第21章 一元二次方程 单元训练 2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

**基本信息** 华东师大版2024九年级上第21章一元二次方程新授课单元卷，覆盖定义、解法、根的判别式等核心知识，通过基础题、创新概念题及实际应用，培养抽象能力、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|12|一元二次方程定义、配方法、根的判别式、n倍方程概念|基础巩固，结合创新概念辨析| |填空题|5|因式分解法、三角形边长应用、韦达定理应用、倍根方程|能力提升，联系几何与代数| |解答题|5|解方程（直接开平方法等）、利润问题、和差二次方程探究|创新应用，融入实际情境与阅读材料|

华东师大版（2024）九年级上 第21章 一元二次方程 单元训练 一．选择题（共12小题） 1．（2026春•龙泉市期末）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B．x2+1=2x C．2（x+1）=x D．x3+x2+2=0 2．一元二次方程x2-9=0的解是（　　） A．x1=x2=-3 B．x1=x2=3 C． D．x1=3，x2=-3 3．关于x的一元二次方程x2+bx-1=0的实数根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．用配方法解方程x2+4x+3=0时，配方后得到的方程为（　　） A．（x+2）2=1 B．（ x+2）2=3 C．（x-2）2=3 D．（ x-2）2=1 5．用配方法解一元二次方程x2-6x+3=0时，下列变形正确的是（　　） A．（x-3）2=3 B．（x-3）2=6 C．（x+3）2=6 D．（x-3）2=12 6．用配方法解方程x2-2x=2时，左右两边需同时加上常数是（　　） A．1 B．-2 C．2 D．-1 7．已知关于x的一元二次方程x2-2x-5=0的两个根为x1，x2，则x1x2的值为（　　） A．-5 B．5 C．2 D．-2 8．把一元二次方程x（4x-1）=2x+3化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．4，1，3 B．4，-3，-3 C．4，-2，3 D．1，-3，-3 9．已知关于x的方程x2-6x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可能是（　　） A．8 B． C．9 D．10 10．若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 11．已知a≥2，m2-2am+2=0，n2-2an+2=0，则（m-1）2+（n-1）2的最小值是（　　） A．6 B．3 C．-3 D．0 12．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍，则称这样的方程为“n倍方程”，以下关于n倍方程的说法正确的是（　　） ①方程x2-3x+2=0是2倍方程； ②若（x-3）（mx+1）=0为3倍方程，则； ③若p,q满足pq=8，则关于x的方程px2-6x+q=0为2倍方程； ④若关于x的方程ax2+bx+c=0为n倍方程，则nb2=（n+1）2ac. A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 二．填空题（共5小题） 13．若一元二次方程为x2-2x=0，则方程的根为 ______． 14．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程x2-10x-24=0的解，则这个三角形的周长是______． 15．已知a是方程x2-2x-5=0的一个根，则代数式的值为______． 16．已知α，β是方程x2+2025x+1=0的两个实数根，则（α2+2026α+2）（β2+2026β+2）的值为______． 17．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有______（填序号） ①方程x2-x-2=0是倍根方程； ②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程：则4m2+5mn+n2=0； ③若p,q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程； ④若方程以ax2+bx+c=0是倍根方程，则必有2b2=9ac. 三．解答题（共5小题） 18．解下列关于x的方程 （1）4（x-1）2=（x+2）2 （2）（x-5）2+4（x-5）=0 （3）x2+8x-2=0 （4）2x2-3x-4=0． 19．若关于x的一元二次方程x2-2（k+1）x+k2+2=0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为α、β，且（α+1）（β+1）=29，求k的值． 20．学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程x2+x-m=0展开探究． （1）当m=1时，该方程的正根称为“黄金数”，求“黄金数”； （2）若实数a,b满足a2+a-m=0，b2+2b-4m=0，且2a≠b,求2a+b的值； （3）若两个不相等的实数p,q满足p2+p-m=mq,q2+q-m=mp,求证：pq=m2． 21．人形机器人是设计和结构上模仿人类身体形态的机器人，代表了人类对通用型机器助手的长远梦想．随着人工智能、减速器和传感器技术的突破，它正从科幻走向现实，某商家采购减速器模型和传感器模型对外销售，每个减速器模型的进价为15元，每个传感器模型的进价为20元． （1）若该商家准备用不超过10000元采购减速器模型和传感器模型共600个，求最多能购买传感器模型多少个？ （2）该商家在对外销售的过程中调查发现：当减速器模型的售价为30元时，平均每天能售出200个，经测算发现每个减速器模型的售价每降低1元，平均每天可多售出50个，为扩大销量占领市场，商家决定对减速器模型进行降价促销，要使平均每天的利润达到4400元，则减速器模型应降价多少元？ 22．阅读材料并解答相关问题． 材料1：规定：如果实数a,b,c满足a+c=b,那么称一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）为“和差”二次方程． 材料2：韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则： （1）【概念辨析】问题1：下列方程是“和差”二次方程的有______（填写序号）； ①x2+3x-2=0；②2x2+5x+3=0；③x2+2x+1=0；④x2+2x+3=0． （2）【特例感知】①问题2：分别求出“问题1”中所有“和差”二次方程的根． ②问题3：若“和差”二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根5，求这个方程的另一个根． （3）【结论归纳】问题4：设m,n是“和差”二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，请写出你发现的关于两根m,n的结论，并说明理由． 华东师大版（2024）九年级上 第21章 一元二次方程 单元训练 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、B 2、D 3、A 4、A 5、B 6、A 7、A 8、B 9、A 10、B 11、A 12、C  二．填空题（共5小题） 13、x1=0，x2=2； 14、26； 15、-； 16、-2023； 17、②③④；  三．解答题（共5小题） 18、解：（1）4（x-1）2=（x+2）2， 移项得：4（x-1）2-（x+2）2=0， [2（x-1）+（x+2）][2（x-1）-（x+2）]=0， 2（x-1）+（x+2）=0，2（x-1）-（x+2）=0， x1=4，x2=0； （2）（x-5）2+4（x-5）=0， （x-5）（x-5+4）=0， x-5=0，x-5+4=0， x1=5，x2=1； （3）x2+8x-2=0， b2-4ac=82-4×1×（-2）=72， x=， x1=-4+3，x2=-4-3； （4）2x2-3x-4=0， b2-4ac=（-3）2-4×2×（-4）=41， x=， x1=，x2=． 19、解：（1）由条件可知Δ=[-2（k+1）]2-4（k2+2）≥0， ∴； （2）∵（α+1）（β+1）=αβ+（α+β）+1=29，αβ=k2+2，α+β=2（k+1）， ∴k2+2+2（k+1）+1=29， 整理得k2+2k-24=0， 解得k=-6或k=4， ∵， ∴k=4． 20、（1）解：由条件可得x2+x-1=0， 解得， ∴“黄金数”为； （2）解：由条件可得：， 即， ∵2a≠b, ∴， ∴a,是一元二次方程x2+x-m=0的两个根， ∴， ∴2a+b=-2． （3）证明：∵p2+p-m=mq①，q2+q-m=mp②， ∴①-②，得p2-q2+p-q=m（q-p）， ∴（p-q）（p+q）+（p-q）=-m（p-q）， ∵p≠q, ∴（p+q）+1=-m, ∴p=-1-m-q③，q=-1-m-p④， 将④代入①，得p2+p-m=m（-1-m-p）， ∴p2+p-m+m+m2+mp=0， ∴p2+（1+m）p+m2=0， 将③代入②，得q2+q-m=m（-1-m-q）， ∴q2+q-m+m+m2+mq=0， ∴q2+（1+m）q+m2=0， ∴p,q是一元二次方程x2+（m+1）x+m2=0的两个根， ∴pq=m2． 21、解：（1）设购买传感器模型x个，则购买减速器模型（600-x）个， 由题意得：20x+15（600-x）≤10000， 解得：x≤200， 答：最多能购买传感器模型200个； （2）设减速器模型应降价y元， 由题意得：（30-y-15）（200+50y）=4400， 整理得：y2-11y+28=0， 解得：y1=7，y2=4（不符合题意，舍去）， 答：减速器模型应降价7元． 22、解：（1）①x2+3x-2=0中a+c=1-2≠3=b,不是“和差”的二次方程； ②2x2+5x+3=0中a+c=2+3=5=b,是“和差”的二次方程； ③x2+2x+1=0中a+c=1+1=2=b,是“和差”的二次方程； ④x2+2x+3=0中a+c=1+3≠2=b,不是“和差”的二次方程； 故答案为：②③； （2）①∵a=2，b=5，c=3， ∴Δ=52-4×2×3=1， ∴， ∴； 解方程x2+2x+1=0， （x+1）2=0， ∴x1=x2=-1； ②设方程的另一根是x2，则． ∵a+c=b, ∴， 即x2+5=-1-5x2， 解得：x2=-1； （3）m=-1或 n=-1． 理由：由条件可知， 又∵a+c=b, ∴， ∴m+n=-1-mn, mn+m+n+1=0， ∴（m+1）（n+1）=0， ∴m+1=0或n+1=0， ∴m=-1或n=-1． 学科网（北京）股份有限公司 $