第21章 一元二次方程全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 系统构建一元二次方程“概念-解法-应用”三层突破体系，以题型为载体提炼解题方法，衔接知识逻辑与核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|8题型40题|聚焦四种解法（直接开平方/配方/公式/因式分解）及最优选择，归纳根的判别式与系数关系应用规则|从概念（一般形式）到解法原理，再到根的性质，形成“定义-运算-性质”递进链条| |核心提升|7题型35题|针对实际应用（增长率/几何面积等）提炼建模方法，含参问题强化分类讨论，换元法渗透整体思想|从代数运算延伸至实际问题，通过变式训练实现方法迁移，培养数学建模与逻辑推理能力|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第21章一元二次方程全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1：一元二次方程的概念与一般形式 题型2：直接开平方法 题型3：配方法 题型4：公式法 题型5：因式分解法 题型6：选择最优解法 题型7：根的判别式 题型8：根与系数的关系 目核心提升：重难题型归纳 题型1：增长率问题 题型2：儿何面积问题 题型3：握手/循环赛问题 题型4：营销利润问题 题型5：含参方程与判别式 题型6：根与系数的关系变形求值 题型7：整体思想与换元法 目题型专练：高频重难特训 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1一元二次方程的概念与一般形式 1.一元二次方程x2-6x-2=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是() A.1,6,2 B.1,-6,-2 C.0,-6,-2 D.1,-6,2 2.将一元二次方程2x-x(x3)=3化为一般形式，正确的是() A.5x-x2=3B.x2-5x=-3 C.x2-5x+3=0D.5x-x2-1=0 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.下列方程中是一元二次方程的是() A.x2+1=0 B.x2+1=5 C.(x+1)2=x2 D.x2-y-5=0 X 4.下列方程中，属于一元二次方程的是() A.2x2+3y-1=0 B.x2+1=2 C.2x-y=5 D.x2+2x-1=0 5.将一元二次方程3x2=-2x+1化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（) A.3,-2,-1B.3,-2,1 C.3,2,1 D.3,2,-1 ◆题型2直接开平方法 6.方程2x+12-8=0的解为 7.已知甲方程为x-4=9,乙方程为x+9P=-4,则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是 () A.甲有两个不相等的解，乙无解 B.甲、乙都有两个不相等的解 C.甲有两个相等的解，乙无解 D.甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 8.在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a-b,根据这个规则，方程X+1*5=C的解为 9.若方程x2-m=0的根为整数，则m的值可以是 (只填符合条件的一个即可) 10.若(X-1)=4,该方程的解为. ◆题型3配方法 11.用配方法解方程x+4x+1=0,则配方正确的是() A.（x-2)2=1B.(x+2)2=1 C.(x+2)2=3 D.(x+2)2=2 12.用配方法解一元二次方程x2-4x-6=0,以下变形正确的是() A.x-22=4 B.x-42=6 c.x-22=10 D.x-22=2 13.用配方法解方程x2-4x-3=0时，若将方程变形为x-2?=m,则m=一 14.把方程x2-4x+1=0化成x-2=m的形式，则m的值是 15.将一元二次方程x2+6x-1=0转化为x+m2=n的形式，则m+n的值为() A.8 B.11 C.13 D.16 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型4公式法 16.用公式法解下列方程. (1)x2-3x-7=0: (2)x2-5=2x+1: (3)2x2+V5x-5=0 17.若记方程x2-2x-2=0的两个不相等的实数根为X1,x2x1>x2,则x12-x2的值为() A.4V3 B.2V3 C.4 D.2 18.解方程：3x-x2=5x-7. 19.用公式法解下列方程： (02x2+4x-1=0, 3 (2)6x2-4=3x: (3)3x2+6x-1=0. 20.当x取何值时，代数式x2-x的值与3x+1的值相等？ ◆题型5因式分解法 21.方程2x+12+32x+1=0的解为 22.完成解题过程，用因式分解法解方程. (1)x2=2V3x 解：移项，得 因式分解，得一 于是得或， X1=,X2= (2)Xx+2=3x+6 解：移项，得· 因式分解，得、 于是得X=一，X2 23.方程x2-X=0的解是 24.将4个数a、b、c、d排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定 ab=ad-bc,上述记号就叫做 c d 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二阶行列试，若利中文10，则x=一 25.一元二次方程xx-1=0的解是() A.X=0 B.X=1 C.x=0或x=1 D.X=0或X=-1 ◆题型6选择最优解法 26.用适当的方法解方程： (1)x+22-25=0 (2)2x2-7x+3=0 27.用适当的方法解下列方程 (1)x-12=2 (2)x2-3x+1=0 (3)5x3x+2=6x+4. 28.用适当的方法解下列方程： (1)x-22=x-2: (2)x2+3x-1=0. 29.解方程(1)、(2)小题按指定方法解，(3)、(4)小题选择适当的方法解 (四吃X+x=2(配方法) (2)2x2-7x+6=0(公式法) (3)x+12-3=0 (4)4x+2=3xx+2 30.用适当的方法解方程： (1)x+32=2x+6: (2)x2-4x+2=0. ◆题型7根的判别式 31.己知关于x的方程x2-4x+c=0 (1)当方程的一个根为2时，求c的值。 (2)若方程的两根之积为3，求方程的根。 32.(1)解方程x2-2x=5: 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知关于x的方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围. 33.己知关于x的一元二次方程x2+m+8x+3m+15=0 (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根： (2)若方程两个根均为负整数，求负整数m的值， 34.(1)解方程：4x2-9=22x-3: (2)k为何值时，关于t的方程t2-k-2t+2k-8=0有两个相等的实数根？ 35.计算： (1)解方程：2x2-5x+3=0: (2)已知关于x的一元二次方程x-Px-6-p=0.求证：无论P为何值，该方程都有两个不相等的实数根. ◆题型8根与系数的关系 36.已知关于x的一元二次方程2x2-5x-m-1=0有两个不相等的实数根 (1)求m的取值范围： (2)记此方程的两个根为X1,X2.当m取满足条件的最小整数时，求x+x的值， 37.已知关于x的一元二次方程x-2x+m=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围. (2)记该方程的两个实数根为X1和x2,若(X1X2)广+x1+X2=6,求m的值. 38.若x1、x2是一元二次方程x2-V2x-1=0的两个根，求下列代数式的值. (1)x1+X2 39.(1)找到一个首项系数为1，常数项是有理数的一元二次方程，它的一个解是/2+3 (2)解方程：xVX=x+VX, (3)已知3sinc+2coso=1,求tana. 40.阅读理解： 材料1.若一元三次方程aX+bx+c=0a0的两根为X1,X2,则x1+x2三D ，xx2= a 材料2.已知实数，n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n,求+巴 的值。 m n 解：由题知m,n是方程x2-X-1=0的两个不相等的实数根， 根据材料1得m+n=1,mn=-1, 5/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 +m=m2+m=m+n-2mm=1+2=-3 m n mn mn -1 解决问题： (1)一元二次方程x2-4X-3=0的两根为x1,X2,则x1+x2=_,X1X2=_: ②己知实数m,n满足m2+m-1=0,n2+n-1=0且m≠n,求2+m的值. m n (3)已知实数m、n满足2m2-2m-1=0,2n2-2n-1=0,且m≠n,求m2n+mn2的值 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1增长率问题 41.湖北省预计于2020年年底实现全省贫困人口全部脱贫.2018年，湖北省精准脱贫专项资金合计约30 亿元，据扶贫办报告，2020年湖北省政府合计拨款43.2亿元用于脱贫攻坚最后一战.根据以上信息，请你 计算在2018~2020年期间，湖北省脱贫专项资金年平均增长率为多少？ 42.某中学2020年对学校实验器材投资20000元.为改善办学条件，预计今明两年加大投入，请根据下列 条件，通过计算或列方程等解答问题： (1)若今年学校对实验器材投入比去年增加10%，则学校今年对实验器材投入多少元？ (2)按照（1)中增加的投入比例，则学校明年对实验器材投入多少元？ (3)若今明两年学校对实验器材投入增加的百分数相同，且明年的投资为28800元，求今明两年学校对实验 器材投入的平均增长率， 43.百香果，又名“鸡蛋果”，属西番莲科.因其果汁营养丰富，气味芳香，故有“果汁之王”等美称。 “黄金”百香果是优质新品种，在某市被广泛种植.某百香果种植基地到2021年年底已经种植“黄金”百 香果100亩，到2023年年底“黄金”百香果的种植面积达到196亩. (1)求该基地这两年“黄金“百香果种植面积的年平均增长率， (2)已知该基地“黄金”百香果的平均成本为12元/千克，市场调查发现，当“黄金”百香果的售价为20元 /千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了减少库存，该基地决定 降价促销，但要求销售单价不得低于成本，且不高于20元.要使销售“黄金”百香果每天获得的利润最大， 则销售单价应降低多少元？最大利润为多少元？ 44.某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为500kg,在每期亩产量平均增长率保持不变 的情况下，第三期亩产量达到720kg. (1)求每期海水稻亩产量的平均增长率. 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元.经市场调研发现：若售价定为每 千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克.当海水稻的定价为每 千克多少元时，每天可获利960元？ 45.依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高.该店7月份酥饼总销 量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋. (1)求该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率. (2)门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋.市场调研显示：售价每下调1 元，单日销量多卖出10袋.门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价 多少元？ ◆题型2几何面积问题 46.如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米），另三边用木板 材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料总长 为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？ 47.目前，瓜沥镇正在为小城市建设做着不懈努力，镇政府决定在新城区政府大楼前建设一块长α米，宽 b米的长方形草坪，并计划在该草坪场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）· 0 (1)用含α，b的代数式表示两条人行道的总面积： a-b ②若a,b满足代数式可a-元 -V6xVb-a a+6,求a:b: (3)若已知：b值满足(2)的条件，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为 多少米？ 48.某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，其中一边靠墙（墙的长度为12米），另三边用总长 为28米的木板材料围成.若使得车棚的面积为80平方米，则这个矩形车棚的相邻两边长分别应为多少米？ 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 49.某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成.己知墙长25m,木栅栏长 47m,在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）.当鸡场的面积为280m时，求垂直 于墙的一边的长 出入口 50.小西家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN,小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂 场ABCD,已知木栏总长为20米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设AB长 为x米 M A D B 门 门 图① 图② (1)如图①，当AD≤MN时， ①AD= 米（用含x的代数式表示）. ②若围成的养蜂场面积为56平方米，求AB的长. (②)如图②，当AD>MN时，养蜂场的面积是否可以达到70平方米？请说明理由. ◆题型3握手/循环赛问题 51.“滇超联赛”是一项覆盖全省、全域联动的足球赛事，本届“滇超联赛”汇聚全省多个州市代表队， 赛程长达8个月，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），赛事主办方计划安排120场比赛，则共有 多少个州市代表队参加比赛？ 52.某单位准备举办羽毛球邀请赛，赛制为单循环（每两位选手之间各比赛一场），计划一共举行45场比 赛。 (1)求该邀请赛的参赛选手人数： (2)为保证比赛正常进行，邀请方与羽毛球商两次协商后，羽毛球商由原来每桶羽毛球售价50元，降为每 桶32元，求平均每次协商后降价的百分率. 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 53.九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了2450张 卡片，求班级学生人数 54.学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）· (I)设有n个球队参加比赛，比赛的场次数为m,则m与n的关系是 (2)若学校计划安排15场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 55.某县举办中学足球联赛，每个中学出一支球队，每两队之间都进行一场比赛，共要比赛21场，请问该 县共有多少个中学？ ◆题型4营销利润问题 56.某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件.经调查发 现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定 采取适当的降价措施.设每件衬衫降价x元 (1)每件衬衫的盈利为 元，每天可售出的衬衫 件：（用含X的代数式表示） (2)若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？ 57.某水果商店销售一种进价为40元/kg的优质水果.若售价为50元/kg,则一个月可售出500kg;若售 价在50元/kg的基础上每上涨1元，则月销售量就减少10kg.已知这种水果的售价不得超过70元/kg. (1)当售价为55元/kg时，每月可以销售该种水果多少千克？ (2)当月利润为8750元时，每千克该种水果的售价为多少元？ 58.某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备 适当降价.据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱。 (1)若售价下降1元，每天能售出箱饮料，若售价下降x元(x0),每天能售出 箱饮料； (2)若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？ (3)能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元：若不能，请说明理由 59.长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20 件.为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量， 增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件.设每件童装降价x元 (1)采取降价措施后，每天可销售件，每件盈利元：（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 60.某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降 价1元，则每天可多售5件.设降价x元. (1)若每天获得900元的利润，请你帮忙计算每件应降价多少元？ 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)该服装店能否通过降价销售的方式保证每天获得1640元的利润？并说明理由. ◆题型5含参方程与判别式 61.关于x的不等式a2-a+2x2+2a-3x+1>0恒成立，求a的取值范围. 62.对于实数，n,定义一种运算“※”为：m※n=mn+n. (1)求1※2的值： ②如果关于x的方程a※x※X弓有两个相等的实数根，求实数a的值。 63.已知关于x的一元二次方程n-1x2+mx+入=0有两个相等的实数根. (I)用含m的代数式表示，并直接写出m的取值范围： (2)关于x的方程m2x2-2mx-m2-2n2+3=0: ①求证：方程必有两个不相等的实数根： ②若m1,m,是方程m2X-2mx-m2-2n2+3=0的-个正根，记M=m,-192 试比较M与2的大小. 248 64.对于关于x的代数式ax2+bx+c,若存在实数m,使得当x=m时代数式的值也等于m,则称m为这 个代数式的“不动值”，例如：对于关于x的代数式x2,当x=0时，代数式等于0：当x=1时，代数式等 于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”. (1)关于x的代数式x-12的不动值是. (2)判断关于x的代数式2x2-X+1是否有不动值，若有请求出，没有则说明理由. (3)已知关于x的代数式a2x2-3a2-8a-1x+2a2-13a+15a0.若此代数式的不动值至少有一个是整 数，求出正整数a的值. 65.m为何值时，关于x的一元二次方程mx2-22m+1x+4m-1=0: (1)有两个相等的实数根？ (2)有两个不相等的实数根？ (3)无实数根？ ◆题型6根与系数的关系变形求值 66.阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根 为xX2,则X+X,名=S a 材料2：已知实数m,n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n,则m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的实数根. (①)材料理解：一元二次方程3x2-6x+1=0的两个根为X1,X2,则x1+X,=,XX2=一： (2)应用探究：已知实数a,b满足：a2-5a+1=0,b2-5b+1=0且a≠b,求ab+ab2的值： (3)思维拓展：己知实数m,n满足：m2+5m-3=0,4n2+10n-3=0,求2n+ m 2n 的值。 67.已知ax3+bx2+cx+d是关于x的多项式，记为Px.我们规定：Px的导出多项式为3ax2+2bx+c, 记为Qx.例如：若Px=4x3+3x2-5x-1,则Px的导出多项式 Qx=3×4x2+2×3x-5=12x2+6x-5. 根据以上信息，回答问题： (①)若Px=3x2+7x,则它的导出多项式Qx=一 (2)设Qx是Px的导出多项式， ①若Px=x3-x+1川x-2,求关于x的方程Qx=2的解； ②已知Px=a+1x2+4x-3是关于x的二次多项式，x1,x2是关于x的方程Qx=x2+8的两根，且 1+1=2,试求a的值. X1 X2 68.已知关于x的方程x2-k+4x+2k+1=0. (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根： (②)记该方程的两个实数根为x1,x2,求代数式x1-2x2-2的值； 3)若M=x+x3,N=2-X1X2,比较M与N的大小. 69.己知实数X1,X2满足X1+X2=-3,X1X2=-4, (1)求作以x1,X2为根的二次项系数为1的一元二次方程； (2)若a+a-1=0,b2+b-1=0a≠b,求a+b的值. 70.己知关于x的一元二次方程x2-m+2x+2m=0. (1)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根： (2)设该方程的两个根分别是x1、X2,若X1+x2+X1X2≥8.求m的取值范围. ◆题型7整体思想与换元法 71.解方程： (1x2-x+1=0: (22x2+x}-x2+x-3=0 72.解方程x-12-5x-1+4=0时，我们可以将x-1看成一个整体，设x-1=y,则原方程可化为 11/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.当y=1,即x-1=1,解得x=2;当y=4,即x-1=4,解得x=5.所以 原方程的解X1=2,X2=5. (1)请你利用这种方法解方程：2x-12-42x-1+3=0: (2)已知△ABC三条边的长度分别为a,b,c,若满足a2+b2-3a2+b2-4=0,且c=2,请判断△ABC 的形状，并说明理由. 73.阅读材料： 为解方程(x2-1)2-5x2-1+4=0,我们可以将x2-1视为一个整体，然后设x2-1=y,则(x2-1)2=y2, 原方程可化为y2-5y+4=0,① 解得y1=4,y2=1 当y=4时，x2-1=4,∴.x2=5,.x=±V5 当y=1时，x2-1=1,.x2=2,∴.x=±V2 ∴原方程的解为x1=2,x2=-V2,X3=5,x4=-5 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想， 请仿照材料解决问题： (1)解方程：(x2-2x)2-5x2+10x-6=0, (②)若四个连续正整数的积为120，求出这四个连续的正整数. 74.按要求完成下列各题： (10解方程：2x2+7x-13=13-2-7 (2)设x,y为实数，求S=y-1+x+y-32+2x-y-12的最小值. 75.为解方程x2-1}-5x2-1+4=0,我们可以将x2-1看作一个整体，然后设x2-1=y,那么原方程可 化为y2-5y+4=0①解得y1=1,y2=4, 当y=1时x2-1=1,∴.x2=2,.x=±2： 当y=4时，x2-1=4,.x2=5,.x=±/5. 故原方程的解为x1=V2,x2=-2,x3=V5,x4=-V5 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法 根据以上阅读理解，解答下列问题： (①)利用换元法解方程：x2-x2-4x2-x-12=-0: (②)若实数a、b满足Va+/6a+V6-2=3,求Va+Vb的值. 12/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型专练 高频重难特训 一、单选题 1.(2026四川宜宾中考真题)已知方程x2-9x+14=0的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的 面积是() A.4 B.5 c.6 D.7 2.(24-25九年级下·广东广州阶段检测)关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根， 则实数k的取值范围是() A.k>-1 B.k<-1 C.k>-1且k0 D.k≥-1且k0 3.(25-26八年级下·山东威海·期末)某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实 现垃圾分类.已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区 个数较前一季度的平均增长率均为x,则下面所列方程正确的是() A.601+x2=285 B.601-x}2=285 C.601+x+601+x2=285 D.60+601+x+601+x2=285 4.(25-26九年级上重庆沙坪坝阶段检测)已知整式M:a+a1X+a2x2+..+anx”,其中 n,ao,a1…an-1,an为正整数，且ag<a1<.<an-1<an,且a0a1…an-1an=A,下列说法正确的个数是 () ①若A=9,则多项式M可以为二次三项式：②若A=12,满足条件的所有整式M的和为10x2+27x+8; ③若A=24,满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有4个 A.0 B.1 C.2 D.3 5.(25-26九年级上·重庆北碚·阶段检测)换季时节流感高发，某社区发现一例流感患者，经过两轮传播 后，总感染人数达到81人.设每一轮传播中每个患者平均传染x人，则可列方程为()· A.1+x+x2=81 B.1+x+xx-1=81 C.1+x+x+1=81 D.1+X+xx+1=81 6.(2026安徽中考真题)已知关于x的一元二次方程ax2-bx+b-a=0a0有两个相等的实数根，则 b=() a 1 1 A.-2 B.-2 C.2 D.2 7.(24-25九年级下·全国·二轮复习)已知关于x的方程x2+bx+c=0bc0有两个不相等的实数根x1, X2(x1<X2),关于x的方程bx+C=0的根为X3,给出下面三个结论： 13/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①X1<X2<X3: ②X1<X3<X2: ③X3<X1<X2. 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是() A.① B.② C.①③ D.①②③ 二、填空题 8.(24-25九年级上广东东莞期末)在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信 群共发了72个红包，那么这个微信群共有人· 9.(2026四川凉山中考真题)已知一元二次方程x+4X-3=0的两根是X1,X2,则x1+x2的值为 10.(26-27九年级上·全国·周测)如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相 邻的6个数（如：8,14,15,16,17,24），若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个 数的和为 日一二三四五六 1234 567891011 12131415161718 19202122232425 262728293031 11. (24-25八年级下·安徽六安期末)对实数m,n定义一种新运算“⑧”： m☒n= m2-m-n(m>n m2+m+nm≤nl' 若x⑧-1=1，则实数x的值为 三、解答题 12.(25-26九年级上·全国课后作业)用配方法解下列方程： (1)x2+6x-11=0: (2)2x2+6=7x: (3)x2-10x+25=7: (4)3x2+8x-3=0: (5)x-1川x-2=12 13.(2021·北京.中考真题)己知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0 (1)求证：该方程总有两个实数根： 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若m>0,且该方程的两个实数根的差为2，求m的值. 14.（2024四川凉山中考真题)阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点 雨南雨南雨雨 ● ●● ●●● ● ●●●●●● ●●●●●●● 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10 (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为一，前15行的点数之和为，那么，前n行的点数之和 为 (2)体验：三角点阵中前n行的点数之和 (填“能”或“不能”)为500. (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第 二排4盆，第三排6盆…第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 15.（24-25九年级下·河南开封·阶段检测)某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种 植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支.若该植物的一个主干及其上面的支 干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数. 15/15 第21章 一元二次方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1：一元二次方程的概念与一般形式 题型2：直接开平方法 题型3：配方法 题型4：公式法 题型5：因式分解法 题型6：选择最优解法 题型7：根的判别式 题型8：根与系数的关系 核心提升：重难题型归纳 题型1：增长率问题 题型2：几何面积问题 题型3：握手/循环赛问题 题型4：营销利润问题 题型5：含参方程与判别式 题型6：根与系数的关系变形求值 题型7：整体思想与换元法 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 一元二次方程的概念与一般形式 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解：已经是一般形式， 对应可得二次项系数，一次项系数，常数项． 2．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 3．下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A选项：方程，∵是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为，∴是一元二次方程，该选项符合要求． B选项：方程，∵是分式，方程不是整式方程，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． C选项：对展开整理，得，∵未知数的最高次数是，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． D选项：方程，∵方程含有和两个未知数，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． 4．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A、含有，两个未知数，故A不符合题意； B、是分式，方程不是整式方程，故B不符合题意； C、含有，两个未知数，且未知数最高次数为1，是二元一次方程，故C不符合题意； D、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故D符合题意． 5．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． ◆题型2 直接开平方法 6．方程的解为___________． 【答案】， 【分析】运用直接开平方法即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 7．已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 【答案】A 【分析】利用直接开平方法结合实数平方的非负性，分别判断两个方程解的情况即可． 【详解】解：甲方程： ∴两边开平方得， 解得，因此甲有两个不相等的实数解； 乙方程：， ∵任意实数的平方都满足，不可能等于 ∴不存在实数使等式成立，因此乙无解； 综上，甲有两个不相等的解，乙无解． 8．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为一元二次方程，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 9．若方程的根为整数，则m的值可以是_________．（只填符合条件的一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】将原方程变形可得，根据平方根的性质，若方程的根为整数，则为非负完全平方数，任取一个满足条件的值即可． 【详解】解：原方程移项得， 开平方得， 因为方程的根为整数， 因此为整数， 即为完全平方数， 取，此时方程的根为，均为整数，符合要求． 10．若，该方程的解为______． 【答案】 ， 【详解】解： 或 ∴，． ◆题型3 配方法 11．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配方为完全平方式，即可得到正确结果． 【详解】解： ． 12．用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ， 移项，得 ， ∵ 一次项系数为，其一半的平方为， ∴ 等式两边同时加，得 ， 整理得 ． 13．用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式配方即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴． 14．把方程化成的形式，则m的值是________． 【答案】3 【详解】解： ， ， ， ， ∴． 15．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 【答案】C 【分析】通过移项、配方将原方程化为题目要求的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比可得，， ∴． ◆题型4 公式法 16．用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：方程整理得：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 17．若记方程的两个不相等的实数根为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】先解出方程的两个根，再利用平方差公式化简所求代数式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：解方程得，， ∴ ． 18．解方程：． 【答案】， 【详解】解：移项、整理得：， 其中，， ， 代入一元二次方程求根公式，得 ， ∴，． 19．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可； （3）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 代入求根公式，得， ，； （2）将方程化为一般形式，得， ， ， 代入求根公式，得， ，； （3）， ， 代入求根公式，得：， ． 20．当取何值时，代数式的值与的值相等？ 【答案】； 【分析】根据题意列出一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得：； ∵， ∴ 解得：； ◆题型5 因式分解法 21．方程的解为_____． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ，， ，． 22．完成解题过程，用因式分解法解方程． （1） 解：移项，得_____． 因式分解，得_____． 于是得_____或_____， _____，_____． （2） 解：移项，得_____． 因式分解，得_____． 于是得_____，_____． 【答案】 0 3 【分析】根据因式分解法解一元二次方程的步骤填空即可． 【详解】略 23．方程的解是_________________． 【答案】 ， 【详解】解：由方程可得， 解得， ． 24．将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 【答案】或 【分析】根据定义可得 ，解方程即可得到答案． 【详解】解： ， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， 解得或． 25．一元二次方程的解是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题用因式分解法解一元二次方程，利用“若两个数乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得或． ◆题型6 选择最优解法 26．用适当的方法解方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）先移项，再直接开方可得解； （2）先求出，再根据求根公式求出解． 【详解】（1）解：移项，得， 开方，得， 解得， ∴，； （2）解：， 由题意，得，，． ∵， ∴， ∴，． 27．用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用直接开方法求解即可； （2）利用求根公式法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ，； （3）解： ， 移项，得， 对提取公因式，变形为， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 28．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 29．解方程（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解 (1)（配方法） (2)（公式法） (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴，； （3）解： 或 ∴，； （4）解： 或 ∴，． 30．用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，． ◆题型7 根的判别式 31．已知关于x的方程 (1)当方程的一个根为2时，求c的值． (2)若方程的两根之积为3，求方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将方程的根代入原方程即可求解； （2）根据根与系数的关系，即可求出c，再利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：将方程的根代入原方程：，解得； （2）设方程的两根为，，若方程的两根之积为3， 则，解得， 即：， 解得，． 32．（1）解方程； （2）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题考查了根的判别式以及配方法解一元二次方程，解题的关键是：（1）熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤及方法；（2）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”． （1）利用配方法解一元二次方程，即可求出结论； （2）根据方程的系数结合根的判别式，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）， ，即， ∴， ∴，． （2）∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴． 解得， ∴m的取值范围是． 33．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程两个根均为负整数，求负整数的值． 【答案】(1) 证明：对于一元二次方程， 其判别式． ∵，即， ∴无论取何值，方程总有实数根； (2)负整数的值为、、或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与因式分解法解方程． （1）通过计算判别式，判断其非负性，从而证明方程总有实数根； （2）先因式分解求出方程的根，再根据根为负整数的条件，结合为负整数的要求，确定的取值． 【详解】（1）略 （2）解：对原方程因式分解，得， 解得，． ∵方程的两个根均为负整数，且是负整数， ∴也需为负整数. 又∵是负整数， ∴，解得， ∴的取值为、、或． 34．（1）解方程：； （2）为何值时，关于的方程有两个相等的实数根？ 【答案】（），；（）． 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式的关系，掌握知识点是解题的关键． （）通过因式分解法解一元二次方程； （）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系即可求解． 【详解】解：（） 或， ∴，； （）∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴ ∴， ∴时，关于的方程有两个相等的实数根． 35．计算： (1)解方程：； (2)已知关于的一元二次方程．求证：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，掌握十字相乘法解一元二次方程和根的判别式是解题的关键． （1）将方程左边进行因式分解，转化为两个一次式的乘积等于0的形式，再分别令每一个一次式等于0，即可求解． （2）先将各项系数表示出来，再求出根的判别式，和0作比较，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得． （2）证：关于的一元二次方程， ， ， 无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根． ◆题型8 根与系数的关系 36．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）根据的范围确定的最小整数值，再将所求代数式变形为，由一元二次方程根与系数的关系可得与的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：由（1）可知且取满足条件的最小整数， ∴， ，即， ，， ． 37．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)记该方程的两个实数根为和，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根得到，求解即可； （2）根据根与系数的关系可得，，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得． （2）解：由题意得，， ∴， 解得，， ∵， ∴． 38．若是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握方程系数与根的关系式． （1）利用一元二次方程根与系数的关系，直接求出即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，得出 ，，再将进行变换即可． 【详解】（1）解：由一元二次方程根与系数的关系可得， ． （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得， ， ， ． 39．（1）找到一个首项系数为1，常数项是有理数的一元二次方程，它的一个解是． （2）解方程：． （3）已知，求． 【答案】（1）（答案不唯一）； （2） 或 ； （3） 【分析】本题考查根与系数关系，用换元法解方程，掌握解方程的方法是解题的关键； （1）设一元二次方程为，令根据求出，再根据求出b即可； （2）令则原式可化为，分和两种情况求解即可； （3）令 ，将方程转化为解方程即可． 【详解】解：（1）设一元二次方程为， 令，则一元二次方程为， ∵， 由，得， 由得，即， ∴一元二次方程为（答案不唯一）； （2）解： 令，则原式可化为， 当时，即时，等式成立； 当时， 等号两边同时除以t得即， 解得， ∵， ∴，即， ∴； ∴方程的解为或； （3）令 ，则，，或，， ∴ 方程两边同除以 得即 两边平方消去根号得， 化简得 ， ∴． 40．阅读理解： 材料1．若一元二次方程的两根为，则，． 材料2．已知实数m，n满足，且，求的值． 解：由题知是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得， ∴． 解决问题： (1)一元二次方程的两根为，则 ， ； (2)已知实数满足且，求的值． (3)已知实数满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查是阅读理解题，解题的关键是理解并熟练掌握若一元二次方程两根为，则，． （1）根据材料1提供的关系直接求解即可得到答案； （2）根据根与系数的关系得到，再根据进行求解即可； （3）根据材料2提供的方法直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， 故答案为：4，； （2）∵实数满足， ∴m，n是方程的两实数解， ∴根据材料1得， ∴ ； （3）∵实数满足， ∴可看作方程的两实数解， ∴，， ∴． ◆题型1 增长率问题 41．湖北省预计于2020年年底实现全省贫困人口全部脱贫．2018年，湖北省精准脱贫专项资金合计约30亿元，据扶贫办报告，2020年湖北省政府合计拨款43.2亿元用于脱贫攻坚最后一战．根据以上信息，请你计算在2018～2020年期间，湖北省脱贫专项资金年平均增长率为多少？ 【答案】20% 【分析】设在2018～2020年期间，湖北省脱贫专项资金年平均增长率为x，根据2018年及2020年湖北省政府投入精准脱贫专项资金额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设在2018～2020年期间，湖北省脱贫专项资金年平均增长率为x， 依题意，得：30（1+x）2=43.2， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 答：在2018～2020年期间，湖北省脱贫专项资金年平均增长率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 42．某中学2020年对学校实验器材投资20000元．为改善办学条件，预计今明两年加大投入，请根据下列条件，通过计算或列方程等解答问题： (1)若今年学校对实验器材投入比去年增加10%，则学校今年对实验器材投入多少元？ (2)按照（1）中增加的投入比例，则学校明年对实验器材投入多少元？ (3)若今明两年学校对实验器材投入增加的百分数相同，且明年的投资为28800元，求今明两年学校对实验器材投入的平均增长率． 【答案】(1)元 (2)元 (3) 【分析】（1）根据题意，用20000乘以即可求解； （2）根据题意，用（1）的结果乘以即可求解； （3）设今明两年学校对实验器材投入的平均增长率为，根据题意列一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：2020年对学校实验器材投资20000元，今年（2021年）学校对实验器材投入比去年增加10%， 学校今年对实验器材投入为（元）； （2）解：学校明年对实验器材投入为（元）； （3）解：设今明两年学校对实验器材投入的平均增长率为，根据题意得， 解得（舍去）， 答：今明两年学校对实验器材投入的平均增长率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 43．百香果，又名“鸡蛋果”，属西番莲科．因其果汁营养丰富，气味芳香，故有“果汁之王”等美称．“黄金”百香果是优质新品种，在某市被广泛种植．某百香果种植基地到年年底已经种植“黄金”百香果亩，到年年底“黄金”百香果的种植面积达到亩． (1)求该基地这两年“黄金“百香果种植面积的年平均增长率． (2)已知该基地“黄金”百香果的平均成本为元/千克，市场调查发现，当“黄金”百香果的售价为元/千克时，每天能售出千克，销售单价每降低元，每天可多售出千克，为了减少库存，该基地决定降价促销，但要求销售单价不得低于成本，且不高于元．要使销售“黄金”百香果每天获得的利润最大，则销售单价应降低多少元？最大利润为多少元？ 【答案】(1)该基地这两年“黄金”百香果种植面积的年平均增长率为 (2)要使销售“黄金”百香果每天获得的利润最大，则销售单价应降低元，最大利润为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数，找准等量关系，正确写出一元二次方程和二次函数是解题的关键． （1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为，根据年“早黑宝”的种植面积为：年“早黑宝”的种植面积，列出一元二次方程，解方程即可； （2）先设单价降低元，根据题目要求写出每天可售出千克，再通过利润单件商品净利润销售数量得到二次函数，将函数转化为的顶点式即可得到最大值． 【详解】（1）设该基地这两年“黄金”百香果种植面积的年平均增长率为． 根据题意得 解得，（不符合题意，舍去） ∴该基地这两年“黄金”百香果种植面积的年平均增长率为 （2）设销售单价应降低元，每天获得的利润为元． 则每天可售出千克 根据题意得 整理得（） ∵ ∴当时，有最大值，最大值为 ∴要使销售“黄金”百香果每天获得的利润最大，则销售单价应降低元，最大利润为元． 44．某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． (1)求每期海水稻亩产量的平均增长率． (2)农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)海水稻的定价为每千克10元或12元 【分析】（1）设平均增长率为，根据“第三期亩产量达到”建立等式求解即可． （2）设海水稻的定价为每千克元，根据“每天可获利960元”建立等式求解即可． 【详解】（1）解：设平均增长率为， 则， 解得：（负值舍）， 答：每期海水稻亩产量的平均增长率为． （2）解：设海水稻的定价为每千克元，则每千克的利润为元， 根据题意可知，日销售量减少千克，则日销售量为千克， 则：，即， 解得：或12， 答：海水稻的定价为每千克10元或12元． 45．依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高．该店7月份酥饼总销量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋． (1)求该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率． (2)门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋．市场调研显示：售价每下调1元，单日销量多卖出10袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)每袋酥饼需要降价元 【分析】（1）设月平均增长率为，根据增长规律得到9月销量的表达式，结合题干给出的9月销量列方程，解方程即可得到结果； （2）设每袋酥饼需要降价元， 根据题意列一元二次方程，解方程即可得到结果． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率为； （2）解：设每袋酥饼需要降价元， 则每袋酥饼的利润为元，单日销售量为袋， 由题意得，， 整理得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：每袋酥饼需要降价元． ◆题型2 几何面积问题 46．如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米），另三边用木板材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料总长为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？ 【答案】这个仓库的长和宽分别为14米、10米． 【分析】 首先设这个仓库的长为x米，则宽表示为，再根据面积为140平方米的仓库可得，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设这个仓库的长为x米， 由题意得：， 解得：，， ∵这堵墙的长为18米， ∴不合题意舍去， ∴， 宽为：（米）． 答：这个仓库的长和宽分别为14米、10米． 47．目前，瓜沥镇正在为小城市建设做着不懈努力，镇政府决定在新城区政府大楼前建设一块长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）． (1)用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积； (2)若a，b满足代数式，求； (3)若已知值满足（2）的条件，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？ 【答案】(1)平方米； (2)； (3)原长方形的长为60米，宽为40米． 【分析】（1）根据两条人行道的总面积等于两个长方形面积之和减去重叠部分的面积求解即可； （2）等式两边进行分母有理化即可解答； （3）由题意可列方程，结合（2）中的比值，设，，求解出即可解答． 【详解】（1）解：∵两条人行道的长分别为a米和b米，宽均为2米， ∴两条人行道的总面积为平方米； （2）解： ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意可知，四块草坪的面积之和为， ∵， ∴设，， 则， 解得（负值已舍去）， ∴（米），（米）， 答：原长方形的长为60米，宽为40米． 48．某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，其中一边靠墙（墙的长度为12米），另三边用总长为28米的木板材料围成．若使得车棚的面积为80平方米，则这个矩形车棚的相邻两边长分别应为多少米？ 【答案】这个矩形车棚的相邻两边长分别应为8米，10米 【分析】设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米，根据车棚的面积为80平方米列方程，求解即可． 【详解】解：设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米， 依题意得，， 整理得，， 解得：，， ∵墙的长度为12米， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， 答：这个矩形车棚的相邻两边长分别应为8米，10米． 49．某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长，木栅栏长，在与墙垂直的一边留出宽的出入口（另选材料建出入门）．当鸡场的面积为时，求垂直于墙的一边的长． 【答案】 【分析】设与墙垂直的一边长为，然后根据矩形面积列方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长，平行于墙的栅栏总长：（出入口1不用栅栏） 当鸡场的面积为时，， 解得， ∵墙长25， ∴， 解得， ∴， 答：垂直墙一边长． 50．小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 【答案】(1)①；②米 (2)养蜂场的面积不能达到平方米．理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到平方米， ∵长为米， ∴， 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到平方米． 【分析】（1）①利用“的长 的长木栏总长门的宽度的长”，可用含的代数式表示出的长； ②根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合，即可确定结论； （2）假设养蜂场的面积可以达到平方米，由长为米，可得出长为米，根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不正确． 【详解】（1）解：①依题意，得：（米）； ②依题意，得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴的长为米； （2）略． ◆题型3 握手/循环赛问题 51．“滇超联赛”是一项覆盖全省、全域联动的足球赛事，本届“滇超联赛”汇聚全省多个州市代表队，赛程长达8个月，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），赛事主办方计划安排120场比赛，则共有多少个州市代表队参加比赛？ 【答案】16个 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用单循环比赛的场次计算公式列方程求解即可． 【详解】解：设共有x个州市代表队参加比赛 根据题意，单循环赛制中每两队之间赛一场， ∴总比赛场次为， ∵赛事主办方计划安排120场比赛 ∴， ∴， 解得，； ∵代表队的数量不能为负数， ∴舍去， 答：共有16个州市代表队参加比赛． 52．某单位准备举办羽毛球邀请赛，赛制为单循环（每两位选手之间各比赛一场），计划一共举行45场比赛． (1)求该邀请赛的参赛选手人数； (2)为保证比赛正常进行，邀请方与羽毛球商两次协商后，羽毛球商由原来每桶羽毛球售价50元，降为每桶32元，求平均每次协商后降价的百分率． 【答案】(1)10人； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该邀请赛的参赛选手人数为x，根据实行单循环赛制共赛了45场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设平均每次协商后降价的百分率为a，根据两次降价列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设该邀请赛的参赛选手人数为x人． 根据题意： 解得：，（不合题意，舍去） 答：该邀请赛的参赛人数为10人； （2）解：设平均每次协商后降价的百分率为a． 根据题意： 解得：，（不合题意，舍去） 答：平均每次协商后降价的百分率为． 53．九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了张卡片，求班级学生人数． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设班级学生人数为人，则每人送出张卡片，共送出张卡片，根据“全班共送了张卡片”可列出方程，解方程即可求出答案，此时应注意考虑解的合理性．理解题意并正确列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：设班级学生人数为人， 依题意，得：， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴班级学生人数为人． 54．学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）． (1)设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是_________； (2)若学校计划安排15场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 【答案】(1) (2)学校应安排6个球队参加比赛． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）根据赛制，结合已知，即可得与的关系； （2）根据题意可得，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 故答案为：． （2）解：根据题意可得， ∴，， 解得， 答：学校应安排6个球队参加比赛． 55．某县举办中学足球联赛，每个中学出一支球队，每两队之间都进行一场比赛，共要比赛场，请问该县共有多少个中学？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程； 根据比赛场数和球队数列出方程即可． 【详解】解：设该县共有个中学，可列方程为： ， 整理得：， 解得：（舍）， 答：共有个中学． ◆题型4 营销利润问题 56．某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价元 (1)每件衬衫的盈利为__________元，每天可售出的衬衫__________件；（用含的代数式表示） (2)若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)元，件 (2)每件衬衫应降40元 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据总利润单件利润件数，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设每件衬衫降价元，则每件衬衫的盈利为元，每天可售出的衬衫件； （2）解：由题意可得，， 解得，（舍去），， 故每件衬衫应降40元． 57．某水果商店销售一种进价为40元的优质水果．若售价为50元，则一个月可售出；若售价在50元的基础上每上涨1元，则月销售量就减少．已知这种水果的售价不得超过70元． (1)当售价为55元时，每月可以销售该种水果多少千克？ (2)当月利润为8750元时，每千克该种水果的售价为多少元？ 【答案】(1) 千克 (2) 元 【分析】（1）根据售价上涨量和销量的减少关系，直接计算得到每月销售量； （2）设出每千克水果售价，表示出每千克利润和月销售量，根据总利润等于每千克利润乘销售量列一元二次方程求解，结合售价不超过70元的限制舍去不符合题意的解． 【详解】（1）解：当售价为55元时， 根据题意，每月销售量为（千克）， 答：每月可以销售该种水果450千克； （2）解：设每千克该种水果的售价为元，由题意得，每千克销售利润为元，月销售量为千克， 根据题意列方程得， 整理得， 解得，， ，不符合售价不得超过70元的要求，舍去， ， 答：每千克该种水果的售价为65元． 58．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱． (1)若售价下降1元，每天能售出______箱饮料，若售价下降元（），每天能售出______箱饮料； (2)若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？ (3)能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】(1)120，； (2)每箱应降价5元； (3)不能，理由如下： 假设能使每天销售该饮料获利达到1500元， 根据题意列方程得： 整理得 该一元二次方程的判别式， ∴该方程没有实数根，不能使每天销售该饮料获利达到1500元． 【分析】（1）根据题意，直接计算得到不同降价对应的销售量； （2）设每箱降价元，根据题意得出每箱利润为元，每天销售量为箱，列出方程求解即可； （3）同（2）方法一致，列出方程进行判断即可． 【详解】（1）解：已知原平均每天售出100箱，每降价1元多售出20箱， 降价1元时，销售量为(箱)， 降价元()时，多售出箱，销售量为箱； （2）设每箱降价元， 此时每箱利润为元，每天销售量为箱， 根据题意列方程得： 整理得 解得，， ∵要求扩大销售，增加利润， ∴降价越多销售量越大， ∴， 答：每箱应降价5元，可使每天销售该饮料获利1400元； （3）略 59．长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 【答案】(1)， (2)每件童装应该降价元 【分析】（1）根据“每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”列出代数式即可； （2）根据总利润销售量单件利润，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元， ∴采取降价措施后，每天可销售件，每件盈利元 （2）解：由题意得， 整理得， 解得，， ∵要使优惠力度最大， ∴， ∴每件童装应该降价元． 60．某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．设降价元． (1)若每天获得900元的利润，请你帮忙计算每件应降价多少元？ (2)该服装店能否通过降价销售的方式保证每天获得1640元的利润？并说明理由． 【答案】(1)每件应降价元； (2)不能，理由见解析． 【分析】（1）利用总利润=每件盈利×每天销售量列出一元二次方程求解，结合降价幅度不超过元的条件舍去不符合题意的解得到结果； （2）利用总利润=每件盈利×每天销售量列出一元二次方程，通过判断方程是否存在实数解即可得到结论． 【详解】（1）解：设降价元，根据题意，降价元后，每件盈利为元，每天销售量为件，且． 可得方程 ， 整理得 ． 解得 ， ， 不符合题意，舍去. 因此每件应降价元． （2）解：假设能获得每天元的利润， 根据题意得 ， 整理得， 配方得， 任何实数的平方都不为负数， 该方程没有实数解，因此该服装店不能通过降价销售的方式保证每天获得元的利润. ◆题型5 含参方程与判别式 61．关于的不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与轴的交点问题，令，根据恒成立，得到二次函数的二次项的系数大于0且抛物线与轴没有交点，得到，进行求解即可． 【详解】解：令， ∵， ∴抛物线的开口向上， ∵关于的不等式恒成立， ∴二次函数的图象与轴没有交点， ∴， 解得； 故． 62．对于实数m，n，定义一种运算“※”为：． (1)求的值； (2)如果关于x的方程有两个相等的实数根，求实数a的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了实数的运算，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况求参数； （1）根据定义，这种运算等于这两个数的乘积加上第二个数，列式计算即可； （2）先化简方程，根据方程有两个相等的实数根得到，进而求出的值． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， 方程可变形为， ， 整理得：， ∵方程有两个相等的实数根， ，， ． 63．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根． (1)用含m的代数式表示n，并直接写出m的取值范围； (2)关于x的方程； ①求证：方程必有两个不相等的实数根； ②若，是方程的一个正根，记，试比较M与2的大小． 【答案】(1)且，m的范围是． (2)①见解析；②小于2 【分析】（1）根据一元二次方程的定义，方程的根的判别式可得且，解不等式即可得答案． （2）①证明方程根的判别式恒大于0即可； ②求得方程的正根，根据无理数的性质比较大小即可． 本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式的应用，无理数的估算，实数的大小比较，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴且， 解得且， 故 解得， 故且，m的范围是． （2）①证明：∵ ． ∴方程必有两个不相等的实数根； ②解：若，则． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 解方程，得． ∴． ∴． ∵， ∴． 64．对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)关于x的代数式的不动值是 ． (2)判断关于x的代数式是否有不动值，若有请求出，没有则说明理由． (3)已知关于x的代数式．若此代数式的不动值至少有一个是整数，求出正整数a的值． 【答案】(1)4或； (2)关于x代数式没有不动值，理由见解析； (3)1或3或5 【分析】本题考查解一元二次方程，读懂“不动值”的定义，并熟练掌握解一元二次方程是解题的关键， （1）根据“不动值”的定义，当时，解一元二次方程得或，代入验证即可得到答案； （2）根据“不动值”的定义，当时，则，由于，方程没有实数根，从而得到答案； （3）当时，则，解得或，由于原代数式的不动值至少有一个是整数，所以得到或是整数，从而得到答案． 【详解】（1）解：当时，则， ∴， ∴或， 解得或， ∴关于x的代数式的不动值是4或， 故答案为：4或； （2）解：关于x代数式没有不动值，理由如下： 当时，则， ∴， ∴原方程无解， ∴不成立， ∴关于x代数式没有不动值； （3）解：当时， 则， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵原代数式的不动值至少有一个是整数， ∴或是整数， ∴a的值可以是1或3或5． 65．为何值时，关于的一元二次方程； (1)有两个相等的实数根？ (2)有两个不相等的实数根？ (3)无实数根？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键． （1）求解即可； （2）求解且即可； （3）求解即可； 【详解】（1）方程有两个相等的实数根， ， 解得； （2）方程有两个不相等的实数根， 且， 且． （3）方程无实数根， ， ． ◆题型6 根与系数的关系变形求值 66．阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为，则． 材料2：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则_____，_____； (2)应用探究：已知实数满足：且，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足：，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）直接根据材料给出的一元二次方程根与系数的关系计算即可； （2）由条件可知是方程的两个不相等实根，利用根与系数关系得到和的值，对所求式子因式分解后代入计算即可； （3）将第二个方程变形为，分和两种情况，分别计算所求式子的值即可． 【详解】（1）解：对于一元二次方程， 其中，， 根据根与系数的关系，可得， （2）解：由题意得，实数满足，，且 因此是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得， 所以 （3）解：将方程变形可得， 又， 分两种情况讨论：①当时， ②当时，和是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得 由，得， ∴ ， 综上，的值为或． 67．已知是关于的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为，记为．例如：若，则的导出多项式． 根据以上信息，回答问题： (1)若，则它的导出多项式_____； (2)设是的导出多项式． ①若，求关于的方程的解； ②已知是关于的二次多项式，，是关于的方程的两根，且，试求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）①由题意易得，则有，然后进行求解即可； ②由题意易得，则有，然后根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【详解】（1）解：根据导出多项式的定义可知：； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②由是关于的二次多项式，可知：，即， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∵，是关于的方程的两根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ∵， ∴， 解得：． 68．已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)记该方程的两个实数根为，求代数式的值； (3)若，，比较与的大小． 【答案】(1) 证明：， ， ， 总有两个不相等的实数根； (2) (3) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解． （3）判断的正负即可求解． 【详解】（1）略； （2）该方程的两个实数根为，， ， ； （3）由（2）知，， ， ， ． 69．已知实数满足， (1)求作以，为根的二次项系数为1的一元二次方程； (2)若，求的值． 【答案】(1)一元二次方程为 (2) 【分析】（1）根据题目要求及已知条件设一元二次方程为，然后，根据一元二次方程中根与系数的关系，找到关于的方程，解出的值代入原方程即可； （2）根据所给等式得出和是一元二次方程的两个实数根， 再根据一元二次方程中根与系数的关系，得出的值即可． 【详解】（1）解：设一元二次方程为． ， ， ， ∴一元二次方程为； （2）解：由题意，得和是一元二次方程的两个实数根， ． ∴的值为． 70．已知关于的一元二次方程． (1)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根； (2)设该方程的两个根分别是、，若．求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入方程，即可求解，得到此时的一元二次方程为，再由因式分解法求解另一个根即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵方程的一个根是1， ∴将代入得，， 解得， ∴方程为 解得 ∴方程的另一个根为； （2）解：∵该方程的两个根分别是、， ∴， ∵ ∴， 解得， 而， ∴． ◆题型7 整体思想与换元法 71．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无实数根 (2)， 【分析】（1）求得判别式，进而可得原方程无解； （2）设，则解方程，得到t值，再解关于x的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：对于方程，，，， ∴， ∴原方程无实数根； （2）解：设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，，即， ， ∴， ∴，． 72．解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设 ， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； （2）略 73．阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【答案】(1)原方程的解为，， (2)这四个整数为2，3，4，5 【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x． （2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可． 【详解】（1）解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． （2）解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为． 74．按要求完成下列各题： (1)解方程：； (2)设，为实数，求的最小值． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）先整理、变形得，令，原方程可化为，解得或，从而或，求解检验即可； （2）将展开计算并整理为，再根据平方的性质，可得的最小值． 【详解】（1）解：原方程可整理为，， ， 令，则原方程为， 解得或，即或， 或， 解得，或，， 经检验：，，，是原方程的解； （2）解： ， 当且仅当，时，即，时，取得最小值． 75．为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①解得． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为． 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法． 根据以上阅读理解，解答下列问题： (1)利用换元法解方程：； (2)若实数、满足，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设，将原方程转化为，然后利用因式分解法求出或，然后分别判断求解即可； （2）设，将转化为，然后求解判断即可． 【详解】（1）解： 设 ∴原方程可化为 或 解得或 当时， ∴ ∴ ∴方程无实数根； 当时， ∴ ∴ ∴或 解得，； （2）解：设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴或 解得（舍去）或 ∴． 一、单选题 1．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 2．（24-25九年级下·广东广州·阶段检测）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）有不相等的实数根时，必须满足．利用此条件转化即可解得参数的范围． 【详解】解：依题意列得， 解得且． 故选：C． 3．（25-26八年级下·山东威海·期末）某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出第二、三、四季度实现垃圾分类的社区个数，根据总个数为285列方程，即可判断正确选项． 【详解】解：∵第二季度实现垃圾分类的社区个数为，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率为， ∴第三季度实现垃圾分类的社区个数为，第四季度实现垃圾分类的社区个数为， ∵到本年底全部285个社区都要实现垃圾分类， ∴三个季度实现垃圾分类的总个数为285， 可得方程， 因此正确选项为D． 4．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知整式，其中为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（    ） 若，则多项式可以为二次三项式；若，满足条件的所有整式的和为；若，满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有4个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查整式加减的应用，多项式，一元二次方程的根的判别式． 逐一分析各说法，结合因数分解和判别式进行验证即可． 【详解】解：当时，寻找且的正整数解， 可能的分解为或，均不满足严格递增条件， 故不存在二次三项式， ∴错误； 当时，所有可能的整式包括： 一次多项式：，， 二次三项式：， 求和后常数项为， 一次项为，二次项为，总和为， ∴正确； 当时，满足的二次三项式有： ，，，， 计算各多项式判别式均小于0，故所有多项式恒非负， ∴正确． 综上，正确的个数为2． 故选：C． 5．（25-26九年级上·重庆北碚·阶段检测）换季时节流感高发，某社区发现一例流感患者，经过两轮传播后，总感染人数达到 81 人．设每一轮传播中每个患者平均传染x 人，则可列方程为 （     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意并抽象成数学模型是解题关键． 根据流感传播模型，初始患者平均每轮会传染x人，第一轮后总感染人；第二轮中，第一轮的个患者各传染x人，新增人，相加得到结果． 【详解】解：设初始患者为1人， ∵ 第一轮传播，每个患者传染x人， ∴ 第一轮后总感染人数为， ∵ 第二轮传播，第一轮的个患者各传染x人， ∴ 第二轮新增感染人数为， ∴ 两轮后总感染人数为， 又∵ 总感染人数为81， ∴ ． 故选：D． 6．（2026·安徽·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式，整理等式即可求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 展开整理得， 即， ∴，得， ∵， 等式两边同除以得． 7．（24-25九年级下·全国·二轮复习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，关于x的方程的根为，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是（    ） A．① B．② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式及根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系表示出，，再用b，c表示出，进而得出，，之间的关系，据此进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：因为关于x的方程有两个不相等的实数根，， 所以，， 则， 又因为关于x的方程的根为， 所以， 则， 所以，， 则当时，，， 所以； 当时，，， 所以； 当，且时，，， 所以； 当，且时，，， 所以． 综上所述，所有可能正确的结论是①；③． 故选：C 二、填空题 8．（24-25九年级上·广东东莞·期末）在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72个红包，那么这个微信群共有_______人． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个微信群共有x人，根据该微信群共发了个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这个微信群共有人， 依题意得：， 解得，（舍去）， 故答案为：． 9．（2026·四川凉山·中考真题）已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，其中，， ， ∴，， ∴． 10．（26-27九年级上·全国·周测）如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为____________． 【答案】100 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为225，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可． 【详解】解：根据图象可以得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为，根据题意得出：， 解得：，（不合题意舍去）， 故最小的数为：9， 中间一行的数字分别为：15，16，17，18， 最大的数为：25， 故这6个数的和为：． 故答案为：100． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键． 11．（24-25八年级下·安徽六安·期末）对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为_________． 【答案】或或 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键． 分两种情况：当时，当时，根据新定义列方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时， ， 即， 解得：，， 当时， ， 即， 解得：（舍去），， 综上，实数x的值为或0或1． 故答案为：或0或1． 三、解答题 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，． 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；掌握配方方法是解题的关键． （1）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （5）整理后移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （2）解：， ， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （3）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （4）解：， ， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （5）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，． 13．（2021·北京·中考真题）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 【答案】（1）证明：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证； （2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 14．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ (2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)36；120； (2)不能 (3)一共能摆放20排． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． 【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为， 前15行的点数之和为， 那么，前行的点数之和为； 故答案为：36；120；； （2）解：不能， 理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， 所以三角点阵中前n行的点数和不能是500； 故答案为：不能； （3）解：同理，前行的点数之和为， 由题意得， 得，即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 15．（24-25九年级下·河南开封·阶段检测）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数． 【答案】这种植物每个支干长出的小分支个数是7． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这种植物每个支干长出的小分支个数是7． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1：一元二次方程的概念与一般形式 题型2：直接开平方法 题型3：配方法 题型4：公式法 题型5：因式分解法 题型6：选择最优解法 题型7：根的判别式 题型8：根与系数的关系 核心提升：重难题型归纳 题型1：增长率问题 题型2：几何面积问题 题型3：握手/循环赛问题 题型4：营销利润问题 题型5：含参方程与判别式 题型6：根与系数的关系变形求值 题型7：整体思想与换元法 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 一元二次方程的概念与一般形式 1．B 2．C 3．A 4．D 5．D ◆题型2 直接开平方法 6．， 7．A 8． 9．4（答案不唯一） 10． ， ◆题型3 配方法 11．C 12．C 13． 14．3 15．C ◆题型4 公式法 16．(1) (2) (3) 17．A 18．， 19．(1)， (2)， (3) 20．； ◆题型5 因式分解法 21．， 22． 0 3 23． ， 24．或 25．C ◆题型6 选择最优解法 26．(1) ， (2) ， 27．(1)， (2)， (3)， 28．(1)， (2)， 29．(1)， (2)， (3)， (4)， 30．(1)， (2)， ◆题型7 根的判别式 31．(1) (2)， 32．（1），；（2）． 33．(1) 证明：对于一元二次方程， 其判别式． ∵，即， ∴无论取何值，方程总有实数根； (2)负整数的值为、、或 34．（），；（）． 35．(1) (2)见解析 ◆题型8 根与系数的关系 36．(1) (2)， 37．(1) (2) 38．(1) (2) 39．（1）（答案不唯一）； （2） 或 ； （3） 40．(1) (2) (3) ◆题型1 增长率问题 41．20% 42．(1)元 (2)元 (3) 43．(1)该基地这两年“黄金”百香果种植面积的年平均增长率为 (2)要使销售“黄金”百香果每天获得的利润最大，则销售单价应降低元，最大利润为元 44．(1)平均增长率为 (2)海水稻的定价为每千克10元或12元 45．(1)月平均增长率为 (2)每袋酥饼需要降价元 ◆题型2 几何面积问题 46．这个仓库的长和宽分别为14米、10米． 47．(1)平方米； (2)； (3)原长方形的长为60米，宽为40米． 48．这个矩形车棚的相邻两边长分别应为8米，10米 49． 50．(1)①；②米 (2)养蜂场的面积不能达到平方米．理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到平方米， ∵长为米， ∴， 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到平方米． ◆题型3 握手/循环赛问题 51．16个 52．(1)10人； (2)． 53． 54．(1) (2)学校应安排6个球队参加比赛． 55． ◆题型4 营销利润问题 56．(1)元，件 (2)每件衬衫应降40元 57．(1) 千克 (2) 元 58．(1)120，； (2)每箱应降价5元； (3)不能，理由如下： 假设能使每天销售该饮料获利达到1500元， 根据题意列方程得： 整理得 该一元二次方程的判别式， ∴该方程没有实数根，不能使每天销售该饮料获利达到1500元． 59．(1)， (2)每件童装应该降价元 60．(1)每件应降价元； (2)不能，理由见解析． ◆题型5 含参方程与判别式 61． 62．(1)4 (2) 63．(1)且，m的范围是． (2)①见解析；②小于2 64．(1)4或； (2)关于x代数式没有不动值，理由见解析； (3)1或3或5 65．(1) (2)且 (3) ◆题型6 根与系数的关系变形求值 66．(1)， (2) (3)或 67．(1) (2)①；② 68．(1) 证明：， ， ， 总有两个不相等的实数根； (2) (3) 69．(1)一元二次方程为 (2) 70．(1)， (2) ◆题型7 整体思想与换元法 71．(1)原方程无实数根 (2)， 72．(1)， (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设 ， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 73．(1)原方程的解为，， (2)这四个整数为2，3，4，5 74．(1)，，， (2) 75．(1)， (2) 1．D 2．C 3．D 4．C 5．D 6．D 7．C 8． 9． 10．100 11．或或 12．(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，． 13．（1）证明：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2） 14．(1)36；120； (2)不能 (3)一共能摆放20排． 15．这种植物每个支干长出的小分支个数是7． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $