案预测】 (3)小豪经过实地考察，希望能在未来扩大养殖．其他条件不变，且墙足够长，你认为将长方形养鸡场的面积扩建为是否可行？若可行，则请给出符合条件的方案；若不可行，则请说明理由． 【答案】(1)答：若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为米或米． (2)答：若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为米． (3)不可行，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，进行求解，即可． （1）设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据面积为，列出方程，即可； （2）由（1）可得，垂直于墙的一边长为或；分别求出平行于墙的一边长，进行比较，即可； （3）长方形养鸡场的面积扩建为，设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，列出方程，进行解答，即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∴， 解得：，； 答：若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为米或米． （2）解：当，则平行于墙的一边长为：符合题意； 当，则平行于墙的一边长为：，不符合题意； 答：若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为米． （3）解：不可行，理由如下： 设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∴， 整理得：， ， ∴此方程没有实数根， ∴没有符合题意的方案． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $